§B1.1等差数列・等比数列

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隣り合う項の差または比が一定である数列では、規則を一般項で表すと、どの位置の項も直接求めることができます。等差数列と等比数列の一般項と和の求め方を確かめ、与えられた条件から必要な量を計算します。

1 等差数列

まず、一定の数を加えて次の項を作る数列を定義します。

定義 1.1 (等差数列). すべての正の整数nnについて

an+1−an=da_{n+1}-a_n=d

が成り立つ数列{an}\{a_n\}を等差数列という。a1a_1を初項、一定の差ddを公差という。

第nn項は、初項に公差をn−1n-1回加えて得られます。

公式 1.2 (等差数列の一般項). 初項がaa、公差がddである等差数列について、すべての正の整数nnに対して第nn項は

an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d

である。

証明. 正の整数nnを固定する。漸化関係ak+1=ak+da_{k+1}=a_k+dをk=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1に対して順に用いると

an=a1+d+⋯+d=a+(n−1)da_n=a_1+d+\cdots+d=a+(n-1)d

となる。▨

等差数列の和の公式は、項を逆順に並べた和をもとの和に加えることで導くことができます。

公式 1.3 (等差数列の和). 初項がaa、公差がddである等差数列{an}\{a_n\}と正の整数nnに対して、初項から第nn項までの和Sn=a1+a2+⋯+anS_n=a_1+a_2+\cdots+a_nは、末項l=an=a+(n−1)dl=a_n=a+(n-1)dを用いて

Sn=n(a+l)2=n{2a+(n−1)d}2S_n=\frac{n(a+l)}2 =\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2

である。

証明. 正の整数nnと初項aa、公差dd、末項llを固定し、SnS_nを項の順方向と逆方向に書く。

Sn=a+(a+d)+⋯+(l−d)+l,Sn=l+(l−d)+⋯+(a+d)+a\begin{aligned} S_n&=a+(a+d)+\cdots +(l-d)+l,\\ S_n&=l+(l-d)+\cdots +(a+d)+a \end{aligned}

対応する項を加えると、どの組もa+la+lとなる。組はnn個あるので

2Sn=n(a+l)2S_n=n(a+l)

となる。両辺を22で割ると公式を得る。▨

例 1.4. 等差数列の初項が33、第88項までの和が108108であるとする。公差をddとすると、

108=82{2⋅3+7d}108=\frac82\{2\cdot3+7d\}

である。したがって27=6+7d27=6+7dとなり、d=3d=3である。一般項an=3+3(n−1)=3na_n=3+3(n-1)=3nを用いると、最初の8項の和は3(1+2+⋯+8)=1083(1+2+\cdots+8)=108となり、条件と一致する。

例 1.5. 初項が55、公差が44である等差数列の和が320320になる項数を求める。

320=n2{2⋅5+(n−1)4}=n(2n+3)320=\frac n2\{2\cdot5+(n-1)4\} =n(2n+3)

より、2n2+3n−320=02n^2+3n-320=0である。解の公式からn=(−3±2569)/4n=(-3\pm\sqrt{2569})/4となる。正の整数にならないので、この条件を満たす項数は存在しない。和の方程式を解いた後にも、項数が正の整数であることを確認する必要がある。

2 等比数列

次に、一定の数を掛けて次の項を作る数列を定義します。

定義 2.1 (等比数列). すべての正の整数nnについて

an+1=rana_{n+1}=ra_n

が成り立つ数列{an}\{a_n\}を等比数列という。a1a_1を初項、一定の数rrを公比という。

第nn項は、初項に公比をn−1n-1回掛けて得られます。

公式 2.2 (等比数列の一般項). 初項がaa、公比がrrである等比数列について、すべての正の整数nnに対して第nn項は

an=arn−1a_n=ar^{n-1}

である。

証明. 正の整数nnを固定する。漸化関係ak+1=raka_{k+1}=ra_kをk=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1に対して順に用いると

an=a1rn−1=arn−1a_n=a_1r^{n-1}=ar^{n-1}

となる。▨

注意 2.3. 等比数列の条件を比an+1/an=ra_{n+1}/a_n=rでなく積an+1=rana_{n+1}=ra_nで書くと、an=0a_n=0となる項があっても条件が意味をもつ。たとえば初項がa≠0a\ne0、公比が00である数列a,0,0,…a,0,0,\ldotsと、すべての項が00である数列は、どちらも等比数列である。初項が00でないとき公比はa2/a1a_2/a_1にただ一つ定まり、初項が00のときはどの数も公比である。

公比が00のとき、一般項an=arn−1a_n=ar^{n-1}のn=1n=1の項はa⋅00a\cdot0^0の形になる。r≠0r\ne0ではr0=1r^0=1であり、r=0r=0のときも00=10^0=1と約束する。この約束のもとでa1=aa_1=aであり、n≥2n\ge2ではan=0a_n=0となって、定義のan+1=0⋅ana_{n+1}=0\cdot a_nと一致する。

等比数列の和SnS_nとrSnrS_nの差を取ると、中間の項が消えます。

公式 2.4 (等比数列の和). 初項がaa、公比がrrである等比数列{an}\{a_n\}と正の整数nnに対して、初項から第nn項までの和Sn=a1+a2+⋯+anS_n=a_1+a_2+\cdots+a_nは

Sn={a(1−rn)1−r(r≠1),na(r=1)S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r\ne1),\\[6pt] na & (r=1) \end{cases}

である。

証明.r≠1r\ne1とし、SnS_nとrSnrS_nを書く。

Sn=a+ar+⋯+arn−1,rSn=ar+ar2+⋯+arn\begin{aligned} S_n&=a+ar+\cdots+ar^{n-1},\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n \end{aligned}

二式の差を取ると

(1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)(1-r)S_n=a-ar^n=a(1-r^n)

となる。1−r≠01-r\ne0なので両辺を1−r1-rで割る。r=1r=1の場合には全項がaaであり、和はnanaとなる。▨

例 2.5. 初項が22、第33項が1818であり、すべての項が正である等比数列を考える。公比をrrとすると

2r2=182r^2=18

であり、r2=9r^2=9よりr=3r=3またはr=−3r=-3である。r=−3r=-3の数列2,−6,18,…2,-6,18,\ldotsは第33項が1818であるが、第22項が負である。すべての項が正であるという条件からr>0r>0なので、r=3r=3である。第44項までの和は

S4=2(1−34)1−3=80S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=80

である。実際に2+6+18+54=802+6+18+54=80となる。

3 例題

レベル1 — 等差数列の一般項

初項と公差から、一般項 a_n を求めよ。

解法の型a_n==a1a_{1}+ (n−1)d

初項と公差から、一般項を求めよ。

例 3.1.

a1=−7,公差 d=3a_1 = -7,\quad \text{公差 } d = 3

答an=3n−10a_n = 3n-10

注意 検算:a10=a_{10} =20

例 3.2.

a1=9,公差 d=−2a_1 = 9,\quad \text{公差 } d = -2

答an=−2n+11a_n = -2n+11

注意 検算:a10=a_{10} =-9

例 3.3.

a1=−6,公差 d=−4a_1 = -6,\quad \text{公差 } d = -4

答an=−4n−2a_n = -4n-2

注意 検算:a10=a_{10} =-42

例 3.4.

a1=−3,公差 d=1a_1 = -3,\quad \text{公差 } d = 1

答an=n−4a_n = n-4

注意 検算:a10=a_{10} =6

例 3.5.

a1=7,公差 d=2a_1 = 7,\quad \text{公差 } d = 2

答an=2n+5a_n = 2n+5

注意 検算:a10=a_{10} =25

レベル2 — 等比数列の一般項

初項と公比から、一般項 a_n を求めよ。

解法の型a_n==a₁·r^{n−1}

初項と公比から、一般項を求めよ。

例 3.6.

a1=−1,公比 r=−2a_1 = -1,\quad \text{公比 } r = -2

答an=−(−2)n−1a_n = -(-2)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =-4

例 3.7.

a1=3,公比 r=2a_1 = 3,\quad \text{公比 } r = 2

答an=3⋅2n−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =12

例 3.8.

a1=2,公比 r=−2a_1 = 2,\quad \text{公比 } r = -2

答an=2⋅(−2)n−1a_n = 2 \cdot (-2)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =8

例 3.9.

a1=2,公比 r=3a_1 = 2,\quad \text{公比 } r = 3

答an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =18

例 3.10.

a1=3,公比 r=−2a_1 = 3,\quad \text{公比 } r = -2

答an=3⋅(−2)n−1a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =12

4 演習

問題 4.1. 次の問いに答えよ。

  1. 初項が77、公差が−3-3である等差数列について、第1212項と、初項から第1212項までの和を求めよ。
  2. 初項が33、公比が22である等比数列について、第88項と、初項から第88項までの和を求めよ。
  3. 等差数列の第33項が1111、第99項が3535であるとき、初項、公差、初項から第2020項までの和を求めよ。
  4. 初項が8181、公比が13\dfrac13である等比数列について、初項から第nn項までの和が121121になる正の整数nnが存在するかどうかを調べ、存在するならそのnnを求めよ。
  5. 初項が33、公比が実数rrである等比数列について、初項から第44項までの和が1212となるrrをすべて求めよ。
解答.
  1. 第1212項は7+11⋅(−3)=−267+11\cdot(-3)=-26であり、和は12{7+(−26)}2=−114\dfrac{12\{7+(-26)\}}2=-114である。
  2. 第88項は3⋅27=3843\cdot2^7=384であり、和は3(28−1)2−1=765\dfrac{3(2^8-1)}{2-1}=765である。
  3. 第99項と第33項の差から6d=246d=24なので、公差は44であり、初項は11−2⋅4=311-2\cdot4=3である。第2020項までの和は20{2⋅3+19⋅4}2=820\dfrac{20\{2\cdot3+19\cdot4\}}2=820である。
  4. 公比13\dfrac13は11でないので、和は81{1−(1/3)n}1−1/3=2432(1−3−n)\dfrac{81\{1-(1/3)^n\}}{1-1/3}=\dfrac{243}2(1-3^{-n})である。これが121121に等しいとき3−n=1−242243=3−53^{-n}=1-\dfrac{242}{243}=3^{-5}となるので、項数n=5n=5が存在する。実際に81+27+9+3+1=12181+27+9+3+1=121である。
  5. r≠1r\ne1のとき、S4=3(1−r4)1−r=3(1+r+r2+r3)S_4=\dfrac{3(1-r^4)}{1-r}=3(1+r+r^2+r^3)である。S4=12S_4=12とするとr3+r2+r−3=0r^3+r^2+r-3=0、すなわち(r−1)(r2+2r+3)=0(r-1)(r^2+2r+3)=0となる。r2+2r+3=(r+1)2+2>0r^2+2r+3=(r+1)^2+2>0なのでr=1r=1だけが残り、r≠1r\ne1に反する。r=1r=1のとき、全項が33なのでS4=4⋅3=12S_4=4\cdot3=12となり、条件を満たす。したがってr=1r=1だけである。

▨

レベル1 — 等差数列の一般項

初項と公差から、一般項 a_n を求めよ。

解法の型a_n==a1a_{1}+ (n−1)d

初項と公差から、一般項を求めよ。

問題 4.2.

a1=8,公差 d=−5a_1 = 8,\quad \text{公差 } d = -5
解答.

答an=−5n+13a_n = -5n+13

注意 検算:a10=a_{10} =-37▨

問題 4.3.

a1=9,公差 d=−1a_1 = 9,\quad \text{公差 } d = -1
解答.

答an=−n+10a_n = -n+10

注意 検算:a10=a_{10} =0▨

問題 4.4.

a1=−3,公差 d=5a_1 = -3,\quad \text{公差 } d = 5
解答.

答an=5n−8a_n = 5n-8

注意 検算:a10=a_{10} =42▨

問題 4.5.

a1=5,公差 d=1a_1 = 5,\quad \text{公差 } d = 1
解答.

答an=n+4a_n = n+4

注意 検算:a10=a_{10} =14▨

問題 4.6.

a1=−1,公差 d=3a_1 = -1,\quad \text{公差 } d = 3
解答.

答an=3n−4a_n = 3n-4

注意 検算:a10=a_{10} =26▨

問題 4.7.

a1=9,公差 d=−2a_1 = 9,\quad \text{公差 } d = -2
解答.

答an=−2n+11a_n = -2n+11

注意 検算:a10=a_{10} =-9▨

問題 4.8.

a1=−2,公差 d=4a_1 = -2,\quad \text{公差 } d = 4
解答.

答an=4n−6a_n = 4n-6

注意 検算:a10=a_{10} =34▨

問題 4.9.

a1=7,公差 d=−2a_1 = 7,\quad \text{公差 } d = -2
解答.

答an=−2n+9a_n = -2n+9

注意 検算:a10=a_{10} =-11▨

レベル2 — 等比数列の一般項

初項と公比から、一般項 a_n を求めよ。

解法の型a_n==a₁·r^{n−1}

初項と公比から、一般項を求めよ。

問題 4.10.

a1=−1,公比 r=12a_1 = -1,\quad \text{公比 } r = \dfrac{1}{2}
解答.

答an=−(12)n−1a_n = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =-1/4▨

問題 4.11.

a1=2,公比 r=3a_1 = 2,\quad \text{公比 } r = 3
解答.

答an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =18▨

問題 4.12.

a1=−2,公比 r=12a_1 = -2,\quad \text{公比 } r = \dfrac{1}{2}
解答.

答an=−2⋅(12)n−1a_n = -2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =-2/4▨

問題 4.13.

a1=3,公比 r=2a_1 = 3,\quad \text{公比 } r = 2
解答.

答an=3⋅2n−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =12▨

問題 4.14.

a1=1,公比 r=3a_1 = 1,\quad \text{公比 } r = 3
解答.

答an=3n−1a_n = 3^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =9▨

問題 4.15.

a1=5,公比 r=12a_1 = 5,\quad \text{公比 } r = \dfrac{1}{2}
解答.

答an=5⋅(12)n−1a_n = 5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =5/4▨

問題 4.16.

a1=5,公比 r=2a_1 = 5,\quad \text{公比 } r = 2
解答.

答an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =20▨

問題 4.17.

a1=1,公比 r=12a_1 = 1,\quad \text{公比 } r = \dfrac{1}{2}
解答.

答an=(12)n−1a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}

注意 検算:a3=a_{3} =1/4▨

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