尺規作図とその根拠では、目盛りのない定規とコンパスによる有限回の操作として作図を定め、各手順が目的の図形を与えることを証明します。垂直二等分線、正三角形、角の二等分線、指定した点を通る垂線と平行線の作図が基本例です。
1 この記事で証明すること
この記事では、尺規作図の道具立てを決めたうえで、各手順によって目的の図形を本当に作ることができることを証明します。
そのうえで、角の三等分・立方体倍積が同じ道具で作図できるかという問いを立てます（可能・不可能の判定は環・体・ガロア理論に委ねます）。
2 使ってよい操作と作図の終点
定義 2.1 (尺規作図). 最初に有限個の点が与えられているとする。次の操作だけを有限回行う手続きを尺規作図 (straightedge-and-compass construction) という。
- すでに得た相異なる2点を通る直線を引く。
- すでに得た点を中心とし、相異なる2つの既得点が定める距離を半径とする円を描く。
- すでに引いた2つの直線・円の、有限個の実交点を新しい点として加える。
入力条件を満たすすべての配置で各操作が実行でき、有限回後に目的の点、または目的の直線・円を定める点が得られたとき、そこで作図は終了し、目的の図形は作図可能であるという。目的を満たす点が2つある場合に「どちらを選んでもよい」と指定することも、作図の終点に含める。
定義 2.2 (有効な作図手順と縮退). 作図の途中で必要な直線・円・交点が定まる手順を有効 (valid) という。次の配置は区別して扱う。
- 直線を定める2点が一致すれば、その直線は定まらない。
- 円の半径を定める2点が一致すれば半径がとなるので、ここでは円を描く操作として認めない。
- 相異なる2直線の交点は、平行なら0個、平行でなければ1個である。直線と円、または相異なる2円の交点は0個、1個、2個のいずれかであり、接するときは1個である。
- 2直線または2円が一致して交点が無数にある場合、操作3だけでは新しい点を選べない。
手順に必要な点を有限個の交点として定めることができない入力は、仮定から除くか、別の手順で扱わなければならない。相異なる2交点を必要とする手順では接触を除くが、接点一つを求める手順では接触を除く必要はない。
この定義では、定規で長さを測ったり、コンパスで角度を読み取ったりはしません。コンパスは既知の線分の長さを開きとして移すだけです。円については「中心からの距離がその開きに等しい点の集まり」であること、直線については「2点を通る」という性質だけを用います。
定理 2.3. 相異なる2点、既知の直線、上または外の指定点、および2本の半直線がつくるの角が与えられているとする。この入力が各作図手順の退化条件を避けるなら、垂直二等分線、正三角形、指定角の二等分線、を通るへの垂線と平行線を尺規だけで作図できる。
3 2つの円が作る正三角形と垂直二等分線
まず、1組の円を用いた2つの代表的な作図を示します。点を固定し、点をドラッグしてください。図は次の手順を重ねて表示しています。
- 線分を引きます。
- を中心にを通る円と、を中心にを通る円を描きます。
- 2円の2交点を,とし、直線を引きます。
図による観察はここまでです。円周上の点が中心から等距離にあることから、正三角形と垂直二等分線が本当に得られることを、作図手順とは分けて証明します。
定理 3.1. 相異なる2点,と点について、であることと、が線分の垂直二等分線上にあることは同値である。
証明.が垂直二等分線上にあるとする。をの中点とする。なら。ならかつであり、直角三角形とは、が共通でだから合同であり、となる。
逆にとする。なら結論は明らかである。なら、とは、、共通により SSS で合同。したがって。この2角の和はなので、各角はであり、。よっては垂直二等分線上にある。▨
定理 3.2. 相異なる2点,が与えられたとき、を中心にを通る円と、を中心にを通る円を描く。2交点を,とすれば、直線は線分の垂直二等分線である。
証明.とする。2円はともに半径で、中心間距離もである。だから2円は異なる2点,で交わり、直線が定まる。
は両円上にあるので。同様に。定理 3.1より,はともにの垂直二等分線上にある。相異なる2点を通る直線はただ1つだから、直線がその垂直二等分線である。▨
定理 3.3. 相異なる2点,に対し、定理 3.2と同じ2円の交点の一方をとすれば、は正三角形である。もう一方を選んでもよい。
証明.は中心・半径の円上にあるので。また中心・半径の円上にあるので。よってであり、定義からは正三角形である。についても同じである。▨
では2円が半径になるため、以上の手順を始めることができません。定理の仮定「相異なる2点」は、この縮退を除くための条件です。
4 角の二等分線
定理 4.1.,,を同一直線上にない3点とする。次の手順での内角の二等分線を作図できる。
- 中心でを通る円を描き、直線との交点のうち、と同じ半直線上の点をとする。
- 中心でを通る円と、中心でを通る円を描く。
- 2円のでない交点をとし、直線を引く。
このときであり、半直線は半直線と同じだから、はの内角の二等分線である。
証明. 最初の円から。3点は同一直線上にないのでであり、かつ。したがって、,を中心とする半径の2円は2点で交わる。一方の交点はであり、もう一方がである。と反対側の交点をとると、四角形は凸で、半直線はの内部にある。
円の定義から、。したがってとは、、、共通により SSS で合同である。対応する角が等しいので
半直線とは同じだから、これはがの内角を二等分することを意味する。▨
角がならとが一致するので、2円も一致します。そのため、交点を1つに選ぶことができません。角がなら2円はで接するため、が得られません。定理の「同一直線上にない」という仮定により、この2種類の縮退が同時に除かれます。
5 一点を通る垂線と平行線
定理 5.1. 相異なる2点,が定める直線をとし、点が与えられているとする。が上にある場合もない場合も、を通りに垂直な直線を作図できる。
証明. まずとする。中心でを通る円と、中心でを通る円を描く。なのでは退化せず、三角不等式は
を満たす。したがって2円は異なる2点で交わる。一方はだから、もう一方をとする。
定理 3.1より,はともに線分の垂直二等分線上にある。よって直線がその垂直二等分線であり、直線はを通ってに垂直である。
次にとする。,のうちと異なる点をとし、中心でを通る円を描く。この円とのもう一つの交点をとすると、で。定理 3.2によりの垂直二等分線を作図できる。定理 3.1よりはその上にあり、は上にあるから、この直線が求める垂線である。▨
定理 5.2. 直線上にない点が与えられたとき、を通りに平行な直線を作図できる。
証明.定理 5.1により、を通りに垂直な直線を作図する。もう一度同じ作図を使い、を通りに垂直な直線を作図する。とはともにに垂直だから平行であり、はを通る。なのでとは一致せず、求める平行線である。▨
ここでが上なら、を通る「平行線」は自身です。と異なる平行線を求めるために、定理ではを仮定しました。
6 作図手順を証明する型
ここまでの証明には共通の順序があります。
- 入力条件を読みます。 点が相異なるか、角がやでないかを確認します。
- 各円・直線が定まることを確認します。 必要な個数の相異なる交点が得られることを調べます。
- 円の条件を等距離の等式で表します。 「点が円上にある」ことから半径の等式を取り出します。
- 合同または等距離の軌跡を使います。 目的の等角・垂直・平行を導きます。
- 終点を示します。 最後に引いた線が、目的の線そのものであることを確認します。
作図図面は手順の記録であり、証明はその手順の正しさの保証です。両方がそろって初めて、「作図できた」と言うことができます。
7 ここでは厳密にやらないこと――環・体・ガロアへの接続
本記事で示したのは、指定した手順で作図ができることです。では、任意に与えられた角を同じ有限手順で三等分できるでしょうか。また、与えられた立方体の2倍の体積をもつ立方体の辺を、同じ道具だけで作ることができるでしょうか。
ここでは、この2問を尺規作図の適用範囲を調べる問題として立てるところまでにします。図を何通り試しても、あらゆる有効な手順を調べ尽くしたことにはならないため、可能・不可能の厳密な判定には別の理論が必要です。環・体・ガロア理論では、交点の座標が満たす方程式を調べて§E8.25 定義 1.1を定義し、§E8.25 系 3.5を使って、この2問を含む作図可能性の限界を扱います。