有限体の Galois 理論 | 体論入門

1 存在と一意性

定理 1.1. $q=p^r$ を素数 $p$ の正整数冪とする。このとき位数 $q$ の体が存在し、同型を除いて一意である。その体を $\mathbb F_q$ と書くことができる。

$\mathbb F_q$ は $\mathbb F_p[x]$ の多項式 $x^q-x$ の分解体であり、その元は固定した代数閉包の中で

\mathbb F_q=\{a\mid a^q=a\}

と特徴づけられる。

証明. $f=x^q-x\in\mathbb F_p[x]$ の分解体 $L$ を取る。標数 $p$ では $q=0$ なので

f'=qx^{q-1}-1=-1

であり、 $f$ は重根をもたない。したがって $L$ にある $f$ の根全体 $R$ はちょうど $q$ 個の元をもつ。

$a,b\in R$ とする。標数 $p$ における Frobenius の反復から

(a+b)^q=a^q+b^q=a+b,\qquad (ab)^q=a^qb^q=ab

となる。また $a\ne0$ なら $(a^{-1})^q=(a^q)^{-1}=a^{-1}$ である。 $0,1\in R$ でもあるため、 $R$ は $L$ の部分体である。 $L$ は $f$ の根で生成されるので $L=R$ であり、 $|L|=q$ となる。したがって根集合 $R=L$ は位数 $q$ の体を与え、存在の主張が従う。

$E$ を位数 $q$ の任意の体とする。§E8.7 定理 1.1により $E$ の標数は $p$ である。各 $a\in E^\times$ について、Lagrange の定理から $a^{q-1}=1$ なので $a^q=a$ である。 $a=0$ でも同じ等式が成り立つ。したがって $E$ の全元は $x^q-x$ の根であり、根の個数が次数 $q$ を超えないことから、 $E$ はこの多項式の $\mathbb F_p$ 上の分解体である。ここで、分解体の一意性§E8.11 定理 5.1により得られる結論は、同じ基礎体 $\mathbb F_p$ 上の同じ多項式の二つの分解体の間に、 $\mathbb F_p$ を点ごとに固定する体同型が存在することである。§E8.11 定理 5.1を $E$ と先に構成した $L$ に適用すると、両者は $\mathbb F_p$ 上同型である。▨

以後、すべての有限体を一つの代数閉包 $\overline{\mathbb F}_p$ の部分体として扱う。定理 1.1の根による特徴づけにより、 $m\mid n$ なら $\mathbb F_{p^m}\subseteq\mathbb F_{p^n}$ である。実際、 $a^{p^m}=a$ なら $a^{p^n}=a$ となる。

2 Frobenius 自己同型

命題 2.1. $q=p^r$ を素数冪とし、 $n\ge1$ とする。写像

\operatorname{Fr}_q:\mathbb F_{q^n}\longrightarrow\mathbb F_{q^n}, \qquad a\longmapsto a^q

は $\mathbb F_q$ -自己同型であり、位数は $n$ である。さらに

\operatorname{Gal}(\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q) =\langle\operatorname{Fr}_q\rangle\cong\mathbb Z/n\mathbb Z

である。

証明. 標数 $p$ における二項定理から $(a+b)^q=a^q+b^q$ であり、乗法の保存も明らかなので $\operatorname{Fr}_q$ は体準同型である。 $a\in\mathbb F_q$ なら $a^q=a$ であるから、この準同型は $\mathbb F_q$ を固定する。有限集合上の単射は全射なので自己同型である。

$a\in\mathbb F_{q^n}$ について $a^{q^n}=a$ であるため $\operatorname{Fr}_q^n=1$ である。 $0<d<n$ について $\operatorname{Fr}_q^d=1$ と仮定すると、 $q^n$ 個の元がすべて次数 $q^d$ の非零多項式 $x^{q^d}-x$ の根になり、根の個数の上界に反する。ゆえに $\operatorname{Fr}_q$ の位数は $n$ である。

$\mathbb F_{q^n}$ は分離多項式 $x^{q^n}-x$ の $\mathbb F_q$ 上の分解体なので、有限 Galois 拡大である。拡大次数は、位数を比較して

[\mathbb F_{q^n}:\mathbb F_q]=n

である。§E8.10 定理 3.1により Galois 群の位数も $n$ である。既に $\operatorname{Fr}_q$ が生成する位数 $n$ の部分群が存在するため、それが Galois 群全体である。▨

例 2.2. $x^3+x+1$ は $\mathbb F_2$ に根をもたない三次多項式なので既約である。したがって

\mathbb F_8\cong\mathbb F_2[x]/(x^3+x+1)

である。 $x$ の剰余類を $\alpha$ とすると $\alpha^3=\alpha+1$ であり、

\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha+1,\ \alpha^2+\alpha,\ \alpha^2+\alpha+1,\ \alpha^2+1,\ 1

は順に $\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^7$ である。よって $\alpha$ は $\mathbb F_8^\times$ の生成元である。Frobenius $a\mapsto a^2$ は $\alpha\mapsto\alpha^2\mapsto\alpha^4\mapsto\alpha$ と作用し、位数 $3$ の Galois 群を生成する。

3 部分体の分類

定理 3.1. $q$ を素数冪とし、 $n\ge1$ とする。 $\mathbb F_q$ を含む $\mathbb F_{q^n}$ の部分体は、 $n$ の正の約数 $d$ に対する $\mathbb F_{q^d}$ に限る。対応する Galois 群の部分群は

\operatorname{Gal}(\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_{q^d}) =\langle\operatorname{Fr}_q^d\rangle

である。

証明. $d\mid n$ なら、 $x^{q^d}-x$ の各根は $x^{q^n}-x$ の根なので $\mathbb F_{q^d}\subseteq\mathbb F_{q^n}$ である。 $\operatorname{Fr}_q^d$ の固定体は

\{a\in\mathbb F_{q^n}\mid a^{q^d}=a\}=\mathbb F_{q^d}

である。

逆に $\mathbb F_q\subseteq E\subseteq\mathbb F_{q^n}$ を部分体とする。有限 Galois 対応§E8.10 定理 4.1により、 $E$ は巡回群 $\langle\operatorname{Fr}_q\rangle$ のある部分群の固定体である。位数 $n$ の巡回群の部分群は、約数 $d\mid n$ に対する $\langle\operatorname{Fr}_q^d\rangle$ に限る。等式

\{a\in\mathbb F_{q^n}\mid a^{q^d}=a\}=\mathbb F_{q^d}

により、 $\langle\operatorname{Fr}_q^d\rangle$ の固定体は $\mathbb F_{q^d}$ である。したがって $E=\mathbb F_{q^d}$ である。▨

例 3.2. $\mathbb F_{q^6}/\mathbb F_q$ の中間体は

\mathbb F_q,\qquad\mathbb F_{q^2},\qquad\mathbb F_{q^3},\qquad\mathbb F_{q^6}

の四つである。例えば $\mathbb F_{q^2}$ の固定部分群は $\langle\operatorname{Fr}_q^2\rangle$ であり、その位数は $3$ である。

4 トレースとノルム

命題 4.1. $a\in\mathbb F_{q^n}$ とする。このとき

\operatorname{Tr}_{\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q}(a) =\sum_{i=0}^{n-1}a^{q^i}, \qquad \operatorname{N}_{\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q}(a) =\prod_{i=0}^{n-1}a^{q^i} =a^{(q^n-1)/(q-1)}.

第二式の最後の表示は $a=0$ に対しても $n\ge1$ の範囲で成り立つ。

証明.命題 2.1により $\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q$ の埋め込みは $1,\operatorname{Fr}_q,\ldots,\operatorname{Fr}_q^{n-1}$ である。分離拡大に対するトレースとノルムの埋め込み表示§E8.16 定理 2.1を適用すると、和と積の二式を得る。 $a\ne0$ なら

\prod_{i=0}^{n-1}a^{q^i}=a^{1+q+\cdots+q^{n-1}} =a^{(q^n-1)/(q-1)}.

$a=0$ の場合は両辺が $0$ である。▨

トレースとノルムの値が $\mathbb F_q$ に属することは、Frobenius を作用させると和の項と積の項が巡回的に置換されることからも直接確認することができる。

5 絶対 Galois 群

副有限整数環を有限巡回群の逆極限

\widehat{\mathbb Z}=\varprojlim_{n\ge1}\mathbb Z/n\mathbb Z

と定める。遷移写像は $m\mid n$ に対する剰余写像である。

定理 5.1. $q$ を素数冪とする。 $\mathbb F_q$ の代数閉包は

\overline{\mathbb F}_q=\bigcup_{n\ge1}\mathbb F_{q^n}

であり、絶対 Galois 群は

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_q/\mathbb F_q) \cong\widehat{\mathbb Z}

である。この同型で、Frobenius $a\mapsto a^q$ は $1\in\widehat{\mathbb Z}$ に対応し、その生成する巡回部分群は絶対 Galois 群で稠密である。

証明. $\alpha\in\overline{\mathbb F}_q$ は $\mathbb F_q$ 上代数的なので、 $E=\mathbb F_q(\alpha)$ は有限拡大である。 $d=[E:\mathbb F_q]$ とおけば、 $E$ は $\mathbb F_q$ 上 $d$ 次元の線形空間なので $|E|=q^d$ である。 $a\in E^\times$ に Lagrange の定理を適用すると $a^{q^d-1}=1$ であり、 $a=0$ と併せて、 $E$ の全元が $x^{q^d}-x$ の根である。一方、固定した代数閉包内の $\mathbb F_{q^d}$ は定理 1.1により、この多項式の $q^d$ 個の根全体である。 $E$ も $q^d$ 個の根をもつので、

E=\mathbb F_{q^d}

が固定した代数閉包の中で成り立つ。したがって表示された合併は代数閉包全体を尽くす。

§E8.12 系 3.3により $\mathbb F_q$ は完全体であり、定義§E8.12 定義 3.1により $\mathbb F_q$ 上のすべての代数拡大は分離的である。したがって $\overline{\mathbb F}_q$ は分離閉包でもある。また、無限次 Galois 拡大の逆極限表示§E8.13 定理 2.2により、Galois 拡大 $L/K$ の Galois 群が、その有限 Galois 部分拡大の Galois 群の逆極限に制限写像で同型になることが得られる。直前に証明した等式と定理 3.1により、 $\overline{\mathbb F}_q/\mathbb F_q$ の有限 Galois 部分拡大は $\mathbb F_{q^n}$ で尽くされ、 $m\mid n$ に対する制限写像は巡回群の剰余写像に対応する。ゆえに§E8.13 定理 2.2と命題 2.1から

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_q/\mathbb F_q) \cong\varprojlim_n\operatorname{Gal}(\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q) \cong\varprojlim_n\mathbb Z/n\mathbb Z =\widehat{\mathbb Z}.

§E8.13 命題 2.4により、この逆極限同型は Krull 位相に関する同相でもある。各有限商で Frobenius は $1\bmod n$ に対応する。 $\mathbb Z$ の像はすべての有限商へ全射なので、逆極限位相で稠密である。▨

6 演習

問題 6.1.

$x^{p^r}-x$ の根全体が逆元について閉じていることを、零元を分けて証明せよ。
$\operatorname{Gal}(\mathbb F_{q^{12}}/\mathbb F_q)$ の各部分群と、対応するすべての中間体を列挙せよ。
$a\in\mathbb F_{q^2}$ について、トレースが $a+a^q$ 、ノルムが $a^{q+1}$ になることを確認し、両者が $\mathbb F_q$ に属することを直接証明せよ。
$\widehat{\mathbb Z}$ の元が、 $m\mid n$ に対して整合する剰余類族 $(a_n\bmod n)_n$ であることを説明し、Frobenius の冪 $\operatorname{Fr}_q^k$ に対応する族を書け。

§E8.17有限体の Galois 理論

1 存在と一意性

2 Frobenius 自己同型

3 部分体の分類

4 トレースとノルム

5 絶対 Galois 群

6 演習

参考文献

前提記事