§C1.6微分方程式入門

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微分方程式とは、未知の関数とその導関数を含む方程式のことです。 微分方程式を解くときに求めるのは、「数」ではなく、その方程式を満たす関数です。自然現象（増減の速さが量に比例する、など）は微分方程式で記述されます。

1 変数分離形

dydx=g(x) h(y)\dfrac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)のように、右辺が「xxの式」×「yyの式」に分かれる微分方程式を変数分離形といいます。このとき、h(y)≠0h(y) \ne 0の範囲で∫dyh(y)=∫g(x) dx (+ C)\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx \ (+\, C)と解くことができます。1h(y)dydx=g(x)\dfrac{1}{h(y)}\dfrac{dy}{dx} = g(x)の両辺をxxで積分すると、左辺が置換積分で∫dyh(y)\int \frac{dy}{h(y)}になるからです。この解き方を、dy,dxdy, dxを形式的に移項して両辺を別々に積分する手順として覚えておくと、計算を速く進めることができます。積分定数は初期条件（x=x0x = x_0でy=y0y = y_0）で決めます。

2 例：指数的成長・減衰

変数分離形の代表例がdydx=ky\dfrac{dy}{dx} = ky（変化の速さが今の量に比例）です。h(y)=y≠0h(y) = y \ne 0で変数分離すると∫dyy=∫k dx\int \frac{dy}{y} = \int k\,dx、すなわちlog⁡∣y∣=kx+C\log|y| = kx + C、よってy=Aekxy = A e^{kx}（A=±eCA = \pm e^C）となります。y≡0y \equiv 0（h(y)=0h(y) = 0の定数解）も解で、A=0A = 0として一般解に含まれます。人口増加・放射性崩壊（k<0k < 0）・ニュートンの冷却など、指数関数的に変化する現象は、この一つの微分方程式で記述されます。解y=Aekxy = A e^{kx}が方程式を満たすことは、exe^xを微分してもexe^xのまま変わらないという性質から確かめることができます。より本格的な存在一意性や解くことができない方程式の扱いは、大学の常微分方程式で展開されます。

例 2.1.y′=yy' = y、y(0)=2y(0) = 2を解きます。k=1k = 1の場合なので、y≠0y \ne 0の範囲でdyy=dx\dfrac{dy}{y} = dxと分けて積分するとlog⁡∣y∣=x+C\log|y| = x + C、すなわちy=Aexy = Ae^{x}です。ここへ初期条件y(0)=2y(0) = 2を入れるとA=2A = 2と決まり、求める解は

y=2exy = 2e^{x}

になります。定数解y≡0y \equiv 0はy(0)=2y(0) = 2を満たさないので、この初期条件のもとでは候補から外れます。

閑話休題：バケツの水位と解の一意性 微分方程式は、変化の法則と現在の状態から、過去や未来の状態を求めるために用いられます。ただし、現在の状態だけでは解がただ一つに定まらない場合があります。底に穴の開いたバケツから水が抜けるとき、水位yyはおよそdydx=−ky\dfrac{dy}{dx} = -k\sqrt{y}に従います（トリチェリの法則）。時間を逆向きにたどると、水位はdydx=ky\dfrac{dy}{dx} = k\sqrt{y}に従います。いま水位がy=0y = 0（空）であるとします。このとき、バケツがいつ空になったのかは、方程式から復元できません。ずっと空のままである解（y≡0y \equiv 0）も、「11分前まで水があって、ちょうど空になった」という解も、「11時間前に空になった」という解も、いずれも同じ現在の状態（y=0y = 0）に至る正当な解だからです。実際、y′=kyy' = k\sqrt{y}はy≡0y \equiv 0のほかに、任意の時刻ccから立ち上がる解y=k24(x−c)2y = \frac{k^2}{4}(x - c)^2（x≥cx \ge c）を持ちます。解が1本に決まらないのです。

解が1本に決まらない原因は、y\sqrt{y}がy=0y = 0の際（きわ）で「急峻すぎる」こと（傾きの変化率が無限大に発散すること）にあります。一方、右辺が一定の条件を満たせば解がただ1本に決まることを述べる解の存在と一意性の定理は、大学の常微分方程式で扱われます。ニュートン力学の世界は「現在の状態が過去と未来を完全に決める」と語られることがあります。しかし、現在の状態から過去と未来が決まるのは、方程式の右辺が解をただ1本に定めるための数学的な条件を満たす場合です。バケツの水位の方程式ではこの条件が満たされないため、現在の状態から過去の状態が一つに定まりません。

3 例題

レベル2 — 変数分離形の微分方程式（入口）

次の微分方程式を、初期条件のもとで解け（変数分離形）。

解法の型dy/dx==f(x)g(y) を dy/g(y)==f(x) dx と分けて両辺を積分し、初期条件で積分定数を決める

次の微分方程式を、初期条件のもとで解け。

例 3.1.

dydx=y2,y(0)=14\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{4}

答y=14−x(x<4)y = \dfrac{1}{4 - x} \quad (x < 4)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/4 より -C==4。よって y==1/(4 - x)。x→\to4 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 4。

例 3.2.

dydx=2xy,y(0)=2\dfrac{dy}{dx} = 2xy, \qquad y(0) = 2

答y=2ex2y = 2e^{x^{2}}

注意 右辺は (2x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==2x dx を積分して log|y|==x² + C、y==Ae^(x²)。x==0 で y==2 より A==2。

例 3.3.

dydx=−2y,y(0)=1\dfrac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0) = 1

答y=e−2xy = e^{-2x}

注意 dy/y==-2 dx と分けて積分すると log|y|==-2x + C、すなわち y==Ae^(-2x)。x==0 で y==1 だから A==1。減少率が現在の量に比例する放射性崩壊・冷却のモデル。なお y≡\equiv0 も解だが、初期条件を満たさない。

例 3.4.

dydx=y2,y(0)=15\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{5}

答y=15−x(x<5)y = \dfrac{1}{5 - x} \quad (x < 5)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/5 より -C==5。よって y==1/(5 - x)。x→\to5 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 5。

例 3.5.

dydx=−4xy,y(0)=2\dfrac{dy}{dx} = -4xy, \qquad y(0) = 2

答y=2e−2x2y = 2e^{-2x^{2}}

注意 右辺は (-4x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==-4x dx を積分して log|y|==-2x² + C、y==Ae^(-2x²)。x==0 で y==2 より A==2。

例 3.6.

dydx=−2xy,y(0)=4\dfrac{dy}{dx} = -2xy, \qquad y(0) = 4

答y=4e−x2y = 4e^{-x^{2}}

注意 右辺は (-2x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==-2x dx を積分して log|y|==-x² + C、y==Ae^(-x²)。x==0 で y==4 より A==4。

例 3.7.

dydx=1+y2,y(0)=0\dfrac{dy}{dx} = 1 + y^{2}, \qquad y(0) = 0

答y=tan⁡x(−π2<x<π2)y = \tan x \quad \left(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\right)

注意 dy/(1 + y²)==dx と分ける。左辺の積分は arctan y（y==tanθ\thetaの置換）なので arctan y==x + C。x==0 で y==0 だから C==0、すなわち y==tan x。定義域は−π/2-\pi/2< x <π/2\pi/2（そこで y が発散する）。

例 3.8.

dydx=y(1−y),y(0)=12\dfrac{dy}{dx} = y(1 - y), \qquad y(0) = \dfrac{1}{2}

答y=11+e−xy = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}

注意 部分分数分解 1/(y(1 - y))==1/y + 1/(1 - y) を使うと、積分は log|y/(1 - y)|==x + C。x==0 で y==1/2 だから C==0、y/(1 - y)==eˣ。y について解くと y==eˣ/(1 + eˣ)==1/(1 + e^(-x))。x→∞\to \inftyで y→\to1（上限 1 に飽和するロジスティック曲線）。y≡\equiv0 と y≡\equiv1 も解（定数解）。

例 3.9.

dydx=−4xy,y(0)=1\dfrac{dy}{dx} = -4xy, \qquad y(0) = 1

答y=e−2x2y = e^{-2x^{2}}

注意 右辺は (-4x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==-4x dx を積分して log|y|==-2x² + C、y==Ae^(-2x²)。x==0 で y==1 より A==1。

例 3.10.

dydx=y2,y(0)=13\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{3}

答y=13−x(x<3)y = \dfrac{1}{3 - x} \quad (x < 3)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/3 より -C==3。よって y==1/(3 - x)。x→\to3 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 3。

4 演習

レベル2 — 変数分離形の微分方程式（入口）

次の微分方程式を、初期条件のもとで解け（変数分離形）。

解法の型dy/dx==f(x)g(y) を dy/g(y)==f(x) dx と分けて両辺を積分し、初期条件で積分定数を決める

次の微分方程式を、初期条件のもとで解け。

問題 4.1.

dydx=y2,y(0)=14\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{4}
解答.

答y=14−x(x<4)y = \dfrac{1}{4 - x} \quad (x < 4)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/4 より -C==4。よって y==1/(4 - x)。x→\to4 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 4。▨

問題 4.2.

dydx=−2xy,y(0)=3\dfrac{dy}{dx} = -2xy, \qquad y(0) = 3
解答.

答y=3e−x2y = 3e^{-x^{2}}

注意 右辺は (-2x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==-2x dx を積分して log|y|==-x² + C、y==Ae^(-x²)。x==0 で y==3 より A==3。▨

問題 4.3.

dydx=y2,y(0)=13\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{3}
解答.

答y=13−x(x<3)y = \dfrac{1}{3 - x} \quad (x < 3)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/3 より -C==3。よって y==1/(3 - x)。x→\to3 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 3。▨

問題 4.4.

dydx=y2,y(0)=15\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{5}
解答.

答y=15−x(x<5)y = \dfrac{1}{5 - x} \quad (x < 5)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/5 より -C==5。よって y==1/(5 - x)。x→\to5 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 5。▨

問題 4.5.

dydx=1+y2,y(0)=0\dfrac{dy}{dx} = 1 + y^{2}, \qquad y(0) = 0
解答.

答y=tan⁡x(−π2<x<π2)y = \tan x \quad \left(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\right)

注意 dy/(1 + y²)==dx と分ける。左辺の積分は arctan y（y==tanθ\thetaの置換）なので arctan y==x + C。x==0 で y==0 だから C==0、すなわち y==tan x。定義域は−π/2-\pi/2< x <π/2\pi/2（そこで y が発散する）。▨

問題 4.6.

dydx=−3y,y(0)=2\dfrac{dy}{dx} = -3y, \qquad y(0) = 2
解答.

答y=2e−3xy = 2e^{-3x}

注意 dy/y==-3 dx と分けて積分すると log|y|==-3x + C、すなわち y==Ae^(-3x)。x==0 で y==2 だから A==2。減少率が現在の量に比例する放射性崩壊・冷却のモデル。なお y≡\equiv0 も解だが、初期条件を満たさない。▨

問題 4.7.

dydx=3xy,y(0)=4\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x}{y}, \qquad y(0) = 4
解答.

答y=3x2+16y = \sqrt{3x^{2} + 16}

注意 y dy==3x dx と分けて積分すると y²/2==3x²/2 + C、すなわち y²==3x² + C′。x==0 で y==4 より C′==16。y > 0 の側（初期値が正）をとって y==√(3x² + 16)。▨

問題 4.8.

dydx=y(1−y),y(0)=12\dfrac{dy}{dx} = y(1 - y), \qquad y(0) = \dfrac{1}{2}
解答.

答y=11+e−xy = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}

注意 部分分数分解 1/(y(1 - y))==1/y + 1/(1 - y) を使うと、積分は log|y/(1 - y)|==x + C。x==0 で y==1/2 だから C==0、y/(1 - y)==eˣ。y について解くと y==eˣ/(1 + eˣ)==1/(1 + e^(-x))。x→∞\to \inftyで y→\to1（上限 1 に飽和するロジスティック曲線）。y≡\equiv0 と y≡\equiv1 も解（定数解）。▨

問題 4.9.

dydx=y2,y(0)=12\dfrac{dy}{dx} = y^{2}, \qquad y(0) = \dfrac{1}{2}
解答.

答y=12−x(x<2)y = \dfrac{1}{2 - x} \quad (x < 2)

注意 dy/y²==dx を積分すると -1/y==x + C、すなわち y==1/(-C - x)。x==0 で y==1/2 より -C==2。よって y==1/(2 - x)。x→\to2 で解が発散する（有限時間で吹き飛ぶ）ので、定義域は x < 2。▨

問題 4.10.

dydx=xy,y(0)=1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}, \qquad y(0) = 1
解答.

答y=x2+1y = \sqrt{x^{2} + 1}

注意 y dy==x dx と分けて積分すると y²/2==x²/2 + C、すなわち y²==x² + C′。x==0 で y==1 より C′==1。y > 0 の側（初期値が正）をとって y==√(x² + 1)。▨

問題 4.11.

dydx=ycos⁡x,y(0)=3\dfrac{dy}{dx} = y\cos x, \qquad y(0) = 3
解答.

答y=3esin⁡xy = 3e^{\sin x}

注意 dy/y==cos x dx を積分して log|y|==sin x + C、y==Ae^(sin x)。x==0 では sin 0==0 なので y(0)==A==3。▨

問題 4.12.

dydx=−y,y(0)=1\dfrac{dy}{dx} = -y, \qquad y(0) = 1
解答.

答y=e−xy = e^{-x}

注意 dy/y==-dx と分けて積分すると log|y|==-x + C、すなわち y==Ae^(-x)。x==0 で y==1 だから A==1。減少率が現在の量に比例する放射性崩壊・冷却のモデル。なお y≡\equiv0 も解だが、初期条件を満たさない。▨

問題 4.13.

dydx=2xy,y(0)=2\dfrac{dy}{dx} = 2xy, \qquad y(0) = 2
解答.

答y=2ex2y = 2e^{x^{2}}

注意 右辺は (2x)·(y) と x の式 × y の式に分かれる。dy/y==2x dx を積分して log|y|==x² + C、y==Ae^(x²)。x==0 で y==2 より A==2。▨

問題 4.14.

dydx=ycos⁡x,y(0)=1\dfrac{dy}{dx} = y\cos x, \qquad y(0) = 1
解答.

答y=esin⁡xy = e^{\sin x}

注意 dy/y==cos x dx を積分して log|y|==sin x + C、y==Ae^(sin x)。x==0 では sin 0==0 なので y(0)==A==1。▨

問題 4.15.

dydx=−3y,y(0)=4\dfrac{dy}{dx} = -3y, \qquad y(0) = 4
解答.

答y=4e−3xy = 4e^{-3x}

注意 dy/y==-3 dx と分けて積分すると log|y|==-3x + C、すなわち y==Ae^(-3x)。x==0 で y==4 だから A==4。減少率が現在の量に比例する放射性崩壊・冷却のモデル。なお y≡\equiv0 も解だが、初期条件を満たさない。▨

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