完備順序体の一意性 | 数学の基礎

1 標準有理数埋め込みと有理数の稠密性

定義 1.1. $K$ を順序体とする。整数 $m$ と正の整数 $n$ に対して

\iota_K\!\left(\frac{m}{n}\right) = (m\cdot 1_K)(n\cdot 1_K)^{-1}

と定める写像 $\iota_K:\Q\to K$ を、 $K$ への標準有理数埋め込み (canonical embedding of the rationals) という。

命題 1.2. $K$ を順序体とする。定義 1.1の式は有理数の表示に依存せず、 $\iota_K$ は単位元、加法、乗法および順序を保つ単射である。また、単位元を保つ体準同型 $\Q\to K$ は $\iota_K$ だけである。

証明.§E1.12 命題 4.3 (4)により、正の整数 $n$ に対して $n\cdot 1_K>0$ である。したがって $n\cdot 1_K\neq0$ であり、定義式の逆元は存在する。

$m/n=m'/n'$ ならば $mn'=m'n$ である。§E1.12 命題 4.3 (2)により

(m\cdot1_K)(n'\cdot1_K)=(mn')\cdot1_K=(m'n)\cdot1_K=(m'\cdot1_K)(n\cdot1_K)

となるため、両辺を正の元 $(n\cdot1_K)(n'\cdot1_K)$ で割れば、二つの表示から得られる値は一致する。また、 $m,m'\in\Z$ と $n,n'\in\Z_{>0}$ に対して、§E1.12 命題 4.3 (1)と§E1.12 命題 4.3 (2)により

\begin{aligned} \iota_K\!\left(\frac mn+\frac{m'}{n'}\right) &=((mn'+m'n)\cdot1_K)((nn')\cdot1_K)^{-1}\\ &=(m\cdot1_K)(n\cdot1_K)^{-1}+(m'\cdot1_K)(n'\cdot1_K)^{-1},\\ \iota_K\!\left(\frac mn\frac{m'}{n'}\right) &=((mm')\cdot1_K)((nn')\cdot1_K)^{-1}\\ &=(m\cdot1_K)(n\cdot1_K)^{-1}(m'\cdot1_K)(n'\cdot1_K)^{-1} \end{aligned}

である。したがって加法と乗法が保たれ、定義から $\iota_K(1)=1_K$ である。

$m/n>0$ ならば $m>0$ である。§E1.12 命題 4.3 (4)により $m\cdot1_K>0$ かつ $n\cdot1_K>0$ であり、§E1.12 命題 3.2により $(n\cdot1_K)^{-1}>0$ であるから、正の元どうしの積として $(m\cdot1_K)(n\cdot1_K)^{-1}>0$ である。 $q<r$ ならば $0<r-q$ なので

0<\iota_K(r-q)=\iota_K(r)-\iota_K(q),

すなわち $\iota_K(q)<\iota_K(r)$ である。また、 $q\ne0$ ならば $q$ または $-q$ が正であり、その像も正であるため、 $\iota_K(q)\ne0$ である。よって $\iota_K$ は単射である。

単位元を保つ体準同型 $f:\Q\to K$ は加法を保つので、§E1.12 命題 4.3 (3)により $f(m)=f(m\cdot1_{\Q})=m\cdot f(1_{\Q})=m\cdot1_K$ であり、逆元を保つため、 $m/n$ を必ず $(m\cdot1_K)(n\cdot1_K)^{-1}$ へ写す。したがって $f=\iota_K$ である。▨

以後、誤解が生じない場合は $\iota_K(q)$ を単に $q$ と書く。

補題 1.3. $K$ を完備順序体とする。任意の $x\in K$ に対して、

(m-1)\cdot 1_K\leq x<m\cdot 1_K

を満たす整数 $m$ が存在する。

証明.§E1.12 定理 4.5を $-x$ に適用し、 $x+N\cdot 1_K>0$ を満たす正の整数 $N$ を取る。さらに同じ定理により、 $x+N\cdot 1_K<p\cdot 1_K$ を満たす正の整数 $p$ が存在する。この条件を満たす正の整数のうち最小のものを $p_0$ とする。 $p_0=1$ ならば $(p_0-1)\cdot 1_K=0\leq x+N\cdot1_K$ である。 $p_0>1$ ならば、最小性により $p_0-1$ は条件を満たさないので $(p_0-1)\cdot1_K\leq x+N\cdot1_K$ である。いずれの場合も

(p_0-1)\cdot 1_K\leq x+N\cdot 1_K<p_0\cdot 1_K

が成り立つ。 $m=p_0-N$ とおけば、§E1.12 命題 4.3 (1)により結論を得る。▨

定理 1.4. $K$ を完備順序体とし、 $x,y\in K$ が $x<y$ を満たすとする。このとき

x<\iota_K(q)<y

を満たす有理数 $q$ が存在する。

証明. $y-x>0$ である。§E1.12 定理 4.5を $(y-x)^{-1}$ に適用し、 $n>(y-x)^{-1}$ を満たす正の整数 $n$ を取る。この不等式から $n(y-x)>1$ を得る。

補題 1.3を $nx$ に適用し、

m-1\leq nx<m

を満たす整数 $m$ を取る。 $m\leq nx+1<ny$ であるため、 $nx<m<ny$ である。 $q=m/n$ とおく。§E1.12 命題 4.3 (4)により $n\cdot1_K>0$ であり、§E1.12 命題 3.2により $(n\cdot1_K)^{-1}>0$ であるから、§E1.12 命題 2.1により $nx<m<ny$ の各辺へ $(n\cdot1_K)^{-1}$ を掛けて $x<q<y$ を得る。▨

2 有理下切断による元の復元

定義 2.1. $K$ を完備順序体とし、 $x\in K$ とする。集合

C_K(x)=\{q\in\Q\mid \iota_K(q)<x\}

を $x$ の有理下切断 (rational lower cut) という。

命題 2.2. $K$ を完備順序体とする。各 $x\in K$ に対して $C_K(x)$ は§E1.11 定義 3.2の意味での Dedekind 切断である。また、 $x<y$ であることと $C_K(x)\subsetneq C_K(y)$ であることは同値である。

証明.§E1.12 命題 2.1により $0<1_K$ であるから $x-1_K<x<x+1_K$ であり、定理 1.4をこの二つの不等式へ適用すると、 $x$ より小さい有理数と $x$ より大きい有理数が存在する。したがって $C_K(x)$ は空でない真部分集合である。 $q\in C_K(x)$ かつ $r<q$ ならば $r<x$ であるため、 $r\in C_K(x)$ であり、 $C_K(x)$ は $\Q$ の下方集合である。さらに $q\in C_K(x)$ に対して $q<x$ であるから、その間に有理数 $r$ が存在し、 $q<r$ かつ $r\in C_K(x)$ となるので、 $C_K(x)$ は最大元をもたない。よって $C_K(x)$ は Dedekind 切断である。

$x<y$ ならば $C_K(x)\subseteq C_K(y)$ であり、 $x$ と $y$ の間の有理数は $C_K(y)\setminus C_K(x)$ に属する。したがって包含は真である。逆に $C_K(x)\subsetneq C_K(y)$ ならば、ある有理数 $q$ が $q<y$ かつ $q\not<x$ を満たす。よって $x\leq q<y$ であり、 $x<y$ である。▨

定理 2.3. $K$ を完備順序体とし、 $A$ を§E1.11 定義 3.2の意味での Dedekind 切断とする。このとき $C_K(x)=A$ を満たす $x\in K$ がただ一つ存在する。

証明. $r\in\Q\setminus A$ を取る。任意の $q\in A$ について $q<r$ である。実際、 $r\leq q$ ならば下方閉性から $r\in A$ となり、 $r$ の選び方に反する。したがって

S_A=\{\iota_K(q)\mid q\in A\}

は空でなく、 $\iota_K(r)$ を上界にもつので、 $x=\sup S_A$ が存在する。

$q\in A$ とする。 $A$ は最大元をもたないため、 $q<q'$ を満たす $q'\in A$ が存在する。すると $q<q'\leq x$ であるため $q<x$ 、すなわち $q\in C_K(x)$ である。逆に $q\notin A$ ならば、上と同じ議論により $q$ は $A$ のすべての元以上であり、 $\iota_K(q)$ は $S_A$ の上界である。よって $x\leq q$ となり、 $q\notin C_K(x)$ である。以上から $C_K(x)=A$ を得る。

一意性は命題 2.2から従う。▨

3 順序体同型の構成と一意性

命題 3.1. $K$ と $L$ を完備順序体とする。各 $x\in K$ に対して $C_L(\Phi(x))=C_K(x)$ を満たす $\Phi(x)\in L$ がただ一つ存在する。こうして定まる写像 $\Phi:K\to L$ は全単射であり、任意の $x,y\in K$ と $q\in\Q$ に対して

x<y\iff\Phi(x)<\Phi(y), \qquad \Phi(\iota_K(q))=\iota_L(q)

を満たす。

証明.命題 2.2により $C_K(x)$ は Dedekind 切断であるから、定理 2.3を $L$ に対して適用することができ、 $C_L(\Phi(x))=C_K(x)$ を満たす $\Phi(x)\in L$ がただ一つ存在する。命題 2.2により、 $x<y$ と $\Phi(x)<\Phi(y)$ はともに $C_K(x)\subsetneq C_K(y)$ と同値である。

$K$ と $L$ を入れ替えて同じ構成を行い、 $C_K(\Psi_0(y))=C_L(y)$ を満たす写像 $\Psi_0:L\to K$ を得る。各 $x\in K$ について

C_K(\Psi_0(\Phi(x)))=C_L(\Phi(x))=C_K(x)

であり、各 $y\in L$ について

C_L(\Phi(\Psi_0(y)))=C_K(\Psi_0(y))=C_L(y)

であるから、定理 2.3の一意性により $\Psi_0\circ\Phi$ と $\Phi\circ\Psi_0$ はともに恒等写像である。すなわち $\Psi_0$ は $\Phi$ の逆写像であり、§E1.1 命題 3.8により $\Phi$ は全単射である。

各有理数 $q$ について命題 1.2により

C_K(\iota_K(q))=\{r\in\Q\mid r<q\}=C_L(\iota_L(q))

であるから、 $\Phi(x)$ の一意な定め方により $\Phi(\iota_K(q))=\iota_L(q)$ である。▨

補題 3.2.命題 3.1の $\Phi$ は加法を保つ。すなわち、任意の $x,y\in K$ に対して $\Phi(x+y)=\Phi(x)+\Phi(y)$ である。とくに $\Phi(0)=0$ かつ $\Phi(-x)=-\Phi(x)$ である。

証明. $x,y\in K$ と $q\in\Q$ を取る。 $q<x+y$ ならば、 $\delta=x+y-q>0$ とおき、定理 1.4により $x-\delta/2<r<x$ および $y-\delta/2<s<y$ を満たす有理数 $r,s$ を取ることができる。このとき $r+s>x+y-\delta=q$ である。切断の一致から $r<\Phi(x)$ かつ $s<\Phi(y)$ となるため、 $q<\Phi(x)+\Phi(y)$ である。

逆に $q<\Phi(x)+\Phi(y)$ ならば、同じ議論を $L$ で行い、 $r<\Phi(x)$ 、 $s<\Phi(y)$ 、 $q<r+s$ を満たす有理数 $r,s$ を得る。切断の一致から $r<x$ かつ $s<y$ となるため、 $q<x+y$ である。したがって

C_L(\Phi(x)+\Phi(y))=C_K(x+y)=C_L(\Phi(x+y))

であり、定理 2.3の一意性から $\Phi(x+y)=\Phi(x)+\Phi(y)$ である。 $\Phi(0)=\Phi(0)+\Phi(0)$ から $\Phi(0)=0$ であり、 $\Phi(x)+\Phi(-x)=\Phi(0)=0$ から $\Phi(-x)=-\Phi(x)$ である。▨

補題 3.3.命題 3.1の $\Phi$ は乗法を保つ。すなわち、任意の $x,y\in K$ に対して $\Phi(xy)=\Phi(x)\Phi(y)$ である。

証明. $x>0$ かつ $y>0$ とする。 $q<xy$ で $q\geq0$ ならば、 $\delta=xy-q>0$ とおく。§E1.12 命題 4.3 (4)により $0<2\cdot1_K$ であり、 $0<y<y+1$ かつ $0<x<x+1$ であるから $2(y+1)$ と $2(x+1)$ は正であり、§E1.12 命題 3.2によりそれらの逆元も正である。よって $\delta/(2(y+1))>0$ かつ $\delta/(2(x+1))>0$ である。定理 1.4により、有理数 $r,s$ を

\max\!\left\{0,x-\frac{\delta}{2(y+1)}\right\}<r<x, \qquad \max\!\left\{0,y-\frac{\delta}{2(x+1)}\right\}<s<y

となるように取ることができる。 $0<y<y+1$ および $0<r<x<x+1$ なので

xy-rs=y(x-r)+r(y-s) <\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta

となり、 $q<rs$ である。切断の一致から $r<\Phi(x)$ かつ $s<\Phi(y)$ であるため、 $q<\Phi(x)\Phi(y)$ である。補題 3.2の $\Phi(0)=0$ と命題 3.1の順序の同値性により $\Phi(x)>0$ かつ $\Phi(y)>0$ であるから、 $q<0$ の場合も $q<xy$ と $q<\Phi(x)\Phi(y)$ がともに成り立つ。逆向きの含意は、 $K$ と $L$ を入れ替えた同じ議論から従う。よって

C_L(\Phi(x)\Phi(y))=C_K(xy)=C_L(\Phi(xy))

であり、定理 2.3の一意性から $\Phi(xy)=\Phi(x)\Phi(y)$ である。

$x$ または $y$ が $0$ の場合は補題 3.2の $\Phi(0)=0$ から直ちに従う。負の元を含む場合は補題 3.2の $\Phi(-z)=-\Phi(z)$ と正の元の場合を用いると、すべての $x,y\in K$ について乗法が保たれる。▨

定理 3.4. $K$ と $L$ を完備順序体とする。このとき、単位元を保ち、 $x\leq y$ ならば $\Phi(x)\leq\Phi(y)$ を満たす体準同型

\Phi:K\longrightarrow L

がただ一つ存在する。この $\Phi$ は加法、乗法および順序を保つ全単射である。

証明.命題 3.1の $\Phi$ は全単射であり、 $x<y$ と $\Phi(x)<\Phi(y)$ が同値であるから順序を保つ。補題 3.2と補題 3.3により $\Phi$ は加法と乗法を保ち、命題 1.2と命題 3.1により $\Phi(1_K)=\Phi(\iota_K(1))=\iota_L(1)=1_L$ である。よって $\Phi$ は単位元と順序を保つ体準同型であり、全単射である。

$\Psi:K\to L$ を単位元を保ち順序を保つ体準同型とする。 $x\neq y$ とすると $x-y\neq0$ であり、 $\Psi(x)=\Psi(y)$ と仮定すると $\Psi(x-y)=0$ から

1_L=\Psi(1_K)=\Psi\bigl((x-y)(x-y)^{-1}\bigr)=\Psi(x-y)\Psi\bigl((x-y)^{-1}\bigr)=0

となり、 $L$ が体であることに反する。したがって $\Psi$ は単射であり、 $x<y$ ならば $\Psi(x)\leq\Psi(y)$ と $\Psi(x)\neq\Psi(y)$ から $\Psi(x)<\Psi(y)$ である。

$\Psi\circ\iota_K$ は単位元を保つ体準同型 $\Q\to L$ であるから、命題 1.2により $\Psi\circ\iota_K=\iota_L$ である。各 $x\in K$ と $q\in\Q$ について、 $\iota_K(q)<x$ ならば $\iota_L(q)=\Psi(\iota_K(q))<\Psi(x)$ であり、 $x\leq\iota_K(q)$ ならば $\Psi(x)\leq\Psi(\iota_K(q))=\iota_L(q)$ であるから

\iota_K(q)<x\quad\Longleftrightarrow\quad \iota_L(q)<\Psi(x)

が成り立ち、 $C_L(\Psi(x))=C_K(x)$ である。命題 3.1における $\Phi(x)$ の一意な定め方から $\Psi(x)=\Phi(x)$ を得るため、 $\Psi=\Phi$ である。▨

注意 3.5.定理 3.4で述べられる一意性は、二つの完備順序体の台集合が等しいという意味ではない。それぞれの標準有理数埋め込みを一致させる順序体同型がただ一つあるという意味である。したがって、§E1.14 実数体の構成の§E1.14 定理 3.1と§E1.26 Cauchy 列による実数の構成は異なる集合を作っても、四則演算と順序を含む構造として一意に同一視することができる。

上限の性質は、順序体 $K$ のすべての部分集合を量化する性質であり、順序体の一階言語における一つの文ではない。一方、実数体と同じ一階の文をすべて満たす非 Archimedes 的な実閉順序体が存在する。この事実は定理 3.4と矛盾しない。§E1.12 定理 4.5の対偶により、そのような順序体は上限の性質を満たさず、完備順序体ではないからである。非 Archimedes 的な実閉順序体の存在はモデル理論のコンパクト性定理から得られるが、本記事では存在の紹介にとどめ、非標準モデルを構成しない。

4 問題

問題 4.1 (完備でない順序体での存在と一意性).§E1.12 例 4.6の順序体 $\Q(t)$ について、次を示せ。

有理数係数の多項式 $p=\sum_ia_it^i$ に $p(t+1)=\sum_ia_i(t+1)^i$ を対応させると、 $\sigma(p/q)=p(t+1)/q(t+1)$ によって写像 $\sigma\colon\Q(t)\to\Q(t)$ が定まる。 $\sigma$ は単位元と順序を保つ体準同型であり、恒等写像と異なる。したがって、定理 3.4の一意性の主張は $K=L=\Q(t)$ に対して成り立たない。
$L$ を完備順序体とすると、単位元を保ち順序を保つ体準同型 $\Q(t)\to L$ は存在しない。したがって、定理 3.4の存在の主張は $K=\Q(t)$ に対して成り立たない。

解答.

(1)を示す。写像 $j\colon\Q[t]\to(\Q[t])[x]$ を、係数列 $(a_i)_{i\geq0}$ を定数多項式の列 $(a_i)_{i\geq0}$ へ送るものとして定める。§E1.7 命題 1.4により、定数多項式の和と積は有理数の和と積に対応するので、加法と畳み込み積の定義から $j$ は和と積を保ち、 $j(1)=1$ を満たす。 $s=\ev_{t+1}\circ j$ とおくと $s(p)=\sum_ia_i(t+1)^i=p(t+1)$ であり、§E1.7 命題 2.4により $s\colon\Q[t]\to\Q[t]$ は和と積を保ち、 $s(1)=1$ を満たす。

次に、非零多項式 $p$ について $s(p)\neq0$ かつ $\deg s(p)=\deg p$ であり、 $s(p)$ の最高次係数は $p$ の最高次係数に等しいことを示す。 $\Q$ は体であり整域であるから、§E1.7 命題 2.2 (4)と $i$ についての帰納法により、 $(t+1)^i$ は次数 $i$ 、最高次係数 $1$ の多項式である。 $d=\deg p$ 、 $a_d$ を $p$ の最高次係数とすると、同じ命題により $a_d(t+1)^d$ は次数 $d$ 、最高次係数 $a_d$ の多項式であり、§E1.7 命題 2.2 (1)により $\sum_{i<d}a_i(t+1)^i$ は零であるか次数が $d$ より小さい。したがって $s(p)$ の $d$ 次係数は $a_d$ であり、それより大きい次数の係数は零である。

$\sigma$ が定まることを示す。 $p/q=p'/q'$ （ $q,q'\neq0$ ）ならば $pq'=p'q$ であるから $s(p)s(q')=s(p')s(q)$ であり、前段により $s(q)\neq0$ かつ $s(q')\neq0$ であるから、 $\Q(t)$ において $s(p)/s(q)=s(p')/s(q')$ である。よって $\sigma(p/q)=s(p)/s(q)$ は表示によらない。 $s$ が和と積を保つので

\sigma\Bigl(\frac pq+\frac{p'}{q'}\Bigr)=\frac{s(p)s(q')+s(p')s(q)}{s(q)s(q')}=\sigma\Bigl(\frac pq\Bigr)+\sigma\Bigl(\frac{p'}{q'}\Bigr), \qquad \sigma\Bigl(\frac pq\cdot\frac{p'}{q'}\Bigr)=\sigma\Bigl(\frac pq\Bigr)\sigma\Bigl(\frac{p'}{q'}\Bigr)

であり、 $\sigma(1)=s(1)/s(1)=1$ である。したがって $\sigma$ は単位元を保つ体準同型である。

$P$ を§E1.12 例 4.6の正錐とする。 $f=p/q\in P$ ならば $p\neq0$ かつ $\operatorname{lc}(p)\operatorname{lc}(q)>0$ であり、前々段により $\operatorname{lc}(s(p))\operatorname{lc}(s(q))=\operatorname{lc}(p)\operatorname{lc}(q)>0$ であるから $\sigma(f)\in P$ である。 $f\leq g$ ならば $g-f\in P$ または $g-f=0$ であり、 $\sigma(g)-\sigma(f)=\sigma(g-f)$ は $P$ に属するか $0$ に等しいので、 $\sigma(f)\leq\sigma(g)$ である。よって $\sigma$ は順序を保つ。最後に $\sigma(t)=t+1$ であり、 $(t+1)-t=1\neq0$ であるから $\sigma(t)\neq t$ である。恒等写像も単位元と順序を保つ体準同型であるから、 $\Q(t)$ から $\Q(t)$ への単位元と順序を保つ体準同型は少なくとも二つ存在する。

この例では、有理数 $r$ に対して $t-r$ と $t+1-r$ の最高次係数がともに $1$ であるから、 $r<t$ かつ $r<t+1$ である。すなわち、 $t<t+1$ であるにもかかわらず、 $t$ より小さい有理数の全体と $t+1$ より小さい有理数の全体はともに $\Q$ に等しい。完備順序体では命題 2.2によりこの二つの集合は真に異なるので、 $\Q(t)$ では有理数による元の区別が成り立たない。

(2)を示す。単位元と順序を保つ体準同型 $\Psi\colon\Q(t)\to L$ が存在すると仮定する。正の整数 $n$ に対して、§E1.12 例 4.6により $n\cdot1_{\Q(t)}<t$ である。 $\Psi$ は加法を保つので、§E1.12 命題 4.3 (3)により $\Psi(n\cdot1_{\Q(t)})=n\cdot\Psi(1_{\Q(t)})=n\cdot1_L$ であり、 $\Psi$ が順序を保つことから $n\cdot1_L\leq\Psi(t)$ である。したがって $\{n\cdot1_L\mid n\in\Z_{>0}\}$ は $\Psi(t)$ を上界にもち、 $L$ は Archimedes 的でない。これは§E1.12 定理 4.5に反する。よってそのような $\Psi$ は存在しない。§E1.14 定理 3.1により完備順序体 $L$ は実在するので、 $K=\Q(t)$ とこの $L$ について存在の主張が成り立たない。▨

問題 4.2 (非負の元と平方元). $K$ を完備順序体とする。 $x\in K$ について、 $0\leq x$ であることと、 $x=y^2$ を満たす $y\in K$ が存在することが同値であることを示せ。また、これを用いて、完備順序体のあいだの単位元を保つ体準同型は必ず順序を保つことを示せ。

解答.

$x=y^2$ とする。 $y=0$ ならば $x=0$ であり、 $y\neq0$ ならば§E1.12 命題 2.1により $0<x$ である。いずれの場合も $0\leq x$ である。

逆に $0\leq x$ とする。 $x=0$ ならば $y=0$ が条件を満たす。 $0<x$ として

T=\{t\in K\mid 0\leq t,\ t^2\leq x\}

とおくと、 $0\in T$ であるから $T$ は空でない。 $t>1_K+x$ ならば $t>1_K$ であり、§E1.12 命題 2.1により $t^2>t$ である。 $t>x$ とあわせて $t^2>x$ となるので $t\notin T$ である。したがって $1_K+x$ は $T$ の上界であり、 $s=\sup T$ が存在する。 $x<1_K$ ならば§E1.12 命題 2.1により $x^2<x$ であるから $x\in T$ であり、 $1_K\leq x$ ならば $1_K^2=1_K\leq x$ であるから $1_K\in T$ である。いずれの場合も $s>0$ である。

$s^2<x$ と仮定する。 $2s+1_K>0$ であるから§E1.12 命題 3.2によりその逆元は正であり、 $h=\min\{1_K,(x-s^2)(2s+1_K)^{-1}\}$ は正である。 $0<h\leq1_K$ から $h^2\leq h$ であり、 $h(2s+1_K)\leq x-s^2$ であるから

(s+h)^2=s^2+2sh+h^2\leq s^2+h(2s+1_K)\leq x

となる。よって $s+h\in T$ であるが、 $s+h>s$ は $s$ が $T$ の上界であることに反する。

$s^2>x$ と仮定する。 $2s>0$ であるから§E1.12 命題 3.2によりその逆元は正であり、 $k=(s^2-x)(2s)^{-1}$ は正である。 $2sk=s^2-x$ であるから

s-k=\frac{s^2+x}{2s}>0, \qquad (s-k)^2=s^2-2sk+k^2=x+k^2>x

である。 $t\in T$ に対して $t^2\leq x<(s-k)^2$ であり、 $s-k\leq t$ とすると $0<s-k$ から $(s-k)^2\leq t(s-k)\leq t^2$ となって矛盾するので、 $t<s-k$ である。よって $s-k$ は $T$ の上界であるが、 $s-k<s$ は $s$ が最小の上界であることに反する。

したがって $s^2=x$ であり、 $y=s$ が条件を満たす。

$K$ と $L$ を完備順序体とし、 $\Psi:K\to L$ を単位元を保つ体準同型とする。 $x\leq y$ ならば $0\leq y-x$ であるから、いま示したことにより $y-x=z^2$ を満たす $z\in K$ が存在する。すると

\Psi(y)-\Psi(x)=\Psi(y-x)=\Psi(z)^2

であり、右辺は $\Psi(z)=0$ ならば $0$ 、そうでなければ§E1.12 命題 2.1により正である。よって $\Psi(x)\leq\Psi(y)$ であり、 $\Psi$ は順序を保つ。定理 3.4とあわせると、完備順序体のあいだの単位元を保つ体準同型はただ一つであり、 $K=L$ の場合には恒等写像に限る。▨

§E1.15完備順序体の一意性

1 標準有理数埋め込みと有理数の稠密性

2 有理下切断による元の復元

3 順序体同型の構成と一意性

4 問題

参考文献

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