§C2.4ミケルの点

証明.$E$は直線$CA$の上にあり$A$と異なるから、二点$A$、$E$を通る直線は直線$CA$である。同様に$F$は直線$AB$の上にあり$A$と異なるから、二点$A$、$F$を通る直線は直線$AB$である。三角形$ABC$は非退化なので直線$CA$と直線$AB$は相異なり、$F$は直線$CA$の上にない。よって三点$A$、$E$、$F$は相異なり、同一直線上にない。$B$、$F$、$D$と$C$、$D$、$E$についても、頂点を$B$、$C$に取り替えて同じ議論が成り立つ。

同一直線上にない相異なる三点に対して、§A5.8 定理 6.2により、その三点を頂点とする三角形の三辺の垂直二等分線はただ一点で交わり、その点を中心とする円が三点を通る。三点を通る円の中心は三本の垂直二等分線のいずれの上にもなければならないから、中心はこの一点に限り、円もただ一つに限る。よって円$(AEF)$、$(BFD)$、$(CDE)$がそれぞれただ一つ定まる。

円と直線が相異なる三点を共有することはない。実際、円の中心から直線へ下ろした垂線の足を$H$とすると、直線上の点$X$に対する中心と$X$の距離は$H$と$X$の距離だけで定まり、半径に等しい距離を与える点は$H$の両側にそれぞれ高々一つだからである。$A$、$F$、$B$は直線$AB$の上の相異なる三点であり、円$(AEF)$は$A$と$F$を、円$(BFD)$は$B$と$F$を通る。二円が一致すればその円が$A$、$F$、$B$を共有することになるので、二円は相異なる。▨

証明. 平面の一点$O$を固定し、以下では回転をすべて$O$を中心とするものに取る。直線の向きは平行移動で変わらないから、三つの角のいずれもこの中心の回転の角として測ることができる。$\ell$を$m$に平行な直線へ重ねる回転の角を$\theta$、$m$を$n$に平行な直線へ重ねる回転の角を$\varphi$とする。角$\theta$の回転で$\ell$は$m$に平行な直線へ移り、続けて角$\varphi$の回転を行うとその直線は$n$に平行な直線へ移る。中心が同じ二つの回転の合成は角$\theta+\varphi$の回転であるから、$\theta+\varphi$は$\ell$を$n$に平行な直線へ重ねる回転の角であり、第一の等式を得る。この等式で$n$を$\ell$に取ると、$\angle(\ell,\ell)=0$により$\angle(\ell,m)+\angle(m,\ell)=0$となり、$\angle(m,\ell)=-\angle(\ell,m)$を得る。▨

証明. 直線$QR$の上にない点$X$を取る。点$X$のまわりに半直線$XQ$を反時計回りに$\theta_X\in(-180°,180°)$だけ回して半直線$XR$へ重ねることができ、$\lvert\theta_X\rvert$は通常の角$\angle QXR$に等しい。この回転は直線$XQ$を直線$XR$へ重ねるから$\angle(XQ,XR)=\theta_X \pmod{180°}$である。$X$が直線$QR$の上にないので$\theta_X\neq 0$である。$\theta_X>0$であることは、$R$が有向直線$X\to Q$の左にあること、すなわち三角形$XQR$が反時計回りであることと同値である。三角形の向きは頂点を巡回的に入れ替えても変わらないから、これは$X$が有向直線$Q\to R$の左にあることと同値である。よって$\theta_X$の符号は、$X$が直線$QR$のどちら側にあるかだけで決まる。

$P$と$S$が直線$QR$の同じ側にある場合、$\theta_P$と$\theta_S$は同符号であり、差$\theta_P-\theta_S$は$-180°$より大きく$180°$より小さい。したがって$\theta_P=\theta_S \pmod{180°}$は$\theta_P=\theta_S$と同値であり、絶対値を取れば$\angle QPR=\angle QSR$と同値である。

$P$と$S$が直線$QR$の反対側にある場合、$\theta_P$と$\theta_S$は異符号である。$P$と$S$を入れ替えて$\theta_P>0>\theta_S$としてよい。差$\theta_P-\theta_S$は$0°$より大きく$360°$より小さいから、$\theta_P=\theta_S \pmod{180°}$は$\theta_P-\theta_S=180°$と同値であり、$\theta_P=\angle QPR$と$\theta_S=-\angle QSR$を代入すれば$\angle QPR+\angle QSR=180°$と同値である。

いずれの場合も得られた条件は、§A5.6 定理 2.2が四点$P$、$Q$、$R$、$S$の共円性と同値であるとした条件である。▨

証明. 円$(AEF)$と円$(BFD)$は補題 1.2により相異なる。相異なる二円が三点を共有することはない。実際、三つの共有点があるとすると、円と直線の共有点は高々二個であるからその三点は同一直線上になく、§A5.8 定理 6.2により同一直線上にない三点を通る円はただ一つであるから、二円は一致することになる。よって二円の共有点は高々二個である。仮定により共有点は$F$だけではないから、共有点はちょうど二個であり、その$F$でない方を$M$とする。

$M$が$C$、$D$、$E$のいずれかに一致する場合、$M$は円$(CDE)$の上にある。以下では$M$が$C$、$D$、$E$のいずれとも異なるとする。円と直線の共有点は高々二個であり、$B$と$F$はともに直線$AB$の上にあって円$(BFD)$の上にあるから、直線$AB$と円$(BFD)$の共有点は$B$と$F$だけである。$A$はそのどちらとも異なるので$A$は円$(BFD)$の上になく、$M$は円$(BFD)$の上にあるから$M\neq A$である。同じ理由で$B$は円$(AEF)$の上になく、$M\neq B$である。

四点$A$、$E$、$F$、$M$は円$(AEF)$の上にある。補題 1.2により$A$は直線$EF$の上になく、また円$(AEF)$と直線$EF$の共有点は$E$と$F$だけで$M$はそのどちらとも異なるから$M$も直線$EF$の上にない。よって補題 1.5を四点$M$、$E$、$F$、$A$に適用することができる。$A$、$E$、$C$は直線$CA$の上に、$A$、$F$、$B$は直線$AB$の上にあるから、直線$AE$は直線$CE$に、直線$AF$は直線$BA$に一致する。よって

である。

円$(BFD)$に対して同じ議論を行う。$B$は補題 1.2により直線$FD$の上になく、円$(BFD)$と直線$FD$の共有点は$F$と$D$だけで$M$はそのどちらとも異なるから$M$も直線$FD$の上にない。補題 1.5を四点$M$、$F$、$D$、$B$に適用すると$\angle(MF,MD)=\angle(BF,BD)$を得る。$B$、$F$、$A$は直線$AB$の上に、$B$、$D$、$C$は直線$BC$の上にあるから

である。

二つの等式を加え、補題 1.4を用いると

となる。$C$、$D$、$E$は同一直線上にないので$\angle(CE,CD)\neq 0$であり、したがって$\angle(ME,MD)\neq 0$である。$M$が直線$DE$の上にあれば直線$ME$と直線$MD$はともに直線$DE$に一致して$\angle(ME,MD)=0$となるから、$M$は直線$DE$の上にない。$C$も直線$DE$の上になく、$M$と$C$は相異なる。よって補題 1.5を四点$M$、$E$、$D$、$C$に適用することができ、$C$、$E$、$D$、$M$は同一円周上にある。補題 1.2により相異なる三点$C$、$D$、$E$を通る円は円$(CDE)$だけであるから、$M$は円$(CDE)$の上にある。▨

証明.$D$、$E$、$F$をそれぞれ線分$BC$、$CA$、$AB$の内部の点とし、$M$を円$(AEF)$と円$(BFD)$の$F$でない交点とする。さらに$M$が三角形$DEF$の内部にあると仮定する。

$A$は補題 1.2により直線$EF$の上にない。$B$が直線$EF$の上にあれば、相異なる二点$B$、$F$を通る直線$AB$が直線$EF$と一致し、$E$が直線$AB$と直線$CA$の両方の上に来て$E=A$となるから、$B$も直線$EF$の上にない。同じ理由で$C$も直線$EF$の上にない。$F$は線分$AB$の内部にあり$A$と$B$は直線$EF$の上にないから、線分$AB$は直線$EF$を$F$で横切り、$A$と$B$は直線$EF$の反対側にある。$E$と線分$CA$についても同じ議論により、$A$と$C$は直線$EF$の反対側にある。よって$B$と$C$はともに直線$EF$について$A$の反対側にあり、線分$BC$の内部の点$D$も直線$EF$について$A$の反対側にある。三角形$DEF$の内部は直線$EF$について$D$と同じ側にあるから、$M$は直線$EF$について$A$の反対側にある。とくに$M$は直線$EF$の上になく、$M\neq A$である。$E$は線分$CA$の内部に、$F$は線分$AB$の内部にあるので半直線$AE$は半直線$AC$に、半直線$AF$は半直線$AB$に一致し、$\angle EAF=\angle BAC$である。四点$A$、$E$、$M$、$F$は円$(AEF)$の上にあるから、§A5.6 定理 2.2の反対側の場合により

を得る。

同じ議論を直線$FD$と円$(BFD)$に対して行う。$D$が線分$BC$の内部に、$F$が線分$AB$の内部にあることから、上と同じ理由で$A$と$C$はともに直線$FD$について$B$の反対側にある。したがって線分$CA$の内部の点$E$は直線$FD$について$B$の反対側にあり、三角形$DEF$の内部は直線$FD$について$E$と同じ側にある。よって$M$は直線$FD$について$B$の反対側にある。$F$は線分$AB$の内部に、$D$は線分$BC$の内部にあるので$\angle FBD=\angle ABC$であり、四点$B$、$F$、$M$、$D$は円$(BFD)$の上にあるから、同じ判定により

を得る。

$M$は三角形$DEF$の内部にあるので、半直線$DM$は線分$EF$をその内部の点$D'$で切り、$M$は$D$と$D'$の間にある。$D'$が線分$EF$の内部にあることから半直線$MD'$は$\angle EMF$を二つに分け、$M$が$D$と$D'$の間にあることから半直線$MD'$と半直線$MD$は互いに逆向きである。よって

となり、

が成り立つ。すでに得た二つの等式を代入し、三角形$ABC$の内角の和が$180°$であることを用いると

となる。

$D$が線分$BC$の内部に、$E$が線分$CA$の内部にあることから、上と同じ理由で$A$と$B$はともに直線$DE$について$C$の反対側にある。したがって線分$AB$の内部の点$F$は直線$DE$について$C$の反対側にあり、三角形$DEF$の内部は直線$DE$について$F$と同じ側にある。よって$M$は直線$DE$について$C$の反対側にあり、とくに$M$は直線$DE$の上になく$M\neq C$である。$D$は線分$BC$の内部に、$E$は線分$CA$の内部にあるので$\angle DCE=\angle BCA$であり、

が成り立つ。ふたたび§A5.6 定理 2.2の反対側の場合により、四点$C$、$D$、$M$、$E$は同一円周上にある。補題 1.2により相異なる三点$C$、$D$、$E$を通る円は円$(CDE)$だけであるから、$M$は円$(CDE)$の上にある。▨