§B1.9無限級数

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無限個の項の和は、有限個までの和を作ってから、その極限として定義します。本記事では、無限等比級数、循環小数、図形の長さと面積の和、項が打ち消し合う級数、および調和級数を扱います。

1 部分和による定義

無限級数の和は、記号を形式的に足し続けたものではありません。

定義 1.1 (無限級数の収束と和). 数列{ak}\{a_k\}の第nn項までの和（部分和）を

Sn=∑k=1nakS_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

とする（§B1.3 定義 1.1）。数列{Sn}\{S_n\}が値SSに収束するとき、無限級数∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty}a_kは収束するといい、その和を

∑k=1∞ak=S\sum_{k=1}^{\infty}a_k=S

と定める。{Sn}\{S_n\}が収束しないとき、級数は発散するという。とくに{Sn}\{S_n\}が正の無限大に発散するとき、級数は正の無限大に発散するという。

2 収束に必要な条件

級数の和を求めることができなくても、一般項が00に近づくかどうかから、級数の発散を判定できる場合があります。

定理 2.1.∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty}a_kが収束するならば、

lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0

である。

証明. 級数の和をSSとすると、Sn→SS_n\to Sである。n≥2n\ge2のとき、§B1.3 定理 1.2によりan=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}である。n→∞n\to\inftyのときn−1n-1も限りなく大きくなるのでSn−1→SS_{n-1}\to Sであり、§B1.7 定理 3.1の 1 により

an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0

である。▨

例 2.2.∑k=1∞kk+1\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k+1}の一般項はak=kk+1=11+1/ka_k=\dfrac{k}{k+1}=\dfrac1{1+1/k}である。1k→0\dfrac1k\to0であり、分母の極限11は00でなく、各項の分母1+1k1+\dfrac1kも00でないから、§B1.7 定理 3.1の 3 によりak→1a_k\to1である。一般項が00に近づかないので、定理 2.1の対偶により、この級数は発散する。

3 調和級数

定理 2.1の逆は成り立ちません。一般項が00に近づく級数にも、発散するものがあります。

定理 3.1. 調和級数

∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k

は正の無限大に発散する。

証明. 各項1k\dfrac1kは正であり、Sn+1−Sn=1n+1>0S_{n+1}-S_n=\dfrac1{n+1}>0であるから、S1<S2<S3<⋯S_1<S_2<S_3<\cdotsと単調に増加する。

mmを正の整数とする。S2mS_{2^m}の第22項以降を、j=1,…,mj=1,\ldots,mについてk=2j−1+1,…,2jk=2^{j-1}+1,\ldots,2^jの項を集めた第jj群に分けると

S2m=1+∑j=1m(12j−1+1+⋯+12j)S_{2^m}=1+\sum_{j=1}^{m}\left(\frac1{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac1{2^j}\right)

である。第jj群には2j−12^{j-1}個の項があり、各項は12j\dfrac1{2^j}以上であるから、第jj群の和は2j−1⋅12j=122^{j-1}\cdot\dfrac1{2^j}=\dfrac12以上である。したがって

S2m≥1+m2S_{2^m}\ge1+\frac m2

である。

MMを任意の実数とし、1+m2>M1+\dfrac m2>Mを満たす正の整数mmを取る。n≥2mn\ge2^mならば、{Sn}\{S_n\}の単調増加性によりSn≥S2m≥1+m2>MS_n\ge S_{2^m}\ge1+\dfrac m2>Mである。よってSnS_nは限りなく大きくなり、調和級数は正の無限大に発散する。▨

注意 3.2 (一般項が00に近づく二つの級数).∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1kと∑k=1∞1k2\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1{k^2}は、どちらも一般項が00に近づく。前者は定理 3.1により正の無限大に発散し、後者は§B1.8 例 4.4により収束する。したがって、一般項が00に近づくという条件だけでは、級数が収束するか発散するかは決まらない。

4 無限等比級数

有限等比数列の和の公式から第nn項までの和を求め、収束条件と和を導きます。

定理 4.1 (無限等比級数の和). 初項a≠0a\ne0、公比rrの無限等比級数

∑k=1∞ark−1\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}

は、∣r∣<1|r|<1の場合に限って収束し、その和は

a1−r\frac{a}{1-r}

である。

証明.∣r∣<1|r|<1のとき、r≠1r\ne1なので、§B1.1 公式 2.4により第nn項までの和は

Sn=a(1−rn)1−rS_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}

である。§B1.7 定理 2.1によりrn→0r^n\to0であるから、§B1.7 定理 3.1によりSn→a1−rS_n\to\dfrac{a}{1-r}である。よって級数は収束し、その和はa1−r\dfrac{a}{1-r}である。

∣r∣≥1|r|\ge1のとき、すべての正の整数nnについて∣arn−1∣=∣a∣ ∣r∣n−1≥∣a∣>0|ar^{n-1}|=|a|\,|r|^{n-1}\ge|a|>0である。したがってarn−1ar^{n-1}は00に限りなく近づくことがなく、定理 2.1の対偶により、級数は発散する。▨

例 4.2. 循環小数0.27‾=0.272727…0.\overline{27}=0.272727\ldotsは

27100+271002+271003+⋯\frac{27}{100}+\frac{27}{100^2}+\frac{27}{100^3}+\cdots

という無限等比級数である。初項は27/10027/100、公比は1/1001/100であり、公比の絶対値は11未満なので、定理 4.1により

0.27‾=27/1001−1/100=2799=3110.\overline{27} =\frac{27/100}{1-1/100} =\frac{27}{99} =\frac3{11}

である。

例 4.3. 長さ11の線分を半分にし、残った線分をさらに半分にする操作を続ける。各段階で新しく取り出す長さは

12,14,18,…\frac12,\frac14,\frac18,\ldots

である。この総和は、初項1/21/2、公比1/21/2の無限等比級数であり、公比の絶対値は11未満なので、定理 4.1により

1/21−1/2=1\frac{1/2}{1-1/2}=1

である。有限段階の部分和は常に11未満であり、極限として11になる。

面積の和を求めるときは、長さの比と面積の比を区別します。相似な二つの図形の長さの比がrrならば、面積の比はr2r^2です。

例 4.4. 一辺の長さが11の正方形から始め、各辺の中点を結んで内側の正方形を作る操作を続ける。一辺の長さがssの正方形の各辺の中点を結んでできる正方形の一辺の長さは(s/2)2+(s/2)2=s/2\sqrt{(s/2)^2+(s/2)^2}=s/\sqrt2であり、長さの比は1/21/\sqrt2である。したがって面積の比は(1/2)2=1/2(1/\sqrt2)^2=1/2であり、kk番目の正方形の面積は(1/2)k−1(1/2)^{k-1}である。すべての正方形の面積を足し合わせた値は、初項11、公比1/21/2の無限等比級数であり、定理 4.1により

∑k=1∞(12)k−1=11−1/2=2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^{k-1}=\frac1{1-1/2}=2

である。

5 項が打ち消し合う級数

級数の各項を、同じ数列の隣り合う二つの項の差に分解することができると、部分和の中間の項が消えます。

例 5.1 (Telescoping Sum). 各項は1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}と分解される。§B1.2 例 5.1により、第nn項までの和は

Sn=∑k=1n1k(k+1)=1−1n+1S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}

である。n→∞n\to\inftyのとき1n+1→0\dfrac1{n+1}\to0であるからSn→1S_n\to1であり、

∑k=1∞1k(k+1)=1\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)}=1

である。

6 例題

レベル2 — 無限級数の和

次の無限級数の和を求めよ。収束しない場合は「発散」と答えよ。

解法の型部分和 Sₙ を作ってから n→\to∞\infty。等比なら a/(1-r)、1/(n(n+d)) 型は部分分数に分けて望遠鏡和

例 6.1.

∑n=1∞4(−13)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}

答33

注意 初項 4、公比 r==-1/3。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==4/(1 - (-1/3))==3。

例 6.2.

∑n=1∞4n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n(n+1)}

答44

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+1))==1/n - 1/(n+1)。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+1))==1。全体を 4 倍して、和は 4。

例 6.3.

∑n=1∞6n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{6}{n(n+2)}

答92\dfrac{9}{2}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+2))==(1/2)(1/n - 1/(n+2))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+2))==(1/2)(1 + 1/2)==3/4。全体を 6 倍して、和は 9/2。

例 6.4.

∑n=1∞n(23)n\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}

答66

注意 S=Σ= \Sigman rⁿ とおくと S - rS=Σ= \Sigmarⁿ==r/(1 - r)（|r| < 1）。よって S==r/(1 - r)²。r==2/3 を代入して、全体を 1 倍すると 6。

例 6.5.

∑n=1∞4n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n(n+3)}

答229\dfrac{22}{9}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+3))==(1/3)(1/n - 1/(n+3))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+3))==(1/3)(1 + 1/2 + 1/3)==11/18。全体を 4 倍して、和は 22/9。

例 6.6.

∑n=1∞2n(−13)n\sum_{n=1}^{\infty} 2n\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}

答−38-\dfrac{3}{8}

注意 S=Σ= \Sigman rⁿ とおくと S - rS=Σ= \Sigmarⁿ==r/(1 - r)（|r| < 1）。よって S==r/(1 - r)²。r==-1/3 を代入して、全体を 2 倍すると -3/8。

例 6.7.

∑n=1∞3(23)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}

答99

注意 初項 3、公比 r==2/3。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==3/(1 - (2/3))==9。

例 6.8.

∑n=1∞3n(12)n\sum_{n=1}^{\infty} 3n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}

答66

注意 S=Σ= \Sigman rⁿ とおくと S - rS=Σ= \Sigmarⁿ==r/(1 - r)（|r| < 1）。よって S==r/(1 - r)²。r==1/2 を代入して、全体を 3 倍すると 6。

例 6.9.

∑n=1∞4(−34)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}

答167\dfrac{16}{7}

注意 初項 4、公比 r==-3/4。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==4/(1 - (-3/4))==16/7。

例 6.10.

∑n=1∞3n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n(n+3)}

答116\dfrac{11}{6}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+3))==(1/3)(1/n - 1/(n+3))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+3))==(1/3)(1 + 1/2 + 1/3)==11/18。全体を 3 倍して、和は 11/6。

7 演習

問題 7.1. 次の問いに答えよ。

  1. 0.135‾0.\overline{135}を無限等比級数として表し、分数へ直せ。
  2. 最初の正方形の一辺を11とし、一辺の長さが直前の正方形の1/31/3である正方形を順に加えるとき、面積の総和を求めよ。
  3. ∑k=1∞1(k+2)(k+3)\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1{(k+2)(k+3)}について、第nn項までの和を求め、その極限から級数の和を求めよ。
  4. ∑k=1∞3k2+12k2−k\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{3k^2+1}{2k^2-k}が発散することを、一般項の極限から示せ。
  5. ∑k=1∞(−1)kk+1k\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{k+1}{k}が発散することを、一般項の大きさから示せ。
解答.
  1. 初項は1351000\dfrac{135}{1000}、公比は11000\dfrac1{1000}であり、公比の絶対値は11未満である。定理 4.1により 0.135‾=135/10001−1/1000=135999=5370.\overline{135}=\frac{135/1000}{1-1/1000}=\frac{135}{999}=\frac5{37} である。
  2. 面積は1, 19, 192, …1,\ \dfrac19,\ \dfrac1{9^2},\ \ldotsと並び、公比は19\dfrac19なので、総和は11−1/9=98\dfrac1{1-1/9}=\dfrac98である。
  3. 1(k+2)(k+3)=1k+2−1k+3\dfrac1{(k+2)(k+3)}=\dfrac1{k+2}-\dfrac1{k+3}である。f(k)=−1k+2f(k)=-\dfrac1{k+2}と置くと右辺はf(k+1)−f(k)f(k+1)-f(k)に等しいので、§B1.2 公式 2.1により第nn項までの和は Sn=f(n+1)−f(1)=13−1n+3S_n=f(n+1)-f(1)=\frac13-\frac1{n+3} である。n→∞n\to\inftyのとき1n+3→0\dfrac1{n+3}\to0であるからSn→13S_n\to\dfrac13であり、級数の和は13\dfrac13である。
  4. 一般項はak=3k2+12k2−k=3+1/k22−1/ka_k=\dfrac{3k^2+1}{2k^2-k}=\dfrac{3+1/k^2}{2-1/k}である。1k→0\dfrac1k\to0、1k2→0\dfrac1{k^2}\to0であり、分母の極限22は00でなく、各項の分母2−1k2-\dfrac1kも00でないから、§B1.7 定理 3.1によりak→32a_k\to\dfrac32である。一般項が00に近づかないので、定理 2.1の対偶により、この級数は発散する。
  5. 一般項をaka_kとすると、すべての正の整数kkについて∣ak∣=k+1k=1+1k>1|a_k|=\dfrac{k+1}{k}=1+\dfrac1k>1である。したがってaka_kは00に近づくことがなく、定理 2.1の対偶により、この級数は発散する。

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レベル2 — 無限級数の和

次の無限級数の和を求めよ。収束しない場合は「発散」と答えよ。

解法の型部分和 Sₙ を作ってから n→\to∞\infty。等比なら a/(1-r)、1/(n(n+d)) 型は部分分数に分けて望遠鏡和

問題 7.2.

∑n=1∞1n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+3)}
解答.

答1118\dfrac{11}{18}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+3))==(1/3)(1/n - 1/(n+3))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+3))==(1/3)(1 + 1/2 + 1/3)==11/18。全体を 1 倍して、和は 11/18。▨

問題 7.3.

∑n=1∞2(23)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}
解答.

答66

注意 初項 2、公比 r==2/3。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==2/(1 - (2/3))==6。▨

問題 7.4.

∑n=1∞2n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{n(n+1)}
解答.

答22

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+1))==1/n - 1/(n+1)。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+1))==1。全体を 2 倍して、和は 2。▨

問題 7.5.

∑n=1∞4n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n(n+3)}
解答.

答229\dfrac{22}{9}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+3))==(1/3)(1/n - 1/(n+3))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+3))==(1/3)(1 + 1/2 + 1/3)==11/18。全体を 4 倍して、和は 22/9。▨

問題 7.6.

∑n=1∞2n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{n(n+3)}
解答.

答119\dfrac{11}{9}

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+3))==(1/3)(1/n - 1/(n+3))。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+3))==(1/3)(1 + 1/2 + 1/3)==11/18。全体を 2 倍して、和は 11/9。▨

問題 7.7.

∑n=1∞6n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{6}{n(n+1)}
解答.

答66

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+1))==1/n - 1/(n+1)。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+1))==1。全体を 6 倍して、和は 6。▨

問題 7.8.

∑n=1∞4(−12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}
解答.

答83\dfrac{8}{3}

注意 初項 4、公比 r==-1/2。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==4/(1 - (-1/2))==8/3。▨

問題 7.9.

∑n=1∞(13)n−1\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}
解答.

答32\dfrac{3}{2}

注意 初項 1、公比 r==1/3。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==1/(1 - (1/3))==3/2。▨

問題 7.10.

∑n=1∞6(−12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 6\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}
解答.

答44

注意 初項 6、公比 r==-1/2。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==6/(1 - (-1/2))==4。▨

問題 7.11.

∑n=1∞3n(34)n\sum_{n=1}^{\infty} 3n\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}
解答.

答3636

注意 S=Σ= \Sigman rⁿ とおくと S - rS=Σ= \Sigmarⁿ==r/(1 - r)（|r| < 1）。よって S==r/(1 - r)²。r==3/4 を代入して、全体を 3 倍すると 36。▨

問題 7.12.

∑n=1∞4n(14)n\sum_{n=1}^{\infty} 4n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}
解答.

答169\dfrac{16}{9}

注意 S=Σ= \Sigman rⁿ とおくと S - rS=Σ= \Sigmarⁿ==r/(1 - r)（|r| < 1）。よって S==r/(1 - r)²。r==1/4 を代入して、全体を 4 倍すると 16/9。▨

問題 7.13.

∑n=1∞(14)n−1\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}
解答.

答43\dfrac{4}{3}

注意 初項 1、公比 r==1/4。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==1/(1 - (1/4))==4/3。▨

問題 7.14.

∑n=1∞3n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n(n+1)}
解答.

答33

注意 部分分数に分けると 1/(n(n+1))==1/n - 1/(n+1)。部分和をとると中間項が消え、残った項のうち n→∞\to \inftyで 0 に向かう分を落とすと、Σ\Sigma1/(n(n+1))==1。全体を 3 倍して、和は 3。▨

問題 7.15.

∑n=1∞2(−12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}
解答.

答43\dfrac{4}{3}

注意 初項 2、公比 r==-1/2。|r| < 1 だから収束し、和は a/(1 - r)==2/(1 - (-1/2))==4/3。▨

問題 7.16.

∑n=1∞3(32)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}
解答.

答 発散

注意 公比 r==3/2 で |r|≥\ge1。項 3·(3/2)^(n-1) は 0 に近づかず限りなく大きくなるので発散する。等比級数が収束するのは |r| < 1 のときだけ。▨

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