§C1.5求積

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求積とは、積分を用いて図形の面積・体積や曲線の長さといった量を求めることです。本記事では、積分の応用として、面積の次に体積と長さを求めます。体積と長さを求めるときに共通して用いるのは、図形を細かく分割して各小片の量の近似値を足し合わせ、分割を細かくした極限を積分として表すという区分求積の考え方です。以下では、この考え方を体積と長さに適用します。

1 回転体の体積

曲線y=f(x)y = f(x)とxx軸で囲む領域をxx軸のまわりに1回転してできる立体の体積はV=∫abπ y2 dx=π∫ab{f(x)}2 dxV = \int_a^b \pi\,y^2\,dx = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dxです。この公式は、次のように導かれます。区間[a,b][a, b]を分割し、各小区間に対応する薄い円盤（半径≈∣f(xi)∣\approx |f(x_i)|、厚さΔxi\Delta x_i）の体積をπf(xi)2Δxi\pi f(x_i)^2\Delta x_iと近似して足し合わせます。分割を細かくした極限をとると、この近似の和は上の積分になります。各xxでの立体の切り口は半径∣y∣|y|の円（面積πy2\pi y^2）であり、上の積分は、この切り口の面積をxx方向に積分したものです。yy軸のまわりの回転でできる立体の体積や、2曲線に挟まれた領域の回転でできる立体の体積も、「切り口の面積を積分する」という同じ原理で立式します。

例 1.1.y=x (0≤x≤1)y = x\ (0 \le x \le 1)とxx軸で囲む領域を、xx軸のまわりに1回転させます。切り口は半径xxの円なので

V=π∫01x2 dx=π[x33]01=π3V = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}

です。できる立体は底面の半径11、高さ11の円錐ですから、中学以来の公式13πr2h=π3\tfrac13 \pi r^2 h = \tfrac{\pi}{3}と一致しています。積分が既知の公式を作り直せることの確認になります。

2 曲線の長さ

C1C^1級の曲線y=f(x)y = f(x)（a≤x≤ba \le x \le b）の長さはL=∫ab1+{f′(x)}2 dxL = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dxです。曲線が媒介変数表示x=x(t), y=y(t)x = x(t),\ y = y(t)で与えられているときは、長さはL=∫(dxdt)2+(dydt)2 dtL = \displaystyle\int \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dtです。曲線を細かい折れ線で近似すると、各線分の長さは(Δxi)2+(Δyi)2=1+(Δyi/Δxi)2 Δxi\sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2} = \sqrt{1 + (\Delta y_i/\Delta x_i)^2}\,\Delta x_iです。§D1.14 定理 3.1よりΔyi/Δxi=f′(ξi)\Delta y_i/\Delta x_i = f'(\xi_i)です。したがって、各線分の長さを足し合わせて極限をとると、積分∫ab1+{f′(x)}2 dx\int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dxが得られます。すなわち、曲線の長さは、微小な直角三角形の斜辺の長さ（三平方の定理）を積分したものです。

閑話休題：有限の体積、無限の表面——ガブリエルのラッパ 求積の公式を用いると、直感に反する性質をもつ図形が見つかることがあります。曲線y=1xy = \frac1xとxx軸に挟まれた、x≥1x \ge 1の範囲の領域をxx軸のまわりに回転させた立体は、xxが大きくなるにつれて限りなく細くなりながら、どこまでも伸びています。この立体は、ガブリエルのラッパ（トリチェリのトランペット）と呼ばれます。その体積はV=π∫1∞1x2 dx=πV = \pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \piであり、有限です。しかし、表面積を表す積分∫1∞2πx1+⋯ dx\int_1^\infty \frac{2\pi}{x}\sqrt{1 + \cdots}\,dxは、調和級数と同様に発散します。この性質は、「有限の量のペンキで内部を満たすことができるのに、その内壁を塗りきることはできない」という逆説の形で知られています。この図形は、無限の概念がまだ整理されていなかった17世紀にトリチェリが見つけたものです。有限の体積と無限の表面積をあわせもつこの図形をめぐって、大きな論争が起こりました。

体積・面積を求める工夫は、積分法が成立するはるか前から積み重ねられてきました。アルキメデスは「取り尽くし法」で、球の体積が外接円柱の体積の23\frac23であることを突き止めました。アルキメデスはこの発見を誇りに思い、自分の墓に球と円柱を刻ませたと伝えられます。断面積が各高さで等しければ体積も等しい、というカヴァリエリの原理も、積分の素朴な原型でした。「細かく分割して足し合わせ、極限をとる」という求積の考え方は、2000年をかけてアルキメデスからニュートン・ライプニッツの積分法へと発展しました。求積の公式は、数学者が長い時間をかけて無限の扱い方を整えてきた結果として得られたものです。

3 例題

レベル2 — 回転体の体積と曲線の長さ

次の求積を行え（回転体の体積 V、または曲線の長さ L）。

解法の型体積は V==π∫y\pi\int y² dx（y 軸まわりなら V==2π∫xy2\pi\int xydx）、長さは L==∫\int√(1 + (y′)²) dx

例 3.1. 直線 y==x + 1（0≤\lex≤\le3）、x 軸、y 軸、直線 x==3 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x+1(0≤x≤3),V=π∫03y2 dxy = x + 1 \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{0}^{3} y^{2}\,dx

答21π21\pi

注意 V=π∫(x= \pi\int(x+ 1)² dx（0 から 3 まで）=π= \pi[(x + 1)³/3]=π(4= \pi(4³ - 1)/3=21π= 21\pi。

例 3.2. 曲線 y==√(1 - x²)（-1≤\lex≤\le1）と x 軸で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体（半径 1 の球）の体積 V を求めよ。

y=1−x2(−1≤x≤1),V=π∫−11y2 dxy = \sqrt{1-x^{2}} \quad (-1 \le x \le 1), \qquad V = \pi \int_{-1}^{1} y^{2}\,dx

答4π3\dfrac{4\pi}{3}

注意 y²==1 - x² は多項式。V=π∫(1= \pi\int(1- x²) dx（-1 から 1 まで）=π(2⋅1= \pi(2\cdot1³ - 2·1³/3)=4π⋅1= 4\pi\cdot1³/3=4π/3= 4\pi/3。半径 r の球の体積4πr4\pi r³/3 と一致する。

例 3.3. 曲線 y==√x（0≤\lex≤\le3）、x 軸、直線 x==3 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x(0≤x≤3),V=π∫03y2 dxy = \sqrt{x} \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{0}^{3} y^{2}\,dx

答9π2\dfrac{9\pi}{2}

注意 y²==x なので V=π∫x= \pi\int xdx（0 から 3 まで）=π⋅3= \pi\cdot3²/2=9π/2= 9\pi/2。被積分関数はπ\piy² であって y ではない（y のままだと面積になってしまう）。

例 3.4. 曲線 y==√(4 - x²)（-2≤\lex≤\le2）と x 軸で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体（半径 2 の球）の体積 V を求めよ。

y=4−x2(−2≤x≤2),V=π∫−22y2 dxy = \sqrt{4-x^{2}} \quad (-2 \le x \le 2), \qquad V = \pi \int_{-2}^{2} y^{2}\,dx

答32π3\dfrac{32\pi}{3}

注意 y²==4 - x² は多項式。V=π∫(4= \pi\int(4- x²) dx（-2 から 2 まで）=π(2⋅2= \pi(2\cdot2³ - 2·2³/3)=4π⋅2= 4\pi\cdot2³/3=32π/3= 32\pi/3。半径 r の球の体積4πr4\pi r³/3 と一致する。

例 3.5. 曲線 y==x²（0≤\lex≤\le3）、x 軸、直線 x==3 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x2(0≤x≤3),V=π∫03y2 dxy = x^{2} \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{0}^{3} y^{2}\,dx

答243π5\dfrac{243\pi}{5}

注意 y²=x4= x^{4}なので V=π∫x4= \pi\int x^{4}dx（0 から 3 まで）=π⋅35/5=243π/5= \pi\cdot3^{5}/5 = 243\pi/5。

例 3.6. 直線 y==x + 1（0≤\lex≤\le2）、x 軸、y 軸、直線 x==2 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x+1(0≤x≤2),V=π∫02y2 dxy = x + 1 \quad (0 \le x \le 2), \qquad V = \pi \int_{0}^{2} y^{2}\,dx

答26π3\dfrac{26\pi}{3}

注意 V=π∫(x= \pi\int(x+ 1)² dx（0 から 2 まで）=π= \pi[(x + 1)³/3]=π(3= \pi(3³ - 1)/3=26π/3= 26\pi/3。

例 3.7. 曲線 y==(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2（0≤\lex≤\le1）の長さ L を求めよ。

y=ex+e−x2(0≤x≤1),L=∫011+(y′)2 dxy = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad (0 \le x \le 1), \qquad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx

答e−e−12\dfrac{e - e^{-1}}{2}

注意 y′==(eˣ -e−e^{-}ˣ)/2 だから 1 + (y′)²==1 + (e²ˣ - 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==(e²ˣ + 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==((eˣ +e−e^{-}ˣ)/2)² と完全平方になる。根号が外れて L=∫(e= \int(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2 dx（0 から 1 まで）=(e1= (e^1- e^(-1))/2。

例 3.8. 直線 y==x + 1（0≤\lex≤\le4）、x 軸、y 軸、直線 x==4 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x+1(0≤x≤4),V=π∫04y2 dxy = x + 1 \quad (0 \le x \le 4), \qquad V = \pi \int_{0}^{4} y^{2}\,dx

答124π3\dfrac{124\pi}{3}

注意 V=π∫(x= \pi\int(x+ 1)² dx（0 から 4 まで）=π= \pi[(x + 1)³/3]=π(5= \pi(5³ - 1)/3=124π/3= 124\pi/3。

例 3.9. 曲線 y==√x（0≤\lex≤\le6）、x 軸、直線 x==6 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x(0≤x≤6),V=π∫06y2 dxy = \sqrt{x} \quad (0 \le x \le 6), \qquad V = \pi \int_{0}^{6} y^{2}\,dx

答18π18\pi

注意 y²==x なので V=π∫x= \pi\int xdx（0 から 6 まで）=π⋅6= \pi\cdot6²/2=18π= 18\pi。被積分関数はπ\piy² であって y ではない（y のままだと面積になってしまう）。

例 3.10. 曲線 y==x²（0≤\lex≤\le2）、x 軸、直線 x==2 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x2(0≤x≤2),V=π∫02y2 dxy = x^{2} \quad (0 \le x \le 2), \qquad V = \pi \int_{0}^{2} y^{2}\,dx

答32π5\dfrac{32\pi}{5}

注意 y²=x4= x^{4}なので V=π∫x4= \pi\int x^{4}dx（0 から 2 まで）=π⋅25/5=32π/5= \pi\cdot2^{5}/5 = 32\pi/5。

4 演習

レベル2 — 回転体の体積と曲線の長さ

次の求積を行え（回転体の体積 V、または曲線の長さ L）。

解法の型体積は V==π∫y\pi\int y² dx（y 軸まわりなら V==2π∫xy2\pi\int xydx）、長さは L==∫\int√(1 + (y′)²) dx

問題 4.1. 曲線 y==x²（0≤\lex≤\le3）、x 軸、直線 x==3 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x2(0≤x≤3),V=π∫03y2 dxy = x^{2} \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{0}^{3} y^{2}\,dx
解答.

答243π5\dfrac{243\pi}{5}

注意 y²=x4= x^{4}なので V=π∫x4= \pi\int x^{4}dx（0 から 3 まで）=π⋅35/5=243π/5= \pi\cdot3^{5}/5 = 243\pi/5。▨

問題 4.2. 曲線 y==√(9 - x²)（-3≤\lex≤\le3）と x 軸で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体（半径 3 の球）の体積 V を求めよ。

y=9−x2(−3≤x≤3),V=π∫−33y2 dxy = \sqrt{9-x^{2}} \quad (-3 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{-3}^{3} y^{2}\,dx
解答.

答36π36\pi

注意 y²==9 - x² は多項式。V=π∫(9= \pi\int(9- x²) dx（-3 から 3 まで）=π(2⋅3= \pi(2\cdot3³ - 2·3³/3)=4π⋅3= 4\pi\cdot3³/3=36π= 36\pi。半径 r の球の体積4πr4\pi r³/3 と一致する。▨

問題 4.3. 直線 y==x + 1（0≤\lex≤\le3）、x 軸、y 軸、直線 x==3 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x+1(0≤x≤3),V=π∫03y2 dxy = x + 1 \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = \pi \int_{0}^{3} y^{2}\,dx
解答.

答21π21\pi

注意 V=π∫(x= \pi\int(x+ 1)² dx（0 から 3 まで）=π= \pi[(x + 1)³/3]=π(4= \pi(4³ - 1)/3=21π= 21\pi。▨

問題 4.4. 曲線 y==(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2（0≤\lex≤\le3）の長さ L を求めよ。

y=ex+e−x2(0≤x≤3),L=∫031+(y′)2 dxy = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad (0 \le x \le 3), \qquad L = \int_{0}^{3} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx
解答.

答e3−e−32\dfrac{e^{3} - e^{-3}}{2}

注意 y′==(eˣ -e−e^{-}ˣ)/2 だから 1 + (y′)²==1 + (e²ˣ - 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==(e²ˣ + 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==((eˣ +e−e^{-}ˣ)/2)² と完全平方になる。根号が外れて L=∫(e= \int(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2 dx（0 から 3 まで）=(e3= (e^3- e^(-3))/2。▨

問題 4.5. 曲線 y==(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2（0≤\lex≤\le2）の長さ L を求めよ。

y=ex+e−x2(0≤x≤2),L=∫021+(y′)2 dxy = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad (0 \le x \le 2), \qquad L = \int_{0}^{2} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx
解答.

答e2−e−22\dfrac{e^{2} - e^{-2}}{2}

注意 y′==(eˣ -e−e^{-}ˣ)/2 だから 1 + (y′)²==1 + (e²ˣ - 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==(e²ˣ + 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==((eˣ +e−e^{-}ˣ)/2)² と完全平方になる。根号が外れて L=∫(e= \int(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2 dx（0 から 2 まで）=(e2= (e^2- e^(-2))/2。▨

問題 4.6. 曲線 y==x²（0≤\lex≤\le2）、x 軸、直線 x==2 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x2(0≤x≤2),V=π∫02y2 dxy = x^{2} \quad (0 \le x \le 2), \qquad V = \pi \int_{0}^{2} y^{2}\,dx
解答.

答32π5\dfrac{32\pi}{5}

注意 y²=x4= x^{4}なので V=π∫x4= \pi\int x^{4}dx（0 から 2 まで）=π⋅25/5=32π/5= \pi\cdot2^{5}/5 = 32\pi/5。▨

問題 4.7. 直線 y==4 - x（0≤\lex≤\le4）と x 軸、y 軸で囲む部分を y 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=4−x(0≤x≤4),V=2π∫04x y dxy = 4 - x \quad (0 \le x \le 4), \qquad V = 2\pi \int_{0}^{4} x\,y\,dx
解答.

答64π3\dfrac{64\pi}{3}

注意 半径 x、高さ y、厚さ dx の薄い円筒（バウムクーヘン分割）の体積2πxy2\pi xydx を足し上げる。V=2π∫x(4= 2\pi\int x(4- x) dx（0 から 4 まで）=2π(4⋅4= 2\pi(4\cdot4²/2 - 4³/3)=π⋅4= \pi\cdot4³/3=64π/3= 64\pi/3。底面の半径 4、高さ 4 の円錐の体積と一致する。▨

問題 4.8. 直線 y==x + 1（0≤\lex≤\le4）、x 軸、y 軸、直線 x==4 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x+1(0≤x≤4),V=π∫04y2 dxy = x + 1 \quad (0 \le x \le 4), \qquad V = \pi \int_{0}^{4} y^{2}\,dx
解答.

答124π3\dfrac{124\pi}{3}

注意 V=π∫(x= \pi\int(x+ 1)² dx（0 から 4 まで）=π= \pi[(x + 1)³/3]=π(5= \pi(5³ - 1)/3=124π/3= 124\pi/3。▨

問題 4.9. 曲線 y==√(4 - x²)（-2≤\lex≤\le2）と x 軸で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体（半径 2 の球）の体積 V を求めよ。

y=4−x2(−2≤x≤2),V=π∫−22y2 dxy = \sqrt{4-x^{2}} \quad (-2 \le x \le 2), \qquad V = \pi \int_{-2}^{2} y^{2}\,dx
解答.

答32π3\dfrac{32\pi}{3}

注意 y²==4 - x² は多項式。V=π∫(4= \pi\int(4- x²) dx（-2 から 2 まで）=π(2⋅2= \pi(2\cdot2³ - 2·2³/3)=4π⋅2= 4\pi\cdot2³/3=32π/3= 32\pi/3。半径 r の球の体積4πr4\pi r³/3 と一致する。▨

問題 4.10. 曲線 y==(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2（0≤\lex≤\le1）の長さ L を求めよ。

y=ex+e−x2(0≤x≤1),L=∫011+(y′)2 dxy = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad (0 \le x \le 1), \qquad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx
解答.

答e−e−12\dfrac{e - e^{-1}}{2}

注意 y′==(eˣ -e−e^{-}ˣ)/2 だから 1 + (y′)²==1 + (e²ˣ - 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==(e²ˣ + 2 +e−e^{-}²ˣ)/4==((eˣ +e−e^{-}ˣ)/2)² と完全平方になる。根号が外れて L=∫(e= \int(eˣ +e−e^{-}ˣ)/2 dx（0 から 1 まで）=(e1= (e^1- e^(-1))/2。▨

問題 4.11. 曲線 y==x²/4 - (1/2)log x（1≤\lex≤\le3）の長さ L を求めよ。

y=x24−12log⁡x(1≤x≤3),L=∫131+(y′)2 dxy = \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{1}{2}\log x \quad (1 \le x \le 3), \qquad L = \int_{1}^{3} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx
解答.

答2+12log⁡32 + \dfrac{1}{2}\log 3

注意 y′==x/2 - 1/(2x) だから 1 + (y′)²==x²/4 + 1/2 + 1/(4x²)==(x/2 + 1/(2x))² と完全平方。x≥\ge1 で x/2 + 1/(2x) > 0 なので根号が外れ、L=∫(x/2= \int(x/2+ 1/(2x)) dx（1 から 3 まで）==[x²/4 + (1/2)log x]==(3² - 1)/4 + (1/2)log 3==2 + (1/2)log 3。▨

問題 4.12. 直線 y==3 - x（0≤\lex≤\le3）と x 軸、y 軸で囲む部分を y 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=3−x(0≤x≤3),V=2π∫03x y dxy = 3 - x \quad (0 \le x \le 3), \qquad V = 2\pi \int_{0}^{3} x\,y\,dx
解答.

答9π9\pi

注意 半径 x、高さ y、厚さ dx の薄い円筒（バウムクーヘン分割）の体積2πxy2\pi xydx を足し上げる。V=2π∫x(3= 2\pi\int x(3- x) dx（0 から 3 まで）=2π(3⋅3= 2\pi(3\cdot3²/2 - 3³/3)=π⋅3= \pi\cdot3³/3=9π= 9\pi。底面の半径 3、高さ 3 の円錐の体積と一致する。▨

問題 4.13. 曲線 y==x²/4 - (1/2)log x（1≤\lex≤\le2）の長さ L を求めよ。

y=x24−12log⁡x(1≤x≤2),L=∫121+(y′)2 dxy = \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{1}{2}\log x \quad (1 \le x \le 2), \qquad L = \int_{1}^{2} \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx
解答.

答34+12log⁡2\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\log 2

注意 y′==x/2 - 1/(2x) だから 1 + (y′)²==x²/4 + 1/2 + 1/(4x²)==(x/2 + 1/(2x))² と完全平方。x≥\ge1 で x/2 + 1/(2x) > 0 なので根号が外れ、L=∫(x/2= \int(x/2+ 1/(2x)) dx（1 から 2 まで）==[x²/4 + (1/2)log x]==(2² - 1)/4 + (1/2)log 2==3/4 + (1/2)log 2。▨

問題 4.14. 曲線 y==√x（0≤\lex≤\le6）、x 軸、直線 x==6 で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

y=x(0≤x≤6),V=π∫06y2 dxy = \sqrt{x} \quad (0 \le x \le 6), \qquad V = \pi \int_{0}^{6} y^{2}\,dx
解答.

答18π18\pi

注意 y²==x なので V=π∫x= \pi\int xdx（0 から 6 まで）=π⋅6= \pi\cdot6²/2=18π= 18\pi。被積分関数はπ\piy² であって y ではない（y のままだと面積になってしまう）。▨

問題 4.15. 曲線 y==√(1 - x²)（-1≤\lex≤\le1）と x 軸で囲む部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体（半径 1 の球）の体積 V を求めよ。

y=1−x2(−1≤x≤1),V=π∫−11y2 dxy = \sqrt{1-x^{2}} \quad (-1 \le x \le 1), \qquad V = \pi \int_{-1}^{1} y^{2}\,dx
解答.

答4π3\dfrac{4\pi}{3}

注意 y²==1 - x² は多項式。V=π∫(1= \pi\int(1- x²) dx（-1 から 1 まで）=π(2⋅1= \pi(2\cdot1³ - 2·1³/3)=4π⋅1= 4\pi\cdot1³/3=4π/3= 4\pi/3。半径 r の球の体積4πr4\pi r³/3 と一致する。▨

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