§E8.25作図可能数

証明.$z$を$S$から一段で作図される点とする。$z$が共通に属する二つの直線または円は、$S$の高々六個の点$s_1,\ldots,s_m$によって定まるので、$z$は$\{s_1,\ldots,s_m\}$から一段で作図される。各$l$について、$s_l$に対して作図可能性の定義の条件を満たす有限列$z^{(l)}_0,\ldots,z^{(l)}_{n_l}$を取り、列

を考える。部分集合$T\subseteq T'\subseteq\mathbb C$について、$T$が定める直線と円は$T'$が定める直線と円でもあるので、$T$から一段で作図される点は$T'$から一段で作図される。$k\ge2$について、$z^{(l)}_k$は$\{z^{(l)}_0,\ldots,z^{(l)}_{k-1}\}$から一段で作図され、この集合は上の列で$z^{(l)}_k$より前にある項の集合に含まれる。各$s_l$は$z^{(l)}_0,\ldots,z^{(l)}_{n_l}$のいずれかであるので、上の列で$z$より前にある。したがって、$z$は上の列で$z$より前にある項の集合から一段で作図される。上の列は$z$に対して作図可能性の定義の条件を満たすので、$z\in\mathcal C$である。▨

証明.

$0,1\in\mathcal C$であり、主張 2.1.1により$\mathcal C$は加法と符号の反転について閉じる。

$z,w\in\mathcal C$を取り、$z=x+iy$、$w=u+iv$（$x,y,u,v\in\mathbb R$）と書く。主張 2.1.3により$x,y,u,v\in\mathcal C$であり、主張 2.1.2を$a=1$と$(b,c)\in\{(x,u),(y,v),(x,v),(y,u)\}$に適用すると、$xu$、$yv$、$xv$、$yu$は$\mathcal C$に属する。$\mathcal C$は加法と符号の反転について閉じるので、

は$\mathcal C$に属し、主張 2.1.3により$zw\in\mathcal C$である。$z\neq0$ならば、$N:=x^2+y^2=z\overline z$は$\mathcal C$に属する正の実数である。主張 2.1.2を$a=N$、$c=1$と$b\in\{x,-y\}$に適用すると、$z^{-1}$の実部$x/N$と虚部$-y/N$は$\mathcal C$に属するので、主張 2.1.3により$z^{-1}\in\mathcal C$である。以上により、$\mathcal C$は$\mathbb C$の部分体である。

正の実数$r\in\mathcal C$を取る。$c:=(r-1)/2$は$\mathcal C$に属し、$c+1=(r+1)/2>0$であるから$c\neq-1$である。

であるから、点$i\sqrt r$は、中心$c$、半径$|c-(-1)|$の円と、$0$と$i$を通る直線に共通に属する。この円と直線は$\{-1,0,c,i\}$が定める円と直線であるから、補題 1.2により$i\sqrt r\in\mathcal C$であり、$\sqrt r=(i\sqrt r)/i\in\mathcal C$である。$0$でない$\zeta\in\mathcal C$については、$|\zeta|^2=\zeta\overline\zeta$が$\mathcal C$に属する正の実数であるから、$|\zeta|\in\mathcal C$である。

$z\in\mathcal C$と、$w^2=z$を満たす$w\in\mathbb C$を取る。$z=0$ならば$w=0\in\mathcal C$である。$z\neq0$とし、$u:=z/|z|$とおくと、$u\in\mathcal C$かつ$|u|=1$である。$u=-1$ならば$v:=i$とおき、$u\neq-1$ならば$v:=(1+u)/|1+u|$とおく。いずれの場合も$v\in\mathcal C$である。$u\neq-1$の場合には、$\overline u=u^{-1}$から

となるので、$v^2=(1+u)^2/|1+u|^2=u$である。$u=-1$の場合にも$v^2=-1=u$である。$w_0:=\sqrt{|z|}\,v$とおくと、$w_0\in\mathcal C$かつ$w_0^2=|z|\,u=z$である。$(w-w_0)(w+w_0)=w^2-w_0^2=0$であるから$w=\pm w_0$であり、$w\in\mathcal C$である。▨

証明.$z=x_0+iy_0$（$x_0,y_0\in\mathbb R$）と書く。$S$が定める直線が相異なる二点$p_1+ip_2$と$q_1+iq_2$を通るとき、$a:=q_2-p_2$、$b:=p_1-q_1$、$c:=ap_1+bp_2$とおくと、$a,b,c\in F$かつ$(a,b)\neq(0,0)$であり、この直線は方程式$ax+by=c$の実数解$(x,y)$全体である。$S$が定める円が中心$m_1+im_2$と、$S$の二点$s,s'$の距離$\rho:=|s-s'|$を半径とするとき、

である。$e:=-2m_1$、$f:=-2m_2$、$g:=m_1^2+m_2^2-\rho^2$とおくと、$e,f,g\in F$であり、この円は方程式$x^2+y^2+ex+fy+g=0$の実数解全体である。

$z$は、$S$が定める直線と円のうち相異なる二つに共通に属する。その二つが直線$a_1x+b_1y=c_1$と$a_2x+b_2y=c_2$である場合、$\Delta:=a_1b_2-a_2b_1=0$と仮定する。このとき零でない二つのベクトル$(a_1,b_1)$と$(a_2,b_2)$は平行であり、$(a_2,b_2)=\lambda(a_1,b_1)$を満たす実数$\lambda\neq0$が存在する。$(x_0,y_0)$は二つの方程式をともに満たすので$c_2=a_2x_0+b_2y_0=\lambda c_1$であり、二つの方程式の解集合は一致する。解集合の一致は二つの直線が相異なることに反するので、$\Delta\neq0$である。Cramer の公式により

はともに$F$に属するので、$d=0$とすればよい。

その二つの一方が直線で他方が円である場合、主張 3.1.1により結論が成り立つ。

その二つが円$x^2+y^2+e_kx+f_ky+g_k=0$（$k=1,2$）である場合、二つの方程式の差をとると

を得る。$e_1=e_2$かつ$f_1=f_2$ならば、この式から$g_1=g_2$となり、二つの円の方程式が一致して、二つの円が相異なることに反する。したがって$(e_1-e_2,f_1-f_2)\neq(0,0)$であり、$(x_0,y_0)$は$F$係数の一次方程式$(e_1-e_2)x+(f_1-f_2)y=g_2-g_1$と方程式$x^2+y^2+e_1x+f_1y+g_1=0$をともに満たす。主張 3.1.1により結論が成り立つ。▨

証明.$E$は$1$を含む体であるから、整数$m$と$0$でない整数$n$について$m/n\in E$であり、$F_0=\mathbb Q\subseteq E$である。$1\le j\le r$とし、$F_{j-1}\subseteq E$と仮定する。$[F_j:F_{j-1}]=1$ならば、$1$が$F_j$の$F_{j-1}$上の基底であるから$F_j=F_{j-1}\subseteq E$である。$[F_j:F_{j-1}]=2$とし、$\alpha\in F_j\setminus F_{j-1}$を取る。$p,q\in F_{j-1}$が$p+q\alpha=0$かつ$q\neq0$を満たすならば$\alpha=-p/q\in F_{j-1}$となるので、$1$と$\alpha$は$F_{j-1}$上一次独立であり、$2$次元の$F_{j-1}$-線形空間$F_j$の基底をなす。したがって

であり、$\alpha^2=-b\alpha-c$を満たす$b,c\in F_{j-1}$が存在する。$\beta:=2\alpha+b$とおくと

であるから、$E$についての仮定により$\beta\in E$である。$\alpha=(\beta-b)/2\in E$であり、$E$は体であるから$F_j\subseteq E$である。$j$についての帰納法により$F_r\subseteq E$である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$z$に対して作図可能性の定義の条件を満たす有限列$z_0,\ldots,z_n$を取る。$\mathbb R$の部分体$K_1:=\mathbb Q$から始めて、$2\le k\le n$について$\mathbb R$の部分体$K_k\supseteq K_{k-1}$を、$z_0,\ldots,z_k$の実部と虚部がすべて$K_k$に属し、$[K_k:K_{k-1}]\in\{1,2\}$となるように帰納的に定める。$z_0=0$と$z_1=1$の実部と虚部は$K_1$に属する。$K_{k-1}$まで定まったとする。補題 3.1を$F=K_{k-1}$と$S=\{z_0,\ldots,z_{k-1}\}$に適用すると、$d_k\ge0$を満たす$d_k\in K_{k-1}$が存在して、$z_k$の実部と虚部は$K_k:=K_{k-1}(\sqrt{d_k})$に属する。$K_{k-1}\subseteq K_k$であるから、$z_0,\ldots,z_k$の実部と虚部はすべて$K_k$に属する。$\sqrt{d_k}$は$x^2-d_k\in K_{k-1}[x]$の根であるから、§E8.2 定理 2.1により$\sqrt{d_k}$の$K_{k-1}$上の最小多項式は$x^2-d_k$を割り、その次数は$1$または$2$である。§E8.2 定理 3.1により$[K_k:K_{k-1}]\in\{1,2\}$である。

$i$は$x^2+1\in K_n[x]$の根であるから、§E8.2 定理 2.1と§E8.2 定理 3.1により$[K_n(i):K_n]\in\{1,2\}$である。$z$の実部と虚部は$K_n$に属するので、$z\in K_n(i)$である。$F_j:=K_{j+1}$（$0\le j\le n-1$）および$F_n:=K_n(i)$とおくと、$\mathbb C$の部分体の塔$\mathbb Q=F_0\subseteq\cdots\subseteq F_n$は(2)の条件を満たす。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。補題 2.1により、$E=\mathcal C$は補題 3.2の仮定を満たす。同じ補題により$F_r\subseteq\mathcal C$であるから、$z\in\mathcal C$である。▨

証明.$z\in\mathcal C$を取る。定理 3.3により、$[F_j:F_{j-1}]\in\{1,2\}$（$1\le j\le r$）を満たす$\mathbb C$の部分体の塔$\mathbb Q=F_0\subseteq\cdots\subseteq F_r$で、$z\in F_r$となるものが存在する。補題 3.2により$F_r\subseteq E$であるから、$z\in E$である。補題 2.1により$\mathcal C$自身もこの性質をもつ$\mathbb C$の部分体であるから、$\mathcal C$は最小である。▨

証明.定理 3.3により、$[F_j:F_{j-1}]\in\{1,2\}$（$1\le j\le r$）を満たす$\mathbb C$の部分体の塔$\mathbb Q=F_0\subseteq\cdots\subseteq F_r$で、$z\in F_r$となるものが存在する。塔の公式§E8.1 定理 2.1を繰り返し適用すると、$[F_r:\mathbb Q]$は有限であり、ある整数$t\ge0$について$[F_r:\mathbb Q]=2^t$である。§E8.2 命題 4.1により$z$は$\mathbb Q$上代数的であり、§E8.2 定理 3.1により$[\mathbb Q(z):\mathbb Q]$は$z$の$\mathbb Q$上の最小多項式の次数に等しい。$F_r$は$\mathbb Q$と$z$を含む体であるから$\mathbb Q(z)\subseteq F_r$であり、$F_r$の$\mathbb Q$上の基底は$F_r$を$\mathbb Q(z)$上でも生成するので、$[F_r:\mathbb Q(z)]$は有限である。塔の公式§E8.1 定理 2.1により

であるから、$[\mathbb Q(z):\mathbb Q]$は$2^t$の正の約数であり、素因数分解の一意性により$2$の冪である。▨

証明.$z\in\mathbb C$を$f$の根とし、$g$を$f$の最高次係数の逆数を$f$に掛けたモニック多項式とする。$g$は$\mathbb Q[x]$で既約であり、$g(z)=0$であるから、$z$は$\mathbb Q$上代数的である。§E8.2 定理 2.1により、$z$の$\mathbb Q$上の最小多項式は$g$を割る非定数のモニック多項式である。既約多項式$g$の非定数のモニックな約数は$g$自身だけであるから、最小多項式は$g$であり、§E8.2 定理 3.1により$[\mathbb Q(z):\mathbb Q]=\deg f$である。$\deg f$は$2$の冪でないので、系 3.5により$z\notin\mathcal C$である。▨

証明. 多項式$x^3-2\in\mathbb Z[x]$は、素数$2$について Eisenstein の判定法§E6.28 命題 8.1の条件を満たすので、$\mathbb Q[x]$で既約である。次数$3$は$2$の冪でないので、系 3.6により$\sqrt[3]2\notin\mathcal C$である。

作図可能な二点$a,b$が$|a-b|=\sqrt[3]2$を満たすと仮定する。$a\neq b$であるから、$0$と$1$を通る直線と、中心$0$、半径$|a-b|$の円は、$\{0,1,a,b\}$が定める直線と円である。点$\sqrt[3]2$は両者に共通に属するので、補題 1.2により$\sqrt[3]2\in\mathcal C$となり、$\sqrt[3]2\notin\mathcal C$と両立しない。▨

証明.$3=1+1+1$と$-1$は部分体$\mathcal C$に属するので、補題 2.1により$\sqrt3\in\mathcal C$と$i\in\mathcal C$を得る。したがって$e^{i\pi/3}=(1+\sqrt3\,i)/2\in\mathcal C$である。

半直線上の点$p=te^{i\pi/9}$（$t>0$）が作図可能であると仮定する。$0$と$p$を通る直線と、中心$0$、半径$|1-0|$の円は、$\{0,1,p\}$が定める直線と円であり、$\zeta:=e^{i\pi/9}$は両者に共通に属する。補題 1.2により$\zeta\in\mathcal C$であり、$\mathcal C$は体であるから$u:=\zeta+\zeta^{-1}\in\mathcal C$である。$\zeta^3=e^{i\pi/3}$から$\zeta^3+\zeta^{-3}=2\cos(\pi/3)=1$であるので、

となり、$u$は$h:=x^3-3x-1\in\mathbb Q[x]$の根である。$h$が有理数の根$m/n$（$m,n\in\mathbb Z$は互いに素、$n>0$）をもつと仮定すると、$m^3=3mn^2+n^3$である。$n$の素因数はいずれも$m^3$を割り、したがって$m$を割るので、$m$と$n$が互いに素であることから$n=1$である。このとき$m(m^2-3)=1$であるから$m=\pm1$であるが、$h(1)=-3$かつ$h(-1)=1$であるので、$h(m/n)\neq0$となり、$m/n$が$h$の根であることと両立しない。したがって$h$は$\mathbb Q$に根をもたず、次数が$3$であるから、§E6.28 定理 4.3により$\mathbb Q[x]$で既約である。次数$3$は$2$の冪でないので、系 3.6により$u\notin\mathcal C$であり、$u\in\mathcal C$と両立しない。したがって半直線上のどの点も作図可能でない。

有限列$w_0,\ldots,w_n$を主張のとおりに取る。$w_0,w_1,w_2\in\mathcal C$であり、$3\le k\le n$について$w_0,\ldots,w_{k-1}\in\mathcal C$ならば、補題 1.2により$w_k\in\mathcal C$である。$k$についての帰納法により、すべての$w_k$は$\mathcal C$に属する。半直線$\{te^{i\pi/9}\mid t>0\}$上のどの点も作図可能でないので、どの$w_k$もこの半直線上にない。▨