§E19.16Peano 算術の非標準モデル

標準自然数$n$を固定する。$n=0$のとき$\psi_0=\forall x\,\neg(x<0)$、$n\geq1$のとき

とおく。標準モデルでは$n$より小さい自然数は$0,1,\ldots,n-1$に限るので$\psi_n$は真であり、$\psi_n$と三分律の文$\forall x\forall y\,(x<y\lor x=y\lor y<x)$はともに$\operatorname{Th}(\mathbb N)$に属するので$M$で真である。三分律により$a<\overline n^M$、$a=\overline n^M$、$\overline n^M<a$のいずれかが成り立つ。$a=\overline n^M$は$a$の非標準性に反する。$a<\overline n^M$ならば、$\psi_n$により$n\geq1$であり、ある$k<n$について$a=\overline k^M$となって、やはり非標準性に反する。よって$\overline n^M<a$である。

標準モデルではすべての自然数は偶数か奇数であるから、文$\forall x\exists y\,(x=y+y\lor x=S(y+y))$は$\operatorname{Th}(\mathbb N)$に属し、$M$で真である。よって条件を満たす$b$が存在する。そのような$b$が標準要素$\overline n^M$であると仮定する。文$\overline n+\overline n=\overline{2n}$は標準モデルで真であるから$M$でも真であり、$a=\overline{2n}^M$または$a=S^M(\overline{2n}^M)=\overline{2n+1}^M$となって、$a$の非標準性に反する。よって$b$は非標準要素である。

さらに、文$\forall x\forall y\,\bigl((\neg(y=0)\land(x=y+y\lor x=S(y+y)))\to y<x\bigr)$は、正の自然数$y$について$y<2y\leq x$となるので標準モデルで真であり、$M$でも真である。$b$は非標準であるから$b\neq0^M$であり、$b<a$を得る。とくに、任意の非標準要素より小さい非標準要素が存在する。

そのような$\varphi$と$b_1,\ldots,b_k$が存在すると仮定し、$\vec b=(b_1,\ldots,b_k)$と書く。$0^M=\overline0^M$は標準要素であるから$M\models\varphi[0^M,\vec b]$である。$M\models\varphi[a,\vec b]$ならば$a$は標準要素$\overline n^M$であり、数詞の定義により$S^M(a)=\overline{n+1}^M$も標準要素であるから$M\models\varphi[S^M(a),\vec b]$である。したがって

の前件が$\vec z$に$\vec b$を割り当てて成り立つ。この文は§E19.15 定義 3.1の$\varphi$に対応する帰納法公理であり、$M\models PA$であるから、$M\models\forall x\,\varphi[x,\vec b]$である。すなわち$M$のすべての要素が標準要素となり、$M$が非標準要素をもつことに反する。

$L_A$に新しい定数記号$c,d$を加えた言語の理論

を考える。有限部分集合$T_0\subseteq T^{**}$に現れる数詞の添字より大きい標準自然数$N$を取り、標準モデルを$c$を$N$、$d$を$2N+1$と解釈して展開する。$T_0$に現れる各$\overline n<c$は$n<N$により、各$c+\overline n<d$は$N+n<2N+1$により真であり、$\operatorname{Th}(\mathbb N)$の文は$c,d$を含まないので真である。よって$T^{**}$の各有限部分集合は充足可能であり、§E19.13 定理 1.1によりモデル$M^{**}$が存在する。

$M$を$M^{**}$の$L_A$への還元とし、$a=c^{M^{**}}$、$b=d^{M^{**}}$とおく。定理 1.2の証明と同じ議論により、$M$は標準モデルと初等同値であり、$a$は非標準要素である。各$n$について$a+^M\overline n^M<b$である。$n=0$の場合と§E19.15 定義 2.1 (Q4)により$a=a+^M\overline0^M<b$である。$b$が標準要素$\overline m^M$ならば、(1)により$\overline m^M<a$であり、標準モデルで真な文$\forall x\forall y\,\neg(x<y\land y<x)$が$M$で真であることに反する。よって$b$は非標準要素である。