§C2.8パスカルの定理とブリアンションの定理

証明.$aX+bY+cZ=0$を満たすかどうかは、点の同次座標を$0$でない定数倍しても変わらない。

$(a,b)\ne(0,0)$とする。有限点$[x:y:1]$がこの式を満たすことは$ax+by+c=0$と同値である。無限遠点$[u:v:0]$がこの式を満たすことは$au+bv=0$、すなわち$(u,v)$が$(b,-a)$の$0$でない実数倍であることと同値であり、$(b,-a)$は直線$ax+by+c=0$の方向である。したがって、式を満たす点の全体は、直線$ax+by+c=0$にその方向の無限遠点を加えた有限直線（§A5.17 定義 1.1）である。

$(a,b)=(0,0)$とすると$c\ne0$であり、式は$Z=0$と同値であるから、式を満たす点の全体は無限遠点の全体、すなわち無限遠直線である。

逆に、有限直線は、もとの平面の直線を$ax+by+c=0$（$(a,b)\ne(0,0)$）と表すと、上で示したとおり$aX+bY+cZ=0$を満たす点の全体であり、無限遠直線は$Z=0$を満たす点の全体である。▨

証明.$\Gamma$の種類に応じて平面の直交座標を一つ選び、その座標から§A5.17 定義 6.1のとおりに同次座標$[X:Y:Z]$を定める。有限点$(x,y)$の同次座標は$[x:y:1]$であり、方向$(u,v)$の無限遠点の同次座標は$[u:v:0]$である。座標の選び方と、二次の同次式$F(X,Y,Z)$と、実3次行列$M$を次のように定める。

• $\Gamma$が円であるとき、中心を原点とすると、半径を$r$として$\Gamma$は$x^2+y^2=r^2$と表される。$a=b=r$とおく。$\Gamma$が楕円であるとき、中心を原点とし焦点を$x$軸の上にとると、§A2.14 公式 3.2により、ある$a,b>0$について$\Gamma$は$x^2/a^2+y^2/b^2=1$と表される。どちらの場合も、$F=X^2/a^2+Y^2/b^2-Z^2$とし、$M$を対角成分が$1/a,1/b,1$の対角行列とする。
• $\Gamma$が双曲線であるとき、中心を原点とし焦点を$x$軸の上にとると、§A2.14 公式 4.2により、ある$a,b>0$について$\Gamma$は$x^2/a^2-y^2/b^2=1$と表される。$F=X^2/a^2-Y^2/b^2-Z^2$とし、$M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1/b&0\\1/a&0&0\end{pmatrix}$とする。
• $\Gamma$が放物線であるとき、頂点を原点とし、焦点が$x$軸の正の部分にあるように座標をとると、§A2.14 公式 2.2により、ある$p>0$について$\Gamma$は$y^2=4px$と表される。$F=Y^2-4pXZ$とし、$M=\begin{pmatrix}\sqrt p&0&-\sqrt p\\0&1&0\\\sqrt p&0&\sqrt p\end{pmatrix}$とする。

$M$の行列式は、三つの場合の順に$1/(ab)$、$-1/(ab)$、$2p$であり、いずれも$0$でない。$G(X,Y,Z)=X^2+Y^2-Z^2$とおく。円・楕円と放物線では$\varepsilon=1$、双曲線では$\varepsilon=-1$とすると、すべての$\boldsymbol v\in\mathbb R^3$について

が成り立つ。実際、$\boldsymbol v=(X,Y,Z)$とすると、円・楕円では$G(X/a,\,Y/b,\,Z)=F(X,Y,Z)$であり、双曲線では$G(Z,\,Y/b,\,X/a)=Z^2+Y^2/b^2-X^2/a^2=-F(X,Y,Z)$であり、放物線では

である。

$\overline{\Gamma}$は、$F(\boldsymbol v)=0$を満たす点$[\boldsymbol v]$の全体である。実際、有限点$[x:y:1]$については、$F(x,y,1)=0$は$\Gamma$の方程式そのものである。無限遠点$[u:v:0]$については、円・楕円では$F(u,v,0)=u^2/a^2+v^2/b^2=0$から$u=v=0$となるので、$F=0$を満たす無限遠点はない。双曲線では、$F(u,v,0)=u^2/a^2-v^2/b^2=0$ならば$u\ne0$であり（$u=0$ならば$v=0$となる）、この条件は$v/u=b/a$または$v/u=-b/a$と同値である。したがって$F=0$を満たす無限遠点は、二本の漸近線$y=(b/a)x$、$y=-(b/a)x$（§A2.14 公式 4.2）の方向の無限遠点である。放物線では$F(u,v,0)=v^2=0$から$v=0$となるので、$F=0$を満たす無限遠点は軸$y=0$の方向の無限遠点$[1:0:0]$だけである。いずれの場合も、$F=0$を満たす点の全体は定義 1.1の$\overline{\Gamma}$と一致する。同じく、$G(u,v,0)=u^2+v^2=0$を満たす無限遠点はないので、$G(\boldsymbol v)=0$を満たす点$[\boldsymbol v]$の全体は、原点を中心とし半径が単位の長さである円である。この円を$K$とする。

$M$は可逆であるから、§A5.17 定理 8.1により、$[\boldsymbol v]\mapsto[M\boldsymbol v]$は射影変換である。この射影変換を$\varphi$とする。$F(\boldsymbol v)=0$と$G(M\boldsymbol v)=0$は同値であるから、$\varphi(\overline{\Gamma})\subset K$である。逆に、$K$の点$[\boldsymbol w]$に対して$\boldsymbol v=M^{-1}\boldsymbol w$とおくと、$\varepsilon F(\boldsymbol v)=G(\boldsymbol w)=0$であるから$[\boldsymbol v]\in\overline{\Gamma}$であり、$\varphi([\boldsymbol v])=[\boldsymbol w]$である。よって$\varphi(\overline{\Gamma})=K$である。▨

証明.定理 2.2により、射影変換$\varphi$と円$K$で$\varphi(\overline{\Gamma})=K$を満たすものをとる。§A5.17 定理 1.3により、$\varphi$は単射であり、拡張平面の直線$\ell$を直線$\varphi(\ell)$へ移すので、$\ell$と$\overline{\Gamma}$の共有点を、$\varphi(\ell)$と$K$の共有点へ一対一に移す。したがって、拡張平面の直線$m$と$K$の共有点が高々二つであることを示せば、最初の主張が従う。

$K$の中心を$O$、半径を$r$とする。$K$は無限遠点を含まないので、$m$が無限遠直線であるとき共有点はない。$m$が有限直線であるとき、$O$から$m$へ下ろした垂線の足を$H$とする。ただし、$O$が$m$の上にあるときは$H=O$とする。§A5.7 定理 1.4により、$m$の任意の点$X$について$OX^2=OH^2+HX^2$であるから、$X$が$K$の上にあることは$HX^2=r^2-OH^2$と同値である。$r^2-OH^2<0$ならばそのような$X$は存在せず、$r^2-OH^2\ge0$ならばそのような$X$は、$m$の上で$H$からの距離が$\sqrt{r^2-OH^2}$である点であり、$H$の両側に一つずつあるか、$H$だけである。よって、$m$と$K$の共有点は高々二つである。

直線$WW'$は$\overline{\Gamma}$の二点$W,W'$を通るので、最初の主張により$\overline{\Gamma}$とほかの点を共有しない。$\overline{\Gamma}$の相異なる三点が一直線上にあれば、その直線と$\overline{\Gamma}$が三点を共有して、最初の主張に反する。$\overline{\Gamma}$の相異なる四点$W_1,W_2,W_3,W_4$について、直線$W_1W_2$と直線$W_3W_4$が一致すれば、その直線と$\overline{\Gamma}$が四点を共有して、最初の主張に反する。よって二直線は相異なり、§A5.17 定理 2.1により拡張平面のただ一点で交わる。▨

証明.$K$の中心を原点とし、半径を単位の長さとする直交座標を選び、その座標から§A5.17 定義 6.1のとおりに同次座標$[X:Y:Z]$を定める。$G(X,Y,Z)=X^2+Y^2-Z^2$とおくと、$K$は$G(\boldsymbol v)=0$を満たす点$[\boldsymbol v]$の全体である。

$\mathcal S$に含まれる無限遠点$[u:v:0]$のそれぞれについて、$u\cos\alpha+v\sin\alpha=0$を満たす$\alpha$は$0\le\alpha<2\pi$の範囲に二つしかない。$\mathcal S$の無限遠点は有限個であるから、$\mathcal S$のすべての無限遠点$[u:v:0]$について$u\cos\alpha+v\sin\alpha\ne0$を満たす実数$\alpha$が存在する。この$\alpha$を一つ固定する。$\mathcal S$の有限点も有限個であるから、$\mathcal S$のすべての有限点$(x,y)$について$x\cos\alpha+y\sin\alpha\ne d$を満たす実数$d>1$が存在する。この$d$を一つ固定する。

行列

をとる。右の行列の行列式は$1$であり、左の行列の行列式は$(d^2-1)\sqrt{d^2-1}$であるから、$M$は可逆である。§A5.17 定理 8.1により、$\psi([\boldsymbol v])=[M\boldsymbol v]$で定まる$\psi$は射影変換である。

$\boldsymbol v=(X,Y,Z)$に対して$X'=X\cos\alpha+Y\sin\alpha$、$Y'=-X\sin\alpha+Y\cos\alpha$とおくと、$X'^2+Y'^2=X^2+Y^2$であり、$M\boldsymbol v=\bigl(dX'-Z,\ \sqrt{d^2-1}\,Y',\ dZ-X'\bigr)$である。したがって

が成り立つ。$d^2-1\ne0$であるから、$G(\boldsymbol v)=0$と$G(M\boldsymbol v)=0$は同値である。よって$\psi(K)\subset K$であり、$K$の点$[\boldsymbol w]$は$K$の点$[M^{-1}\boldsymbol w]$の像であるから、$\psi(K)=K$である。

$\psi([\boldsymbol v])$が無限遠点であることは、$M\boldsymbol v$の第3成分$dZ-X'$が$0$であることと同値である。$\mathcal S$の無限遠点$[u:v:0]$では第3成分は$-(u\cos\alpha+v\sin\alpha)\ne0$であり、$\mathcal S$の有限点$[x:y:1]$では第3成分は$d-(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\ne0$である。よって$\psi$は$\mathcal S$のすべての点を有限点へ移す。▨

証明.$K$は非退化な円錐曲線であり$\overline{K}=K$であるから、定理 2.3により、$K$の相異なる三点は一直線上にない。したがって四直線$XU_1,\dots,XU_4$は相異なる。実際、$i\ne j$について$XU_i=XU_j$ならば、この直線は$K$の相異なる三点$X,U_i,U_j$を通る。四直線はどれも$X$を通るので、どの二本も$X$以外の点を共有しない。$i\ne j$について$Y_i=Y_j$ならば、この点は$XU_i$と$XU_j$の共有点であるから$X$に等しく、$X$が$t$の上にあることになって仮定に反する。よって$Y_1,\dots,Y_4$は相異なる。同じく、$X'$を通る四直線$X'U_1,\dots,X'U_4$は相異なり、$X'$は$t'$の上にないので、$Y_1',\dots,Y_4'$も相異なる。

$X=X'$であるとする。$t=t'$ならば、$Y_i$と$Y_i'$はどちらも直線$XU_i$と$t$の共有点であり、$X$は$t$の上にないので$XU_i\ne t$であるから、$Y_i=Y_i'$である。$t\ne t'$ならば、$X$は$t$の上にも$t'$の上にもなく、各$i$について直線$XY_i=XU_i$は$t'$と有限点$Y_i'$で交わる。§A5.14 定理 1.2を、中心$X$、二直線$t,t'$、四点$Y_1,\dots,Y_4$に用いると、$(Y_1,Y_2;Y_3,Y_4)=(Y_1',Y_2';Y_3',Y_4')$を得る。

$X\ne X'$であるとする。$i=2,3,4$について、$U_1\ne U_i$であり、$X,X'$は$K$の点で$U_1,U_i$と異なるので、直線$U_1U_i$の上にない。四点$X,U_1,U_i,X'$は$K$の上にあるので、円周角の定理とその逆を向きをもつ角で述べた四点共円の判定§C2.4 補題 1.5により

が成り立つ。$\angle(XU_1,X'U_1)$の値を一つ選んで$\theta$とし、$X$を$X'$へ移す平行移動に続けて、$X'$を中心とする角$\theta$の回転を行う合同変換を$\rho$とする。直線$n$を平行移動で移した直線を$n_1$とすると、$n_1$は$n$と平行であるから$\angle(n,n_1)=0$であり、$\rho(n)$は$n_1$を角$\theta$の回転で移した直線であるから$\angle(n_1,\rho(n))=\theta$である（§C2.4 定義 1.3）。したがって§C2.4 補題 1.4により、任意の直線$n$について$\angle(n,\rho(n))=\theta$である。一方、加法性と上の等式により、$i=2,3,4$について

であり、$i=1$についても$\angle(XU_1,X'U_1)=\theta$である。よって$i=1,\dots,4$のそれぞれについて

であるから、$\rho(XU_i)$と$X'U_i$は平行であるか一致する。二直線はどちらも$\rho(X)=X'$を通るので一致する。

$\rho$は直線$t$を直線$\rho(t)$へ移し、$X$は$t$の上にないので、$X'=\rho(X)$は$\rho(t)$の上にない。$Y_i$は$t$と$XU_i$の共有点であるから、$\rho(Y_i)$は$\rho(t)$と$\rho(XU_i)=X'U_i$の共有点であり、有限点である。$\rho$は二点間の距離を保つ。$t$の上の相異なる三点$Y_i,Y_k,Y_j$について、符号つきの長さの比$\overline{Y_iY_k}/\overline{Y_kY_j}$（§A5.9 定義 1.1）の絶対値は$Y_iY_k/Y_kY_j$であり、その符号は、$Y_k$が線分$Y_iY_j$の内部にあるとき正、外部にあるとき負である。$Y_k$が線分$Y_iY_j$の内部にあることは$Y_iY_k+Y_kY_j=Y_iY_j$と同値であるから、距離を保つ$\rho$はこの符号つきの長さの比を保つ。複比は符号つきの長さの比の商であるから（§A5.14 定義 1.1）、

である。$X=X'$の場合に示した等式を、点$X'$と、$X'$を通らない二直線$\rho(t),t'$に用いると、$(\rho(Y_1),\rho(Y_2);\rho(Y_3),\rho(Y_4))=(Y_1',Y_2';Y_3',Y_4')$を得る。二つの等式から$(Y_1,Y_2;Y_3,Y_4)=(Y_1',Y_2';Y_3',Y_4')$である。▨

証明 (パスカルの定理の証明).定理 2.3により、直線$AB$と$DE$、$BC$と$EF$、$CD$と$FA$、$FA$と$DE$、$CD$と$EF$は、それぞれ相異なり、拡張平面のただ一点で交わる。したがって$P,Q,R$と

がただ一つずつ定まる。

$R$は直線$DE$の上にない。実際、$R$が$DE$の上にあれば、$R$は相異なる二直線$CD,DE$の共有点であるから$R=D$となり、$D$が直線$FA$の上にあることになるが、定理 2.3により$FA$と$\overline{\Gamma}$の共有点は$F,A$だけであり、$D$はそのどちらとも異なる。また、$R$は直線$EF$の上にない。実際、$R$が$EF$の上にあれば、$R$は相異なる二直線$FA,EF$の共有点であるから$R=F$となり、$F$が直線$CD$の上にあることになるが、$CD$と$\overline{\Gamma}$の共有点は$C,D$だけであり、$F$はそのどちらとも異なる。$P$は$DE$の上にあるので$R\ne P$であり、直線$RP$は$EF$の上にない点$R$を通るので$EF$と相異なる。直線$RP$と直線$EF$の交点を$V$とする。

定理 2.2により、射影変換$\varphi_1$と円$K$で$\varphi_1(\overline{\Gamma})=K$を満たすものをとる。定理 2.4を、$K$と、六点$\varphi_1(P),\varphi_1(Q),\varphi_1(R),\varphi_1(S),\varphi_1(T),\varphi_1(V)$からなる集合に用いて、$\psi(K)=K$を満たし、この六点を有限点へ移す射影変換$\psi$をとる。射影変換の合成は一点からの射影の有限回の合成であるから、$\varphi=\psi\circ\varphi_1$は射影変換であり、$\varphi(\overline{\Gamma})=K$を満たし、$P,Q,R,S,T,V$を有限点へ移す。§A5.17 定理 1.3により、$\varphi$は全単射であり、直線を直線へ移し、点が直線上にあることを保つ。したがって、$\varphi(A),\dots,\varphi(F)$は$K$の相異なる六点であり、たとえば$\varphi(P)=\varphi(A)\varphi(B)\cap\varphi(D)\varphi(E)$のように、$P,Q,R,S,T,V$はそれぞれ像の点から同じ規則で定まる交点へ移り、$\varphi(R)$は直線$\varphi(D)\varphi(E)$の上にも直線$\varphi(E)\varphi(F)$の上にもない。§A5.17 定理 10.1により、$\varphi(P),\varphi(Q),\varphi(R)$が一直線上にあることを示せば、$P,Q,R$が一直線上にあることが従う。以下では、像の配置を同じ記号で書く。すなわち、$A,\dots,F$は円$K$の相異なる六点であり、$P,Q,R,S,T,V$は有限点であり、$R$は直線$DE$の上にも直線$EF$の上にもない。

$K$は非退化な円錐曲線であり$\overline{K}=K$であるから、定理 2.3により、直線$DE$と$K$の共有点は$D,E$だけであり、直線$EF$と$K$の共有点は$E,F$だけである。とくに、$A$は$DE$の上になく、$C$は$EF$の上にない。四直線$AB,AD,AE,AF$と直線$DE$の交点は、順に$P,D,E,S$である。四直線$CB,CD,CE,CF$と直線$EF$の交点は、順に$Q,T,E,F$である。これらの交点はいずれも有限点である。定理 3.1を、$U_1=B$、$U_2=D$、$U_3=E$、$U_4=F$、$X=A$、$X'=C$、$t=DE$、$t'=EF$として用いると、$P,D,E,S$は相異なり、$Q,T,E,F$も相異なり、

が成り立つ。

$R$を中心として、直線$DE$の点を直線$EF$へ射影する。$R$は$DE$の上にも$EF$の上にもなく、$DE$と$EF$は相異なる。$R$は$DE$の上にないので$R\ne D$であり、$R,D$はともに直線$CD$の上にあるので、直線$RD$は$CD$に一致し、$EF$と$T$で交わる。$R$は$DE$の上にないので$R\ne E$であり、$R$は$EF$の上にないので、直線$RE$は$EF$と$E$で交わる。$S$は$DE$の上にあり$R$はそうでないので$R\ne S$であり、$R,S$はともに直線$FA$の上にあるので、直線$RS$は$FA$に一致し、$EF$と$F$で交わる。直線$RP$は$EF$と有限点$V$で交わる。§A5.14 定理 1.2を、中心$R$、二直線$DE,EF$、四点$P,D,E,S$に用いると、$V,T,E,F$は相異なり、

が成り立つ。

二つの等式から$(Q,T;E,F)=(V,T;E,F)$である。直線$EF$に座標を入れ、$Q,V,T,E,F$の座標をそれぞれ$q,v,\tau,e,f$とすると、§A5.14 定義 1.1により

である。$T,E,F$は相異なるので$(f-\tau)/(e-\tau)$は$0$でない実数であり、両辺をこの値で割ると

を得る。$e\ne f$であるから$f-q=f-v$、すなわち$q=v$である。よって$Q=V$であり、$Q$は直線$RP$の上にある。したがって$P,Q,R$は一直線上にある。▨

証明 (パスカルの定理の別証明).定理 2.3により、直線$AB$と$DE$、$BC$と$EF$、$CD$と$FA$はそれぞれ相異なり、拡張平面のただ一点で交わるので、$P,Q,R$がただ一つずつ定まる。

定理 2.2により、射影変換$\varphi_1$と円$K$で$\varphi_1(\overline{\Gamma})=K$を満たすものをとる。$K$の中心を原点とし、半径を単位の長さとする直交座標から同次座標$[X:Y:Z]$を定めると、$K$は$X^2+Y^2-Z^2=0$を満たす点の全体である。行列

の行列式は$2$であるから、§A5.17 定理 8.1により、$\varphi_2([\boldsymbol v])=[N\boldsymbol v]$で定まる$\varphi_2$は射影変換である。$N\boldsymbol v=(X+Z,\ Y,\ Z-X)$の成分を$(X',Y',Z')$と書くと、$Y'^2-X'Z'=Y^2-(Z^2-X^2)=X^2+Y^2-Z^2$である。したがって$\varphi_2$は$K$を

の中へ移し、$\Lambda$の点$[\boldsymbol w]$は$K$の点$[N^{-1}\boldsymbol w]$の像であるから、$\varphi_2(K)=\Lambda$である。$\varphi=\varphi_2\circ\varphi_1$は射影変換であり、$\varphi(\overline{\Gamma})=\Lambda$である。§A5.17 定理 1.3により、$\varphi$は全単射であり、直線を直線へ移し、点が直線上にあることを保つ。したがって、拡張平面の直線と$\Lambda$の共有点は高々二つであり（定理 2.3）、$\varphi(P),\varphi(Q),\varphi(R)$は像の六点から同じ規則で定まる交点である。§A5.17 定理 10.1により、$\varphi(P),\varphi(Q),\varphi(R)$が一直線上にあることを示せばよい。以下では、像の配置を同じ記号で書く。すなわち、$A,\dots,F$は$\Lambda$の相異なる六点であり、$\Lambda$の相異なる二点を通る直線と$\Lambda$の共有点はその二点だけである。