§B3.11まとめ

1 指数を広げた順序

出発点は整数乗です。$0$でない実数$a$と整数$m$に対して$a^{m}$を定め（§B3.1 定義 1.1）、指数法則が整数の範囲で成り立つことを確かめました（§B3.1 定理 1.2）。

指数を有理数へ広げる段で、底を正の数に限りました。$a=0$では指数が負である累乗が定まらず、$a<0$では分母が偶数である既約分数の指数に対応する累乗根が実数の範囲にありません。既約分数の分母が奇数である有理数だけを指数とするなら、負の底についても累乗を定めることができますが、同じ定義式を有理数全体へ適用することはできないからです（§B3.1 注意 1.3）。正の数$a$と正の整数$n$に対して$n$乗すると$a$になる正の数がただ一つ存在すること（§B3.1 定理 2.1）を根拠に累乗根を定め（§B3.1 定義 2.2）、$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$と定めました（§B3.1 定義 3.1）。ここで確かめたのは、$a^{m/n}$の値が分数の表し方によらないこと（§B3.1 定理 3.2）と、指数法則および狭義単調性が有理数を指数とする場合にも成り立つこと（§B3.1 定理 4.1、§B3.1 定理 4.2）です。さらに、積・商・合成関数の微分法を用いて、$x>0$の範囲で$\left(x^r\right)'=r\,x^{r-1}$を導きました（§B3.1 定理 5.2）。

指数を実数へ広げる段では、指数を少し動かしたときに有理数乗がどれだけ変わるかを押さえる必要がありました。有理数乗の変化の評価には、ベルヌーイの不等式を用いました。$a\ge1$と正の整数$N$について$0 \le a^{1/N}-1 \le \dfrac{a-1}{N}$（§B3.2 定理 2.1）を導き、この評価を用いて、指数の差が$\dfrac1N$以下であるときの有理数乗の差を上から押さえました（§B3.3 定理 2.1）。この評価から、実数$x$に収束する有理数の列をどのように取っても対応する有理数乗の列が同じ値に収束すること（§B3.3 定理 3.1）が従います。その極限として$a^{x}$を定めました（§B3.3 定義 4.1）。$a^{x}$を定めたあとに、指数が有理数であるときは$a^{x}$が従来の有理数乗と一致すること（§B3.3 定理 4.2）、指数について連続であること（§B3.3 定理 5.1）、および指数法則と狭義単調性（§B3.3 定理 6.1）を確かめました。

こうして実数全体で定まった$a^{x}$を、底$a$を固定して指数を動かす関数とみなしたものが指数関数です（§B3.4 定義 1.1）。狭義単調性と、値域が正の数全体になることを示し（§B3.4 定理 4.1）、この二つの性質から、指数を含む方程式と不等式を解くための同値な言い換えを得ました（§B3.4 公式 5.1）。

この道筋では、指数を広げるたびに、指数法則と狭義単調性が広げた範囲でも成り立つことを確かめました。すなわち、$a^{x}$の意味を広げる段階ごとに、定義だけでなく、その範囲で成り立つ性質も改めて示しています。

2 $e$の定め方

導関数の定義に従って$a^{x}$の差の商を書き下すと、指数法則によって$a^{x}$を括り出すことができます。そのため、差の商の極限の計算に残るのは、$h$を$0$に近づけたときの$\dfrac{a^{h}-1}{h}$の極限だけです（§B3.7 定理 1.1）。この極限は$x$によらず、底$a$だけで決まります。この極限が$1$になる底として$e$を定めました（§B3.7 定理 2.1、§B3.7 定義 2.3）。

$e$の定義と差の商の式から、$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$が従います（§B3.8 定理 1.1）。

別の定め方では、数列$\left(1+\dfrac1n\right)^{n}$の極限を$e$とします。本単元では、その極限値が上のように定めた$e$に一致することを、定理として示しました（§B3.7 定理 3.1）。変数を実数まで広げた場合も極限が同じ値になること（§B3.7 定理 3.2）と、底が$1$に近づき指数が限りなく大きくなる形の極限が式ごとに異なること（§B3.7 注意 3.3）も確かめました。二つの定め方の関係は§B3.7 注意 3.4にあります。

3 指数関数と対数関数が互いに逆の対応であること

$a>0$、$a\ne1$とすると、指数関数$\exp_a:\R\to(0,\infty)$は全単射です（§B3.5 定理 1.1）。そこで、全単射である写像には逆写像が定まること（§B2.7 定理 3.1）を用い、その逆写像として対数関数を定めました（§B3.5 定義 1.2）。この定義により、$\log_a M=p$であることと$a^p=M$であることは同値です。そこで、指数法則を読み替えて、積・商・累乗についての対数の性質（§B3.5 定理 2.1）と底の変換公式（§B3.5 公式 2.2）を導きました。また、指数関数の狭義単調性から、対数関数の狭義単調性を導きました（§B3.5 定理 3.1）。

底を$10$に取った対数が常用対数です。$1$以上の数の桁数（§B3.6 定理 2.1）と、$1$より小さい正の数を小数で表したときに$0$でない数字が最初に現れる位（§B3.6 定理 3.1）は、どちらも$\log_{10}N$を超えない最大の整数から求めることができます。底を$e$に取った対数が自然対数です（§B3.9 定義 1.1）。自然対数については、$e^{x}$と$\log$が互いに逆の対応であること（§B3.9 定理 1.3）と、一般の底の対数を自然対数の商へ直す公式（§B3.9 公式 2.1）を得ました。

自然対数の導関数を求める証明では、逆関数の微分法を用いません。$\log$の連続性を先に示し、正の数$a$における差の商を

$$\frac1a\cdot\frac{u}{e^u-1}, \qquad u=\log\left(1+\frac ha\right)$$

へ直接書き直すことで$(\log x)'=\dfrac1x$を証明しました（§B3.10 定理 2.1）。証明のあとで逆関数の微分法（§B3.10 定理 1.1）を適用すると、同じ値が得られます。この一致は§B3.10 注意 2.2で確かめています。

4 導関数の一覧

本単元で求めた導関数を、再掲として並べます。いずれも既に各記事で証明したものです。

上の一覧の 2 にある$\log a$は、§B3.8 指数関数の微分の段階では$e^{c}=a$を満たす実数$c$として書かれていました（§B3.8 公式 2.2）。対数を定めたあとで$c=\log a$であることを確かめ、$\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a$という形を得ました（§B3.10 公式 4.1）。

積、商、累乗が入り混じった式や、指数に変数が現れる式で関数$y$が表されるときは、等式の両辺の対数をとってから微分します（§B3.10 公式 5.1）。

5 認めて用いた箇所

本単元では、証明せずに認めて用いた事実を、そのつど各記事で明示してきました。以下がその一覧です。

認めて用いたのではなく、証明そのものを別の記事で与えているものもあります。ベルヌーイの不等式（§B3.2 定理 1.1）の証明は§B1.6 数学的帰納法の§B1.6 定理 3.1にあります。本単元では、この不等式を応用しました。導関数の定義、積・商・合成関数の微分法（§B2.10 定理 3.1、§B2.10 定理 4.1、§B2.10 定理 5.1）、および全単射である写像に逆写像が定まること（§B2.7 定理 3.1）は §B2 関数の性質で証明しており、本単元ではこれらの定義と定理を指数関数と対数関数へ適用しました。

証明を別の記事で与えている事実には、$y'=y$と$y(0)=1$をともに満たす関数が$e^{x}$のほかに無いことも含まれます。 §B3.8 指数関数の微分では§B3.8 注意 1.3でこの主張を述べるだけにとどめましたが、証明は同じ単元の §B3.12 諸外国における指数関数の取り扱いで§B3.12 定理 10.1として与えています。フランスの課程はこの特徴づけを指数関数の定義に採るので、同記事では、各国の立場を比べる中でこの特徴づけを証明しています。

6 続きを扱う単元

本単元で認めた実数の連続性と、$\varepsilon$を用いた収束の議論は §D1 ε-論法と基礎解析で扱います。同単元では、指数関数をべき級数として定義し直し、対数関数をその逆関数として定めることで、本単元で認めた事実に証明を与えます。

本単元で求めた導関数を出発点として、$\dfrac1x$の不定積分や、指数関数と対数関数を含む定積分と面積の計算は§C1 微積分で扱います。変数を複素数まで広げた指数関数と対数は §E5 複素解析で扱います。また、§B4 場合の数と確率統計では、平均と標準偏差だけで形が定まる分布として正規分布を扱います。正規分布のグラフを表す式は$e$を底とする指数関数を含むので、同単元では本単元の内容を前提とします。