§E21.11極限・余極限の計算

証明.$B \times B$は$R$を含む同値関係であるから、共通部分を取る族は空ではない。$\{S_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$を$R$を含む$B$上の同値関係の全体とし、$\sim_R\, = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$とおく。

反射律について、任意の$b \in B$と任意の$\lambda \in \Lambda$について$(b, b) \in S_\lambda$であるから$(b, b) \in\, \sim_R$である。対称律について、$(b, b') \in\, \sim_R$ならば各$\lambda$について$(b, b') \in S_\lambda$であり、$S_\lambda$の対称律から$(b', b) \in S_\lambda$であるから$(b', b) \in\, \sim_R$である。推移律も同じ議論による。よって$\sim_R$は§E1.3 定義 1.3の三条件を満たす。$R$を含むことは、各$S_\lambda$が$R$を含むことによる。最後の主張は、$S$が$\{S_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の一つであることによる。▨

証明. 任意の$a \in A$について$(f(a), g(a)) \in R \subseteq\, \sim_R$であるから$\pi(f(a)) = \pi(g(a))$であり、$\pi \circ f = \pi \circ g$が成り立つ。

$u : B \to X$を$u \circ f = u \circ g$を満たす写像とする。

とおくと、$S$は$B$上の同値関係である。また、任意の$a \in A$について$u(f(a)) = u(g(a))$であるから$R \subseteq S$である。補題 2.1の最後の主張により$\sim_R\, \subseteq S$であり、$b \sim_R b'$ならば$u(b) = u(b')$が成り立つ。§E1.3 定理 4.1により、$\bar u \circ \pi = u$を満たす写像$\bar u : B/{\sim_R} \to X$がただ一つ存在する。よって§E21.5 命題 3.3の coequalizer の条件が満たされる。▨

証明.$c \circ \iota_A \circ f = c \circ \iota_B \circ g$であるから、§E21.5 命題 4.3の pushout に関する§E21.5 命題 4.3 (3)が成り立つ。

$w_1 : A \to Y$と$w_2 : B \to Y$が$w_1 \circ f = w_2 \circ g$を満たすとする。§E21.5 命題 2.3の余積の条件により、$w \circ \iota_A = w_1$かつ$w \circ \iota_B = w_2$を満たす射$w : A \sqcup B \to Y$がただ一つ存在する。このとき

であるから、§E21.5 命題 3.3の coequalizer の条件により、$t \circ c = w$を満たす射$t : Q \to Y$がただ一つ存在する。この$t$は$t \circ (c \circ \iota_A) = w_1$と$t \circ (c \circ \iota_B) = w_2$を満たす。

一意性を示す。$t'$が同じ二つの等式を満たすとすると、$t' \circ c$は$(t' \circ c) \circ \iota_A = w_1$と$(t' \circ c) \circ \iota_B = w_2$を満たすので、$w$の一意性から$t' \circ c = w$である。coequalizer が与える射の一意性から$t' = t$である。▨

証明.§E21.5 命題 2.12により$(A \sqcup B, \iota_A, \iota_B)$は$A$と$B$の余積である。$\iota_A \circ f$と$\iota_B \circ g$は$C$から$A \sqcup B$への写像であり、その値の組の全体が上の$R$である。したがって命題 2.2により、標準的な全射$\pi : A \sqcup B \to Q$は$\iota_A \circ f$と$\iota_B \circ g$の coequalizer である。命題 2.3を適用すると、$(Q, \pi \circ \iota_A, \pi \circ \iota_B)$が pushout であり、$\pi \circ \iota_A = \bar\iota_A$、$\pi \circ \iota_B = \bar\iota_B$である。▨

証明.$\mathcal J$の任意の射$u : i \to j$と任意の$x \in D(i)$について$\bigl((x, i), (D(u)(x), j)\bigr) \in R \subseteq\, \sim_R$であるから$\bar\iota_j(D(u)(x)) = \bar\iota_i(x)$であり、$(C, (\bar\iota_j))$は§E21.4 定義 2.1の意味で余錐である。

$(X, (\varphi_j))$を$D$上の余錐とする。§E21.5 命題 2.12により、$w \circ \iota_j = \varphi_j$をすべての$j$について満たす写像$w : \coprod_j D(j) \to X$がただ一つ存在する。$S = \{(z, z') \mid w(z) = w(z')\}$とおくと、$S$は同値関係であり、余錐の条件$\varphi_j \circ D(u) = \varphi_i$から

が成り立つので$R \subseteq S$である。補題 2.1により$\sim_R\, \subseteq S$であり、§E1.3 定理 4.1により$t \circ \pi = w$を満たす写像$t : C \to X$がただ一つ存在する。この$t$は$t \circ \bar\iota_j = t \circ \pi \circ \iota_j = \varphi_j$を満たす。

一意性を示す。$t'$が$t' \circ \bar\iota_j = \varphi_j$をすべての$j$について満たすとすると、$t' \circ \pi$は$(t' \circ \pi) \circ \iota_j = \varphi_j$を満たすので、$w$の一意性から$t' \circ \pi = w$である。$\pi$は全射であるから$t' = t$である。▨

証明. 結合律、単位元、逆元は成分ごとに確かめることができる。実際、任意の$a, b, c$と任意の$i \in I$について

である。$e(i) = e_{G_i}$で定めた$e$は単位元であり、$a^{-1}(i) = a(i)^{-1}$で定めた$a^{-1}$は$a$の逆元である。したがって$\prod_{i \in I} G_i$は§E7.1 定義 1.1の意味で群である。$I$が二元集合の場合、この群は§E7.13 定義 1.1の外部直積と、写像$a$に順序対$(a(1), a(2))$を対応させる全単射によって同一視することができる。射影については$p_i(ab) = (ab)(i) = a(i)b(i) = p_i(a)p_i(b)$であるから、$p_i$は群準同型である。

群準同型の族$(f_i : H \to G_i)_{i \in I}$を任意に取る。§E21.5 例 2.10により、$p_i \circ t = f_i$をすべての$i$について満たす写像$t : H \to \prod_{i \in I} G_i$がただ一つ存在し、$t(h)(i) = f_i(h)$である。この$t$は群準同型である。実際、任意の$h, h' \in H$と任意の$i \in I$について

であるから$t(hh') = t(h)t(h')$が成り立つ。群準同型は特に写像であるから、条件を満たす群準同型は高々一つである。よって§E21.5 命題 2.3の条件が満たされる。▨

証明.$f(e_G) = e_H = g(e_G)$であるから$e_G \in E$である。$a, b \in E$とすると$f(ab) = f(a)f(b) = g(a)g(b) = g(ab)$であるから$ab \in E$であり、$f(a^{-1}) = f(a)^{-1} = g(a)^{-1} = g(a^{-1})$であるから$a^{-1} \in E$である。よって$E$は$G$の部分群であり、包含写像$e$は群準同型である。定義から$f \circ e = g \circ e$である。

$u : X \to G$を群準同型で$f \circ u = g \circ u$を満たすものとする。§E21.5 例 3.5により、$e \circ t = u$を満たす写像$t : X \to E$がただ一つ存在し、$t(x) = u(x)$である。この$t$は群準同型である。実際、$e$は単射であり

であるから$t(xy) = t(x)t(y)$が成り立つ。群準同型は特に写像であるから一意性も従い、§E21.5 命題 3.3の条件が満たされる。▨

証明.命題 3.1により$\mathbf{Grp}$は任意の集合を添字集合とする直積をもち、命題 3.2により任意の平行な二射の equalizer をもつ。§E21.5 定理 5.1を適用すればよい。▨

証明. 任意の群$G$について、$1$から$G$への群準同型は$e \mapsto e_G$ただ一つである。群準同型は単位元を単位元へ送るためである。また、$G$から$1$への群準同型は、すべての元を$e$へ送るものただ一つである。したがって$\operatorname{Hom}(1, G)$と$\operatorname{Hom}(G, 1)$はいずれもただ一つの元からなり、§E21.5 定義 1.2により$1$は始対象かつ終対象である。よって定義 3.4の意味で零対象である。▨

証明.§E7.13 命題 1.3により、$\kappa_A$の像$\widetilde A = A \times \{e_B\}$の各元と$\kappa_B$の像$\widetilde B = \{e_A\} \times B$の各元は可換する。したがって、群準同型$\Phi : A \times B \to G$が存在すれば、$\Phi(\kappa_A(a))$と$\Phi(\kappa_B(b))$は$G$の中で可換する。この事実は$A$と$B$の取り方によらない。

$A = B = \{e, a\}$とし、$G = S_3$、$f : A \to S_3$を$f(a) = (1\,2)$、$g : B \to S_3$を$g(a) = (1\,3)$で定める。$(1\,2)$と$(1\,3)$は位数$2$の元であるから、$f$と$g$は群準同型である。置換の積$\sigma\tau$を、写像の合成$\sigma \circ \tau$と同じく$\tau$を先に施すものとすると

であり、二つは異なる。よって$\Phi \circ \kappa_A = f$かつ$\Phi \circ \kappa_B = g$を満たす群準同型$\Phi$は存在せず、§E21.5 命題 2.3の余積の条件は満たされない。▨

証明.§E3.2 定義 1.1の公理を成分ごとに確かめる。任意の$u, v, w \in \prod_{i \in I} V_i$、任意の$c, d \in k$、任意の$i \in I$について

であるから、加法は結合律と交換律を満たす。$0(i) = 0_{V_i}$で定めた$0$は零元であり、$(-v)(i) = -v(i)$で定めた$-v$は$v$の加法逆元である。スカラー倍については

が成り立つ。以上で線形空間の公理をすべて確かめた。射影が線形であることは演算の定義そのものである。

線形写像の族$(f_i : X \to V_i)_{i \in I}$に対して、§E21.5 例 2.10により$p_i \circ t = f_i$をすべての$i$について満たす写像$t : X \to \prod_{i \in I} V_i$がただ一つ存在し、$t(x)(i) = f_i(x)$である。この$t$は線形である。実際、任意の$x, y \in X$、$c \in k$、$i \in I$について

が成り立つ。線形写像は特に写像であるから一意性も従い、§E21.5 命題 2.3の条件が満たされる。▨

証明. 零元の台は空であり、二つの元の和の台は台の和集合に含まれ、スカラー倍の台は元の台に含まれるから、$\bigoplus_{i \in I} V_i$は§E3.2 定義 1.4の意味で部分空間である。$\iota_i$が線形写像であることは定義から従う。

線形写像の族$(f_i : V_i \to X)_{i \in I}$を任意に取り、

と定める。和は有限和であるから$X$の元が定まる。$t$が線形であることを見る。$v, w$について$\operatorname{supp}(v + w) \subseteq \operatorname{supp}(v) \cup \operatorname{supp}(w)$であり、この有限集合の上で和を取ると$f_i(0) = 0$により余分な項が消えるので

が成り立つ。スカラー倍についても同様である。また$t(\iota_i(v)) = f_i(v)$であるから$t \circ \iota_i = f_i$が成り立つ。

一意性を示す。$v \in \bigoplus_{i \in I} V_i$は$v = \sum_{i \in \operatorname{supp}(v)} \iota_i(v(i))$と有限和で書くことができる。$t'$が$t' \circ \iota_i = f_i$をすべての$i$について満たすなら、線形性から

である。よって§E21.5 命題 2.3の余積の条件が満たされる。▨

証明.$\theta$の存在と一意性は命題 4.2を$f_i = \kappa_i$に適用して得られる。同命題の明示式により、$v \in \bigoplus_{i \in I} V_i$について

である。第$j$成分を計算する。$\kappa_i$の定義から$\kappa_i(v(i))(j)$は$j = i$のとき$v(i)$、$j \ne i$のとき$0$である。したがって、$j \in \operatorname{supp}(v)$ならば右辺の和のうち$i = j$の項だけが零でなく$\theta(v)(j) = v(j)$であり、$j \notin \operatorname{supp}(v)$ならばすべての項が零で$\theta(v)(j) = 0 = v(j)$である。いずれの場合も$\theta(v)(j) = v(j)$であるから$\theta(v) = v$であり、$\theta$は包含写像である。

$I$が有限集合ならば、$\prod_{i \in I} V_i$の任意の元の台は有限集合であるから$\bigoplus_{i \in I} V_i = \prod_{i \in I} V_i$であり、$\iota_i = \kappa_i$である。したがって$\theta$は恒等写像であり、$\bigl(\prod_{i \in I} V_i, (\kappa_i)\bigr)$は$\bigl(\bigoplus_{i \in I} V_i, (\iota_i)\bigr)$と同じ組であるから、余積である。▨

証明.$u \in \prod_{i \in \mathbb N} k$を、すべての$i \in \mathbb N$について$u(i) = 1$となる元とする。$\operatorname{supp}(u) = \mathbb N$は有限集合ではないから$u \notin \bigoplus_{i \in \mathbb N} k$である。命題 4.3により$\theta$は包含写像であるから、$u$は$\theta$の像に属さない。よって$\theta$は全射ではない。

$\bigl(\prod_{i \in \mathbb N} k, (\kappa_i)\bigr)$が余積であると仮定する。$\bigl(\bigoplus_{i \in \mathbb N} k, (\iota_i)\bigr)$も同じ族の余積であるから、§E21.5 系 2.4により、$\theta' \circ \iota_i = \kappa_i$をすべての$i$について満たす同型射$\theta'$がただ一つ存在する。$\theta$も同じ等式を満たす唯一の射であるから$\theta' = \theta$であり、$\theta$は同型射になる。§E21.1 定義 6.1により同型射は逆射をもつので、$\theta$は写像として全単射であり（§E1.1 命題 3.8）、とくに全射である。これは$\theta$が全射でないことに反する。▨

証明.$f(v) = g(v)$と$(f - g)(v) = 0$は同値であるから$E = \ker(f - g)$である。$f - g$は線形写像であり、その核は§E3.2 定義 1.4の意味で$V$の部分空間である。実際、$f(0) = g(0) = 0$から$0 \in E$であり、$v, w \in E$と$c \in k$について$f(v + w) = f(v) + f(w) = g(v) + g(w) = g(v + w)$と$f(cv) = c f(v) = c g(v) = g(cv)$が成り立つ。よって包含写像$e$は線形写像であり、$f \circ e = g \circ e$である。

$u : X \to V$を線形写像で$f \circ u = g \circ u$を満たすものとする。§E21.5 例 3.5により、$e \circ t = u$を満たす写像$t : X \to E$がただ一つ存在し、$t(x) = u(x)$である。$e$は単射であり$e(t(x + y)) = u(x + y) = u(x) + u(y) = e(t(x) + t(y))$および$e(t(cx)) = u(cx) = c\,u(x) = e(c\,t(x))$が成り立つので、$t$は線形写像である。線形写像は特に写像であるから一意性も従い、§E21.5 命題 3.3の条件が満たされる。▨

証明.命題 4.1により$\mathbf{Vect}_k$は任意の集合を添字集合とする直積をもち、命題 4.5により任意の平行な二射の equalizer をもつ。§E21.5 定理 5.1を適用すればよい。▨

証明. 逆像は和集合と共通部分を保つ（$\iota_i^{-1}(\bigcup_\lambda W_\lambda) = \bigcup_\lambda \iota_i^{-1}(W_\lambda)$および$\iota_i^{-1}(W \cap W') = \iota_i^{-1}(W) \cap \iota_i^{-1}(W')$）から、$\mathcal O$は§E2.11 定義 1.1の三条件を満たす。$\iota_i^{-1}(\emptyset) = \emptyset$と$\iota_i^{-1}(\coprod_j X_j) = X_i$はいずれも開集合である。定義から各$\iota_i$は連続である。

連続写像の族$(g_i : X_i \to Z)_{i \in I}$を任意に取る。§E21.5 命題 2.12により、$t \circ \iota_i = g_i$をすべての$i$について満たす写像$t : \coprod_{i \in I} X_i \to Z$がただ一つ存在する。$V$を$Z$の開集合とすると、任意の$i$について