§D3.11次元定理

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次元定理とは、線形写像について「像の次元」と「核の次元」の和が、定義域の次元に等しいという定理のことです。

dim⁡im⁡f+dim⁡ker⁡f=dim⁡V\dim \im f + \dim \ker f = \dim V

線形写像f:V→Wf : V \to Wの階数rank⁡f=dim⁡im⁡f\operatorname{rank} f = \dim \im f（像の次元）と退化次数dim⁡ker⁡f\dim \ker f（0⃗\vec 0に写るベクトル全体の次元）を足すと、もとの空間VVの次元になります。以下、VVは有限次元とします。

1 準備：基底の延長

次元定理の証明では、「一次独立な組は基底まで延長することができる」ことを用います。

補題 1.1.u⃗1,…,u⃗r\vec u_1, \dots, \vec u_rが一次独立で、w⃗∉span⁡{u⃗1,…,u⃗r}\vec w \notin \operatorname{span}\{\vec u_1, \dots, \vec u_r\}ならば、u⃗1,…,u⃗r,w⃗\vec u_1, \dots, \vec u_r, \vec wも一次独立である。

証明.a1u⃗1+⋯+aru⃗r+bw⃗=0⃗a_1\vec u_1 + \cdots + a_r\vec u_r + b\vec w = \vec 0とする。もしb≠0b \ne 0ならw⃗=−b−1(a1u⃗1+⋯+aru⃗r)∈span⁡{u⃗i}\vec w = -b^{-1}(a_1\vec u_1 + \cdots + a_r\vec u_r) \in \operatorname{span}\{\vec u_i\}となり仮定に反する。ゆえにb=0b = 0、すると∑aiu⃗i=0⃗\sum a_i\vec u_i = \vec 0で独立性より各ai=0a_i = 0。▨

補題 1.2 (基底の延長). 有限次元空間VVの一次独立な組u⃗1,…,u⃗r\vec u_1, \dots, \vec u_rは、ベクトルを付け加えてVVの基底にできる。

証明. もしspan⁡{u⃗1,…,u⃗r}=V\operatorname{span}\{\vec u_1, \dots, \vec u_r\} = Vならすでに基底。そうでなければ張られないw⃗∈V\vec w \in Vを選べ、補題 1.1よりu⃗1,…,u⃗r,w⃗\vec u_1, \dots, \vec u_r, \vec wは独立。これを繰り返すと独立な組の本数が1ずつ増えるが、nn次元空間で独立な組は高々nn本（§D3.8 補題 3.1）だから有限回で止まり、VVを張る独立組＝基底に到達する。▨

2 次元定理

定理 2.1 (次元定理).VVを有限次元、f:V→Wf : V \to Wを線形写像とすると、dim⁡ker⁡f+dim⁡im⁡f=dim⁡V.\dim \ker f + \dim \im f = \dim V.

証明.r=dim⁡ker⁡fr = \dim \ker fとし、ker⁡f\ker fの基底u⃗1,…,u⃗r\vec u_1, \dots, \vec u_rをとる。補題 1.2でこれをVVの基底u⃗1,…,u⃗r,w⃗1,…,w⃗s\vec u_1, \dots, \vec u_r, \vec w_1, \dots, \vec w_sに延長する（r+s=dim⁡Vr + s = \dim V）。f(w⃗1),…,f(w⃗s)f(\vec w_1), \dots, f(\vec w_s)がim⁡f\im fの基底であることを示せばよい。

生成. 任意のx⃗∈V\vec x \in Vをx⃗=∑iaiu⃗i+∑jbjw⃗j\vec x = \sum_i a_i\vec u_i + \sum_j b_j\vec w_jと表すと、f(u⃗i)=0⃗f(\vec u_i) = \vec 0ゆえf(x⃗)=∑jbjf(w⃗j)f(\vec x) = \sum_j b_j f(\vec w_j)。よってf(w⃗1),…,f(w⃗s)f(\vec w_1), \dots, f(\vec w_s)はim⁡f\im fを生成する。

独立.∑jbjf(w⃗j)=0⃗\sum_j b_j f(\vec w_j) = \vec 0とすると、線形性よりf(∑jbjw⃗j)=0⃗f\bigl(\sum_j b_j\vec w_j\bigr) = \vec 0、すなわち∑jbjw⃗j∈ker⁡f=span⁡{u⃗i}\sum_j b_j\vec w_j \in \ker f = \operatorname{span}\{\vec u_i\}。ゆえに∑jbjw⃗j=∑iciu⃗i\sum_j b_j\vec w_j = \sum_i c_i\vec u_iと書け、移項して∑i(−ci)u⃗i+∑jbjw⃗j=0⃗\sum_i(-c_i)\vec u_i + \sum_j b_j\vec w_j = \vec 0。延長した組は基底で一次独立だからすべての係数、とくにbj=0b_j = 0。よって独立。

以上よりdim⁡im⁡f=s\dim \im f = s、したがってdim⁡ker⁡f+dim⁡im⁡f=r+s=dim⁡V\dim \ker f + \dim \im f = r + s = \dim V。▨

注意 2.2. 証明は「ker⁡f\ker fの基底をVVの基底に延長し、延長した分の像がim⁡f\im fの基底になる」という定義展開そのものです。ker⁡f\ker fにつぶれるrr方向を除いた残りss方向が、そっくり像の広さになる——これが「つぶれた分だけ像が痩せる」の中身です。

3 応用：解の自由度・全単射の判定

系 3.1.dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim Wの有限次元空間の間の線形写像f:V→Wf : V \to Wについて、ffが単射  ⟺  \iff全射  ⟺  \iff全単射。

証明.ffが単射  ⟺  ker⁡f={0⃗}  ⟺  dim⁡ker⁡f=0\iff \ker f = \{\vec 0\} \iff \dim \ker f = 0。定理 2.1よりこれはdim⁡im⁡f=dim⁡V=dim⁡W\dim \im f = \dim V = \dim Wと同値で、im⁡f⊆W\im f \subseteq Wかつ同次元だからim⁡f=W\im f = W、すなわち全射と同値。▨

  • 連立一次方程式：A∈Mm,n(K)A\in M_{m,n}(K)に対し、斉次方程式Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0の解空間はker⁡A\ker Aであり、その次元はn−rank⁡An-\operatorname{rank}Aです。非斉次方程式Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec bは、解がなければ解集合は空です。一つ解x⃗0\vec x_0があれば、解集合はx⃗0+ker⁡A\vec x_0+\ker Aというアフィン部分空間で、その方向空間の次元はn−rank⁡An-\operatorname{rank}Aです。基礎で見た「自由度=n−rank⁡= n - \operatorname{rank}」は、この意味での次元です。
  • 全単射の判定：正方行列や、次元が等しい有限次元空間の間の線形写像では、系 3.1により片側（単射か全射のどちらか）を示すことができれば、全単射であることが従います。この判定は、有限次元の空間の間の線形写像に特有のものです。

例 3.2. 次数≤n\le nの多項式全体PnP_n（dim⁡Pn=n+1\dim P_n = n + 1）の上で、微分D:Pn→PnD : P_n \to P_n,D(p)=p′D(p) = p'を考えます。D(p)=0D(p) = 0となるのは定数のときだけなのでker⁡D={定数}\ker D = \{\text{定数}\}（dim⁡=1\dim = 1）、像は次数≤n−1\le n-1の多項式全体Pn−1P_{n-1}（dim⁡=n\dim = n）。確かにdim⁡ker⁡D+dim⁡im⁡D=1+n=n+1=dim⁡Pn\dim \ker D + \dim \im D = 1 + n = n + 1 = \dim P_nで次元定理が成り立っています。「11方向（定数）がつぶれ、残りnn方向が像になる」という定理の言葉が、微分という身近な操作でそのまま見えます。

系 3.3.VVの有限次元部分空間U,WU, Wに対しdim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)。

証明.U∩WU \cap Wの基底z⃗1,…,z⃗t\vec z_1, \dots, \vec z_tをとり、補題 1.2でこれをUUの基底{z⃗i}∪{u⃗1,…,u⃗p}\{\vec z_i\} \cup \{\vec u_1, \dots, \vec u_p\}とWWの基底{z⃗i}∪{w⃗1,…,w⃗q}\{\vec z_i\} \cup \{\vec w_1, \dots, \vec w_q\}に延長する。{z⃗i}∪{u⃗j}∪{w⃗k}\{\vec z_i\} \cup \{\vec u_j\} \cup \{\vec w_k\}がU+WU + Wの基底になることを示せば、dim⁡(U+W)=t+p+q=(t+p)+(t+q)−t=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U + W) = t + p + q = (t + p) + (t + q) - t = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)を得る（生成は明らか、一次独立性は∑aju⃗j=−∑ciz⃗i−∑bkw⃗k∈U∩W\sum a_j\vec u_j = -\sum c_i\vec z_i - \sum b_k\vec w_k \in U \cap Wからu⃗j\vec u_jの係数が消えることで確かめられる）。▨

dim⁡(U∩W)\dim(U \cap W)を引くのは、上の証明のようにUUとWWの基底をU∩WU \cap Wの基底の延長として選ぶと、dim⁡U+dim⁡W\dim U + \dim WではU∩WU \cap Wの基底のベクトルを二重に数えることになるためです。この公式は、集合の包除原理∣U∪W∣=∣U∣+∣W∣−∣U∩W∣|U \cup W| = |U| + |W| - |U \cap W|の次元版と見ると覚えやすくなります。

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