積・商・合成関数の微分 | 関数の性質

1 前提とする定義と事実

関数が点で微分可能であること、およびその点での微分係数と導関数は、§B2.5 多項式の微分と接線・増減・極値の§B2.5 定義 1.1に従います。本記事の定理では、点 $x$ が定義域の内部の点であるときの差の商 $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ の極限を扱います。

証明では、次の三つの事実を認めて用います。いずれの事実の証明も、§D1 ε-論法と基礎解析で与えられます。

一つ目の事実は、極限の和・積・商についての性質です。各項や因子の極限が存在するとき、和・積・商の極限は極限の和・積・商に等しくなります。ただし、商では分母の極限が $0$ でないことを要します。
内側の関数の値が $b$ に近づくとき、 $b$ で連続な外側の関数の値は、その $b$ での値に近づきます。この事実は、合成した式の極限を、外側の関数の連続性を使って計算してよいことを表します。
関数 $g$ が点 $x$ で連続で $g(x) \ne 0$ ならば、 $x$ を含むある開区間のすべての点で $g$ の値は $0$ ではありません。

2 微分可能性と連続性

積と商の微分法の証明では、差の商を変形したあとに $f(x+h)$ や $g(x+h)$ の極限を取ります。そこで先に、微分可能であれば値の極限がもとの値に一致することを確かめます。

定理 2.1. 関数 $f$ が点 $x$ で微分可能ならば

\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)

が成り立つ。

証明. $h \ne 0$ のとき

f(x+h) - f(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h

と書ける。 $h \to 0$ のとき、右辺の第一の因子は微分係数 $f'(x)$ に近づき、第二の因子は $0$ に近づくので、積は $f'(x)\cdot 0 = 0$ に近づく。よって $\lim_{h\to0}f(x+h) = f(x)$ である。▨

3 積の微分法

定理 3.1 (積の微分法). 関数 $f$ と $g$ がともに点 $x$ で微分可能であるとする。このとき積 $fg$ も $x$ で微分可能であり

(fg)'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)

が成り立つ。

証明. $h \ne 0$ のとき、分子に $f(x)g(x+h)$ を足して引くと

\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h) + f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

となる。 $h \to 0$ のとき、第一項の差の商は $f'(x)$ に近づき、 $g$ は $x$ で微分可能であるから定理 2.1により $g(x+h)$ は $g(x)$ に近づく。第二項の差の商は $g'(x)$ に近づく。よって右辺は $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ に近づき、左辺の極限が存在してこの値に等しくなる。▨

4 商の微分法

商 $f/g$ は、分母 $g$ の値が $0$ になる点では定義されません。そこで、 $x$ の近くで分母が $0$ にならないことを仮定します。

定理 4.1 (商の微分法). 関数 $f$ と $g$ がともに点 $x$ で微分可能であるとし、さらに $x$ を含むある開区間のすべての点で $g$ の値が $0$ でないとする。このとき商 $\dfrac{f}{g}$ は $x$ で微分可能であり

\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}

が成り立つ。

証明. 仮定により、 $|h|$ が十分小さい $0$ でない $h$ について $g(x+h) \ne 0$ であり、差の商を作ることができる。分子を通分すると

\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{1}{g(x+h)g(x)}\cdot\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h}

である。右辺の第二の因子の分子に $f(x)g(x)$ を足して引くと

\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x) - f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

となり、 $h \to 0$ のとき $f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$ に近づく。また定理 2.1により $g(x+h)$ は $g(x)$ に近づき、 $g(x) \ne 0$ であるから、第一の因子は $\dfrac{1}{g(x)^2}$ に近づく。よって左辺の極限が存在して $\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ に等しくなる。▨

注意 4.2 (分母についての仮定).定理 4.1の開区間についての仮定は、 $g(x) \ne 0$ だけで足りる。 $g$ は $x$ で微分可能であるから定理 2.1により $x$ で連続であり、 $g(x) \ne 0$ ならば、認めて用いる事実により $x$ を含むある開区間のすべての点で $g$ の値は $0$ でない。

分子を定数関数 $1$ とすると、逆数の導関数についての次の式を得ます。

公式 4.3 (逆数の導関数). 関数 $g$ が点 $x$ で微分可能で、 $x$ を含むある開区間のすべての点で $g$ の値が $0$ でないとする。このとき

\left(\frac{1}{g}\right)'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}

が成り立つ。

証明.定理 4.1で $f$ を定数関数 $1$ とする。定数関数の導関数は $0$ であるから、分子は $0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x) = -g'(x)$ となる。▨

5 合成関数の微分法

合成関数 $f \circ g$ が定まるのは、 $g$ の定義域に属し、かつ $g$ の値が $f$ の定義域に入る $x$ の全体でした。次の定理は、その範囲に含まれる開区間の上で述べます。

定理 5.1 (合成関数の微分法). $I$ 、 $J$ を開区間とし、 $g$ を $I$ で定義された関数、 $f$ を $J$ で定義された関数とする。 $I$ のすべての点 $x$ について $g(x) \in J$ であるとする。点 $x_0 \in I$ について、 $g$ が $x_0$ で微分可能であり、 $f$ が $g(x_0)$ で微分可能であるならば、合成関数 $f \circ g$ は $x_0$ で微分可能であり

(f \circ g)'(x_0) = f'\bigl(g(x_0)\bigr)\,g'(x_0)

が成り立つ。すなわち、合成関数の導関数は、外側の関数の導関数に内側の関数の値を代入したものへ、内側の関数の導関数を掛けたものである。

証明. $b = g(x_0)$ と置く。 $J$ の各点 $t$ に対して

\varphi(t) = \begin{cases} \dfrac{f(t)-f(b)}{t-b} & (t \ne b) \\[6pt] f'(b) & (t = b) \end{cases}

と定める。 $f$ は $b$ で微分可能であるから $\lim_{t \to b}\varphi(t) = f'(b) = \varphi(b)$ であり、 $\varphi$ は $b$ で連続である。また、 $J$ のすべての点 $t$ について

f(t) - f(b) = \varphi(t)\,(t-b)

が成り立つ。 $t \ne b$ のときは $\varphi$ の定め方から、 $t = b$ のときは両辺が $0$ であることから従う。

$h \ne 0$ かつ $x_0 + h \in I$ とし、この等式に $t = g(x_0+h) \in J$ を代入して両辺を $h$ で割ると

\frac{f\bigl(g(x_0+h)\bigr) - f\bigl(g(x_0)\bigr)}{h} = \varphi\bigl(g(x_0+h)\bigr)\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}

となる。 $g$ は $x_0$ で微分可能であるから定理 2.1により、 $h \to 0$ のとき $g(x_0+h)$ は $b$ に近づく。 $\varphi$ は $b$ で連続であるから、 $\varphi\bigl(g(x_0+h)\bigr)$ は $\varphi(b) = f'(b)$ に近づく。また第二の因子は $g'(x_0)$ に近づく。よって左辺の極限が存在して $f'(b)\,g'(x_0)$ に等しくなる。▨

注意 5.2 (差の商を直接割ることができない理由).定理 5.1の証明では、補助の関数 $\varphi$ を経由した。差の商を

\frac{f\bigl(g(x_0+h)\bigr)-f\bigl(g(x_0)\bigr)}{g(x_0+h)-g(x_0)}\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}

と分けることはできない。 $h \ne 0$ であっても $g(x_0+h) = g(x_0)$ となることがあり、そのとき第一の分数は分母が $0$ になるからである。定数関数 $g$ はその例である。 $\varphi$ は $t = b$ でも値をもつように定めてあるので、 $g(x_0+h) = g(x_0)$ となる場合を別に扱う必要がない。

注意 5.3 (記号 $\dfrac{dy}{dx}$ による書き方). $u = g(x)$ 、 $y = f(u)$ と置くと、定理 5.1は

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

と書くことができる。ここで $\dfrac{dy}{du}$ は、 $y$ を $u$ の関数とみたときの導関数に $u = g(x)$ を代入したものである。この記号で計算したときは、最後に $u$ に $g(x)$ を代入して、答えを $x$ の式に直す。

6 $x$ の整数乗の導関数

負の整数乗は、 $x \ne 0$ と正の整数 $m$ について $x^{-m} = \dfrac{1}{x^{m}}$ と定め、 $x^{0} = 1$ と定めます。 $x$ の整数乗の導関数は、指数が正の整数の場合には多項式の微分の§B2.5 公式 2.1から得られます。指数が負の整数の場合の導関数は、逆数の導関数を用いて導きます。

定理 6.1. $n$ を $1$ 以上の整数とすると、すべての実数 $x$ について

(x^{n})' = n\,x^{\,n-1}

が成り立つ。 $n$ を $-1$ 以下の整数とすると、 $0$ でないすべての実数 $x$ について同じ式が成り立つ。ここで $x^{0}$ は、すべての実数 $x$ について $1$ と読む。

証明. $n \ge 1$ の場合は、§B2.5 公式 2.1の $(x^{n})' = n x^{\,n-1}$ そのものである。

$n \le -1$ の場合を示す。 $m = -n$ と置くと $m$ は $1$ 以上の整数であり、 $x \ne 0$ のとき $x^{n} = \dfrac{1}{x^{m}}$ である。 $x \ne 0$ のときは、 $x$ を含み $0$ を含まない開区間をとることができ、その上で $x^{m}$ は $0$ にならない。したがって公式 4.3と、いま引いた正の整数の場合により

(x^{n})' = -\frac{m x^{\,m-1}}{\left(x^{m}\right)^{2}} = -m\,x^{\,m-1-2m} = -m\,x^{\,-m-1} = n\,x^{\,n-1}

である。▨

$n = 0$ の場合は、定理の範囲の外にあります。 $x^{0} = 1$ は定数関数であり、その導関数は $0$ です（§B2.5 公式 2.1）。 $x^{0}$ の導関数が $0$ であることは、 $0 \cdot x^{-1}$ が $x \ne 0$ で $0$ に等しいことと整合します。

7 規則を組み合わせた微分

例 7.1. 次の三つの関数の導関数を求める。

$(1)$ $y = (3x^{2}+1)^{4}$ とする。外側を $t^{4}$ 、内側を $3x^{2}+1$ とみると、定理 5.1と定理 6.1により

y' = 4(3x^{2}+1)^{3}\cdot 6x = 24x(3x^{2}+1)^{3}

である。すべての実数 $x$ で成り立つ。

$(2)$ $y = \dfrac{2x+1}{x^{2}+1}$ とする。すべての実数 $x$ について $x^{2}+1 \ge 1 > 0$ であるから、定理 4.1を用いることができて

y' = \frac{2(x^{2}+1) - (2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{-2x^{2}-2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}

である。

$(3)$ $y = x\,(2x-1)^{-3}$ とする。 $2x-1 = 0$ となる $x = \dfrac{1}{2}$ では $(2x-1)^{-3}$ が定まらないので、 $x \ne \dfrac{1}{2}$ で考える。 $x > \dfrac{1}{2}$ では $I = \left(\dfrac{1}{2}, \infty\right)$ 、 $J = (0, \infty)$ 、 $x < \dfrac{1}{2}$ では $I = \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right)$ 、 $J = (-\infty, 0)$ として、 $2x-1$ を内側、 $t^{-3}$ を外側とみると、定理 5.1と定理 6.1により

\bigl((2x-1)^{-3}\bigr)' = -3(2x-1)^{-4}\cdot 2 = -6(2x-1)^{-4}

である。定理 3.1により

y' = 1\cdot(2x-1)^{-3} + x\cdot\bigl(-6(2x-1)^{-4}\bigr) = \frac{(2x-1) - 6x}{(2x-1)^{4}} = \frac{-4x-1}{(2x-1)^{4}}

である。 $x \ne \dfrac{1}{2}$ のすべての $x$ で成り立つ。

注意 7.2 (答えの確かめ方).例 7.1の $(1)$ は、先に式を展開してから項ごとに微分しても同じ導関数が得られる。二通りの計算結果が一致するかどうかで確かめることができる。また、 $(2)$ のもとの関数は分子が1次式、分母が2次式であるから、商の微分法で得る分子は高々2次式であり、分母 $(x^{2}+1)^{2}$ は 4次式である。得た導関数がこの次数に合うことも、確かめの手がかりになる。

8 例題

レベル1 — 積の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型 $(fg)\prime=f\prime g+fg\prime$

例 8.1.

f(x) = x^{3}(-x+1)

答 $f'(x) = x^{2}(-4x+3)$

注意 $f'(x)=3x^{2}(-x+1)+-1x^{3}$ と計算し、 $x^{2}$ で括る。

例 8.2.

f(x) = x^{4}(-4x+2)

答 $f'(x) = x^{3}(-20x+8)$

注意 $f'(x)=4x^{3}(-4x+2)+-4x^{4}$ と計算し、 $x^{3}$ で括る。

例 8.3.

f(x) = x^{2}(-3x+5)

答 $f'(x) = x(-9x+10)$

注意 $f'(x)=2x(-3x+5)+-3x^{2}$ と計算し、 $x$ で括る。

例 8.4.

f(x) = x^{2}(-2x+5)

答 $f'(x) = x(-6x+10)$

注意 $f'(x)=2x(-2x+5)+-2x^{2}$ と計算し、 $x$ で括る。

レベル2 — 商の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型 $\left(\dfrac{f}{g}\right)\prime=\dfrac{f\prime g-fg\prime}{g^2}$

例 8.5.

f(x) = \dfrac{-x-2}{x-2}

答 $f'(x) = \dfrac{4}{(x-2)^{2}}$

注意定義域は $x-2\ne0$ の範囲

例 8.6.

f(x) = \dfrac{2x}{x-1}

答 $f'(x) = \dfrac{-2}{(x-1)^{2}}$

注意定義域は $x-1\ne0$ の範囲

例 8.7.

f(x) = \dfrac{-x-3}{x-2}

答 $f'(x) = \dfrac{5}{(x-2)^{2}}$

注意定義域は $x-2\ne0$ の範囲

例 8.8.

f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-1}

答 $f'(x) = \dfrac{5}{(2x-1)^{2}}$

注意定義域は $2x-1\ne0$ の範囲

レベル3 — 合成関数の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型外側を微分 × 中身の微分（連鎖律）

例 8.9.

f(x) = (3x-3)^{5}

答 $f'(x) = 15(3x-3)^{4}$

注意外側の関数を $u^{5}$ 、内側の関数を $u=3x-3$ とみて、内側の導関数 $3$ を掛ける。

例 8.10.

f(x) = (2x+2)^{6}

答 $f'(x) = 12(2x+2)^{5}$

注意外側の関数を $u^{6}$ 、内側の関数を $u=2x+2$ とみて、内側の導関数 $2$ を掛ける。

例 8.11.

f(x) = (-2x+4)^{3}

答 $f'(x) = -6(-2x+4)^{2}$

注意外側の関数を $u^{3}$ 、内側の関数を $u=-2x+4$ とみて、内側の導関数 $-2$ を掛ける。

例 8.12.

f(x) = (2x-3)^{6}

答 $f'(x) = 12(2x-3)^{5}$

注意外側の関数を $u^{6}$ 、内側の関数を $u=2x-3$ とみて、内側の導関数 $2$ を掛ける。

9 演習

問題 9.1 (帰納法による整数乗の導関数).§B2.5 公式 2.1を使わずに、積の微分法と数学的帰納法で、 $1$ 以上の整数 $n$ について、すべての実数 $x$ で $(x^{n})' = n x^{\,n-1}$ が成り立つことを示しなさい。

解答.

$n = 1$ のとき、 $h \ne 0$ に対する差の商は $\dfrac{(x+h)-x}{h} = 1$ であるから $(x)' = 1 = 1\cdot x^{0}$ である。

$1$ 以上の整数 $n$ について $(x^{n})' = n x^{\,n-1}$ がすべての実数 $x$ で成り立つと仮定する。 $x^{\,n+1} = x\cdot x^{n}$ であり、 $x$ と $x^{n}$ はすべての実数 $x$ で微分可能であるから、定理 3.1により

(x^{\,n+1})' = 1\cdot x^{n} + x\cdot n x^{\,n-1} = x^{n} + n x^{n} = (n+1)x^{n}

である。ここで $n - 1 \ge 0$ であるから、 $x\cdot n x^{\,n-1} = n x^{n}$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。数学的帰納法により、 $1$ 以上のすべての整数 $n$ について結論が成り立つ。▨

問題 9.2 (積の微分法の仮定). $\R$ 上で $f(x) = |x|$ 、 $g(x) = |x|$ と定める。 $fg$ は $0$ で微分可能であるが、 $f$ と $g$ は $0$ で微分可能でないことを示しなさい。これは定理 3.1の仮定が、結論の微分可能性にとって十分条件であって必要条件でないことを表す。

解答.

すべての実数 $x$ について $f(x)g(x) = |x|^{2} = x^{2}$ である。§B2.5 公式 2.1により $x^{2}$ は $0$ で微分可能で、 $(fg)'(0) = 2\cdot 0 = 0$ である。一方、 $f = |x|$ は $0$ で微分可能でない（§B2.5 例 3.4）。 $g$ も $f$ と同じ関数であるから、 $0$ で微分可能でない。したがって $f$ と $g$ は定理 3.1の仮定を満たさないが、積 $fg$ は $0$ で微分可能である。▨

レベル1 — 積の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型 $(fg)\prime=f\prime g+fg\prime$

問題 9.3.

f(x) = x^{3}(2x+3)

解答.

答 $f'(x) = x^{2}(8x+9)$

注意 $f'(x)=3x^{2}(2x+3)+2x^{3}$ と計算し、 $x^{2}$ で括る。▨

問題 9.4.

f(x) = x^{2}(2x-3)

解答.

答 $f'(x) = x(6x-6)$

注意 $f'(x)=2x(2x-3)+2x^{2}$ と計算し、 $x$ で括る。▨

問題 9.5.

f(x) = x^{2}(-4x+3)

解答.

答 $f'(x) = x(-12x+6)$

注意 $f'(x)=2x(-4x+3)+-4x^{2}$ と計算し、 $x$ で括る。▨

問題 9.6.

f(x) = x^{4}(-2x-3)

解答.

答 $f'(x) = x^{3}(-10x-12)$

注意 $f'(x)=4x^{3}(-2x-3)+-2x^{4}$ と計算し、 $x^{3}$ で括る。▨

問題 9.7.

f(x) = x^{2}(-2x+4)

解答.

答 $f'(x) = x(-6x+8)$

注意 $f'(x)=2x(-2x+4)+-2x^{2}$ と計算し、 $x$ で括る。▨

レベル2 — 商の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型 $\left(\dfrac{f}{g}\right)\prime=\dfrac{f\prime g-fg\prime}{g^2}$

問題 9.8.

f(x) = \dfrac{x-3}{3x-4}

解答.

答 $f'(x) = \dfrac{5}{(3x-4)^{2}}$

注意定義域は $3x-4\ne0$ の範囲▨

問題 9.9.

f(x) = \dfrac{-3x+1}{2x-4}

解答.

答 $f'(x) = \dfrac{10}{(2x-4)^{2}}$

注意定義域は $2x-4\ne0$ の範囲▨

問題 9.10.

f(x) = \dfrac{-x+3}{2x+4}

解答.

答 $f'(x) = \dfrac{-10}{(2x+4)^{2}}$

注意定義域は $2x+4\ne0$ の範囲▨

問題 9.11.

f(x) = \dfrac{-3x-1}{3x-2}

解答.

答 $f'(x) = \dfrac{9}{(3x-2)^{2}}$

注意定義域は $3x-2\ne0$ の範囲▨

問題 9.12.

f(x) = \dfrac{3x+4}{2x+3}

解答.

答 $f'(x) = \dfrac{1}{(2x+3)^{2}}$

注意定義域は $2x+3\ne0$ の範囲▨

レベル3 — 合成関数の微分

次の関数を微分せよ。

解法の型外側を微分 × 中身の微分（連鎖律）

問題 9.13.

f(x) = (2x-1)^{3}

解答.

答 $f'(x) = 6(2x-1)^{2}$

注意外側の関数を $u^{3}$ 、内側の関数を $u=2x-1$ とみて、内側の導関数 $2$ を掛ける。▨

問題 9.14.

f(x) = (3x+1)^{5}

解答.

答 $f'(x) = 15(3x+1)^{4}$

注意外側の関数を $u^{5}$ 、内側の関数を $u=3x+1$ とみて、内側の導関数 $3$ を掛ける。▨

問題 9.15.

f(x) = (-2x-1)^{5}

解答.

答 $f'(x) = -10(-2x-1)^{4}$

注意外側の関数を $u^{5}$ 、内側の関数を $u=-2x-1$ とみて、内側の導関数 $-2$ を掛ける。▨

問題 9.16.

f(x) = (3x-4)^{3}

解答.

答 $f'(x) = 9(3x-4)^{2}$

注意外側の関数を $u^{3}$ 、内側の関数を $u=3x-4$ とみて、内側の導関数 $3$ を掛ける。▨

問題 9.17.

f(x) = (2x-3)^{4}

解答.

答 $f'(x) = 8(2x-3)^{3}$

注意外側の関数を $u^{4}$ 、内側の関数を $u=2x-3$ とみて、内側の導関数 $2$ を掛ける。▨

§B2.10積・商・合成関数の微分

1 前提とする定義と事実

2 微分可能性と連続性

3 積の微分法

4 商の微分法

5 合成関数の微分法

6 $x$ の整数乗の導関数

7 規則を組み合わせた微分

8 例題

9 演習

前提記事

§B2.10積・商・合成関数の微分

1 前提とする定義と事実

2 微分可能性と連続性

3 積の微分法

4 商の微分法

5 合成関数の微分法

6 xxxの整数乗の導関数

7 規則を組み合わせた微分

8 例題

9 演習

前提記事

6 $x$ の整数乗の導関数