§C1.2多項式の積分と面積

閑話休題：微積分より2000年早かった面積計算 放物線と直線で囲まれた面積は、いま学んだ定積分で機械的に求まります。ところが、この面積は、紀元前3世紀にアルキメデスがすでに正確に求めていました。アルキメデスの結果は、放物線の弓形（切片）の面積が、同じ底辺と高さを持つ内接三角形の面積のちょうど$\frac43$倍であるというものです。アルキメデスの方法では、弓形にまず大きな三角形を入れ、残った隙間に小さな三角形を2つ、その隙間にさらに4つ……と埋めていきます。アルキメデスは、各世代の三角形の面積の合計が前の世代の$\frac14$になることを幾何で示し、

という無限等比級数の和に帰着させました（アルキメデス自身は無限を避け、「$\frac43$より大きくても小さくても矛盾する」という二重の背理法で証明を完成させています）。

つまり、「細かく分けて足し尽くす」という積分の考え方は、微積分の記号が生まれる 2000 年近く前にすでに用いられていました。ニュートンとライプニッツの業績は、面積計算そのものを発明したことではなく、面積計算を微分の逆演算によって一度に行うことができること（本記事で用いた$F(b) - F(a)$による計算）を見いだした点にあります。それまで問題ごとに個別の工夫で求められていた面積は、一つの公式を用いた計算で求めることができるようになりました。