1 高階全微分 定義 1.1. k ∈ N ≥ 1 k\in\mathbb N_{\geq1} k ∈ N ≥ 1 E 1 , … , E k E_1,\ldots,E_k E 1 , … , E k F F F E 1 × ⋯ × E k E_1\times\cdots\times E_k E 1 × ⋯ × E k F F F k k k
L k ( E 1 , … , E k ; F ) \mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) L k ( E 1 , … , E k ; F ) と書き、この空間を多重線形写像の空間 (space of continuous multilinear maps )k = 1 k=1 k = 1 L 1 ( E 1 ; F ) \mathcal L^1(E_1;F) L 1 ( E 1 ; F ) L ( E 1 ; F ) \mathcal L(E_1;F) L ( E 1 ; F ) E 1 = ⋯ = E k = R n E_1=\cdots=E_k=\R^n E 1 = ⋯ = E k = R n F = R m F=\R^m F = R m L k ( R n ; R m ) \mathcal L^k(\R^n;\R^m) L k ( R n ; R m )
定義 1.2. k ∈ N ≥ 1 k\in\mathbb N_{\geq1} k ∈ N ≥ 1 E 1 , … , E k E_1,\ldots,E_k E 1 , … , E k F F F T ∈ L k ( E 1 , … , E k ; F ) T\in\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) T ∈ L k ( E 1 , … , E k ; F ) T T T 作用素ノルム (operator norm )
∥ T ∥ o p = sup { ∥ T [ h 1 , … , h k ] ∥ : ∥ h r ∥ ≤ 1 ( 1 ≤ r ≤ k ) } \lVert T\rVert_{\mathrm{op}}
=\sup\left\{
\lVert T[h_1,\ldots,h_k]\rVert:
\lVert h_r\rVert\leq1\quad(1\leq r\leq k)
\right\} ∥ T ∥ op = sup { ∥ T [ h 1 , … , h k ]∥ : ∥ h r ∥ ≤ 1 ( 1 ≤ r ≤ k ) } と定める。この値は有限であり、L k ( E 1 , … , E k ; F ) \mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) L k ( E 1 , … , E k ; F ) h r ∈ E r h_r\in E_r h r ∈ E r
∥ T [ h 1 , … , h k ] ∥ ≤ ∥ T ∥ o p ∏ r = 1 k ∥ h r ∥ \lVert T[h_1,\ldots,h_k]\rVert
\leq\lVert T\rVert_{\mathrm{op}}
\prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert ∥ T [ h 1 , … , h k ]∥ ≤ ∥ T ∥ op r = 1 ∏ k ∥ h r ∥ (1.2.1) \text{(1.2.1)} (1.2.1) が成り立つ。k = 1 k=1 k = 1 E 1 = R n E_1=\R^n E 1 = R n F = R m F=\R^m F = R m §E4.2 定義 1.3 と一致する。
証明. 多重線形写像は各E r E_r E r L k ( E 1 , … , E k ; F ) \mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) L k ( E 1 , … , E k ; F ) E r E_r E r §E2.9 定理 4.3 によりコンパクトである。T T T F F F §E4.1 定理 5.1 により定義式の上限は有限である。ノルムの斉次性と三角不等式はF F F ∥ T ∥ o p = 0 \lVert T\rVert_{\mathrm{op}}=0 ∥ T ∥ op = 0 T T T T T T
いずれかのh r h_r h r 式 (1.2.1) は明らかである。全てのh r h_r h r ∥ h r ∥ \lVert h_r\rVert ∥ h r ∥
T [ h 1 , … , h k ] = ( ∏ r = 1 k ∥ h r ∥ ) T [ h 1 ∥ h 1 ∥ , … , h k ∥ h k ∥ ] T[h_1,\ldots,h_k]
=\left(\prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert\right)
T\left[\frac{h_1}{\lVert h_1\rVert},\ldots,
\frac{h_k}{\lVert h_k\rVert}\right] T [ h 1 , … , h k ] = ( r = 1 ∏ k ∥ h r ∥ ) T [ ∥ h 1 ∥ h 1 , … , ∥ h k ∥ h k ] と書けば式 (1.2.1) を得る。▨
命題 1.3. k ≥ 2 k\geq2 k ≥ 2 E 1 , … , E k E_1,\ldots,E_k E 1 , … , E k F F F
A ∈ L ( E k ; L k − 1 ( E 1 , … , E k − 1 ; F ) ) A\in\mathcal L\bigl(E_k;\mathcal L^{k-1}(E_1,\ldots,E_{k-1};F)\bigr) A ∈ L ( E k ; L k − 1 ( E 1 , … , E k − 1 ; F ) ) に対して
( ι k A ) [ h 1 , … , h k ] = ( A h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] (\iota_kA)[h_1,\ldots,h_k]
=(Ah_k)[h_1,\ldots,h_{k-1}] ( ι k A ) [ h 1 , … , h k ] = ( A h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] (1.3.1) \text{(1.3.1)} (1.3.1) と定める。この写像は等長線形同型
L ( E k ; L k − 1 ( E 1 , … , E k − 1 ; F ) ) → ≅ L k ( E 1 , … , E k ; F ) \mathcal L\bigl(E_k;\mathcal L^{k-1}(E_1,\ldots,E_{k-1};F)\bigr)
\xrightarrow{\ \cong\ }
\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) L ( E k ; L k − 1 ( E 1 , … , E k − 1 ; F ) ) ≅ L k ( E 1 , … , E k ; F ) を定める。
証明. 式 (1.3.1) の右辺は各h r h_r h r 式 (1.2.1) から
∥ ( ι k A ) [ h 1 , … , h k ] ∥ ≤ ∥ A ∥ o p ∏ r = 1 k ∥ h r ∥ \lVert(\iota_kA)[h_1,\ldots,h_k]\rVert
\leq\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}
\prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert ∥( ι k A ) [ h 1 , … , h k ]∥ ≤ ∥ A ∥ op r = 1 ∏ k ∥ h r ∥ を得る。従ってι k A \iota_kA ι k A k k k ι k \iota_k ι k
∥ ι k A ∥ o p = sup ∥ h k ∥ ≤ 1 ∥ A h k ∥ o p = ∥ A ∥ o p \lVert\iota_kA\rVert_{\mathrm{op}}
=\sup_{\lVert h_k\rVert\leq1}\lVert Ah_k\rVert_{\mathrm{op}}
=\lVert A\rVert_{\mathrm{op}} ∥ ι k A ∥ op = ∥ h k ∥ ≤ 1 sup ∥ A h k ∥ op = ∥ A ∥ op となる。
T ∈ L k ( E 1 , … , E k ; F ) T\in\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F) T ∈ L k ( E 1 , … , E k ; F )
( ȷ k T ) ( h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] = T [ h 1 , … , h k ] (\jmath_kT)(h_k)[h_1,\ldots,h_{k-1}]
=T[h_1,\ldots,h_k] ( k T ) ( h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] = T [ h 1 , … , h k ] と定める。式 (1.2.1) により
∥ ( ȷ k T ) ( h k ) ∥ o p ≤ ∥ T ∥ o p ∥ h k ∥ \lVert(\jmath_kT)(h_k)\rVert_{\mathrm{op}}
\leq\lVert T\rVert_{\mathrm{op}}\lVert h_k\rVert ∥( k T ) ( h k ) ∥ op ≤ ∥ T ∥ op ∥ h k ∥ であるため、ȷ k T \jmath_kT k T ι k ȷ k T = T \iota_k\jmath_kT=T ι k k T = T ȷ k ι k A = A \jmath_k\iota_kA=A k ι k A = A ι k \iota_k ι k ▨
定義 1.4. E E E U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n Φ : U → E \Phi:U\to E Φ : U → E x ∈ U x\in U x ∈ U A ∈ L ( R n ; E ) A\in\mathcal L(\R^n;E) A ∈ L ( R n ; E )
∥ Φ ( x + h ) − Φ ( x ) − A h ∥ ∥ h ∥ ⟶ 0 ( h → 0 , h ≠ 0 ) \frac{\lVert\Phi(x+h)-\Phi(x)-Ah\rVert}{\lVert h\rVert}
\longrightarrow0
\qquad(h\to0,\ h\ne0) ∥ h ∥ ∥ Φ ( x + h ) − Φ ( x ) − A h ∥ ⟶ 0 ( h → 0 , h = 0 ) となるとき、Φ \Phi Φ x x x 全微分可能 (totally differentiable )命題 1.5 で示す一意なA A A 全微分 (total derivative )D Φ ( x ) D\Phi(x) D Φ ( x ) E = R m E=\R^m E = R m §E4.2 定義 1.2 と一致する。
D 0 Φ = Φ D^0\Phi=\Phi D 0 Φ = Φ D 1 Φ = D Φ D^1\Phi=D\Phi D 1 Φ = D Φ k ≥ 2 k\geq2 k ≥ 2 D k − 1 Φ D^{k-1}\Phi D k − 1 Φ x x x
D k − 1 Φ : U ⟶ L k − 1 ( R n ; E ) D^{k-1}\Phi:\ U\longrightarrow
\mathcal L^{k-1}(\R^n;E) D k − 1 Φ : U ⟶ L k − 1 ( R n ; E ) として定義され、作用素ノルムに関してx x x Φ \Phi Φ x x x k k k k-th total derivative )
D k Φ ( x ) = ι k ( D ( D k − 1 Φ ) ( x ) ) ∈ L k ( R n ; E ) D^k\Phi(x)=\iota_k\bigl(D(D^{k-1}\Phi)(x)\bigr)
\in\mathcal L^k(\R^n;E) D k Φ ( x ) = ι k ( D ( D k − 1 Φ ) ( x ) ) ∈ L k ( R n ; E ) と定める。従って
D k Φ ( x ) [ h 1 , … , h k ] = ( D ( D k − 1 Φ ) ( x ) h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] D^k\Phi(x)[h_1,\ldots,h_k]
=\bigl(D(D^{k-1}\Phi)(x)h_k\bigr)
[h_1,\ldots,h_{k-1}] D k Φ ( x ) [ h 1 , … , h k ] = ( D ( D k − 1 Φ ) ( x ) h k ) [ h 1 , … , h k − 1 ] (1.4.1) \text{(1.4.1)} (1.4.1) であり、最後のスロットh k h_k h k
Φ \Phi Φ C 0 C^0 C 0 class C^0 map )Φ \Phi Φ k ≥ 1 k\geq1 k ≥ 1 D j Φ D^j\Phi D j Φ 1 ≤ j ≤ k 1\leq j\leq k 1 ≤ j ≤ k U U U
D j Φ : U ⟶ L j ( R n ; E ) D^j\Phi:U\longrightarrow\mathcal L^j(\R^n;E) D j Φ : U ⟶ L j ( R n ; E ) が作用素ノルムについて連続であるとき、Φ \Phi Φ C k C^k C k class C^k map )Φ \Phi Φ k k k C k C^k C k Φ \Phi Φ C ∞ C^\infty C ∞ class C infinity map )
命題 1.5. E , F E,F E , F U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n Φ : U → E \Phi:U\to E Φ : U → E x ∈ U x\in U x ∈ U
Φ \Phi Φ x x x D Φ ( x ) D\Phi(x) D Φ ( x ) Φ \Phi Φ x x x Φ \Phi Φ x x x B : E → F B:E\to F B : E → F B ∘ Φ B\circ\Phi B ∘ Φ x x x D ( B ∘ Φ ) ( x ) = B ∘ D Φ ( x ) D(B\circ\Phi)(x)=B\circ D\Phi(x) D ( B ∘ Φ ) ( x ) = B ∘ D Φ ( x ) s ∈ N ≥ 0 s\in\mathbb N_{\geq0} s ∈ N ≥ 0 Φ \Phi Φ C s C^s C s B ∘ Φ B\circ\Phi B ∘ Φ C s C^s C s 1 ≤ j ≤ s 1\leq j\leq s 1 ≤ j ≤ s D j ( B ∘ Φ ) ( x ) [ h 1 , … , h j ] = B ( D j Φ ( x ) [ h 1 , … , h j ] ) D^j(B\circ\Phi)(x)[h_1,\ldots,h_j]
=B\bigl(D^j\Phi(x)[h_1,\ldots,h_j]\bigr) D j ( B ∘ Φ ) ( x ) [ h 1 , … , h j ] = B ( D j Φ ( x ) [ h 1 , … , h j ] ) 証明. A , A ′ ∈ L ( R n ; E ) A,A'\in\mathcal L(\R^n;E) A , A ′ ∈ L ( R n ; E ) Φ \Phi Φ x x x v ∈ R n v\in\R^n v ∈ R n t ≠ 0 t\ne0 t = 0
∥ ( A − A ′ ) v ∥ ≤ ∥ Φ ( x + t v ) − Φ ( x ) − A t v ∥ ∣ t ∣ + ∥ Φ ( x + t v ) − Φ ( x ) − A ′ t v ∥ ∣ t ∣ \lVert(A-A')v\rVert
\leq
\frac{\lVert\Phi(x+tv)-\Phi(x)-Atv\rVert}{|t|}
+\frac{\lVert\Phi(x+tv)-\Phi(x)-A'tv\rVert}{|t|} ∥( A − A ′ ) v ∥ ≤ ∣ t ∣ ∥ Φ ( x + t v ) − Φ ( x ) − A t v ∥ + ∣ t ∣ ∥ Φ ( x + t v ) − Φ ( x ) − A ′ t v ∥ となる。t → 0 t\to0 t → 0 ( A − A ′ ) v = 0 (A-A')v=0 ( A − A ′ ) v = 0 A = A ′ A=A' A = A ′ A A A o ( ∥ h ∥ ) o(\lVert h\rVert) o (∥ h ∥) Φ ( x + h ) − Φ ( x ) = A h + o ( ∥ h ∥ ) \Phi(x+h)-\Phi(x)=Ah+o(\lVert h\rVert) Φ ( x + h ) − Φ ( x ) = A h + o (∥ h ∥) h → 0 h\to0 h → 0
B B B 0 0 0 ∥ u ∥ < δ \lVert u\rVert<\delta ∥ u ∥ < δ ∥ B u ∥ < 1 \lVert Bu\rVert<1 ∥ B u ∥ < 1 δ > 0 \delta>0 δ > 0 u u u δ u / ( 2 ∥ u ∥ ) \delta u/(2\lVert u\rVert) δ u / ( 2 ∥ u ∥) C = 2 / δ C=2/\delta C = 2/ δ ∥ B u ∥ ≤ C ∥ u ∥ \lVert Bu\rVert\leq C\lVert u\rVert ∥ B u ∥ ≤ C ∥ u ∥ A = D Φ ( x ) A=D\Phi(x) A = D Φ ( x )
∥ B Φ ( x + h ) − B Φ ( x ) − B A h ∥ ∥ h ∥ ≤ C ∥ Φ ( x + h ) − Φ ( x ) − A h ∥ ∥ h ∥ ⟶ 0 \frac{\lVert B\Phi(x+h)-B\Phi(x)-BAh\rVert}{\lVert h\rVert}
\leq
C\frac{\lVert\Phi(x+h)-\Phi(x)-Ah\rVert}{\lVert h\rVert}
\longrightarrow0 ∥ h ∥ ∥ B Φ ( x + h ) − B Φ ( x ) − B A h ∥ ≤ C ∥ h ∥ ∥ Φ ( x + h ) − Φ ( x ) − A h ∥ ⟶ 0 であるから、主張 (2) が従う。
B j : L j ( R n ; E ) → L j ( R n ; F ) B_j:\mathcal L^j(\R^n;E)\to\mathcal L^j(\R^n;F) B j : L j ( R n ; E ) → L j ( R n ; F )
( B j T ) [ h 1 , … , h j ] = B ( T [ h 1 , … , h j ] ) (B_jT)[h_1,\ldots,h_j]=B\bigl(T[h_1,\ldots,h_j]\bigr) ( B j T ) [ h 1 , … , h j ] = B ( T [ h 1 , … , h j ] ) で定めると、式 (1.2.1) から∥ B j T ∥ o p ≤ C ∥ T ∥ o p \lVert B_jT\rVert_{\mathrm{op}}\leq C\lVert T\rVert_{\mathrm{op}} ∥ B j T ∥ op ≤ C ∥ T ∥ op B j B_j B j j = 1 j=1 j = 1 主張 (2) である。j j j 主張 (2) をD j Φ D^j\Phi D j Φ B j B_j B j
D ( D j ( B ∘ Φ ) ) ( x ) = B j ∘ D ( D j Φ ) ( x ) D\bigl(D^j(B\circ\Phi)\bigr)(x)
=B_j\circ D(D^j\Phi)(x) D ( D j ( B ∘ Φ ) ) ( x ) = B j ∘ D ( D j Φ ) ( x ) を得る。両辺へι j + 1 \iota_{j+1} ι j + 1 式 (1.3.1) によりj + 1 j+1 j + 1 主張 (3) の式が全ての1 ≤ j ≤ s 1\leq j\leq s 1 ≤ j ≤ s D j Φ D^j\Phi D j Φ B j B_j B j D j ( B ∘ Φ ) = B j ∘ D j Φ D^j(B\circ\Phi)=B_j\circ D^j\Phi D j ( B ∘ Φ ) = B j ∘ D j Φ ▨
証明. k k k k = 1 k=1 k = 1 式 (1.6.1) は§E4.2 命題 1.5 により得られるD f ( x ) e i 1 = ∂ i 1 f ( x ) Df(x)e_{i_1}=\partial_{i_1}f(x) D f ( x ) e i 1 = ∂ i 1 f ( x )
k − 1 k-1 k − 1 式 (1.6.1) が成り立つとする。固定したe i 1 , … , e i k − 1 e_{i_1},\ldots,e_{i_{k-1}} e i 1 , … , e i k − 1 L k − 1 ( R n ; R m ) \mathcal L^{k-1}(\R^n;\R^m) L k − 1 ( R n ; R m ) R m \R^m R m 式 (1.2.1) 、式 (1.4.1) および命題 1.5 により
D k f ( x ) [ e i 1 , … , e i k ] = ∂ i k ( y ⟼ D k − 1 f ( y ) [ e i 1 , … , e i k − 1 ] ) ( x ) = ∂ i k ( ∂ i k − 1 ⋯ ∂ i 1 f ) ( x ) . \begin{aligned}
D^kf(x)[e_{i_1},\ldots,e_{i_k}]
&=\partial_{i_k}\left(
y\longmapsto D^{k-1}f(y)[e_{i_1},\ldots,e_{i_{k-1}}]
\right)(x)\\
&=\partial_{i_k}\bigl(\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f\bigr)(x).
\end{aligned} D k f ( x ) [ e i 1 , … , e i k ] = ∂ i k ( y ⟼ D k − 1 f ( y ) [ e i 1 , … , e i k − 1 ] ) ( x ) = ∂ i k ( ∂ i k − 1 ⋯ ∂ i 1 f ) ( x ) . 従ってk k k 式 (1.6.1) が成り立つ。▨
定理 1.7. U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n f : U → R m f:U\to\R^m f : U → R m k ≥ 1 k\geq1 k ≥ 1 f f f C k C^k C k 1 ≤ r ≤ k 1\leq r\leq k 1 ≤ r ≤ k ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r (i_1,\ldots,i_r)\in\{1,\ldots,n\}^r ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r
∂ i r ⋯ ∂ i 1 f \partial_{i_r}\cdots\partial_{i_1}f ∂ i r ⋯ ∂ i 1 f がU U U i 1 i_1 i 1 r r r ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r (i_1,\ldots,i_r)\in\{1,\ldots,n\}^r ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r ∂ i r ⋯ ∂ i 1 f \partial_{i_r}\cdots\partial_{i_1}f ∂ i r ⋯ ∂ i 1 f U U U f f f C ∞ C^\infty C ∞
証明. f f f C k C^k C k 1 ≤ r ≤ k 1\leq r\leq k 1 ≤ r ≤ k ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r (i_1,\ldots,i_r)\in\{1,\ldots,n\}^r ( i 1 , … , i r ) ∈ { 1 , … , n } r 命題 1.6 より
∂ i r ⋯ ∂ i 1 f ( x ) = D r f ( x ) [ e i 1 , … , e i r ] \partial_{i_r}\cdots\partial_{i_1}f(x)
=D^rf(x)[e_{i_1},\ldots,e_{i_r}] ∂ i r ⋯ ∂ i 1 f ( x ) = D r f ( x ) [ e i 1 , … , e i r ] が成り立つ。標準基底の組における評価は式 (1.2.1) により連続線形写像である。D r f D^rf D r f
逆に、すべての1 ≤ r ≤ k 1\leq r\leq k 1 ≤ r ≤ k §E4.2 系 2.2 によりf f f C 1 C^1 C 1 2 ≤ r ≤ k 2\leq r\leq k 2 ≤ r ≤ k f f f C r − 1 C^{r-1} C r − 1 r − 1 r-1 r − 1 I = ( i 1 , … , i r − 1 ) I=(i_1,\ldots,i_{r-1}) I = ( i 1 , … , i r − 1 )
g I = ∂ i r − 1 ⋯ ∂ i 1 f , G ( x ) = ( g I ( x ) ) I ∈ ( R m ) n r − 1 g_I=\partial_{i_{r-1}}\cdots\partial_{i_1}f,
\qquad
G(x)=(g_I(x))_I\in(\R^m)^{n^{r-1}} g I = ∂ i r − 1 ⋯ ∂ i 1 f , G ( x ) = ( g I ( x ) ) I ∈ ( R m ) n r − 1 とおく。右辺の積には Euclid ノルムを入れる。任意の1 ≤ j ≤ n 1\leq j\leq n 1 ≤ j ≤ n ∂ j g I \partial_jg_I ∂ j g I r r r §E4.2 系 2.2 によりG G G C 1 C^1 C 1
線形写像
B : ( R m ) n r − 1 ⟶ L r − 1 ( R n ; R m ) B:(\R^m)^{n^{r-1}}\longrightarrow\mathcal L^{r-1}(\R^n;\R^m) B : ( R m ) n r − 1 ⟶ L r − 1 ( R n ; R m ) を、v = ( v I ) I v=(v_I)_I v = ( v I ) I h ℓ = ( h ℓ , 1 , … , h ℓ , n ) ∈ R n h_\ell=(h_{\ell,1},\ldots,h_{\ell,n})\in\R^n h ℓ = ( h ℓ , 1 , … , h ℓ , n ) ∈ R n
( B v ) [ h 1 , … , h r − 1 ] = ∑ i 1 , … , i r − 1 = 1 n h 1 , i 1 ⋯ h r − 1 , i r − 1 v ( i 1 , … , i r − 1 ) (Bv)[h_1,\ldots,h_{r-1}]
=\sum_{i_1,\ldots,i_{r-1}=1}^n
h_{1,i_1}\cdots h_{r-1,i_{r-1}}v_{(i_1,\ldots,i_{r-1})} ( B v ) [ h 1 , … , h r − 1 ] = i 1 , … , i r − 1 = 1 ∑ n h 1 , i 1 ⋯ h r − 1 , i r − 1 v ( i 1 , … , i r − 1 ) と定める。右辺は連続な多重線形写像の有限和であり、∥ h ℓ ∥ ≤ 1 \lVert h_\ell\rVert\leq1 ∥ h ℓ ∥ ≤ 1 ∣ h ℓ , i ℓ ∣ ≤ 1 |h_{\ell,i_\ell}|\leq1 ∣ h ℓ , i ℓ ∣ ≤ 1
∥ B v ∥ o p ≤ ∑ I ∥ v I ∥ ≤ n ( r − 1 ) / 2 ∥ v ∥ \lVert Bv\rVert_{\mathrm{op}}
\leq\sum_I\lVert v_I\rVert
\leq n^{(r-1)/2}\lVert v\rVert ∥ B v ∥ op ≤ I ∑ ∥ v I ∥ ≤ n ( r − 1 ) /2 ∥ v ∥ が成り立つ。したがってB B B
命題 1.6 と多重線形性によりD r − 1 f = B ∘ G D^{r-1}f=B\circ G D r − 1 f = B ∘ G 命題 1.5 (3) をG G G B B B D r − 1 f D^{r-1}f D r − 1 f C 1 C^1 C 1 D ( D r − 1 f ) D(D^{r-1}f) D ( D r − 1 f ) 命題 1.3 の等長同型との合成
D r f = ι r ∘ D ( D r − 1 f ) D^rf=\iota_r\circ D(D^{r-1}f) D r f = ι r ∘ D ( D r − 1 f ) も連続である。したがってf f f C r C^r C r C k C^k C k
C ∞ C^\infty C ∞ k k k ▨
2 混合偏導関数の対称性 定理 2.1 (Schwarz の定理). U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n f : U → R f:U\to\R f : U → R C 2 C^2 C 2 x ∈ U x\in U x ∈ U 1 ≤ i , j ≤ n 1\leq i,j\leq n 1 ≤ i , j ≤ n
∂ i ∂ j f ( x ) = ∂ j ∂ i f ( x ) \partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x) ∂ i ∂ j f ( x ) = ∂ j ∂ i f ( x ) が成り立つ。従ってD 2 f ( x ) D^2f(x) D 2 f ( x )
証明. i = j i=j i = j i ≠ j i\ne j i = j x ∈ U x\in U x ∈ U U U U B ( x , ρ ) ⊂ U B(x,\rho)\subset U B ( x , ρ ) ⊂ U ρ > 0 \rho>0 ρ > 0 h , k ≠ 0 h,k\ne0 h , k = 0 ∣ h ∣ + ∣ k ∣ < ρ |h|+|k|<\rho ∣ h ∣ + ∣ k ∣ < ρ
Δ ( h , k ) = f ( x + h e i + k e j ) − f ( x + h e i ) − f ( x + k e j ) + f ( x ) \Delta(h,k)
=f(x+he_i+ke_j)-f(x+he_i)-f(x+ke_j)+f(x) Δ ( h , k ) = f ( x + h e i + k e j ) − f ( x + h e i ) − f ( x + k e j ) + f ( x ) を考える。
関数
ϕ ( s ) = f ( x + h e i + s e j ) − f ( x + s e j ) \phi(s)=f(x+he_i+se_j)-f(x+se_j) ϕ ( s ) = f ( x + h e i + s e j ) − f ( x + s e j ) へ、端点が0 0 0 k k k §D1.14 定理 3.1 を適用する。0 0 0 k k k η \eta η
Δ ( h , k ) = k ( ∂ j f ( x + h e i + η e j ) − ∂ j f ( x + η e j ) ) \Delta(h,k)
=k\bigl(\partial_jf(x+he_i+\eta e_j)
-\partial_jf(x+\eta e_j)\bigr) Δ ( h , k ) = k ( ∂ j f ( x + h e i + η e j ) − ∂ j f ( x + η e j ) ) となる。括弧内の差へ、端点が0 0 0 h h h 0 0 0 h h h ξ \xi ξ
Δ ( h , k ) h k = ∂ i ∂ j f ( x + ξ e i + η e j ) \frac{\Delta(h,k)}{hk}
=\partial_i\partial_jf(x+\xi e_i+\eta e_j) hk Δ ( h , k ) = ∂ i ∂ j f ( x + ξ e i + η e j ) (2.1.1) \text{(2.1.1)} (2.1.1) を得る。
二つの座標方向の順序を逆にして同じ操作を行うと、0 0 0 h h h ξ ′ \xi' ξ ′ 0 0 0 k k k η ′ \eta' η ′
Δ ( h , k ) h k = ∂ j ∂ i f ( x + ξ ′ e i + η ′ e j ) \frac{\Delta(h,k)}{hk}
=\partial_j\partial_if(x+\xi'e_i+\eta'e_j) hk Δ ( h , k ) = ∂ j ∂ i f ( x + ξ ′ e i + η ′ e j ) (2.1.2) \text{(2.1.2)} (2.1.2) を得る。( h , k ) → ( 0 , 0 ) (h,k)\to(0,0) ( h , k ) → ( 0 , 0 ) 式 (2.1.1) と式 (2.1.2) の評価点はいずれもx x x
∂ i ∂ j f ( x ) = ∂ j ∂ i f ( x ) \partial_i\partial_jf(x)
=\partial_j\partial_if(x) ∂ i ∂ j f ( x ) = ∂ j ∂ i f ( x ) が従う。
式 (1.6.1) をk = 2 k=2 k = 2 D 2 f ( x ) D^2f(x) D 2 f ( x ) D 2 f ( x ) D^2f(x) D 2 f ( x ) ▨
系 2.2. k ∈ N ≥ 1 k\in\mathbb N_{\geq1} k ∈ N ≥ 1 U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n f : U → R m f:U\to\R^m f : U → R m C k C^k C k x ∈ U x\in U x ∈ U D k f ( x ) D^kf(x) D k f ( x ) k k k h 1 , … , h k ∈ R n h_1,\ldots,h_k\in\R^n h 1 , … , h k ∈ R n { 1 , … , k } \{1,\ldots,k\} { 1 , … , k } σ \sigma σ
D k f ( x ) [ h σ ( 1 ) , … , h σ ( k ) ] = D k f ( x ) [ h 1 , … , h k ] D^kf(x)[h_{\sigma(1)},\ldots,h_{\sigma(k)}]
=D^kf(x)[h_1,\ldots,h_k] D k f ( x ) [ h σ ( 1 ) , … , h σ ( k ) ] = D k f ( x ) [ h 1 , … , h k ] が成り立つ。
証明. k k k k = 1 k=1 k = 1 k = 2 k=2 k = 2 定理 2.1 をf f f
k ≥ 3 k\geq3 k ≥ 3 k − 1 k-1 k − 1 y ∈ U y\in U y ∈ U D k − 1 f ( y ) D^{k-1}f(y) D k − 1 f ( y ) k − 1 k-1 k − 1 y y y x x x h k h_k h k 命題 1.5 と式 (1.4.1) により、D k f ( x ) D^kf(x) D k f ( x ) k − 1 k-1 k − 1
最後の二つのスロットを交換する。h 1 , … , h k − 2 ∈ R n h_1,\ldots,h_{k-2}\in\R^n h 1 , … , h k − 2 ∈ R n
G ( y ) = D k − 2 f ( y ) [ h 1 , … , h k − 2 ] G(y)=D^{k-2}f(y)[h_1,\ldots,h_{k-2}] G ( y ) = D k − 2 f ( y ) [ h 1 , … , h k − 2 ] とおく。固定ベクトルにおける評価は式 (1.2.1) を満たす連続線形写像であるため、命題 1.5 によりG : U → R m G:U\to\R^m G : U → R m C 2 C^2 C 2 G G G 定理 2.1 を適用し、式 (1.4.1) を二度用いると
D k f ( x ) [ h 1 , … , h k − 2 , h k − 1 , h k ] = D k f ( x ) [ h 1 , … , h k − 2 , h k , h k − 1 ] \begin{aligned}
&D^kf(x)[h_1,\ldots,h_{k-2},h_{k-1},h_k]\\
&\qquad=D^kf(x)[h_1,\ldots,h_{k-2},h_k,h_{k-1}]
\end{aligned} D k f ( x ) [ h 1 , … , h k − 2 , h k − 1 , h k ] = D k f ( x ) [ h 1 , … , h k − 2 , h k , h k − 1 ] を得る。従って全ての隣接スロットを交換することができる。任意の置換は隣接互換の積であるため、D k f ( x ) D^kf(x) D k f ( x ) ▨
3 多重指数と Hessian 定義 3.1. n , m ∈ N ≥ 1 n,m\in\mathbb N_{\geq1} n , m ∈ N ≥ 1 α = ( α 1 , … , α n ) ∈ N ≥ 0 n \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb N_{\geq0}^n α = ( α 1 , … , α n ) ∈ N ≥ 0 n h = ( h 1 , … , h n ) ∈ R n h=(h_1,\ldots,h_n)\in\R^n h = ( h 1 , … , h n ) ∈ R n 多重指数 (multi-index )
∣ α ∣ = α 1 + ⋯ + α n , α ! = α 1 ! ⋯ α n ! , h α = h 1 α 1 ⋯ h n α n |\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n,
\qquad
\alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!,
\qquad
h^\alpha=h_1^{\alpha_1}\cdots h_n^{\alpha_n} ∣ α ∣ = α 1 + ⋯ + α n , α ! = α 1 ! ⋯ α n ! , h α = h 1 α 1 ⋯ h n α n と書く。また、U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n f : U → R m f:U\to\R^m f : U → R m C ∣ α ∣ C^{|\alpha|} C ∣ α ∣
∂ α f = ∂ 1 α 1 ⋯ ∂ n α n f \partial^\alpha f
=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}f ∂ α f = ∂ 1 α 1 ⋯ ∂ n α n f と書く。系 2.2 により、合計∣ α ∣ |\alpha| ∣ α ∣
証明. h = ∑ i = 1 n h i e i h=\sum_{i=1}^nh_ie_i h = ∑ i = 1 n h i e i i i i α i \alpha_i α i 命題 1.6 と系 2.2 により∂ α f ( x ) h α \partial^\alpha f(x)h^\alpha ∂ α f ( x ) h α k ! / α ! k!/\alpha! k ! / α ! ▨
定義 3.3. U ⊂ R n U\subset\R^n U ⊂ R n f : U → R f:U\to\R f : U → R C 2 C^2 C 2 x ∈ U x\in U x ∈ U D 2 f ( x ) D^2f(x) D 2 f ( x )
H f ( x ) = ( ∂ i ∂ j f ( x ) ) 1 ≤ i , j ≤ n H_f(x)=\bigl(\partial_i\partial_jf(x)\bigr)_{1\leq i,j\leq n} H f ( x ) = ( ∂ i ∂ j f ( x ) ) 1 ≤ i , j ≤ n を、f f f x x x Hessian (Hessian )定理 2.1 により、H f ( x ) H_f(x) H f ( x )
4 演習 問題 4.1 (連続性を欠く混合偏導関数). 関数f : R 2 → R f:\R^2\to\R f : R 2 → R
f ( x , y ) = { x y ( x 2 − y 2 ) x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 , ( x , y ) = ( 0 , 0 ) f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\
0,&(x,y)=(0,0)
\end{cases} f ( x , y ) = ⎩ ⎨ ⎧ x 2 + y 2 x y ( x 2 − y 2 ) , 0 , ( x , y ) = ( 0 , 0 ) , ( x , y ) = ( 0 , 0 ) と定める。∂ x ∂ y f ( 0 , 0 ) \partial_x\partial_yf(0,0) ∂ x ∂ y f ( 0 , 0 ) ∂ y ∂ x f ( 0 , 0 ) \partial_y\partial_xf(0,0) ∂ y ∂ x f ( 0 , 0 ) 定理 2.1 を適用することができない理由を述べよ。
解答. y ≠ 0 y\ne0 y = 0
∂ x f ( 0 , y ) = lim h → 0 f ( h , y ) − f ( 0 , y ) h = lim h → 0 y h 2 − y 2 h 2 + y 2 = − y . \partial_xf(0,y)
=\lim_{h\to0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}
=\lim_{h\to0}y\frac{h^2-y^2}{h^2+y^2}
=-y. ∂ x f ( 0 , y ) = h → 0 lim h f ( h , y ) − f ( 0 , y ) = h → 0 lim y h 2 + y 2 h 2 − y 2 = − y . 同じ等式はy = 0 y=0 y = 0 ∂ x f ( 0 , 0 ) = 0 \partial_xf(0,0)=0 ∂ x f ( 0 , 0 ) = 0
∂ y ∂ x f ( 0 , 0 ) = lim y → 0 ∂ x f ( 0 , y ) − ∂ x f ( 0 , 0 ) y = − 1. \partial_y\partial_xf(0,0)
=\lim_{y\to0}\frac{\partial_xf(0,y)-\partial_xf(0,0)}{y}
=-1. ∂ y ∂ x f ( 0 , 0 ) = y → 0 lim y ∂ x f ( 0 , y ) − ∂ x f ( 0 , 0 ) = − 1. 同様に、x ≠ 0 x\ne0 x = 0
∂ y f ( x , 0 ) = lim k → 0 f ( x , k ) − f ( x , 0 ) k = lim k → 0 x x 2 − k 2 x 2 + k 2 = x , \partial_yf(x,0)
=\lim_{k\to0}\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k}
=\lim_{k\to0}x\frac{x^2-k^2}{x^2+k^2}
=x, ∂ y f ( x , 0 ) = k → 0 lim k f ( x , k ) − f ( x , 0 ) = k → 0 lim x x 2 + k 2 x 2 − k 2 = x , であり、x = 0 x=0 x = 0 ∂ y f ( 0 , 0 ) = 0 \partial_yf(0,0)=0 ∂ y f ( 0 , 0 ) = 0
∂ x ∂ y f ( 0 , 0 ) = 1. \partial_x\partial_yf(0,0)=1. ∂ x ∂ y f ( 0 , 0 ) = 1. 二つの混合偏導関数は一致しない。この関数は原点の近傍でC 2 C^2 C 2 ▨