§E19.12曲面論の基本定理

証明.$X,Y$を$U$上の接ベクトル場とする。§E19.10 命題 2.2 (4)と§E19.10 命題 2.2 (3)により

である。

第一の式を示す。$(e_1,e_2,e_3)$は各点で正規直交基底であるから

である。$X$と$Y$を入れ替えると$\langle D_Xe_1,D_Ye_3\rangle=-\omega_{12}(X)\,\omega_{23}(Y)$である。§E19.10 補題 5.2を$(i,j)=(1,3)$に適用すると

を得る。

第二の式を示す。同様に

であり、$X$と$Y$を入れ替えると$\langle D_Xe_2,D_Ye_3\rangle=\omega_{12}(X)\,\omega_{13}(Y)$である。§E19.10 補題 5.2を$(i,j)=(2,3)$に適用すると

を得る。$\omega_{21}=-\omega_{12}$であるから、右辺は$\omega_{21}\wedge\omega_{13}$に等しい。▨

証明.(1)を示す。$\mathrm{II}$は各点で対称双線形形式であるから$h_{12}=\mathrm{II}(e_1,e_2)=\mathrm{II}(e_2,e_1)=h_{21}$である。

(2)を示す。$(\omega_1,\omega_2)$は$(e_1,e_2)$の双対余標構であるから$\omega_i(e_j)=\delta_{ij}$であり、各接ベクトルは$X=\omega_1(X)\,e_1+\omega_2(X)\,e_2$と書かれる。$\mathrm{II}$の双線形性と(1)により

であり、同様に

である。▨

証明.§E19.11 定理 1.1の証明の最初の計算は、$\omega_{13}$と$\omega_{23}$の定義 2.2における定義だけを用いており、曲面の存在を用いていない。同じ計算により

である。

$h_{11}h_{22}-h_{12}^2$を成分で表す。$e_i=\sum_{k=1}^{2}a_{ki}\partial_k$と書き、$A=(a_{ki})$と置く。座標基底に関する成分行列を

と書くと、$(e_1,e_2)$が$\mathrm{I}$について正規直交であることは$A^{\mathsf T}[\mathrm{I}]A$が単位行列であることと同値である。行列式を取ると$(\det A)^2(EG-F^2)=1$である。また$(h_{ij})=A^{\mathsf T}[\mathrm{II}]A$であるから

である。

一方、§E19.11 定理 2.1 (1)により$d\omega_{12}=-K_{\mathrm{I}}\,\omega_1\wedge\omega_2$である。$(\omega_1\wedge\omega_2)(e_1,e_2)=1$であるから$\omega_1\wedge\omega_2$は各点で消えない。したがって(1)は

と同値であり、これは(2)と同値である。▨

証明.(1)を示す。$a_1,a_2$は§E19.10 命題 1.3の式であり、同命題の計算がそのまま成り立つので$(a_1,a_2)$は正規直交であり

である（$\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert=\sqrt{EG-F^2}$は§E19.4 補題 1.5による）。§E19.2 補題 1.2 (3)により$(a_1,a_2,a_3)$は正の向きの正規直交基底である。

(2)を示す。$\partial_k\boldsymbol{x}$は$a_1,a_2$の張る平面に属するから$\partial_k\boldsymbol{x}=\langle\partial_k\boldsymbol{x},a_1\rangle a_1+\langle\partial_k\boldsymbol{x},a_2\rangle a_2$である。直接に計算すると

である。これらは定義 2.2 (1)の$\omega_1,\omega_2$の座標基底に対する値に一致する。

(3)を示す。主張は$V$の各点における等式であるから、各点の近傍で示せば足りる。$q_0\in V$を取る。§E19.3 補題 1.5により、$q_0$の開近傍$V_1\subseteq V$を取って$\boldsymbol{x}|_{V_1}$を単射かつ像への同相にすることができる。したがって$\boldsymbol{x}|_{V_1}$は正則パラメータ表示であり（§E19.3 定義 1.3）、§E19.3 定理 1.6により$M_1=\boldsymbol{x}(V_1)$は正則曲面である。$M_1$に$N$が与える向きを入れ、$\Phi=\boldsymbol{x}|_{V_1}\colon V_1\to M_1$と書く。$\Phi$は微分同相である（§E19.3 命題 1.7）。

$M_1$の上で§E19.10 命題 1.3の適合標構$(\bar e_1,\bar e_2,\bar e_3)$を取る。定義から$\bar e_i\circ\Phi=a_i$である。その余標構と接続形式を$\bar\omega_1,\bar\omega_2,\bar\omega_{ij}$と書く。

まず$\omega_i=\Phi^{*}\bar\omega_i$（$i=1,2$）である。実際、$d\Phi(\partial_k)=\partial_k\boldsymbol{x}$であり、$\bar\omega_i(X)=\langle X,\bar e_i\rangle$（§E19.10 定義 1.2）であるから、2 の証明で計算した内積により

である。

次に、$i,j\in\{1,2,3\}$について

である。ここで第三の等号は、方向微分の定義（§E19.7 定義 1.3）と連鎖律による。すなわち、曲線$t\mapsto\Phi(q+te_k)$を用いると$D_{d\Phi(\partial_k)}\bar e_i=\partial_k(\bar e_i\circ\Phi)$である。

最後に、$\Phi^{*}\bar\omega_{ij}$が定義 2.2の$\omega_{ij}$に一致することを見る。$(i,j)=(1,3),(2,3)$については、§E19.10 命題 5.3により$\bar\omega_{i3}(X)=\overline{\mathrm{II}}(X,\bar e_i)$であり、定義 2.1により$\overline{\mathrm{II}}$の成分は$(e,f,g)$であるから$\bar h_{ij}=h_{ij}$であり、$\Phi^{*}\bar\omega_{i3}=h_{i1}\omega_1+h_{i2}\omega_2=\omega_{i3}$である。$(i,j)=(1,2)$については、引き戻しが外微分および外積と可換であること（§E17 多様体入門の§E17.11 命題 3.1と§E17.10 定理 5.3）と§E19.10 定理 3.1により

が成り立つので、§E19.10 定理 3.2により$\Phi^{*}\bar\omega_{12}=\omega_{12}$である。残る添字は交代性$\bar\omega_{ji}=-\bar\omega_{ij}$と$\omega_{ji}=-\omega_{ij}$から従う。

以上により$V_1$の上で$\langle\partial_ka_i,a_j\rangle=\omega_{ij}(\partial_k)$が成り立つ。$q_0$は任意であったから$V$の全体で成り立つ。最後の等式は、$(a_1,a_2,a_3)$が各点で正規直交基底であることから

と書かれることによる。▨

証明. 適合条件は$V$の各点における微分形式の等式であるから、各点の近傍で確かめれば足りる。命題 2.6 (3)の証明で取った$V_1$、$M_1$、$\Phi$をそのまま用いる。同証明により、$V_1$の上で$\omega_{ij}=\Phi^{*}\bar\omega_{ij}$が成り立つ。

$M_1$の上では、§E19.10 定理 5.4により$d\bar\omega_{12}=-\bar\omega_{13}\wedge\bar\omega_{23}$が、定理 1.1により$d\bar\omega_{13}=\bar\omega_{12}\wedge\bar\omega_{23}$と$d\bar\omega_{23}=\bar\omega_{21}\wedge\bar\omega_{13}$が成り立つ。引き戻しは外微分および外積と可換であるから、三つの等式を$\Phi$で引き戻すと、$V_1$の上の等式として適合条件が得られる。▨

証明.$Z=Y_1-Y_2$と置くと$Z$は$C^\infty$であり$dZ=\mathcal{A}Z$、$Z(p_0)=0$を満たす。

と置く。$Z$は連続であるから$S$は$V$の閉集合であり、$p_0\in S$であるから空でない。

$S$が開であることを示す。$q\in S$を取り、$B=\{p:\lVert p-q\rVert<r\}\subseteq V$を開球とする。$y\in B$を取り、$c(t)=q+t(y-q)$と置く。$y\ne q$のとき、$\lvert t\rvert<r/\lVert y-q\rVert$ならば$c(t)\in B$であり、$r/\lVert y-q\rVert>1$であるから、開区間$J=\bigl(-1,\ r/\lVert y-q\rVert\bigr)$は$[0,1]$を含み$c(J)\subseteq B$を満たす（$y=q$のときは$J=\mathbb{R}$と取る）。$W(t)=Z(c(t))$と置くと、連鎖律により

である。$t\mapsto\mathcal{A}_{c(t)}(y-q)$は$J$上の連続な行列値関数であるから、§E10 常微分方程式の§E10.7 系 1.2により、初期値$W(0)=Z(q)=0$を満たす解は$J$の全体でただ一つである。恒等的に$0$である写像はこの初期値問題の解であるから$W\equiv0$であり、とくに$Z(y)=W(1)=0$である。$y\in B$は任意であったから$B\subseteq S$である。

$S$は$V$の空でない開かつ閉な部分集合であり、$V$は連結であるから$S=V$である。▨

証明.§E17.13 定理 5.3を適用すると、$q$の開近傍$W\subseteq V$と$C^\infty$写像$\mathcal{Y}\colon W\to M_m(\mathbb{R})$であって$d\mathcal{Y}=\mathcal{A}\mathcal{Y}$と$\mathcal{Y}(q)=I$（単位行列）を満たすものが存在する。$B\subseteq W$を$q$を中心とする開球とする。

$\eta\in\mathbb{R}^m$に対して$Y=\mathcal{Y}\eta$と置くと、$dY=(d\mathcal{Y})\eta=\mathcal{A}\mathcal{Y}\eta=\mathcal{A}Y$であり$Y(q)=\eta$である。すなわち、$q$における値を任意に指定した解が$B$の上に存在する。

$B$の上の解の全体を$\mathrm{Sol}(B)$と書くと、これは実線形空間である。$B$は連結であるから、補題 3.1により評価写像

は単射であり、前段により全射である。したがって$\mathrm{Sol}(B)$の次元は$m$である。$y\in B$を取ると、同じ理由で$\mathrm{ev}_y$は単射な線形写像であり、$m$次元空間から$m$次元空間への単射であるから全単射である。すなわち、$y$における値を任意に指定した解が$B$の上にちょうど一つ存在する。

最後の主張を示す。$B'\subseteq B$を開球とし、$y\in B'$、$\eta\in\mathbb{R}^m$とする。$B$の上の解を$B'$へ制限すれば存在が従い、$B'$は連結であるから補題 3.1により一意性が従う。▨

証明. 一意性を示す。単連結性の定義（§E18.4 定義 3.4）は弧状連結性を含み、弧状連結な空間は連結である。したがって補題 3.1により一意性が得られる。

良い球が位相の基底をなすことを確かめる。補題 3.2により、$V$の各点は良い球の中心である。また、良い球に含まれる開球は良い球である。$V$の開集合$O$と$q\in O$に対して、$q$を中心とする良い球$B$を取り、$B\cap O$に含まれる$q$中心の開球を取れば、それは良い球であって$O$に含まれる。したがって良い球の全体は$V$の位相の基底である。

被覆空間を作る。集合として$\mathcal{E}=V\times\mathbb{R}^m$と置く。良い球$B$と$B$の上の解$Y$に対して

と置く。このような集合の全体が$\mathcal{E}$の位相の基底の条件を満たすことを示す。第一に、$(q,\eta)\in\mathcal{E}$に対し、$q$を中心とする良い球$B$と$Y(q)=\eta$を満たす$B$上の解$Y$を取れば$(q,\eta)\in G(B,Y)$である。第二に、$(q,\eta)\in G(B,Y)\cap G(B',Y')$とすると$q\in B\cap B'$かつ$Y(q)=\eta=Y'(q)$である。$q$を中心として$B\cap B'$に含まれる良い球$B''$を取ると、$B''$は連結であり$Y$と$Y'$の制限はともに$B''$上の解であって$q$で一致するから、補題 3.1により$B''$の上で一致する。したがって

である。よって基底の条件が満たされる。この基底が生成する位相を$\mathcal{E}$に入れる。

$P\colon\mathcal{E}\to V$を第一成分への射影とする。$P$は全射である。$P$が連続であることを示す。$O\subseteq V$を開集合、$(q,\eta)\in P^{-1}(O)$とすると、$q$を中心として$O$に含まれる良い球$B$と、$Y(q)=\eta$を満たす$B$上の解$Y$を取ることができる。$G(B,Y)\subseteq P^{-1}(O)$かつ$(q,\eta)\in G(B,Y)$であるから$P^{-1}(O)$は開である。

良い球が均等被覆近傍であることを示す。$B$を良い球とする。$y\in B$と$\eta\in\mathbb{R}^m$に対して$Y(y)=\eta$を満たす$B$上の解$Y$がちょうど一つ存在するから

である。二つの相異なる解$Y\ne Y'$に対して$G(B,Y)\cap G(B,Y')=\varnothing$である。実際、共通の点があれば$Y$と$Y'$は一点で一致し、$B$は連結であるから補題 3.1により$Y=Y'$となる。各$G(B,Y)$は基底の元であるから開である。$P$の$G(B,Y)$への制限は$B$への全単射であり、連続である。さらに開写像である。実際、$G(B,Y)$に含まれる基底の元$G(B'',Y'')$の像は$B''$であって開である。したがって$P|_{G(B,Y)}$は同相写像である。以上により$P$は被覆写像である（§E18.5 定義 1.1）。

持ち上げを取る。$V$は$\mathbb{R}^n$の開集合であるから局所弧状連結である（§E18.5 定義 4.1。各点は弧状連結な開球からなる近傍系を持つ）。また単連結であるから連結であり、$\pi_1(V,p_0)$は自明群である。$e_0=(p_0,\eta_0)\in\mathcal{E}$と置き、恒等写像$\mathrm{id}\colon(V,p_0)\to(V,p_0)$に§E18 位相幾何入門の§E18.5 定理 4.2を適用する。$\pi_1(V,p_0)$が自明であるから像の包含条件は自動的に満たされ、連続写像$s\colon V\to\mathcal{E}$であって$P\circ s=\mathrm{id}$と$s(p_0)=e_0$を満たすものが存在する。

持ち上げが解を与えることを示す。$P\circ s=\mathrm{id}$であるから、$s(y)=(y,Y(y))$の形に書いて写像$Y\colon V\to\mathbb{R}^m$を定めることができる。$q\in V$を取り、$q$を中心とする良い球$B$と、$Y_q(q)=Y(q)$を満たす$B$上の解$Y_q$を取る。$s(q)\in G(B,Y_q)$であり$G(B,Y_q)$は開であるから、$O=s^{-1}\bigl(G(B,Y_q)\bigr)$は$q$を含む$V$の開集合である。$y\in O$に対して$s(y)\in G(B,Y_q)$であり$P(s(y))=y$であるから$s(y)=(y,Y_q(y))$、すなわち$Y(y)=Y_q(y)$である。したがって$Y$は$O$の上で$C^\infty$であり$dY=\mathcal{A}Y$を満たす。$q$は任意であったから、$Y$は$V$の上で$C^\infty$であり$dY=\mathcal{A}Y$を満たす。$Y(p_0)=\eta_0$である。▨

証明. 係数行列を作る。定義 2.2の$\omega_1,\omega_2,\omega_{ij}$を用いて、$V$上の$4$次正方行列に値を持つ$C^\infty$一次微分形式$\mathcal{A}$を