§E19.6主曲率・Gauss 曲率・平均曲率

証明.§E19.4 命題 1.2により$(T_pM,\mathrm{I}_p)$は二次元実内積空間であり、§E19.5 定理 2.1により$S_p$はこの内積空間の自己随伴作用素である。§E3.37 定理 3.1を$V=T_pM$、$T=S_p$に適用すると、$S_p$の固有ベクトルからなる正規直交基底$\{E_1,E_2\}$が存在する。対応する固有値を$\lambda_1,\lambda_2$とすると、$E_i\in T_pM$かつ$S_p(E_i)\in T_pM$であり$T_pM$は実線形空間であるから、$\lambda_i$は実数である。必要ならば添字を入れ替えて$\lambda_1\ge\lambda_2$としてよく、$\kappa_i=\lambda_i$と置く。

基底に依らないことを示す。$\{E_1,E_2\}$に関する$S_p$の表現行列は$\operatorname{diag}(\kappa_1,\kappa_2)$であるから、$S_p$の固有多項式は$(t-\kappa_1)(t-\kappa_2)$である。固有多項式は表現行列の相似変換で変わらないので、基底の取り方に依らない。したがって重複を込めた根の組$\{\kappa_1,\kappa_2\}$は定まり、大きい順に並べれば対$(\kappa_1,\kappa_2)$が定まる。▨

証明.(1)を示す。$\kappa_1=\kappa_2=\kappa$とすると、命題 1.1の基底に関する表現行列は$\kappa$倍の単位行列であるから、すべての$X\in T_pM$について$S_p(X)=\kappa X$である。逆に$S_p=\kappa\,\mathrm{id}$ならば、どの正規直交基底についても表現行列は$\kappa$倍の単位行列であるから$\kappa_1=\kappa_2=\kappa$である。このとき零でないすべての$X$が固有ベクトルであるから、すべての方向が主方向である。

(2)を示す。$\kappa_1\ne\kappa_2$とする。相異なる固有値に属する固有空間の共通部分は$\{0\}$であり、$E_1$と$E_2$がそれぞれに属するので、二つの固有空間はいずれも一次元である。直交性を示す。$X$を$\kappa_1$の、$Y$を$\kappa_2$の固有ベクトルとすると、§E19.5 定理 2.1により

であるから$(\kappa_1-\kappa_2)\langle X,Y\rangle=0$であり、$\kappa_1\ne\kappa_2$より$\langle X,Y\rangle=0$である。$S_p$の固有値は$\kappa_1$と$\kappa_2$の二つだけであるから、零でない固有ベクトルはいずれかの固有空間に属し、主方向はこの二つに限られる。▨

証明.$\{E_1,E_2\}$は正規直交基底であるから$X=aE_1+bE_2$と書くと$\lVert X\rVert^2=a^2+b^2=1$であり、$a=\cos\theta$、$b=\sin\theta$を満たす実数$\theta$が存在する。$S_p$の線形性と固有値の関係から

であり、$\{E_1,E_2\}$の正規直交性から

である。▨

証明.$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$であるから

である。$\kappa_1-\kappa_2\ge0$かつ$\cos^2\theta\in[0,1]$であるから、$k_N(X)$は$\cos^2\theta=0$で最小値$\kappa_2$、$\cos^2\theta=1$で最大値$\kappa_1$を取る。$\cos^2\theta=1$は$X=\pm E_1$、$\cos^2\theta=0$は$X=\pm E_2$に対応する。▨

証明.命題 1.1の正規直交固有基底$\{E_1,E_2\}$を一つ取ると、この基底に関する$S_p$の表現行列は$\operatorname{diag}(\kappa_1,\kappa_2)$である。線形変換の行列式と跡は表現行列の相似変換で変わらないから、$\det S_p$と$\operatorname{tr}S_p$はこの対角行列の行列式と跡に等しく、二つの等式が従う。同じ理由で、これらの値は基底の取り方に依らない。また命題 1.1により対$(\kappa_1,\kappa_2)$自身も基底の取り方に依らないので、右辺も基底によって変わらない。▨

証明.§E19.5 命題 3.3により、基底$\{\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\}$に関する$S$の表現行列は$A=\mathrm{I}^{-1}\mathrm{II}$である。行列式の乗法性から

である。§E19.5 命題 3.3の明示的な表示

から

であるから、$H=\tfrac12\operatorname{tr}A$は主張の式である。▨

証明.§E19.5 命題 3.4により$\tilde S_p=-S_p$である。$S_p(E_i)=\kappa_iE_i$ならば$\tilde S_p(E_i)=-\kappa_iE_i$であるから、$\{E_1,E_2\}$は$\tilde S_p$の正規直交固有基底でもあり、固有値は$-\kappa_1,-\kappa_2$である。固有ベクトルが変わらないので主方向は変わらない。$\kappa_1\ge\kappa_2$より$-\kappa_2\ge-\kappa_1$であるから、大きい順に並べると$\tilde\kappa_1=-\kappa_2$、$\tilde\kappa_2=-\kappa_1$である。したがって

である。▨

証明.(1)を示す。命題 2.2により$K(p)=\kappa_1\kappa_2$である。積が正であることと二つが同符号でともに零でないことは同値であり、積が負であることと異符号であることは同値であり、積が零であることと少なくとも一方が零であることは同値である。一方、命題 1.1の正規直交固有基底に関する$S_p$の表現行列は$\operatorname{diag}(\kappa_1,\kappa_2)$であるから、$S_p=0$であることと$\kappa_1=\kappa_2=0$であることは同値である。したがって、$K(p)=0$かつ$S_p\ne0$であることと、$\kappa_1$と$\kappa_2$のちょうど一方が零であることは同値である。

(2)を示す。実数$K(p)$について$K(p)>0$、$K(p)<0$、$K(p)=0$の三つは互いに排反であり、この三つで尽くされる。第三の場合はさらに$S_p\ne0$と$S_p=0$の二つへ排反に分かれる。よって四つの条件は互いに排反であり、これで尽くされる。

(3)を示す。単位法線を$-N$へ取り替えると、命題 2.4により$K$は変わらず、§E19.5 命題 3.4により$S_p$は$-S_p$に変わる。$S_p=0$と$-S_p=0$は同値であるから、四つの条件はいずれも取り替えで変わらない。▨

証明.(1)を示す。$\boldsymbol{x}_u(q)$と$\boldsymbol{x}_v(q)$は一次独立であるから、$X\ne0$であることと$(a,b)\ne(0,0)$であることは同値である。§E19.5 命題 3.2の最後の等式で$Y=X$、すなわち$(c,d)=(a,b)$と取ると

である。したがって$\mathrm{II}_p(X,X)=0$と主張の等式は同値である。

(2)を示す。$u$方向の座標曲線$t\mapsto\boldsymbol{x}(q+(t,0))$の速度ベクトルは$\boldsymbol{x}_u$であり、$(a,b)=(1,0)$に対応する。$v$方向の座標曲線の速度ベクトルは$\boldsymbol{x}_v$であり、$(a,b)=(0,1)$に対応する。(1)の等式へ代入すると、前者が漸近方向であることは$e(q)=0$と、後者が漸近方向であることは$g(q)=0$と同値である。$q\in U$は任意であるから主張が従う。▨

証明.$p$の近傍で単位法線を一つ選び、主曲率を$\kappa_1\ge\kappa_2$、命題 1.1の正規直交固有基底を$\{E_1,E_2\}$とする。$T_pM$の方向は、単位ベクトル$X=\cos\theta\,E_1+\sin\theta\,E_2$（$\theta\in[0,\pi)$）と一対一に対応する。実際、$\theta$と$\theta+\pi$は同じ方向を与え、$[0,\pi)$の相異なる二つの値は相異なる方向を与える。公式 1.4により、その方向が漸近方向であることは

と同値である。

(1)を示す。楕円点では$\kappa_1$と$\kappa_2$が同符号でともに零でない。$\cos^2\theta$と$\sin^2\theta$は非負であり和が$1$であるから、少なくとも一方は正である。したがって式 (3.5.1)の左辺は$\kappa_1$と同じ符号を持ち、零でない。

(2)を示す。双曲点では$\kappa_1\kappa_2<0$であり、$\kappa_1\ge\kappa_2$から$\kappa_1>0>\kappa_2$である。$\theta=\pi/2$とすると式 (3.5.1)の左辺は$\kappa_2\ne0$であるから、解は$\cos\theta\ne0$を満たす。両辺を$\cos^2\theta$で割ると

である。$c=\sqrt{-\kappa_1/\kappa_2}>0$と置くと、条件は$\tan\theta=c$または$\tan\theta=-c$である。$\tan$は$[0,\pi/2)$から$[0,\infty)$への全単射であり、$(\pi/2,\pi)$から$(-\infty,0)$への全単射であるから、$[0,\pi)$における解は$\tan\theta=c$に対する一つと$\tan\theta=-c$に対する一つの、ちょうど二つである。

(3)を示す。放物点では$\kappa_1$と$\kappa_2$のちょうど一方が零である。$\kappa_2=0$かつ$\kappa_1\ne0$の場合、式 (3.5.1)は$\kappa_1\cos^2\theta=0$、すなわち$\theta=\pi/2$と同値であり、対応する方向は$E_2$が張る方向である。$E_2$は固有値$0$の固有ベクトルであるから、この方向は主曲率が$0$である主方向である。$\kappa_1=0$かつ$\kappa_2\ne0$の場合も同様に、解は$\theta=0$の一つであり、対応する方向は$E_1$が張る方向である。

(4)を示す。平坦点では$S_p=0$であるから$\mathrm{II}_p$は零形式であり、すべての零でない接ベクトルが条件を満たす。▨

証明.§E19.4 命題 6.1の証明で計算したとおり

である。ベクトル積を成分で計算すると

であり、$\varphi>0$であるから$\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert=\varphi\,w$である。よって$N$は主張の式のとおりである。

二階偏導関数は

である。§E19.5 命題 3.2により

である。

§E19.4 命題 6.1により$E=w^2$、$F=0$、$G=\varphi^2$である。$F=0$かつ$f=0$であるから、§E19.5 命題 3.3の行列は

である。すなわち$S(\boldsymbol{x}_u)=(e/E)\boldsymbol{x}_u$、$S(\boldsymbol{x}_v)=(g/G)\boldsymbol{x}_v$であり、$\boldsymbol{x}_u$と$\boldsymbol{x}_v$は固有ベクトルである。固有値は

である。$A$は対角行列であるから、その固有値の組がそのまま主曲率の組であり、定義 2.1により$K$と$H$は主張の式で与えられる。▨

証明. 仮定から$w\equiv1$である。$\varphi'^2+\psi'^2=1$を$u$で微分すると$2\varphi'\varphi''+2\psi'\psi''=0$、すなわち$\psi'\psi''=-\varphi'\varphi''$である。命題 4.1の式に代入すると

である。▨

証明. 球面、円柱、円環面および懸垂面はいずれも回転面であるから、命題 4.1を適用する。

球面。§E19.4 例 6.2のとおり$\varphi(u)=r\sin u$、$\psi(u)=r\cos u$、$u\in(0,\pi)$である。$\varphi'=r\cos u$、$\psi'=-r\sin u$、$\varphi''=-r\sin u$、$\psi''=-r\cos u$、$w=r$である。パラメータ表示が定める向きは

であり、これは外向きである。この向きについて

であるから$\kappa_{\mathrm{m}}=-r^2/r^3=-1/r$であり、$\kappa_{\mathrm{p}}=(-r\sin u)/(r\sin u\cdot r)=-1/r$である。よって外向きの単位法線に関して$K=1/r^2$、$H=-1/r$である。内向きの単位法線に取り替えると、命題 2.4により主曲率はいずれも$1/r$、$H=1/r$となり、$K=1/r^2$は変わらない。この結果は§E19.5 例 5.2の直接の計算と一致する。すべての点で二つの主曲率が等しいので、球面のすべての点は臍点であり、$K>0$であるから楕円点である。

円柱。§E19.4 例 6.3のとおり$\varphi(u)=r$、$\psi(u)=u$、$w=1$である。パラメータ表示が定める向きは

であり、これは回転軸へ向かう向きである。$\varphi'=\varphi''=0$、$\psi'=1$、$\psi''=0$であるから$\kappa_{\mathrm{m}}=0$、$\kappa_{\mathrm{p}}=1/r$である。よって$K=0$、$H=1/(2r)$である。$S\ne0$かつ$K=0$であるからすべての点が放物点であり、命題 3.5により漸近方向はちょうど一つ、すなわち母線方向$\boldsymbol{x}_u$である。外向きの単位法線に取り替えると、命題 2.4により主曲率は$-1/r$と$0$、$H=-1/(2r)$になる。

円環面。§E19.4 例 6.4のとおり$\varphi(u)=a+b\cos u$、$\psi(u)=b\sin u$であり、$\varphi'=-b\sin u$、$\psi'=b\cos u$、$\varphi''=-b\cos u$、$\psi''=-b\sin u$、$w=b$である。パラメータ表示が定める向きは

である。芯の円上の点$(a\cos v,\ a\sin v,\ 0)$から$\boldsymbol{x}(u,v)$へ向かうベクトルは$b(\cos u\cos v,\ \cos u\sin v,\ \sin u)$であるから、$N$は芯の円へ向かう向きである。

であるから$\kappa_{\mathrm{m}}=b^2/b^3=1/b$であり

である。したがって

である。

懸垂面。$\varphi(u)=c\cosh(u/c)$、$\psi(u)=u$、$u\in\mathbb{R}$とすると$\varphi>0$であり

であるから$w^2=\sinh^2(u/c)+1=\cosh^2(u/c)$、すなわち$w=\cosh(u/c)>0$である。母線$u\mapsto(c\cosh(u/c),\ u)$は第二成分によって$u$が定まるので、像への同相写像である。したがって§E19.4 命題 6.1により正則パラメータ表示が得られる。パラメータ表示が定める向きは

であり、水平成分が回転軸へ向かうので、回転軸へ向かう向きである。

であるから

である。二つは絶対値が等しく符号が反対であるから$H=0$であり

である。すべての点が双曲点である。

常螺旋面。$c>0$とし$\Lambda(x,y,z)=x\sin(z/c)-y\cos(z/c)$と置くと、常螺旋面は$\Lambda^{-1}(0)$である。実際、$\boldsymbol{x}(u,v)$について$\Lambda(\boldsymbol{x}(u,v))=u\cos v\sin v-u\sin v\cos v=0$であり、逆に$\Lambda(x,y,z)=0$ならば$v=z/c$、$u=x\cos v+y\sin v$と置くと

である。ここで$x\sin v=y\cos v$を用いた。$\Lambda$の$x$と$y$についての偏導関数は$\sin(z/c)$と$-\cos(z/c)$であり同時に$0$にならないので、$0$は$\Lambda$の正則値である。§E17.5 定理 4.3により常螺旋面は正則曲面である。$\boldsymbol{x}$は単射であり（$z$から$v$が、次に$u$が定まる）、逆写像$(x,y,z)\mapsto(x\cos(z/c)+y\sin(z/c),\ z/c)$は連続であるから、$\boldsymbol{x}$は正則パラメータ表示である。