§C5.8問題解決の戦略

最終更新

競技数学の解答は、一つの着想だけで完成するものではありません。問題を解く作業は、実験、特殊化、構造の命名、方針選択、完全解答、検算の段階に分けて進めます。

1 問題の再記述

問題を、何が固定され、何を選び、何を示すのかがわかる形に書き直します。変数が整数か実数か、点が線分の内部にあるか延長上にあるか、事象が独立であるかを、最初に確かめます。

2 小さい例と極端な例

小さい数、対称な配置、境界、最大・最小の場合を試します。これらの場合を試す目的は予想を立てることであり、試した結果は証明ではありません。予想に合わない例が見つかったら、問題の条件を読み直し、予想を修正します。

3 表現の変換

  • 整数の式：合同式、因数、素因数の指数。
  • 配置問題：グラフ、彩色、順序、極端な対象。
  • 幾何：角、相似、円、面積、複比。
  • 確率：指示変数、期待値、補集合。
  • 関数方程式：特別な代入、単射、全射、合成。

4 証明の検算

証明の中で新しい対象を作ったら、その対象が条件を満たすか、正の範囲にあるか、元の対象より小さいかを確認します。図で見えること、数値実験で成り立つこと、定理として証明したことを区別します。

5 例：不可能性問題

整数方程式なら、まず小さい法で不可能な余りを探します。余りによる議論で足りなければ、最小反例を選びます。配置なら、面積や個数だけでなく、彩色や次数の不変量を探します。幾何なら、点の位置を固定し、外角を含む場合の角の向きを明示します。

6 解答の型

  1. 方針を一文で述べます。
  2. 必要な補題を先に証明します。
  3. 証明した補題を主張へ適用します。
  4. 等号・境界・例外を確認します。
  5. 別解があれば、それぞれの解答で用いる構造を比較します。

7 演習

問題 7.1. 一つの問題について、数値実験から予想を作り、その予想を証明する答案を書け。

解答.

一例として、「正の整数nnについて、2n2^nを77で割った余りを求めよ」という問題を取る。

数値実験として、n=1,2,…,6n=1,2,\ldots,6で2n=2,4,8,16,32,642^n=2,4,8,16,32,64を77で割ると、余りは2,4,1,2,4,12,4,1,2,4,1である。この結果から、「余りはnnを33で割った余りが1,2,01,2,0のときに、それぞれ2,4,12,4,1である」と予想する。

予想を証明する。正の整数nnを、00以上の整数qqとr∈{0,1,2}r\in\{0,1,2\}を用いてn=3q+rn=3q+rと書く。q≥1q\ge1のとき

8q−1=(8−1)(8q−1+8q−2+⋯+8+1)8^q-1=(8-1)\left(8^{q-1}+8^{q-2}+\cdots+8+1\right)

であるから、8q−18^q-1は77の倍数である。q=0q=0のときも80−1=08^0-1=0は77の倍数である。したがって

2n−2r=2r(23q−1)=2r(8q−1)2^n-2^r=2^r\left(2^{3q}-1\right)=2^r\left(8^q-1\right)

は77の倍数である。2r2^rは1,2,41,2,4のいずれかで00以上77未満であるから、2n2^nを77で割った余りは2r2^rである。よって、余りはr=1,2,0r=1,2,0のときにそれぞれ2,4,12,4,1であり、予想が成り立つ。

数値実験で確かめたのはn≤6n\le6の場合だけであり、すべてのnnについての主張は、この証明によって初めて得られる。▨

問題 7.2. 次の答案は、「00でないすべての実数aaについてa+1a≥2a+\dfrac1a\ge2である」を示そうとしたものである。この答案で相加平均と相乗平均の関係を用いた行について、その関係を用いることができないaaの範囲を求め、その範囲のすべてのaaについて主張そのものが成り立たないことを示せ。さらに、00でない実数aaについて、a+1aa+\dfrac1aのとり得る値の範囲を求めよ。

  1. aaを00でない実数とする。a⋅1a=1a\cdot\dfrac1a=1である。
  2. 相加平均と相乗平均の関係により、12(a+1a)≥a⋅1a=1\dfrac12\left(a+\dfrac1a\right)\ge\sqrt{a\cdot\dfrac1a}=1である。
  3. 両辺を22倍して、a+1a≥2a+\dfrac1a\ge2を得る。
解答.

相加平均と相乗平均の関係を用いたのは(2)である。§A1.14 命題 2.1は、二数がともに非負であることを条件とする。aaと1a\dfrac1aはaaと同じ符号をもつので、二数がともに非負であることはa>0a>0と同値である。したがって、この関係を用いることができないのはa<0a<0の範囲である。

a<0a<0とし、b=−ab=-aと置く。b>0b>0であり、a+1a=−(b+1b)a+\dfrac1a=-\left(b+\dfrac1b\right)である。b+1b>0b+\dfrac1b>0であるからa+1a<0<2a+\dfrac1a<0<2であり、a<0a<0のすべてのaaについて主張は成り立たない。たとえばa=−1a=-1ではa+1a=−2a+\dfrac1a=-2である。

次に、値の範囲を求める。ttを実数とする。00でない実数aaについて、a+1a=ta+\dfrac1a=tは、両辺にaaを掛けたa2−ta+1=0a^2-ta+1=0と同値である。逆に、a2−ta+1=0a^2-ta+1=0の実数解aaは、a=0a=0を代入すると左辺が11になることから00でない。したがって、a+1a=ta+\dfrac1a=tを満たす00でない実数aaが存在することは、二次方程式a2−ta+1=0a^2-ta+1=0が実数解をもつことと同値である。その判別式はt2−4t^2-4であるから、§A1.5 公式 5.1により、実数解をもつことはt2−4≥0t^2-4\ge0、すなわちt≤−2t\le-2またはt≥2t\ge2と同値である。

よって、a+1aa+\dfrac1aのとり得る値の範囲はt≤−2t\le-2またはt≥2t\ge2を満たす実数ttの全体である。a>0a>0の場合には

a+1a−2=(a−1)2a≥0a+\frac1a-2=\frac{(a-1)^2}a\ge0

であり、値は22以上である。a<0a<0の場合には、上のb=−ab=-aについてa+1a=−(b+1b)≤−2a+\dfrac1a=-\left(b+\dfrac1b\right)\le-2であり、値は−2-2以下である。▨

問題 7.3. 次の三つの問題を、それぞれ合同式、グラフ、面積への表現の変換を用いて解け。

  1. すべての整数nnについて、n2+n+1n^2+n+1は99で割り切れないことを示せ。
  2. 99人の集団で、どの人もちょうど33人と握手することはできないことを示せ。ただし、自分自身とは握手せず、同じ22人の握手は11回と数える。
  3. 一辺の長さがℓ\ellの正三角形ABCABCの内部の点PPから、辺BCBC、CACA、ABABに下ろした垂線の長さをそれぞれpp、qq、rrとする。p+q+rp+q+rがPPの位置によらないことを示し、その値をℓ\ellで表せ。
解答.

(1)を示す。整数nnを33で割った余りで分類し、kkを整数としてn=3kn=3k、n=3k+1n=3k+1、n=3k+2n=3k+2と書くと、それぞれ

n2+n+1=3(3k2+k)+1,n2+n+1=9(k2+k)+3,n2+n+1=3(3k2+5k+2)+1n^2+n+1=3(3k^2+k)+1,\qquad n^2+n+1=9(k^2+k)+3,\qquad n^2+n+1=3(3k^2+5k+2)+1

である。第一と第三の場合には、n2+n+1n^2+n+1を33で割った余りは11であり、n2+n+1n^2+n+1は33で割り切れないので99でも割り切れない。第二の場合には、n2+n+1n^2+n+1を99で割った余りは33である。いずれの場合もn2+n+1n^2+n+1は99で割り切れない。

(2)を示す。人を頂点とし、握手した22人を辺で結ぶグラフを考える。各頂点の次数は、その人が握手した人数である。各辺は両端の22頂点の次数に11ずつ数えられるので、次数の総和は辺の本数の22倍であり、偶数である。どの人もちょうど33人と握手したとすると、次数の総和は9⋅3=279\cdot3=27であり、奇数である。これは矛盾であるから、そのような握手の仕方は存在しない。

(3)を示す。PPは三角形ABCABCの内部にあるので、三角形ABCABCは三角形PBCPBC、PCAPCA、PABPABに分割される。三つの三角形の底辺をそれぞれBCBC、CACA、ABABとすると、高さはpp、qq、rrであり、底辺の長さはいずれもℓ\ellである。三角形ABCABCの面積をSSと書くと

S=12ℓp+12ℓq+12ℓr=12ℓ(p+q+r)S=\frac12\ell p+\frac12\ell q+\frac12\ell r=\frac12\ell(p+q+r)

である。一方、AAから辺BCBCに下ろした垂線は辺BCBCを二等分し、その長さは三平方の定理によりℓ2−(ℓ2)2=32ℓ\sqrt{\ell^2-\left(\dfrac\ell2\right)^2}=\dfrac{\sqrt3}2\ellであるから、S=12⋅ℓ⋅32ℓ=34ℓ2S=\dfrac12\cdot\ell\cdot\dfrac{\sqrt3}2\ell=\dfrac{\sqrt3}4\ell^2である。したがって

p+q+r=2Sℓ=32ℓp+q+r=\frac{2S}\ell=\frac{\sqrt3}2\ell

であり、この値はPPの位置によらない。▨

前提記事