§A5.22反転の実戦

中心$O$、半径$\sqrt{24}$の反転を取り、$A,B$の像を$A',B'$とする。反転の定義から、$A'$は半直線$OA$上、$B'$は半直線$OB$上にあり、

である。

§A5.19 定理 3.1 (2)により、直径$OA$の円の$O$以外の部分は、$A'$を通る直線へ移る。円周上の$O,A$と異なる点$X$とその像$X'$を取ると、

であり、$\angle XOA=\angle A'OX'$である。$O,X,A$は非共線で、$X'$は半直線$OX$上にあるので$O,A',X'$も非共線である。§A5.1 定理 3.1 (2)により、$\triangle OXA\sim\triangle OA'X'$である。§A5.5 系 5.1により$\angle OXA=90^\circ$なので、$\angle OA'X'=90^\circ$となる。したがって、像は$A'$を通り$OA$に垂直な直線である。

直径$OB$の円にも同じ議論を適用すると、像は$B'$を通り$OB$に垂直な直線である。$OA\perp OB$なので、二つの像は相異なる直交直線であり、一点$P'$で交わる。四角形$OA'P'B'$は長方形である。§A5.4 定理 1.1により、

である。$P'$は$O,A',B'$と異なる。二直線の各点は元の各円の点の像であり、反転は自分自身が逆写像なので、$P'$の逆像$P$は二円の共通点であり、$O,A,B$と異なる。二つの像の交点はただ一つなので、$P$は$O$以外のただ一つの共通点である。反転積$OP\cdot OP'=24$から、

を得る。

元の二円に§A5.5 系 5.1を適用すると、$PA\perp OP$、$PB\perp OP$である。したがって、$A,P,B$は一直線上にあり、$P$は$O$から直線$AB$への垂線の足である。直角三角形$OAB$の$A,B$の角は鋭角なので、垂線の足$P$は線分$AB$の内部にある。

§A5.4 定理 1.1により$AB=10$である。$P\in AB$と二組の等角から、§A5.1 定理 3.1 (1)により$\triangle APO\sim\triangle AOB$、$\triangle BPO\sim\triangle BOA$である。対応する辺の比は

なので、

となる。よって$AP:PB=9:16$である。▨

相似で示す。中心$O$、半径$r>0$の反転を取り、点$X\ne O$の像を$X^*$と書く。$O$を通る円を$\Gamma$とし、$\Gamma$の中心を$M$、直線$OM$と$\Gamma$の$O$以外の交点を$A$とする。$OA$は$\Gamma$の直径であり、$M$は線分$OA$の中点である。反転の定義から$A^*$は半直線$OA$上にあり、$OA^*=\dfrac{r^2}{OA}>0$である。$A^*$を通り直線$OA$に垂直な直線を$\ell$とする。$\ell$と直線$OA$の共有点は$A^*$だけであるから、$O$は$\ell$上にない。$\Gamma\setminus\{O\}$の像が$\ell$であることを示す。

はじめに、$O$と異なるすべての点$X$について、$X\in\Gamma$と$X^*\in\ell$が同値であることを示す。$X=A$のときは、$A\in\Gamma$かつ$A^*\in\ell$である。

$X$が直線$OA$上にあり$X\ne O,A$のとき、$\Gamma$と直線$OA$の共有点は、直線$OA$上で$M$からの距離が$MO$の二点$O,A$だけであるから、$X\notin\Gamma$である。一方、$X^*$は直線$OA$上にあり、§A5.19 定理 2.2 (2)により$X^*\ne A^*$であるから、$X^*\notin\ell$である。

$X$が直線$OA$上にないとき、§A5.19 定理 2.2 (1)により$OX\cdot OX^*=r^2=OA\cdot OA^*$であるから、

である。$X^*$は半直線$OX$上に、$A^*$は半直線$OA$上にあるので、$\angle XOA=\angle A^*OX^*$である。三点$O,X,A$は一直線上になく、$O,A^*,X^*$も一直線上にないので、§A5.1 定理 3.1 (2)により$\triangle OXA\sim\triangle OA^*X^*$（$O\leftrightarrow O$、$X\leftrightarrow A^*$、$A\leftrightarrow X^*$）であり、$\angle OXA=\angle OA^*X^*$である。$X\in\Gamma$ならば、§A5.5 系 5.1により$\angle OXA=90^\circ$であるから$\angle OA^*X^*=90^\circ$となり、$X^*\in\ell$である。逆に$X^*\in\ell$ならば、$X^*\ne A^*$であるから$\angle OA^*X^*=90^\circ$であり、$\angle OXA=90^\circ$である。§A5.8 系 14.1により、直角三角形$OXA$の外心は斜辺$OA$の中点$M$であるから、$MX=MO$であり、$X\in\Gamma$である。

以上の同値性から、$\Gamma\setminus\{O\}$の各点の像は$\ell$上にある。逆に、$\ell$の点$Y$を取ると$Y\ne O$であり、$X=Y^*$と置くと§A5.19 定理 2.2 (2)により$X^*=Y\in\ell$であるから、$X\in\Gamma$かつ$X\ne O$である。したがって、$\ell$のすべての点は$\Gamma\setminus\{O\}$の点の像であり、$\Gamma\setminus\{O\}$の像は$O$を通らない直線$\ell$である。▨

$A$を中心とする半径$r>0$の反転を取る。例 2.1により、$\Gamma_1,\Gamma_2$の$A$以外の部分は、$A$を通らない相異なる直線$\ell_1,\ell_2$へ移り、$\ell_1,\ell_2$は$B$の像$B^*$で交わる。共通弦を含む直線$AB$は反転の中心を通るので、その$A$以外の部分は直線$AB$の$A$以外の部分へ移り、$B^*$は直線$AB$上にある。

$B$における交角を変換する。§A5.19 定理 5.1により、$\Gamma_1,\Gamma_2$の$B$における接線のなす角の大きさは、$\ell_1,\ell_2$のなす角の大きさに等しい。

$A$における交角を変換する。$i=1,2$について、$\Gamma_i$の中心を$M_i$とし、$A$における$\Gamma_i$の接線を$t_i$とする。§A5.6 定理 1.2により$t_i\perp AM_i$である。一方、問題 5.1の解答により、$\Gamma_i\setminus\{A\}$の像$\ell_i$は、直径$AA_i$（$A_i$は直線$AM_i$と$\Gamma_i$の$A$以外の交点）に垂直な直線であり、$AA_i$は直線$AM_i$上にあるので$\ell_i\perp AM_i$である。$t_i$は$A$を通り、$\ell_i$は$A$を通らないので、$t_i$と$\ell_i$は相異なる平行な直線である。二直線のなす角は、それぞれを平行な直線に取り替えても変わらないので、$t_1,t_2$のなす角の大きさは$\ell_1,\ell_2$のなす角の大きさに等しい。

したがって、$A$における交角と$B$における交角は、どちらも像の二直線$\ell_1,\ell_2$のなす角の大きさに等しく、互いに等しい。元の配置で二つの円の交角を比べる問題は、反転によって、二直線$\ell_1,\ell_2$の一つの交角を二通りに読む問題へ変換された。▨

反転の中心を$O$、半径を$r>0$とし、$O$と異なる点$X,Y,Z$の像$X^*,Y^*,Z^*$が一本の直線$m$上にあるとする。用いる対応は次の三つである。

第一に、$O$を通らない直線と$O$を通る円の対応である。$m$が$O$を通らないとき、$O$から$m$へ下ろした垂線の足を$P$とし、$Q=P^*$と置いて、$OQ$を直径とする円を$\Gamma$とする。問題 5.1の解答により、$\Gamma\setminus\{O\}$の像は、$Q^*=P$を通り直線$OQ$すなわち直線$OP$に垂直な直線であり、それは$m$である（§A5.19 定理 3.1 (2)も同じ対応を方程式で述べている）。

第二に、反転が自分自身の逆写像であること（§A5.19 定理 2.2 (2)）である。$X^*\in m$であるから、$\Gamma\setminus\{O\}$の点$W$で$W^*=X^*$を満たすものが存在し、両辺の像を取ると$X=(X^*)^*=(W^*)^*=W$である。よって$X\in\Gamma$であり、$Y,Z$についても同じである。したがって、$m$が$O$を通らないとき、四点$O,X,Y,Z$は同一円周上にある。像の共線性は、反転の中心を加えた四点の共円性に戻る。

第三に、$O$を通る直線は保たれることである。$m$が$O$を通るとき、$X$は半直線$OX^*$上にあるので$m$上にあり、$O,X,Y,Z$は一直線上にある。この場合、共線性は共線性のまま戻る。

問題 4.1の解答で、像の二直線の交点$P'$の逆像$P$が二円の共通点であると結論した箇所は、第一と第二の対応を用いている。▨