§D3.22次元が有限でない空間の内積と正射影

正の整数$k$について$a_k = \frac{1}{k+1} < \frac1k = b_k$であるから、区間$(a_k, b_k)$は空でない。$j < k$を満たす正の整数$j, k$を取る。$k \ge j + 1$であるから$b_k = \frac1k \le \frac{1}{j+1} = a_j$である。したがって$t \in (a_k, b_k)$ならば$t < b_k \le a_j$であり、$t \notin (a_j, b_j)$である。よって、相異なる$j, k$について$(a_j, b_j) \cap (a_k, b_k) = \varnothing$である。

次に同値を示す。まず、すべての正の整数$m$について$V$が一次独立な$m$本のベクトルを含むと仮定する。$V$が有限生成であるとすると、ある正の整数$m$と$\vec w_1, \dots, \vec w_m \in V$で$\operatorname{span}\{\vec w_1, \dots, \vec w_m\} = V$を満たすものがある。仮定により一次独立な$m+1$本のベクトル$\vec u_1, \dots, \vec u_{m+1} \in V$が存在するので、§D3.8 補題 3.1により$m + 1 \le m$となり、矛盾する。よって$V$は有限生成でない。

逆に、$V$が有限生成でないと仮定する。一次独立な組$\vec v_1, \dots, \vec v_m$を$m$について帰納的に作る。

$m = 1$の場合を示す。$V = \{\vec 0\}$ならば$V = \operatorname{span}\{\vec 0\}$であり、$V$は有限生成になる。よって$V \ne \{\vec 0\}$であり、$\vec v_1 \ne \vec 0$を満たす$\vec v_1 \in V$が存在する。$c\vec v_1 = \vec 0$かつ$c \ne 0$とすると$\vec v_1 = c^{-1}(c\vec v_1) = \vec 0$となって矛盾するので、$c = 0$であり、$\vec v_1$は一次独立である。

一次独立な$\vec v_1, \dots, \vec v_m \in V$が得られたとする。$V$は有限生成でないから$\operatorname{span}\{\vec v_1, \dots, \vec v_m\} \ne V$であり、この張る空間に属さない$\vec v_{m+1} \in V$が存在する。$\vec v_1, \dots, \vec v_{m+1}$が一次独立であることを示す。$c_1\vec v_1 + \cdots + c_{m+1}\vec v_{m+1} = \vec 0$とする。$c_{m+1} \ne 0$ならば

となり、$\vec v_{m+1}$が$\operatorname{span}\{\vec v_1, \dots, \vec v_m\}$に属して矛盾する。よって$c_{m+1} = 0$であり、$c_1\vec v_1 + \cdots + c_m\vec v_m = \vec 0$と$\vec v_1, \dots, \vec v_m$の一次独立性から$c_1 = \cdots = c_m = 0$である。

以上により、すべての正の整数$m$について一次独立な$m$本のベクトル$\vec v_1, \dots, \vec v_m \in V$が存在する。▨

$f = (a_0, a_1, \dots)$に対して$\varphi(f) = a_0 + a_1$と定め、$W = \ker\varphi$とおく。$\varphi(f+g) = \varphi(f) + \varphi(g)$、$\varphi(cf) = c\varphi(f)$が成り立つから$\varphi$は線形であり、§D3.10 命題 1.2により$W$は部分空間である。$v = x^0 + x^1$とおくと、定義 3.1の内積について$\langle f, v\rangle = a_0 + a_1 = \varphi(f)$である。

$c \in \R$と$w \in W$を取ると、$\langle w, cv\rangle = c\langle w, v\rangle = c\varphi(w) = 0$であるから、$cv \in W^{\perp}$である。

逆に$u = (u_0, u_1, \dots) \in W^{\perp}$を取る。$\varphi(x^0 - x^1) = 1 - 1 = 0$であるから$x^0 - x^1 \in W$であり、$n \ge 2$について$\varphi(x^n) = 0$であるから$x^n \in W$である。したがって

が成り立ち、$u = u_0x^0 + u_0x^1 = u_0v$である。以上より$W^{\perp} = \{cv : c \in \R\}$である。

$v$の第$0$成分は$1$であるから$v \ne \vec 0$であり、$v \in W^{\perp}$であるから$W^{\perp} \ne \{\vec 0\}$である。なお、$\varphi(x^0) = 1 \ne 0$であるから$W \ne V$である。

次に、一般の$0$でない線形写像$\varphi : V \to \R$と$W = \ker\varphi$について同値を示す。

すべての$f \in V$について$\varphi(f) = \langle f, \vec u\rangle$を満たす$\vec u \in V$があるとする。$\vec u = \vec 0$ならばすべての$f$について$\varphi(f) = 0$となり、$\varphi$が$0$でないことに反するので、$\vec u \ne \vec 0$である。$w \in W$について$\langle w, \vec u\rangle = \varphi(w) = 0$であるから$\vec u \in W^{\perp}$であり、$W^{\perp} \ne \{\vec 0\}$である。

逆に、$W^{\perp}$が$\vec 0$でない元$v$を含むとする。$\varphi(v) = 0$ならば$v \in W$であり、$v \in W^{\perp}$と合わせて$\langle v, v\rangle = 0$となるので、内積の正定値性により$v = \vec 0$となって矛盾する。よって$\varphi(v) \ne 0$である。$f \in V$を任意に取り、

とおくと、$\varphi$の線形性により$\varphi(g) = \varphi(f) - \varphi(f) = 0$であるから$g \in W$であり、$\langle g, v\rangle = 0$である。内積の第1引数についての線形性により

である。$v \ne \vec 0$であるから正定値性により$\langle v, v\rangle > 0$であり、

を得る。最後の等号には内積の対称性と第1引数についての線形性を用いた。$\vec u$は$f$によらないので、これが求める$\vec u$である。

定理 3.2の$\varphi(f) = \sum_{n \ge 0} a_n$は線形であり、$\varphi(x^0) = 1$であるから$0$でない。同定理の2により$W^{\perp} = \{\vec 0\}$であるから、上の同値により、$\varphi(f) = \langle f, \vec u\rangle$がすべての$f \in V$について成り立つような$\vec u \in V$は存在しない。実際、$\vec u = (u_0, u_1, \dots) \in V$を任意に取ると、$0$でない成分は有限個であるから、$u_N = 0$を満たす$N$がある。このとき$\varphi(x^N) = 1$であるが$\langle x^N, \vec u\rangle = u_N = 0$であり、両者は一致しない。▨

$\vec w$の第$0$成分は$t$、第$1$成分から第$N$成分までは$-t/N$、それ以降の成分は$0$である。したがって$\varphi(\vec w) = t + N\cdot\left(-\frac tN\right) = 0$であり、$\vec w \in W$である。

$\vec u - \vec w = (1-t)\,x^0 + \frac tN\left(x^1 + \cdots + x^N\right)$であるから、定義 3.1の内積により

である。

$t = \frac{N}{N+1}$と取る。この$t$は$N$を大きくすると$1$に近づき、

となる。$\delta = \inf_{\vec w \in W}\|\vec u - \vec w\|$とおく。ノルムは$0$以上であるから$\delta \ge 0$である。上の計算により、すべての正の整数$N$について$\delta \le \frac{1}{\sqrt{N+1}}$である。$\delta > 0$と仮定すると、$N + 1 > 1/\delta^2$を満たす正の整数$N$について$\frac{1}{\sqrt{N+1}} < \delta$となり、$\delta \le \frac{1}{\sqrt{N+1}}$と両立しない。よって$\delta = 0$である。

次に、$\vec w = (w_0, w_1, \dots) \in W_N$を取る。第$N+1$成分以降は$0$であり、$\varphi(\vec w) = 0$であるから、$s = w_0$とおくと$w_1 + \cdots + w_N = -s$である。したがって

であり、左辺は$0$以上であるから$\sum_{n=1}^{N} w_n^2 \ge \dfrac{s^2}{N}$である。等号が成り立つのは、$n = 1, \dots, N$のすべてについて$w_n = -\dfrac sN$であるときに限る。定義 3.1の内積により

である。さらに、右辺について

が成り立つ。実際、左辺に$N(N+1)$を掛けると$N(N+1)(1 - 2s) + (N+1)^2 s^2 - N = N^2 - 2N(N+1)s + (N+1)^2 s^2$となり、これは$\bigl((N+1)s - N\bigr)^2$に等しい。等号が成り立つのは$s = \dfrac{N}{N+1}$のときに限る。以上より、すべての$\vec w \in W_N$について$\|\vec u - \vec w\|^2 \ge \dfrac{1}{N+1}$である。等号が成り立つのは$w_0 = \dfrac{N}{N+1}$かつ$w_n = -\dfrac{1}{N+1}$（$n = 1, \dots, N$）のとき、すなわち

のときに限る。これは前半の$\vec w$で$t = \dfrac{N}{N+1}$としたものである。

$\vec w \in W$を任意に取る。$\vec w$の$0$でない成分は有限個であるから、それらの番号のいずれよりも大きい正の整数$N$を取ると$\vec w \in W_N$であり、$\|\vec u - \vec w\|^2 \ge \dfrac{1}{N+1} > 0$である。よって、$\|\vec u - \vec w\| = 0$を満たす$\vec w \in W$は存在せず、下限$0$は$W$のどの元でも到達されない。とくに、すべての$\vec w \in W$について$\|\vec u - \vec p\| \le \|\vec u - \vec w\|$を満たす$\vec p \in W$があったとすると、$\|\vec u - \vec p\|$は下限$0$以下であるから$\|\vec u - \vec p\| = 0$となり、いま示したことに反する。こうして系 4.1の結論が、この評価からも得られる。▨