§A5.21射影・複比の実戦

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射影幾何を競技問題に用いるときは、長さや角度を直接求めるのではなく、問題の条件を射影変換で保たれる複比・調和性についての条件に書き換えます。複比の定義と一般的な不変性は §A5.14 複比とその射影不変性 で確認できます。

1 調和四点

同一直線上の相異なる有限な四点A,B,C,DA,B,C,Dの座標をa,b,c,da,b,c,dとします。§A5.14 定義 1.1により、複比は次の式で表されます。

公式 1.1. 同一直線上の相異なる有限な四点A,B,C,DA,B,C,Dの座標をa,b,c,da,b,c,dとすると、

(A,B;C,D)=(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)(A,B;C,D)=\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}

である。四点が相異なるので、分母は00でない。

複比(A,B;C,D)(A,B;C,D)の値が−1-1のとき、C,DC,DはA,BA,Bに関して調和共役です。複比の式は、符号つきの長さの比を用いると、

(A,B;C,D)=AC‾/CB‾AD‾/DB‾(A,B;C,D)=\frac{\overline{AC}/\overline{CB}}{\overline{AD}/\overline{DB}}

と書くこともできます。四点の順序を変えると複比の値が変わることがあるため、複比の記号では点の順序を指定します。

2 実戦の流れ

  1. 問題の4点・2本の割線を見つけます。
  2. 有向比を複比へまとめます。
  3. 射影変換で、問題の配置を計算しやすい配置へ送ります。
  4. 変換後の配置で得た関係のうち、射影変換で不変な複比の等式だけを、元の配置の等式として用います。

射影で保たれる複比の等式を用いて、変換後の配置から元の配置の関係を導きます。射影は一般に長さを保たないので、像の座標値を元の点の座標値と同一視することはできません。

3 例：調和共役の座標計算

例 3.1. 同一直線上の三点の座標がA=0,B=1,C=2A=0,B=1,C=2であるとする。CCのA,BA,Bに関する調和共役点の座標をD=dD=dとすると、

(2−0)(d−1)(2−1)(d−0)=−1.\frac{(2-0)(d-1)}{(2-1)(d-0)}=-1.

となる。したがって2(d−1)=−d2(d-1)=-d、d=2/3d=2/3である。逆に、d=2/3d=2/3を代入すると複比は−1-1であり、四点は相異なるので、この点が調和共役点である。

3.1 実戦問題と解答

例 3.2. 直線上の相異なる有限な四点A,B,C,DA,B,C,Dが(A,B;C,D)=−1(A,B;C,D)=-1を満たすとする。射影変換によって三点A,B,CA,B,Cをそれぞれ座標0,1,20,1,2の点へ送ると、複比は変わらないので、DDの像の座標は2/32/3となる。元の配置へ戻す等式は(A,B;C,D)=−1(A,B;C,D)=-1であり、元のC,DC,DはA,BA,Bに関して調和共役である。像の座標2/32/3は、元のDDの座標を表すものではない。

4 有限射影と調和共役

問題 4.1. 相異なる二直線ℓ,m\ell,mと、どちらの直線上にもない点OOをとる。mm上にこの順に並ぶ相異なる点A′,B′,C′A',B',C'をとり、A′B′=B′C′A'B'=B'C'とする。線分A′B′A'B'をA′D′:D′B′=2:1A'D':D'B'=2:1に内分する点をD′D'とする。

直線OA′,OB′,OC′,OD′OA',OB',OC',OD'とℓ\ellとの交点がすべて有限であるとし、それぞれA,B,C,DA,B,C,Dとする。C,DC,DがA,BA,Bに関して調和共役であることを示せ。

解答.

直線mmの正の向きをA′A'からB′B'へとる。A′,B′,C′A',B',C'の順序と等間隔の条件から、A′C′‾/C′B′‾=−2\overline{A'C'}/\overline{C'B'}=-2である。D′D'の内分比から、A′D′‾/D′B′‾=2\overline{A'D'}/\overline{D'B'}=2である。したがって

(A′,B′;C′,D′)=−22=−1(A',B';C',D')=\frac{-2}{2}=-1

となる。A′,B′,C′,D′A',B',C',D'は相異なる。O∉mO\notin mであるから、四直線OA′,OB′,OC′,OD′OA',OB',OC',OD'は相異なる。O∉ℓO\notin\ellであるから、これらの直線とℓ\ellとの四つの交点A,B,C,DA,B,C,Dも相異なる。

二直線の外にあるOOを中心とする射影で、四点と像がすべて有限であるので、§A5.14 定理 1.2により、

(A,B;C,D)=(A′,B′;C′,D′)=−1(A,B;C,D)=(A',B';C',D')=-1

である。よってC,DC,DはA,BA,Bに関して調和共役である。▨

注意 4.2. この問題で、mm上のA′,B′A',B'の座標をそれぞれ0,10,1とすると、C′C'の座標は22、D′D'の座標は2/32/3となる。元のDDの座標が2/32/3になるとは限らない。

5 調和関係による長さの決定

問題 5.1. 非退化な三角形PABPABの辺PA,PBPA,PBの内部に、それぞれ点Q,RQ,Rをとる。直線AR,BQAR,BQの交点をTT、直線PTPTと辺ABABの交点をCCとする。直線QRQRは直線ABABと平行でなく、交点DDはBB側の延長上にあるとする。

直線ABABと相異なる直線mmと、どちらの直線上にもない点SSをとる。SSを中心としてA,B,C,DA,B,C,Dをmmへ射影し、像をそれぞれA′,B′,C′,D′A',B',C',D'とする。四つの像は相異なる有限点であり、mm上でA′,C′,B′,D′A',C',B',D'の順に並んでいるとする。A′C′=6A'C'=6、C′B′=3C'B'=3のとき、B′D′B'D'を求めよ。また、元の配置でAC=4AC=4、CB=3CB=3のとき、BDBDを求めよ。

解答.

RRは辺PBPBの内部にあるので、P,BP,Bは直線ARARに関して反対側にある。QQは線分PAPAの内部にあるので、直線ARARに関してPPと同じ側にある。したがって、線分BQBQは直線ARARと内部の点TTで交わる。線分BQBQの内部は三角形PABPABの内部にあるので、TTも三角形の内部にあり、線分ARARの内部にある。半直線PTPTは角APBAPBの内部を通るので、辺ABABの内部の点CCと交わる。

三角形PABPABの各辺の内部点Q,R,CQ,R,Cに§A5.9 定理 1.3を適用する。AR,BQ,PCAR,BQ,PCは点TTで交わるので、

AQQPPRRBBCCA=1\frac{AQ}{QP}\frac{PR}{RB}\frac{BC}{CA}=1

である。同じ三角形の横断線QRDQRDに§A5.9 定理 3.1を適用する。Q,RQ,Rは辺の内部にあり、DDはBB側の延長上にあるので、通常の正の長さで表すと、

AQQPPRRBBDDA=1\frac{AQ}{QP}\frac{PR}{RB}\frac{BD}{DA}=1

となる。すべての長さは正であり、二つの式を比較して

ACBC=ADBD\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}

を得る。直線ABABの正の向きをAAからBBへとる。CCはA,BA,Bの間にあり、DDはBB側の延長上にあるので、

(A,B;C,D)=−AC⋅BDBC⋅AD=−1(A,B;C,D)=-\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}=-1

である。SSは両直線の外にあり、四点と像はすべて有限であるので、§A5.14 定理 1.2により(A′,B′;C′,D′)=−1(A',B';C',D')=-1である。

x=B′D′>0x=B'D'>0とおく。像の順序と与えられた長さからA′D′=6+3+x=9+xA'D'=6+3+x=9+xであり、

−6x3(9+x)=−1-\frac{6x}{3(9+x)}=-1

となる。分母は正であるので、6x=3(9+x)6x=3(9+x)、x=9x=9を得る。

元の配置ではy=BD>0y=BD>0とおく。AC=4AC=4、CB=3CB=3からAD=4+3+y=7+yAD=4+3+y=7+yであり、元の複比の等式は

−4y3(7+y)=−1-\frac{4y}{3(7+y)}=-1

となる。分母は正であるので、4y=3(7+y)4y=3(7+y)、y=21y=21を得る。したがって、B′D′=9B'D'=9、BD=21BD=21である。▨

注意 5.2. 直線ABAB上でA,B,C,DA,B,C,Dの座標をそれぞれ0,7,4,280,7,4,28とし、直線mm上でA′,B′,C′,D′A',B',C',D'の座標をそれぞれ0,9,6,180,9,6,18とすると、どちらの複比も−1-1である。像の長さB′D′=9B'D'=9と元の長さBD=21BD=21は異なり、射影で保たれるのは複比の等式である。

6 演習

問題 6.1.ttを0,10,1と異なる実数とする。座標がA=0,B=1,C=tA=0,B=1,C=tである三点に対して、CCのA,BA,Bに関する調和共役点が有限に存在する条件を求め、存在する場合の座標を求めよ。

解答.

CCがABABの中点となるのはt=1/2t=1/2の場合である。§A5.15 定理 2.1により、CCのA,BA,Bに関する有限な調和共役点は、t≠1/2t\ne1/2のときただ一つ存在し、その座標は

d=t(0+1)−2⋅0⋅12t−0−1=t2t−1d=\frac{t(0+1)-2\cdot0\cdot1}{2t-0-1}=\frac{t}{2t-1}

である。t=1/2t=1/2のとき、有限な調和共役点は存在しない。▨

問題 6.2. 4点のうち2点を入れ替えたとき、複比がどの値へ変わるか確認せよ。

解答.

同一直線上の相異なる有限な四点A,B,C,DA,B,C,Dの座標をa,b,c,da,b,c,dとし、λ=(A,B;C,D)\lambda=(A,B;C,D)と置く。公式 1.1により

λ=PQ,P=(c−a)(d−b),Q=(c−b)(d−a)\lambda=\frac{P}{Q},\qquad P=(c-a)(d-b),\qquad Q=(c-b)(d-a)

である。R=(a−b)(c−d)R=(a-b)(c-d)と置くと、展開により

P−Q=(cd−bc−ad+ab)−(cd−ac−bd+ab)=ac+bd−bc−ad=(a−b)(c−d)=RP-Q=(cd-bc-ad+ab)-(cd-ac-bd+ab)=ac+bd-bc-ad=(a-b)(c-d)=R

である。四点は相異なるのでP,Q,RP,Q,Rはいずれも00でなく、λ≠0\lambda\ne0であり、P≠QP\ne Qからλ≠1\lambda\ne1である。

入れ替える2点の選び方は6通りある。それぞれ公式に代入する。

AAとBBを入れ替えると(B,A;C,D)=(c−b)(d−a)(c−a)(d−b)=QP=1λ(B,A;C,D)=\dfrac{(c-b)(d-a)}{(c-a)(d-b)}=\dfrac QP=\dfrac1\lambdaであり、CCとDDを入れ替えると(A,B;D,C)=(d−a)(c−b)(d−b)(c−a)=QP=1λ(A,B;D,C)=\dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}=\dfrac QP=\dfrac1\lambdaである。

BBとCCを入れ替えると、分子は(b−a)(d−c)=R(b-a)(d-c)=R、分母は(b−c)(d−a)=−Q(b-c)(d-a)=-Qであるから

(A,C;B,D)=−RQ=−P−QQ=1−λ(A,C;B,D)=-\frac RQ=-\frac{P-Q}Q=1-\lambda

である。AAとDDを入れ替えると、分子は(c−d)(a−b)=R(c-d)(a-b)=R、分母は(c−b)(a−d)=−Q(c-b)(a-d)=-Qであるから、(D,B;C,A)=1−λ(D,B;C,A)=1-\lambdaである。

AAとCCを入れ替えると、分子は(a−c)(d−b)=−P(a-c)(d-b)=-P、分母は(a−b)(d−c)=−R(a-b)(d-c)=-Rであるから

(C,B;A,D)=PR=PP−Q=λλ−1(C,B;A,D)=\frac PR=\frac P{P-Q}=\frac\lambda{\lambda-1}

である。最後の等号は、分子と分母をQQで割って得た。BBとDDを入れ替えると、分子は(c−a)(b−d)=−P(c-a)(b-d)=-P、分母は(c−d)(b−a)=−R(c-d)(b-a)=-Rであるから、(A,D;C,B)=λλ−1(A,D;C,B)=\dfrac\lambda{\lambda-1}である。

まとめると、入れ替えによって複比は、A↔BA\leftrightarrow BまたはC↔DC\leftrightarrow Dで1λ\dfrac1\lambdaに、B↔CB\leftrightarrow CまたはA↔DA\leftrightarrow Dで1−λ1-\lambdaに、A↔CA\leftrightarrow CまたはB↔DB\leftrightarrow Dでλλ−1\dfrac\lambda{\lambda-1}に変わる。たとえば調和四点λ=−1\lambda=-1では、値はそれぞれ−1-1、22、12\dfrac12である。とくに、A,BA,Bの入れ替えとC,DC,Dの入れ替えでは調和共役の関係が保たれる。▨

問題 6.3. 幾何条件を一つ選んで有向比で記述し、複比の不変性を用いて、その条件を満たす配置を簡単な配置へ送る方法を設計せよ。

解答.

一例を設計する。条件として、直線ℓ\ell上の相異なる有限な四点A,B,C,DA,B,C,Dについて「C,DC,DがA,BA,Bに関して調和共役である」を選ぶ。有向比で書くと

AC‾CB‾=−AD‾DB‾\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=-\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}

であり、§A5.14 定義 1.1によりこの条件は(A,B;C,D)=−1(A,B;C,D)=-1と同値である。送り先の配置として、直線mm上で像の三点が座標0,1,20,1,2に等間隔に並ぶ、計算しやすい配置を取る。このとき、例 3.1により、第四の点の像の座標は23\dfrac23に定まる。

送る方法を座標で構成する。AAを原点、ℓ\ellをxx軸とし、A(0,0)A(0,0)、B(b,0)B(b,0)、C(c,0)C(c,0)、D(d,0)D(d,0)とする。b,c,db,c,dは00でない相異なる実数である。BBが線分ACACの中点である場合（c=2bc=2b）は、A,B,CA,B,Cがすでに等間隔に並んでいるので、送る必要はない。以下c≠2bc\ne2bとする。mmをyy軸とし、00でない実数ssを取ってB′(0,s)B'(0,s)、C′(0,2s)C'(0,2s)と置く。直線BB′BB'と直線CC′CC'の方向は(−b,s)(-b,s)と(−c,2s)(-c,2s)であり、(−b)⋅2s−s⋅(−c)=s(c−2b)≠0(-b)\cdot2s-s\cdot(-c)=s(c-2b)\ne0であるから、二直線は平行でなく、点

O(−bcc−2b, 2s(c−b)c−2b)O\left(-\frac{bc}{c-2b},\ \frac{2s(c-b)}{c-2b}\right)

で交わる。b≠cb\ne cとs≠0s\ne0からOOのyy座標は00でなく、b,c≠0b,c\ne0からxx座標も00でないので、OOはℓ\ell上にもmm上にもない。OOを中心としてℓ\ellをmmへ射影すると、AAはmm上にあるのでAA自身へ、BBはB′B'へ、CCはC′C'へ移る。DDは§A5.15 定理 2.1によりd=bc2c−bd=\dfrac{bc}{2c-b}の点である。直線ODODがmmと平行になるのはddがOOのxx座標に等しいときであり、bc2c−b=−bcc−2b\dfrac{bc}{2c-b}=-\dfrac{bc}{c-2b}は2c−b=−(c−2b)2c-b=-(c-2b)、すなわちc=bc=bと同値であるから起こらない。よって直線ODODはmmと有限の点D′D'で交わり、§A5.14 定理 1.2により(A,B′;C′,D′)=(A,B;C,D)=−1(A,B';C',D')=(A,B;C,D)=-1である。mm上でyy座標をssで割った値を座標とするとA,B′,C′A,B',C'の座標は0,1,20,1,2であり、D′D'の座標は23\dfrac23、すなわちD′(0,2s3)D'\left(0,\dfrac{2s}3\right)である。

この方法を使うと、調和共役についての問題を、等間隔の三点と内分点からなる配置0,1,2,230,1,2,\dfrac23の問題として扱うことができる。逆に、A,B,CA,B,Cが与えられたときには、上のOOを作り、直線OD′OD'とℓ\ellの交点としてCCの調和共役点DDを作図することができる。注意 4.2と同じく、元の配置へ戻すことができるのは複比の等式であり、像の座標の値ではない。▨

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