§D1.24初等関数の厳密な定義

証明. まず$x=0$とする。指数関数の級数では第$0$項だけが$1$であり、正弦の級数の各項は$0$であり、余弦の級数では第$0$項だけが$1$である。したがって三つの級数は有限和として絶対収束する。

$x\ne0$とする。$u_n=|x|^n/n!$とおくと、すべての$n\ge0$について$u_n>0$であり、

である。比の判定法（§D1.21 定理 3.1）により、$\sum_{n=0}^{\infty}u_n$は収束する。正弦の絶対値級数は$\sum_{n=0}^{\infty}u_n$の奇数次の項からなる部分級数であり、余弦の絶対値級数は偶数次の項からなる部分級数である。各部分和は$\sum_{n=0}^{\infty}u_n$の和で上から抑えられるので、どちらも収束する。ゆえに、符号を含む正弦と余弦の級数も絶対収束する。▨

証明. 項ごとの微分により、

を得る。正弦の級数では各項の指数$2n+1$を係数と約分すると、

となる。余弦の級数では定数項の微分が$0$となり、$n\ge1$の項の添字を一つ下げると、

が従う。$x=0$における値は、各級数の定数項から得られる。▨

証明. すべての級数は絶対収束するので、§D1.21 定理 6.3を用いることができる。指数関数では二項定理により、

余弦の式では、全次数が$2k$となる項をまとめる。$x$の次数を$j$とすると、$j$が偶数の項は$\cos x\cos y$から、$j$が奇数の項は$-\sin x\sin y$から現れる。どちらの場合も符号は$(-1)^k$である。したがって、その和は

である。

正弦の式では、全次数が$2k+1$となる項をまとめる。$x$の次数$j$が奇数の項は$\sin x\cos y$から、$j$が偶数の項は$\cos x\sin y$から現れる。いずれも符号は$(-1)^k$なので、

▨

証明. 級数から正弦の奇関数性と余弦の偶関数性が従う。加法定理に$y=-x$を代入すると$\exp x\exp(-x)=1$である。したがって$\exp x$は$0$ではない。連続な関数$\exp$が正の値$\exp0=1$から負の値へ移るなら中間値の定理により$0$を取るので、$\exp x>0$である。余弦の加法定理に$y=-x$を代入すると、最後の恒等式が得られる。▨

証明.$t>0$なら、級数の各項が非負であることから$\exp t\ge1+t>1$である。$y>x$のとき、加法定理により

となる。また、$x\to\infty$のとき$\exp x\ge1+x\to\infty$であり、$x\to-\infty$のとき$\exp x=1/\exp(-x)\to0$である。連続性と中間値の定理により、任意の正の値をちょうど一度取る。▨

証明.$f$が狭義単調増加の場合を示す。$y_0=f(x_0)$とし、まず$x_0$が$I$の内点である場合を考える。十分小さい$\varepsilon>0$に対して

である。$y$が両端の値のあいだにあれば、逆関数も狭義単調増加なので

となる。したがって$y\to y_0$ならば$f^{-1}(y)\to x_0$である。$x_0$が端点である場合は、区間の内側にある片方の点だけを用いる同じ議論によって片側連続性が従う。

$f$が狭義単調減少の場合は不等号の向きが逆になるが、両端の値の間に$y$を取る同じ議論が成り立つ。よって、いずれの場合も逆関数は連続である。▨

証明.$u=\log a$、$v=\log b$とおくと、加法定理により$ab=\exp u\exp v=\exp(u+v)$である。$\exp$の単射性から第一の式が従う。また、

なので、単射性から第二の式が従う。

$\exp$は連続かつ狭義単調増加な全単射なので、定理 3.3により$\log$は連続である。$x>0$を固定し、$0<|k|<x$を満たす$k$を$0$に近づける。このとき$x+k>0$であり、$\log$の単射性から$u=\log(x+k)-\log x\ne0$である。また、$\log$の連続性により$u\to0$であり、$x+k=x\exp u$である。したがって、

である。最後の極限は$\exp'(0)=1$、すなわち$(\exp u-1)/u\to1$による。▨

証明. 指数関数の加法定理と対数の積法則により、

また、$a^{\langle x\rangle}=\exp(x\log a)>0$であり、$\log(\exp s)=s$であることから、

である。連続性は$\exp$の連続性から従う。$q=m/n$（$m\in\Z$、$n\in\mathbb N$）とすると、

である。$a^{\langle q\rangle}>0$であるから、正の$n$乗根の一意性により通常の$a^q$と一致する。▨

証明. 有理数$q$では、定理 3.6により両者が一致する。実数$x$に収束する有理数列$\{q_n\}$を取る。解析的な実数乗の連続性と、B3 の実数乗の定義が列の選び方によらないこと（§B3.3 定理 4.2の 2）により、

である。▨

証明.$a_n=(1+1/n)^n$とおく。§D1.7 例 3.1により$a_n\to e>0$である。定理 3.4の積法則を有限回適用すると、各$n\ge1$に対して

を得る。また、$\log1=\log(\exp0)=0$であり、定理 3.4により$\log'(1)=1$である。$1/n\to0$であるから、点$1$における差商として

となる。

命題 3.1と定理 3.3により、$\log$は$(0,\infty)$上で連続である。したがって$a_n\to e>0$から$\log a_n\to\log e$を得る。数列の極限の一意性により

である。定義 3.2により$\log$は単射であるから、$e=e_0$である。▨

証明.$\log e_0=\log(\exp1)=1$である。したがって解析的な実数乗について

である。定理 3.8により$e_0^{\langle x\rangle}=e_0^x$であるから、主張が従う。▨

証明. 正の整数$n$に対して$b_n=2^{2n}/(2n)!$とおくと、

である。したがって$\{b_n\}_{n\ge1}$は単調減少して$0$に収束する。交代級数の評価（§D1.21 定理 6.1）を$n=1$からの級数へ適用すると、

である。一方、$\cos0=1$であるから、中間値の定理により$(0,2)$に零点がある。正の零点全体を$Z$とし、$\tau=\inf Z$とおく。$\cos$の連続性と$\cos0=1$により、ある$\delta>0$について$0\le x\le\delta$ならば$\cos x>0$となるので、$\tau\ge\delta>0$である。また、上で得た$(0,2)$の零点を$z$とすると$\tau\le z<2$である。

下限の性質により、各正の整数$n$について$\tau\le z_n<\tau+1/n$を満たす$z_n\in Z$を取ることができる。$z_n\to\tau$と連続性から$\cos\tau=\lim\cos z_n=0$である。$0\le x<\tau$では$\cos x\ne0$である。もし$\cos x<0$ならば、$\cos0>0$と中間値の定理により$(0,x)$に零点が存在し、$\tau$が正の零点の下限であることに反する。したがって$\cos x>0$である。この性質と$\cos\tau=0$を満たす別の正の数$\sigma$があれば、正の零点の最小性から$\sigma\ge\tau$であり、$\sigma>\tau$ならば$\sigma$より前の点$\tau$で余弦が$0$となって性質に反する。よって$\sigma=\tau$であり、一意性も従う。

$\sin'=\cos$であるから、増減判定により$\sin$は$[0,\tau]$で狭義単調増加である。したがって$\sin\tau>0$である。系 2.2と$\cos\tau=0$から$\sin^2\tau=1$なので、$\sin\tau=1$である。▨

証明.$\pi=2\tau$であり、補題 4.1により$\cos\tau=0$、$\sin\tau=1$である。定理 2.1を$\tau+\tau$に適用すると、

を得る。

$0<x\le\tau$では、補題 4.1と$\sin'=\cos$により、$\sin$は$[0,\tau]$で狭義単調増加である。したがって、$\sin x>\sin0=0$である。$\tau<x<\pi=2\tau$のとき、$x=\tau+t$（$0<t<\tau$）と書けば、加法定理により

である。よって$0<x<\pi$では$\sin x>0$である。$\cos'=-\sin$であるから、平均値の定理により$\cos$は$[0,\pi]$で狭義単調減少である。▨

証明.$(-\pi/2,\pi/2)$では$\cos x>0$なので、$\sin'=\cos>0$である。端点の値は$-1,1$であるから、$\sin$の制限は$[-1,1]$への全単射である。命題 4.3により、$\cos$は$[0,\pi]$で狭義単調減少し、端点の値は$1,-1$である。

商の微分法則と$\sin^2x+\cos^2x=1$により、

である。$x\to\pi/2-$では$\sin x\to1$、$\cos x\to0+$なので$\tan x\to\infty$となり、奇関数性から$x\to-\pi/2+$では$-\infty$へ発散する。中間値の定理により、$\tan$の制限は$\R$への全単射である。▨

証明.系 2.2により、すべての$\theta\in\R$について$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$である。したがって$p(\theta)$は実際に単位円に属する。

主張 (1)を示す。命題 4.3の$\sin\pi=0$および$\cos\pi=-1$を加法定理へ代入すると、

を得る。これらの等式をもう一度適用すると、

が従う。さらに、この等式を正の整数回適用し、負の整数については等式の$\theta$を$\theta-2\pi$に置き換えてから同じ議論を用いると、

を得る。

主張 (2)を示す。$x^2+y^2=1$を満たす$(x,y)\in\R^2$をとる。このとき$-1\le x\le1$である。$y\ge0$のときは$\theta=\arccos x\in[0,\pi]$とおく。このとき$\cos\theta=x$であり、$[0,\pi]$上で$\sin\theta\ge0$なので、

である。$y<0$のときは$\theta=-\arccos x$とおく。余弦の偶関数性と正弦の奇関数性により、$\cos\theta=x$かつ

である。どちらの場合にも$p(\theta)=(x,y)$である。

主張 (3)を示す。$\alpha-\beta=2\pi k$を満たす$k\in\Z$が存在するとき、すでに示した整数倍の周期性から$p(\alpha)=p(\beta)$である。逆に$p(\alpha)=p(\beta)$とし、$d=\alpha-\beta$とおく。加法定理と基本恒等式により、

である。

§D1.4 命題 2.1により、$N>|d|/(2\pi)$を満たす正の整数$N$が存在する。$d/(2\pi)$以下の整数のうち$[-N,N]$に属するものの全体は、$-N$を含む空でない有限集合である。その最大元を$k$とすると、

である。実際、右側の不等式が成り立たなければ$k+1$も同じ有限集合に属し、$k$の最大性に反する。$r=d-2\pi k$とおくと$0\le r<2\pi$であり、周期性から$\cos r=\cos d=1$である。

$0\le r\le\pi$の場合、命題 4.3により$\cos$は$[0,\pi]$で狭義単調減少し、$\cos0=1$であるから、$r=0$である。$\pi<r<2\pi$の場合、$0<2\pi-r<\pi$である。余弦の偶関数性と周期性から$\cos r=\cos(2\pi-r)$だが、$\cos$の狭義単調減少性により$\cos(2\pi-r)<\cos0=1$となり、$\cos r=1$に矛盾する。したがって後者は起こらず、$r=0$である。ゆえに$d=2\pi k$である。▨

証明.$f$が連続かつ狭義単調な全単射で、$y=f(x)$、$f'(x)\ne0$とする。$k\ne0$かつ$y+k$が$f$の値域に属するものを任意に取り、$h=f^{-1}(y+k)-x$とおく。定理 3.3により$k\to0$のとき$h\to0$であり、$f$の単射性により$h\ne0$である。また、$k=f(x+h)-f(x)$であるから、

である。したがって、逆関数の導関数は元の関数の導関数の逆数である。

$y=\sin x$かつ$-\pi/2<x<\pi/2$なら$\cos x>0$なので$\cos x=\sqrt{1-y^2}$である。余弦については$0<x<\pi$で$\sin x>0$であり、正接については$(\tan x)'=1+\tan^2x$である。余弦について用いた正弦の正値性は命題 4.3による。これらを上の式へ代入すると、三つの公式が得られる。▨

証明.定理 3.8により、

である。$\log a=0$のとき$a=1$なので、差商は常に$0$である。$\log a\ne0$のとき$u=h\log a$とおくと、

である。最後の極限は$\exp'(0)=1$による。▨

証明.定理 5.1により、条件は$\log a=1$と同値である。$\log$は$\exp$の逆関数なので、これは$a=\exp1=e_0$と同値である。したがって、存在と一意性の両方が従う。▨

証明.§B3.7 定義 2.3により、$e$は差商の極限が$1$になる正の数である。系 5.2の一意性から$e=e_0=\exp1$である。定理 3.11に代入すると$\exp x=e^x$が従う。▨