九点円 | 幾何の定理ギャラリー

1 九点円の定理と中心・半径

定理 1.1 (九点円). 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ 、外接円の半径を $R>0$ 、垂心を $\mathrm{H}$ とし、 $\mathrm{OH}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする。次の9点は、中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $\dfrac{R}{2}$ の同一円周上にある。

三辺の中点 $\mathrm{M_A},\mathrm{M_B},\mathrm{M_C}$
三本の高さの足 $\mathrm{H_A},\mathrm{H_B},\mathrm{H_C}$
$\mathrm{H}$ と各頂点を結ぶ線分の中点 $\mathrm{E_A},\mathrm{E_B},\mathrm{E_C}$

三角形は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形、正三角形のいずれでもよい。9点の一部が一致する場合も、 $R/2>0$ であるから円は退化しない。

頂点 $\mathrm{A}$ をドラッグするか、二本のスライダーを動かすと、三角形の形が変わります。9点は形によらず同じ円周上にあります。

最初に、垂心が鋭角三角形以外でも一意に定まることを初等幾何で確かめます。点の順序や配置によらずに角の等式を扱うため、本記事では二直線のなす向きをもつ角を用います。

定義 1.2 (向きをもつ角). 二直線 $\ell,m$ の向きをもつ角 $\angle(\ell,m)$ を、 $\ell$ を反時計回りに回して $m$ と平行にするための回転角として、 $180°$ を法として定める。任意の直線 $\ell,m,n$ について

\angle(\ell,m)+\angle(m,n)=\angle(\ell,n),\qquad \angle(m,\ell)=-\angle(\ell,m)

が成り立つ。 $\ell'\perp\ell$ かつ $m'\perp m$ ならば $\angle(\ell',m')=\angle(\ell,m)$ である。直線に関する対称移動 $\sigma$ は $\angle(\sigma(\ell),\sigma(m))=-\angle(\ell,m)$ を満たす。相異なる四点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$ について、 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ と $\mathrm{S},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ がいずれも一直線上にないとき、四点が同一円周上にあることと

\angle(\mathrm{PQ},\mathrm{PR})=\angle(\mathrm{SQ},\mathrm{SR})\pmod {180°}

は同値である（円周角の定理とその逆）。

定理 1.3. 非退化三角形の三本の高さは一点で交わる。

証明. $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ からの高さの足をそれぞれ $\mathrm{H_A}$ 、 $\mathrm{H_B}$ とし、二直線 $\mathrm{AH_A}$ 、 $\mathrm{BH_B}$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。三角形が非退化であるため、二直線は平行でなく、交点 $\mathrm{H}$ は一意に定まる。

$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形である場合、直角をなす二辺は他の二頂点からの高さであり、直角の頂点で交わる。残る高さもその頂点を通るから、主張は成り立つ。以下では三角形の三つの角がいずれも直角でない場合を扱う。

$\mathrm{H_A}=\mathrm{B}$ とすると直線 $\mathrm{AB}$ が $\mathrm{BC}$ に垂直となって $\angle \mathrm{B}=90°$ であるから、 $\mathrm{H_A}$ は $\mathrm{B}$ と異なり、同じ理由で $\mathrm{C}$ とも異なる。 $\mathrm{H_B}$ も同じ理由で $\mathrm{A}$ 、 $\mathrm{C}$ と異なる。また、 $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるとすると、 $\mathrm{H}\ne\mathrm{A}$ の場合には直線 $\mathrm{AH}=\mathrm{AB}$ が $\mathrm{BC}$ に垂直となって $\angle \mathrm{B}=90°$ 、 $\mathrm{H}=\mathrm{A}$ の場合には直線 $\mathrm{BH}=\mathrm{BA}$ が $\mathrm{CA}$ に垂直となって $\angle \mathrm{A}=90°$ となる。ゆえに $\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上になく、同じ議論により直線 $\mathrm{BC}$ 、 $\mathrm{CA}$ 上にもない。したがって以下で用いる四点の組は、いずれも相異なり、どの三点も一直線上にない。

$\angle \mathrm{A H_A B}=\angle \mathrm{A H_B B}=90°$ であるから、四点 $\mathrm{A},\mathrm{H_A},\mathrm{B},\mathrm{H_B}$ は直径 $\mathrm{AB}$ の円周上にある。また、 $\angle \mathrm{C H_A H}=\angle \mathrm{C H_B H}=90°$ であるから、四点 $\mathrm{C},\mathrm{H_A},\mathrm{H},\mathrm{H_B}$ は直径 $\mathrm{CH}$ の円周上にある。

定義 1.2の向きをもつ角と共円判定を用いる。後者の円で弦 $\mathrm{H_BH}$ を見込む角を比べ、前者の円で弦 $\mathrm{H_BB}$ を見込む角を比べると

\angle(\mathrm{CH_B},\mathrm{CH})=\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AH}), \qquad \angle(\mathrm{AH_B},\mathrm{AB})=\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AB})

を得る。直線 $\mathrm{H_AH}$ は直線 $\mathrm{H_AB}$ に垂直であるから

\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AH})=\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AB})+90°\pmod {180°}

であり、直線 $\mathrm{CH_B}$ と直線 $\mathrm{AH_B}$ はともに直線 $\mathrm{CA}$ である。三つを合わせると

\angle(\mathrm{CA},\mathrm{CH}) =\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AH}) =\angle(\mathrm{H_AH_B},\mathrm{H_AB})+90° =\angle(\mathrm{CA},\mathrm{AB})+90°\pmod {180°}

となる。向きをもつ角の加法により

\angle(\mathrm{AB},\mathrm{CH}) =\angle(\mathrm{AB},\mathrm{CA})+\angle(\mathrm{CA},\mathrm{CH}) =\angle(\mathrm{AB},\mathrm{CA})+\angle(\mathrm{CA},\mathrm{AB})+90° =90°\pmod {180°}.

ゆえに $\mathrm{CH}$ は $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AB}$ へ下ろした高さであり、三本の高さは $\mathrm{H}$ で交わる。▨

2 初等幾何による証明

この節では定理 1.1を初等幾何によって証明します。

補題 2.1. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ 、垂心を $\mathrm{H}$ とし、直線 $\mathrm{AO}$ と外接円の交点のうち $\mathrm{A}$ でない方を $\mathrm{A}'$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ は、線分 $\mathrm{HA}'$ の中点である。頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても、頂点の名前を入れ替えた同じ主張が成り立つ。

証明. $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ であれば、 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にあるから $\mathrm{AB}\perp\mathrm{BC}$ 、すなわち $\angle \mathrm{B}=90°$ である。逆に $\angle \mathrm{B}=90°$ であれば、 $\mathrm{A}$ からの高さと $\mathrm{C}$ からの高さはいずれも $\mathrm{B}$ を通るから $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ である。 $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ と $\angle \mathrm{C}=90°$ についても、同じ同値が成り立つ。

$\angle \mathrm{B}=90°$ の場合を先に扱う。円周角の定理の逆により、 $\mathrm{AC}$ は外接円の直径である。したがって $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の中点であり、直線 $\mathrm{AO}$ と外接円の $\mathrm{A}$ でない交点は $\mathrm{C}$ であるから $\mathrm{A}'=\mathrm{C}$ となる。このとき $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ であり、線分 $\mathrm{HA}'$ は辺 $\mathrm{BC}$ そのものであるから、その中点は $\mathrm{M_A}$ である。 $\angle \mathrm{C}=90°$ の場合には、 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を入れ替えて同じ議論を行う。

以下、 $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ がいずれも $90°$ でない場合を扱う。前段の同値により $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なる。さらに $\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。 $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にあるとすると、 $\mathrm{B}$ からの高さは直線 $\mathrm{BH}=\mathrm{BC}$ であり、これが $\mathrm{CA}$ に垂直であることから $\angle \mathrm{C}=90°$ となって仮定に反するからである。また、 $\mathrm{A}'=\mathrm{C}$ であれば $\mathrm{AC}$ が外接円の直径となり、円周角の定理により $\angle \mathrm{B}=90°$ となる。 $\mathrm{A}'=\mathrm{B}$ であれば同じ理由で $\angle \mathrm{C}=90°$ となる。いずれも仮定に反するから、 $\mathrm{A}'$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なり、直線 $\mathrm{BC}$ と外接円の共有点は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ だけであるから、 $\mathrm{A}'$ も直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。

線分 $\mathrm{AA}'$ は外接円の直径であり、 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ はその両端と異なる外接円上の点である。したがって円周角の定理により

\angle \mathrm{ABA}'=\angle \mathrm{ACA}'=90°

となり、 $\mathrm{BA}'\perp\mathrm{AB}$ かつ $\mathrm{CA}'\perp\mathrm{AC}$ を得る。一方、 $\mathrm{H}$ は垂心であるから $\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ かつ $\mathrm{BH}\perp\mathrm{AC}$ である。同一の直線に垂直な二直線は平行であるから

\mathrm{BA}'\parallel \mathrm{CH},\qquad \mathrm{CA}'\parallel \mathrm{BH}

が成り立つ。三点 $\mathrm{B},\mathrm{H},\mathrm{C}$ は一直線上になく、四角形 $\mathrm{BHCA}'$ は向かい合う二組の辺がそれぞれ平行であるから、平行四辺形である。平行四辺形の二本の対角線はそれぞれの中点で交わるから、対角線 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ は対角線 $\mathrm{HA}'$ の中点でもある。

頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ については、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

補題 2.2. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の垂心 $\mathrm{H}$ の、直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡像を $\mathrm{H_A^{*}}$ とすると、 $\mathrm{H_A^{*}}$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円上にある。直線 $\mathrm{CA}$ 、 $\mathrm{AB}$ に関する $\mathrm{H}$ の鏡像についても、同じことが成り立つ。

証明. $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にある場合を先に扱う。 $\mathrm{H}\ne\mathrm{B}$ とすると、 $\mathrm{B}$ からの高さは直線 $\mathrm{BH}=\mathrm{BC}$ であり、これが $\mathrm{CA}$ に垂直であることから $\angle \mathrm{C}=90°$ 、したがって $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ となる。ゆえに $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ または $\mathrm{C}$ に一致する。直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡映はこの直線上の点を動かさないから $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{H}$ であり、 $\mathrm{H}$ は頂点として外接円上にある。

以下、 $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にない場合を扱う。このとき $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なり、 $\mathrm{H_A^{*}}$ も直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。鏡映は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を動かさないから、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{B}$ は $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ を、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{C}$ は $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ を意味し、どちらも起こらない。 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ の場合には $\mathrm{H_A^{*}}$ は外接円上にあるから、以下では $\mathrm{H_A^{*}}\ne\mathrm{A}$ とする。

直線 $\mathrm{HB}$ は $\mathrm{CA}$ に垂直であり、直線 $\mathrm{HC}$ は $\mathrm{AB}$ に垂直であるから、定義 1.2の垂直な二直線についての等式により

\angle(\mathrm{HB},\mathrm{HC})=\angle(\mathrm{CA},\mathrm{AB})\pmod {180°}

である。直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡映は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を固定し、 $\mathrm{H}$ を $\mathrm{H_A^{*}}$ へ写すから、同じ定義の対称移動についての等式により

\angle(\mathrm{H_A^{*}B},\mathrm{H_A^{*}C})=-\angle(\mathrm{HB},\mathrm{HC})=\angle(\mathrm{AB},\mathrm{AC}) \pmod {180°}

を得る。四点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{H_A^{*}}$ は相異なり、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ と $\mathrm{H_A^{*}},\mathrm{B},\mathrm{C}$ はいずれも一直線上にないから、定義 1.2の共円判定により $\mathrm{H_A^{*}}$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円上にある。

直線 $\mathrm{CA}$ 、 $\mathrm{AB}$ に関する鏡像については、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

以上の二つの補題により、定理 1.1を証明します。

証明. 中心 $\mathrm{H}$ 、相似比 $\dfrac12$ の相似変換を $h$ とする。この $h$ は、各点 $\mathrm{X}$ を線分 $\mathrm{HX}$ の中点へ写す。相似変換は円を円へ写し、もとの円の中心を像の円の中心とし、半径を相似比倍にする。 $h(\mathrm{O})$ は線分 $\mathrm{HO}$ の中点であり、これは $\mathrm{N}$ である。したがって外接円の像 $\Gamma'$ は、中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $\dfrac{R}{2}$ の円である。

$\mathrm{A}$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{A})$ は線分 $\mathrm{HA}$ の中点 $\mathrm{E_A}$ であるから、 $\mathrm{E_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

補題 2.1の点 $\mathrm{A}'$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{A}')$ は線分 $\mathrm{HA}'$ の中点である。同じ補題により、この中点は $\mathrm{M_A}$ である。したがって $\mathrm{M_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

補題 2.2の点 $\mathrm{H_A^{*}}$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{H_A^{*}})$ は線分 $\mathrm{HH_A^{*}}$ の中点である。鏡映の定義により、この中点は $\mathrm{H}$ から直線 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線の足である。 $\mathrm{A}$ からの高さは $\mathrm{H}$ を通り直線 $\mathrm{BC}$ に垂直な直線であり、 $\mathrm{H}$ を通って直線 $\mathrm{BC}$ に垂直な直線は一本しかないから、この足は $\mathrm{H_A}$ に一致する。したがって $\mathrm{H_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ について頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行うと、 $\mathrm{E_B},\mathrm{E_C},\mathrm{M_B},\mathrm{M_C},\mathrm{H_B},\mathrm{H_C}$ も $\Gamma'$ 上にある。ゆえに9点はすべて中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $\dfrac{R}{2}$ の円 $\Gamma'$ 上にある。 $R>0$ であるから $\Gamma'$ は退化しない。▨

注意 2.3. 上の証明は、三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかによる場合分けを含まない。場合分けは二つの補題の内部にあり、どちらでも $\angle \mathrm{B}$ または $\angle \mathrm{C}$ が直角である配置、すなわち垂心が頂点 $\mathrm{B}$ または $\mathrm{C}$ に一致する配置で生じる。この配置では補題 2.1の四角形 $\mathrm{BHCA}'$ が平行四辺形をなさず、補題 2.2の四点共円の判定も適用することができないため、どちらの補題でもその場合を別に確かめた。補題 2.2では、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ となる配置、すなわち $\mathrm{H}$ が $\mathrm{A}$ の直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡像である配置も別に扱った。この配置は $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ が直角でない鈍角三角形でも実際に起こる。たとえば $\mathrm{A}=(0,1)$ 、 $\mathrm{B}=(2,0)$ 、 $\mathrm{C}=(1/2,0)$ とすると $\angle \mathrm{C}$ が鈍角で $\mathrm{H}=(0,-1)$ となり、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ である。このとき $\mathrm{H_A^{*}}$ は頂点として外接円上にあるから、共円判定を用いずに結論を得る。三頂点が一直線上にある配置は、非退化という仮定によって除いてある。 9点のうちいくつかが一致する配置は除いていない。相似 $h$ は外接円の全体を $\Gamma'$ へ写すので、像の点が重なっても結論は変わらない。

3 位置ベクトルによる別証明

定理 3.1. $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm{O}$ を原点とし、各頂点の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ とする。三本の高さの交点 $\mathrm{H}$ の位置ベクトルは

\vec h=\vec a+\vec b+\vec c

である。

証明. $\vec h':=\vec a+\vec b+\vec c$ で定まる点 $\mathrm{H}'$ を取る。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M_A}$ とすると

\vec m_A=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \vec h'-\vec a=\vec b+\vec c=2\vec m_A

となる。 $|\mathrm{OB}|=|\mathrm{OC}|=R$ であるから、 $\mathrm{O}\ne\mathrm{M_A}$ の場合には直線 $\mathrm{OM_A}$ は $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線である。したがって $\vec h'-\vec a$ は $\mathrm{BC}$ に垂直であり、 $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にある。

$\mathrm{O}=\mathrm{M_A}$ の場合には $\vec b+\vec c=\vec 0$ であるから $\mathrm{H}'=\mathrm{A}$ となり、この場合にも $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にある。 $\vec h'$ の式は $\vec a,\vec b,\vec c$ について対称であるから、同じ議論により $\mathrm{H}'$ は残り二本の高さの上にもある。したがって三本の高さは $\mathrm{H}'$ で交わり、垂心の定義から $\mathrm{H}'=\mathrm{H}$ である。ゆえに主張の式を得る。▨

証明. $\mathrm{O}$ を原点とし、定理 3.1を適用して

\vec n=\frac{\vec h}{2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{2}

と書く。定義から

\vec m_A=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \vec e_A=\frac{\vec a+\vec h}{2}=\frac{2\vec a+\vec b+\vec c}{2}

であるから

\vec m_A-\vec n=-\frac{\vec a}{2},\qquad \vec e_A-\vec n=\frac{\vec a}{2}

を得る。 $|\vec a|=R$ であるため、 $\mathrm{M_A}$ と $\mathrm{E_A}$ は $\mathrm{N}$ から距離 $R/2$ にあり、線分 $\mathrm{M_AE_A}$ はこの円の直径である。 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても同じ計算を行うと、三辺の中点と三つのオイラー点が円周上にある。

$\mathrm{H_A}=\mathrm{M_A}$ または $\mathrm{H_A}=\mathrm{E_A}$ の場合には、 $\mathrm{H_A}$ は既に得た六点の一つである。 $\mathrm{H_A}$ が両方と異なる場合には $\angle \mathrm{M_AH_AE_A}=90°$ であるから、円周角の定理の逆により $\mathrm{H_A}$ も同じ円周上にある。 $\mathrm{H_B},\mathrm{H_C}$ についても同じ場合分けをして議論すると、九点すべてが中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $R/2$ の円周上にある。▨

この別証明では、辺の中点とオイラー点の $\mathrm{N}$ に対する位置ベクトルが $\pm\vec a/2,\pm\vec b/2,\pm\vec c/2$ になります。六つの点が $\mathrm{N}$ から等距離にあり、残る三つの垂線の足が三本の直径を直角に見込むという構造が、位置ベクトルによって表されています。

定理 3.2 (九点円). 非退化三角形の各辺の中点3つ、各頂点から対辺へ下ろした垂線の足3つ、垂心と各頂点の中点3つは、同じ円周上にある。

証明.定理 1.1を適用すると、9点は中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $R/2$ の同一円周上にある。▨

定理 3.3. 九点円の半径は外接円の半径の半分であり、その中心 $\mathrm{N}$ は外心 $\mathrm{O}$ と垂心 $\mathrm{H}$ の中点である。三角形が正三角形でない場合、 $\mathrm{N}$ はオイラー線上にある。正三角形の場合は $\mathrm{N}=\mathrm{O}=\mathrm{H}$ であり、オイラー線は一意に定まらない。

証明.定理 1.1を適用すると、九点円の中心は $\mathrm{OH}$ の中点 $\mathrm{N}$ であり、半径は $R/2$ である。三角形が正三角形でない場合、§C2.2 定理 1.1により $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は一直線上にあり、直線 $\mathrm{OH}$ がオイラー線である。 $\mathrm{N}$ は $\mathrm{OH}$ の中点であるから、オイラー線上にある。正三角形の場合は $\mathrm{O}=\mathrm{H}$ であるため、その中点も $\mathrm{N}=\mathrm{O}=\mathrm{H}$ となる。一点だけでは直線が定まらないので、この場合のオイラー線は一意に定まらない。▨

4 確認問題

問題 4.1. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ と、 $\mathrm{H}$ と $\mathrm{A}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{E_A}$ が、九点円の同一の直径の両端であることを示せ。 $\mathrm{M_B}$ と $\mathrm{E_B}$ 、 $\mathrm{M_C}$ と $\mathrm{E_C}$ についても同じことが成り立つ理由を述べよ。

解答.

補題 2.1の点 $\mathrm{A}'$ を取ると、線分 $\mathrm{AA}'$ は外接円の直径である。中心 $\mathrm{H}$ 、相似比 $1/2$ の相似 $h$ は外接円を九点円へ写し、外接円の中心 $\mathrm{O}$ を九点円の中心 $\mathrm{N}$ へ写すから、 $\mathrm{O}$ を通る弦 $\mathrm{AA}'$ の像は $\mathrm{N}$ を通る弦、すなわち九点円の直径である。 $h(\mathrm{A})$ は線分 $\mathrm{HA}$ の中点 $\mathrm{E_A}$ であり、同じ補題により $h(\mathrm{A}')$ は線分 $\mathrm{HA}'$ の中点 $\mathrm{M_A}$ である。したがって線分 $\mathrm{E_AM_A}$ は九点円の直径であり、 $\mathrm{M_A}$ と $\mathrm{E_A}$ はその両端である。 $\mathrm{M_B}$ と $\mathrm{E_B}$ 、 $\mathrm{M_C}$ と $\mathrm{E_C}$ については、同じ補題が頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても成り立つので、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

問題 4.2. $\angle\mathrm{A}=90°$ の直角三角形と正三角形について、九点のうち一致するものを列挙せよ。また、点が一致しても九点円が退化しない理由を答えよ。

解答.

$\angle\mathrm{A}=90°$ の場合、 $\mathrm{H}=\mathrm{A}$ であるから $\mathrm{H_B}=\mathrm{H_C}=\mathrm{E_A}=\mathrm{A}$ 、 $\mathrm{E_B}=\mathrm{M_C}$ 、 $\mathrm{E_C}=\mathrm{M_B}$ となる。正三角形の場合、各高さの足は対応する辺の中点であるから $\mathrm{H_A}=\mathrm{M_A}$ 、 $\mathrm{H_B}=\mathrm{M_B}$ 、 $\mathrm{H_C}=\mathrm{M_C}$ となる。いずれの場合も三角形は非退化であり、外接円の半径は $R>0$ である。したがって九点円の半径 $R/2$ は正であり、円は退化しない。▨

5 もう少し先へ

九点円は内接円と三つの傍接円のすべてに接します。この事実はフォイエルバッハの定理と呼ばれ、その証明は後続の項目で扱います。

オイラー線という名称には、外心・重心・垂心が一直線上にあり $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ となる主張も含まれます。本記事の九点円そのものの構成では重心を用いません。九点円の中心 $\mathrm{N}$ がオイラー線上にあるという帰結だけは、§C2.2 定理 1.1を通じて外心・重心・垂心の共線性を用います。

§C2.3九点円

1 九点円の定理と中心・半径

2 初等幾何による証明

3 位置ベクトルによる別証明

4 確認問題

5 もう少し先へ

参考文献

前提記事