§E4.15Gamma 関数

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Gamma 関数は、階乗を正の実数の範囲へ広げる基本的な特殊関数であり、正の数ssに対する広義積分∫0∞xs−1e−x dx\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dxで定まる。被積分関数と冪xs−1x^{s-1}の比はx↓0x\downarrow0のとき11に収束し、無限遠では被積分関数は指数関数e−xe^{-x}によって減衰する。各ssについて積分が収束することだけでは、積分値のssに関する連続性は従わず、パラメータに共通の収束評価が問題となる。本記事では、Gamma 積分の収束とパラメータ依存を調べ、関数方程式による階乗との関係と、Gamma 関数の逆数の実数全体への延長を扱う。

1 定義と収束

定義 1.1.s>0s>0に対して

Γ(s)=∫0∞xs−1e−x dx\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx

と定め、この関数をGamma 関数 (Gamma function) という。右辺は、二つの端点を分けた広義積分

lim⁡ε↓0∫ε1xs−1e−x dx+lim⁡R↑∞∫1Rxs−1e−x dx\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_\varepsilon^1x^{s-1}e^{-x}\,dx +\lim_{R\uparrow\infty}\int_1^Rx^{s-1}e^{-x}\,dx

を表す。

命題 1.2. すべてのs>0s>0について Gamma 積分は収束する。

証明.0<ε<10<\varepsilon<1とする。0<x≤10<x\le1では

0≤xs−1e−x≤xs−10\le x^{s-1}e^{-x}\le x^{s-1}

であるから、

0≤∫ε1xs−1e−x dx≤∫ε1xs−1 dx=1−εss≤1s0\le\int_\varepsilon^1x^{s-1}e^{-x}\,dx \le\int_\varepsilon^1x^{s-1}\,dx =\frac{1-\varepsilon^s}{s} \le\frac1s

となる。∫ε1xs−1e−x dx\int_\varepsilon^1x^{s-1}e^{-x}\,dxはε↓0\varepsilon\downarrow0のとき単調非減少であり、上に有界であるため有限の極限をもつ。従って零点側の積分は収束する。

x≥1x\ge1では、整数N≥max⁡{0,s−1}N\ge\max\{0,s-1\}を選ぶ。このときxs−1≤xNx^{s-1}\le x^Nである。関数xNe−x/2x^Ne^{-x/2}は[1,∞)[1,\infty)上で有界なので、あるC>0C>0が存在して

xs−1e−x≤xNe−x≤Ce−x/2.x^{s-1}e^{-x}\le x^Ne^{-x}\le Ce^{-x/2}.

実際、N=0N=0の場合は明らかであり、N≥1N\ge1の場合には

ddx(xNe−x/2)=xN−1e−x/2(N−x2)\frac{d}{dx}\left(x^Ne^{-x/2}\right) =x^{N-1}e^{-x/2}\left(N-\frac{x}{2}\right)

であるから、xNe−x/2x^Ne^{-x/2}はx=2Nx=2Nを越えると減少する。右辺Ce−x/2Ce^{-x/2}の広義積分は収束するため、§D1.20 定理 3.1により無限遠側の積分も収束する。▨

2 局所一様収束と連続性

定理 2.1. Gamma 積分はs∈(0,∞)s\in(0,\infty)の各コンパクト部分集合上で局所一様に収束する。従ってΓ:(0,∞)→(0,∞)\Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)は連続である。

証明.(0,∞)(0,\infty)の任意のコンパクト部分集合HHに対して、H⊆KH\subseteq Kを満たす閉区間K=[α,β]⊂(0,∞)K=[\alpha,\beta]\subset(0,\infty)が存在する。したがって、KK上の一様収束と連続性を示せば十分である。零点側ではx=1/ux=1/uと置くと

∫01xs−1e−x dx=∫1∞u−s−1e−1/u du\int_0^1x^{s-1}e^{-x}\,dx =\int_1^\infty u^{-s-1}e^{-1/u}\,du

である。u≥1u\ge1、s∈Ks\in Kに対して

0≤u−s−1e−1/u≤u−α−10\le u^{-s-1}e^{-1/u}\le u^{-\alpha-1}

であり、∫1∞u−α−1 du=1/α\int_1^\infty u^{-\alpha-1}\,du=1/\alphaである。従って§D1.26 定理 1.3により、零点側を変数変換した広義積分はKK上一様に収束する。

x≥1x\ge1では整数N≥max⁡{0,β−1}N\ge\max\{0,\beta-1\}を選ぶと、s∈Ks\in Kとx≥1x\ge1のすべてについて次の不等式を満たす定数CN>0C_N>0が存在する。

0≤xs−1e−x≤xNe−x≤CNe−x/20\le x^{s-1}e^{-x}\le x^Ne^{-x}\le C_Ne^{-x/2}

最後の評価は前命題の導関数による評価と同じである。∫1∞CNe−x/2 dx<∞\int_1^\infty C_Ne^{-x/2}\,dx<\inftyであるから、同じ一様収束判定により無限遠側の広義積分もKK上一様に収束する。従って Gamma 積分はKK上局所一様に収束する。

連続性を示すため、§D1.26 定理 1.4を、

g0(u,s)=u−s−1e−1/u,g∞(x,s)=xs−1e−xg_0(u,s)=u^{-s-1}e^{-1/u},\qquad g_\infty(x,s)=x^{s-1}e^{-x}

が定める二つの半無限積分へ適用する。各s∈Ks\in Kについてg0(⋅,s)g_0(\mathord\cdot,s)とg∞(⋅,s)g_\infty(\mathord\cdot,s)は[1,∞)[1,\infty)上連続であり、両積分のKK上一様収束は直前に示した。また、任意のA>1A>1についてg0,g∞g_0,g_\inftyはコンパクト集合[1,A]×K[1,A]\times K上で連続である。§E2.9 定理 5.1により同集合上で一様連続であるから、パラメータについての連続性は積分変数について一様である。従って連続性定理の三仮定が二つの積分でそれぞれ満たされ、両積分はKK上連続である。その和であるΓ\GammaもKK上連続である。

さらに、xs−1e−x>0x^{s-1}e^{-x}>0であり、たとえば[1,2][1,2]上の積分が正であるからΓ(s)>0\Gamma(s)>0である。KKは任意であるため、結論を得る。▨

3 関数方程式

命題 3.1.s>0s>0に対して

Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)

が成り立つ。特に整数n≥0n\ge0についてΓ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!である。

証明.0<ε<R0<\varepsilon<Rとする。区間[ε,R][\varepsilon,R]上で部分積分を行うと

∫εRxse−x dx=[−xse−x]εR+s∫εRxs−1e−x dx.\int_\varepsilon^Rx^se^{-x}\,dx =\bigl[-x^se^{-x}\bigr]_\varepsilon^R +s\int_\varepsilon^Rx^{s-1}e^{-x}\,dx.

Rse−R→0R^se^{-R}\to0は、前節と同じ導関数による評価をssより大きい整数冪へ適用すると従う。εse−ε→0\varepsilon^se^{-\varepsilon}\to0はs>0s>0から従う。ε↓0\varepsilon\downarrow0、R↑∞R\uparrow\inftyとすると関数方程式を得る。Γ(1)=∫0∞e−x dx=1\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1なので、帰納法によりΓ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!である。▨

4 Gamma 関数の逆数の実数延長

定義 4.1.ξ∈R\xi\in\Rとする。ξ+r>0\xi+r>0となる非負整数rrを選び、

q(ξ)=∏j=0r−1(ξ+j)Γ(ξ+r)q(\xi) = \frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+j)} {\Gamma(\xi+r)}(4.1.1)\text{(4.1.1)}

と定める。この関数qqを逆 Gamma 関数の実数延長 (real extension of the reciprocal gamma function) という。r=0r=0のとき、分子の空積は11とする。

命題 4.2.式 (4.1.1)はrrの選び方に依存せず、qqはR\R上で何回でも微分可能である。また、

q(ξ)=ξq(ξ+1)q(\xi)=\xi q(\xi+1)(4.2.1)\text{(4.2.1)}

がすべてのξ∈R\xi\in\Rについて成り立つ。qqの零点は非正整数だけであり、各非負整数mmについて

q(−m)=0,q′(−m)=(−1)mm!q(-m)=0, \qquad q'(-m)=(-1)^m m!(4.2.2)\text{(4.2.2)}

である。とくに、これらの零点は単純である。

証明は演習とする（問題 6.2）。

5 二分の一における値

命題 5.1.

Γ(12)=π\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi

である。

証明.0<ε<R0<\varepsilon<Rとする。区間[ε,R][\varepsilon,R]上の積分でx=u2x=u^2と置換すると

∫εRx−1/2e−x dx=2∫εRe−u2 du.\int_\varepsilon^R x^{-1/2}e^{-x}\,dx =2\int_{\sqrt\varepsilon}^{\sqrt R}e^{-u^2}\,du.

両端の極限をとると

Γ(12)=2∫0∞e−u2 du.\Gamma\left(\frac12\right) =2\int_0^\infty e^{-u^2}\,du.

変数変換公式の適用例§E4.14 例 3.2では、有界な正方形と円板の増大列により

∫−∞∞e−u2 du=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du=\sqrt\pi

を証明している。被積分関数は偶関数なので半直線上の積分はπ/2\sqrt\pi/2であり、主張が従う。▨

例 5.2.命題 3.1を繰り返し用いると

Γ(52)=32Γ(32)=32⋅12Γ(12)=3π4\Gamma\left(\frac52\right) =\frac32\Gamma\left(\frac32\right) =\frac32\cdot\frac12\Gamma\left(\frac12\right) =\frac{3\sqrt\pi}{4}

を得る。

6 演習

問題 6.1 (正の半直線全体では一様収束しないこと).0<ε<10<\varepsilon<1とする。零点側の切り捨て誤差

Eε(s)=∫0εxs−1e−x dxE_\varepsilon(s)=\int_0^\varepsilon x^{s-1}e^{-x}\,dx

がs∈(0,∞)s\in(0,\infty)について一様には零へ収束しないことを証明せよ。この事実と、定理 2.1でパラメータをコンパクト区間へ制限したこととの関係を説明せよ。

解答.

0<x<ε0<x<\varepsilonではe−x≥e−εe^{-x}\ge e^{-\varepsilon}であるから、任意のs>0s>0について

Eε(s)≥e−ε∫0εxs−1 dx=e−εεss.E_\varepsilon(s) \ge e^{-\varepsilon}\int_0^\varepsilon x^{s-1}\,dx =e^{-\varepsilon}\frac{\varepsilon^s}{s}.

s↓0s\downarrow0のとき右辺は正の無限大へ発散する。従って、固定した各0<ε<10<\varepsilon<1についてsup⁡s>0Eε(s)=∞\sup_{s>0}E_\varepsilon(s)=\inftyであり、ε↓0\varepsilon\downarrow0としても全パラメータに共通な切り捨て評価は得られない。

一方、s∈[α,β]⊂(0,∞)s\in[\alpha,\beta]\subset(0,\infty)ならばs≥α>0s\ge\alpha>0である。この下限によって零点側をxα−1x^{\alpha-1}で一様に抑えることができるため、局所一様収束は成立する。したがって、コンパクト区間への制限はs=0s=0に近づくと増大する零点側の特異性を除く役割を持つ。▨

問題 6.2 (逆 Gamma 関数の実数延長).命題 4.2を証明せよ。

解答.

正の実数上では命題 3.1により

Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)

が成り立つ。式 (4.1.1)でrrをr+1r+1に置き換えると、分子と分母に共通して現れる正数ξ+r\xi+rが消去される。ξ+r>0\xi+r>0を満たす任意の二つの非負整数は、大きい方までこの操作を繰り返すことによって比較することができるため、式 (4.1.1)はrrの選び方に依存しない。また、ξ+r>0\xi+r>0を満たす正の整数rrを選ぶと、

ξq(ξ+1)=ξ∏j=0r−1(ξ+1+j)Γ(ξ+r+1)=∏j=0r−1(ξ+j)Γ(ξ+r)=q(ξ),\begin{aligned} \xi q(\xi+1) &=\xi\frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+1+j)}{\Gamma(\xi+r+1)}\\ &=\frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+j)}{\Gamma(\xi+r)} =q(\xi), \end{aligned}

となるため、

q(ξ)=ξq(ξ+1)q(\xi)=\xi q(\xi+1)

を得る。

s>0s>0について、[ε,1][\varepsilon,1]上でx=1/ux=1/uと置換してε↓0\varepsilon\downarrow0とすると

Γ(s)=∫1∞u−s−1e−1/u du+∫1∞xs−1e−x dx\Gamma(s) =\int_1^\infty u^{-s-1}e^{-1/u}\,du+\int_1^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx

である。非負整数ℓ\ellとs>0s>0に対して

Gℓ(s)=∫1∞u−s−1e−1/u(−log⁡u)ℓ du+∫1∞xs−1e−x(log⁡x)ℓ dxG_\ell(s) =\int_1^\infty u^{-s-1}e^{-1/u}(-\log u)^\ell\,du +\int_1^\infty x^{s-1}e^{-x}(\log x)^\ell\,dx

と置く。0<α<β0<\alpha<\betaとし、開区間I=(α,β)I=(\alpha,\beta)上で、fℓ(u,s)=u−s−1e−1/u(−log⁡u)ℓf_\ell(u,s)=u^{-s-1}e^{-1/u}(-\log u)^\ellとgℓ(x,s)=xs−1e−x(log⁡x)ℓg_\ell(x,s)=x^{s-1}e^{-x}(\log x)^\ellに§D1.26 定理 2.2をa=1a=1として適用する。ssによる偏導関数はfℓ+1f_{\ell+1}とgℓ+1g_{\ell+1}であり、fℓ,gℓ,fℓ+1,gℓ+1f_\ell,g_\ell,f_{\ell+1},g_{\ell+1}は[1,∞)×[α,β][1,\infty)\times[\alpha,\beta]上で連続である。

u≥1u\ge1、s∈Is\in I、m∈{ℓ,ℓ+1}m\in\{\ell,\ell+1\}について∣fm(u,s)∣≤u−α−1(1+log⁡u)ℓ+1|f_m(u,s)|\le u^{-\alpha-1}(1+\log u)^{\ell+1}である。v=log⁡u≥0v=\log u\ge0について、eαv/2≥(αv/2)ℓ+1/(ℓ+1)!e^{\alpha v/2}\ge(\alpha v/2)^{\ell+1}/(\ell+1)!から(1+v)ℓ+1e−αv/2(1+v)^{\ell+1}e^{-\alpha v/2}はv≥1v\ge1で(4/α)ℓ+1(ℓ+1)!(4/\alpha)^{\ell+1}(\ell+1)!以下、0≤v≤10\le v\le1で2ℓ+12^{\ell+1}以下である。したがって、すべてのu≥1u\ge1についてu−α−1(1+log⁡u)ℓ+1≤Cu−α/2−1u^{-\alpha-1}(1+\log u)^{\ell+1}\le Cu^{-\alpha/2-1}を満たす定数CCが存在する。右辺の[1,∞)[1,\infty)上の広義積分は収束する。x≥1x\ge1では0≤log⁡x≤x0\le\log x\le xであるから、m∈{ℓ,ℓ+1}m\in\{\ell,\ell+1\}について∣gm(x,s)∣≤xβ+ℓe−x|g_m(x,s)|\le x^{\beta+\ell}e^{-x}であり、右辺の[1,∞)[1,\infty)上の広義積分は命題 1.2により収束する。§D1.26 定理 1.3により、fℓ,fℓ+1,gℓ,gℓ+1f_\ell,f_{\ell+1},g_\ell,g_{\ell+1}の[1,∞)[1,\infty)上の広義積分はII上一様に収束する。A>1A>1についてfℓ+1f_{\ell+1}とgℓ+1g_{\ell+1}はコンパクト集合[1,A]×[α,β][1,A]\times[\alpha,\beta]上で連続であるから、§E2.9 定理 5.1により一様連続であり、パラメータについての連続性は積分変数について一様である。

したがって、§D1.26 定理 2.2によりGℓG_\ellはII上で微分可能であり、Gℓ′=Gℓ+1G_\ell'=G_{\ell+1}である。α,β\alpha,\betaは任意であるから、これは(0,∞)(0,\infty)上で成り立つ。Γ=G0\Gamma=G_0であるから、帰納法により Gamma 関数は(0,∞)(0,\infty)上で何回でも微分可能である。定理 2.1により Gamma 関数は正であるから、1/Γ1/\Gammaも(0,∞)(0,\infty)上で何回でも微分可能である。

ξ0∈R\xi_0\in\Rをとる。ξ+r>0\xi+r>0がξ0\xi_0のある近傍のすべてのξ\xiについて成り立つように、非負整数rrを一つ固定する。その近傍では、式 (4.1.1)は多項式と滑らかな正値関数の商である。したがってqqはR\R上で何回でも微分可能である。

ξ\xiが非正整数でなければ、式 (4.1.1)の分子の各因子と分母は零でないからq(ξ)≠0q(\xi)\ne0である。mmを非負整数とし、ξ=−m\xi=-mでr=m+1r=m+1と選ぶ。このとき分子で零になる因子はξ+m\xi+mだけであり、

q(ξ)=(ξ+m)∏j=0m−1(ξ+j)Γ(ξ+m+1)q(\xi) =(\xi+m) \frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(\xi+j)}{\Gamma(\xi+m+1)}

が−m-mの近傍で成り立つ。分母はξ=−m\xi=-mでΓ(1)=1\Gamma(1)=1となるため、積の微分から

q(−m)=0,q′(−m)=∏j=0m−1(−m+j)=(−1)mm!.q(-m)=0, \qquad q'(-m) =\prod_{j=0}^{m-1}(-m+j) =(-1)^m m!.

ここでm=0m=0の積は空積11である。したがってqqの零点は非正整数だけであり、各零点における導関数は零でないため、すべての零点は単純である。▨

参考文献

  1. Emil Artin, The Gamma Function, translated by Michael Butler, Dover Publications, 2015, originally published 1964.Gamma 積分の収束、関数方程式、二分の一における値を参考にした。
  2. Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., Addison-Wesley, 1974.パラメータを含む広義積分の局所一様収束を参考にした。

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