§E19.13コンパクト性定理

言語を、定数記号$c$と相異なる一項関係記号$P_1,\ldots,P_n$からなるものとし、

とおく。$T$の文は相異なり、$T$は$n+1$個の文からなる。$T$のモデル$\mathcal M$があれば、$\mathcal M\models P_i(c)$がすべての$i$について成り立つので$\mathcal M\models P_1(c)\land\cdots\land P_n(c)$となり、最後の文に反する。よって$T$は充足不可能である。

$T$の部分集合$S$で文が$n$個以下のものを取ると、$S$は$T$のある一つの文を含まない。台集合を$\{0\}$とし、$c$を$0$と解釈する。$S$が$\neg(P_1(c)\land\cdots\land P_n(c))$を含まないならば、すべての$P_i$を$\{0\}$と解釈すると$S$のすべての文が真になる。$S$がある$P_k(c)$を含まないならば、$P_k$を$\varnothing$、$i\neq k$の$P_i$を$\{0\}$と解釈すると、$P_i(c)$（$i\neq k$）は真であり、$P_k(c)$が偽であるから連言の否定も真である。いずれの場合も$S$は充足可能である。したがって、固定した$n$について$n$個以下の文からなる部分集合がすべて充足可能であっても、理論が充足可能であるとは限らない。

$\eta_n$を定理 3.1の前に定めた文とする。$T\cup\{\eta_n\mid1\leq n<\omega\}$のモデルは$T$の無限モデルにほかならないので、仮定により$T\cup\{\eta_n\mid1\leq n<\omega\}\models\varphi$である。定理 2.1により、有限部分集合$T_0\subseteq T$と有限個の正の整数$n_1,\ldots,n_k$が存在して$T_0\cup\{\eta_{n_1},\ldots,\eta_{n_k}\}\models\varphi$である。$N=\max\{1,n_1,\ldots,n_k\}$とおく。

$\mathcal M$を$N$個以上の元をもつ$T$のモデルとする。各$n_i\leq N$について、$\mathcal M$は相異なる$n_i$個の元をもつので$\mathcal M\models\eta_{n_i}$である。また$\mathcal M\models T_0$である。したがって$\mathcal M\models\varphi$である。

$T^*=T\cup\{\eta_n\mid1\leq n<\omega\}$とおき、$T^*$の有限部分集合$S$を取る。$S$に現れる$\eta_n$の添字の最大値を$N$とし、$\eta_n$が現れない場合は$N=1$とする。$T_0=S\cap T$は$T$の有限部分集合であるから、仮定により濃度が$N$以上である有限モデル$\mathcal M\models T_0$が存在する。$\mathcal M$は相異なる$N$個の元をもつので、$S$に現れる各$\eta_n$（$n\leq N$）を満たす。よって$S$は充足可能であり、定理 1.1により$T^*$はモデル$\mathcal M^*$をもつ。$\mathcal M^*$はすべての$\eta_n$を満たすので無限であり、$\mathcal M^*\models T$である。

例として$T=\{\eta_n\mid1\leq n<\omega\}$を取る。$T$の有限部分集合$T_0$に現れる添字の最大値を$N_0$とすると、$\max\{N_0,n\}$個の元からなる任意の構造は濃度が$n$以上であり、$T_0$を満たす。よって$T$は仮定を満たす。一方、$T$のモデルはすべての$\eta_n$を満たすので無限であり、$T$は有限モデルをもたない。したがって、この結果は、$T$全体が任意に大きい有限モデルをもつことを仮定する定理 3.1を真に一般化している。

無限構造全体は文集合$\{\eta_n\mid1\le n<\omega\}$のモデル類である。各有限構造$\mathcal M$には、$\mathcal M\not\models\eta_n$を満たす正整数$n$が存在するため、その構造は除かれ、各無限構造はすべてを満たす。有限構造全体を指定しようとすると、コンパクト性がすべての有限下界を満たす無限モデルを生じさせる。