§E1.27累積階層の濃度

証明.$\beth_0=\omega$は無限基数である。$\beth_\alpha$が無限基数ならば、選択公理により$2^{\beth_\alpha}$は基数であり、§E1.23 系 4.1により$\beth_\alpha<2^{\beth_\alpha}$であるから、$\beth_{\alpha+1}$も無限基数である。$\lambda$が極限順序数で、すべての$\alpha<\lambda$について$\beth_\alpha$が無限基数ならば、§E1.22 命題 1.2 (5)により$\beth_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}\beth_\alpha$は基数である。$0<\lambda$であるから$\omega=\beth_0\leq\beth_\lambda$であり、$\beth_\lambda$は無限である。超限帰納法により主張 (1)が成り立つ。

$\alpha<\beta$とし、$\beta$未満の段では狭義単調性が成り立つと仮定する。$\beta=\gamma+1$ならば、$\alpha\leq\gamma$であるから、帰納法の仮定と§E1.23 系 4.1により$\beth_\alpha\leq\beth_\gamma<\beth_{\gamma+1}$である。$\beta$が極限順序数ならば$\alpha+1<\beta$であり、$\beth_\alpha<\beth_{\alpha+1}\leq\beth_\beta$である。したがって、超限帰納法によりベート数の族は狭義単調に増加する。

$\aleph_0=\beth_0$である。$\aleph_\alpha\leq\beth_\alpha$と仮定すると、$\beth_{\alpha+1}$は$\aleph_\alpha$より大きい基数であるから、§E1.22 命題 4.2 (1)と後続基数の最小性§E1.22 系 3.2により

である。極限順序数$\lambda$について、すべての$\alpha<\lambda$について$\aleph_\alpha\leq\beth_\alpha$ならば

である。超限帰納法により$\aleph_\alpha\leq\beth_\alpha$であり、§E1.22 命題 4.2 (2)とあわせて$\alpha\leq\aleph_\alpha\leq\beth_\alpha$を得る。主張 (2)は示された。

$\beth_1=2^\omega=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$であるから、主張 (3)が成り立つ。

極限順序数$\delta$に対して、族$(\beth_\alpha)_{\alpha<\delta}$は狭義単調に増加し、その上限は$\beth_\delta$である。したがって§E1.24 補題 1.7により主張 (4)が成り立つ。▨

証明.$V_0=\varnothing$は有限集合である。$V_n$が有限集合ならば、その冪集合$V_{n+1}$も有限集合であり、§E1.23 命題 1.5により$\lvert V_{n+1}\rvert=2^{\lvert V_n\rvert}$である。自然数についての帰納法により主張 (1)が成り立つ。

$V_\omega=\bigcup_{n<\omega}V_n$であり、各$V_n$は有限集合であるから、§E1.23 補題 3.7を$\mu=\aleph_0$と$I=\omega$に適用すると$\lvert V_\omega\rvert\leq\aleph_0$を得る。一方、§E1.21 命題 1.3 (4)により$\omega\subseteq V_\omega$であるから、$\aleph_0\leq\lvert V_\omega\rvert$である。したがって$\lvert V_\omega\rvert=\aleph_0=\beth_0$である。

§E1.17 命題 4.1 (1)により$\omega+(\alpha+1)=(\omega+\alpha)+1$である。$\lvert V_{\omega+\alpha}\rvert=\beth_\alpha$と仮定すると、§E1.23 命題 1.5により

である。

$\lambda$を極限順序数とする。§E1.17 命題 4.1 (1)により$\omega+\lambda=\sup_{\alpha<\lambda}(\omega+\alpha)$である。§E1.16 命題 5.3 (4)により族$(\omega+\alpha)_{\alpha<\lambda}$は狭義単調に増加するから、§E1.24 補題 1.7により$\omega+\lambda$は極限順序数である。この族は$\omega+\lambda$において共終であるから、累積階層の極限段の定義と§E1.21 命題 1.3 (2)により

である。

すべての$\alpha<\lambda$について$\lvert V_{\omega+\alpha}\rvert=\beth_\alpha$と仮定する。命題 1.2 (2)により$\lambda\leq\beth_\lambda$であるから$\lvert\lambda\rvert\leq\beth_\lambda$であり、各$\alpha<\lambda$について$\lvert V_{\omega+\alpha}\rvert=\beth_\alpha\leq\beth_\lambda$である。したがって§E1.23 補題 3.7を$\mu=\beth_\lambda$と$I=\lambda$に適用すると

を得る。一方、各$\alpha<\lambda$について$V_{\omega+\alpha}\subseteq V_{\omega+\lambda}$であるから、$\beth_\alpha\leq\lvert V_{\omega+\lambda}\rvert$である。上限を取ると$\beth_\lambda\leq\lvert V_{\omega+\lambda}\rvert$であり、$\lvert V_{\omega+\lambda}\rvert=\beth_\lambda$を得る。超限帰納法により主張 (2)が成り立つ。▨

証明.§E1.21 定理 3.3により、$x$および$\operatorname{trcl}(x)$の各元の階数が定まる。§E1.21 命題 3.2 (3)により、写像

は全射である。$x=\varnothing$のときも、$q$は空集合から空集合への全射である。§E1.20 系 2.4 (2)による切断は単射であるから

である。$\kappa\leq\operatorname{rank}(x)$ならば包含写像により$\kappa\leq\lvert\operatorname{rank}(x)\rvert$となるから、$\operatorname{rank}(x)<\kappa$である。$\kappa$は§E1.24 補題 1.10により極限順序数であるから、$\operatorname{rank}(x)+1<\kappa$であり、§E1.21 命題 3.2 (1)と§E1.21 命題 1.3 (2)により

である。推移閉包の濃度の仮定とあわせて$x\in H(\kappa)$を得る。▨

証明.$H(\kappa)\subseteq V_\kappa$は定義から従う。$y\in x\in H(\kappa)$とすると、$V_\kappa$の推移性§E1.21 命題 1.3 (1)により$y\in V_\kappa$である。$\operatorname{trcl}(x)$は$x$を含む推移的集合であるから$y\subseteq\operatorname{trcl}(x)$であり、§E1.21 命題 2.1 (1)の最小性により$\operatorname{trcl}(y)\subseteq\operatorname{trcl}(x)$である。したがって$\lvert\operatorname{trcl}(y)\rvert<\kappa$であり、$y\in H(\kappa)$である。よって主張 (1)が成り立つ。

$\kappa\leq\lambda$とすると、§E1.21 命題 1.3 (2)により$V_\kappa\subseteq V_\lambda$である。$x\in H(\kappa)$ならば$x\in V_\lambda$かつ$\lvert\operatorname{trcl}(x)\rvert<\kappa\leq\lambda$であるから、$x\in H(\lambda)$である。よって主張 (2)が成り立つ。

$\alpha<\kappa$を順序数とする。順序数は推移的集合であるから、§E1.21 命題 2.1 (3)により$\operatorname{trcl}(\alpha)=\alpha$である。$\kappa$が基数であることから$\lvert\alpha\rvert<\kappa$であり、§E1.21 命題 1.3 (4)により$\alpha\in V_\kappa$であるから、$\alpha\in H(\kappa)$である。逆に、順序数$\alpha$が$H(\kappa)$の元ならば$\alpha\in V_\kappa$であり、同じ所属の特徴づけから$\alpha<\kappa$である。よって主張 (3)が成り立つ。

基礎の公理と選択公理を仮定する。集合$x$に対して$\mu=\max\{\omega,\lvert\operatorname{trcl}(x)\rvert^+\}$は無限基数であり、$\lvert\operatorname{trcl}(x)\rvert<\mu$を満たす。この$\mu$を含め、同じ不等式を満たすすべての無限基数について命題 2.2を適用すると主張 (4)を得る。▨