§C1.4区分求積法

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区分求積法とは、面積を細い長方形の集まりで近似し、長方形を無限に細くした極限として定積分を捉える考え方です。 区分求積法は積分の定義そのものにあたる発想です。本記事では、区分求積法を「和の極限を積分に読み替える」計算技術として用います。

1 和の極限と定積分

区間[0,1][0, 1]をnn等分し、各小区間で関数の値を1つ選んで長方形の面積（幅1n\tfrac1n× 高さf(kn)f(\tfrac{k}{n})）を足し合わせます。この和でn→∞n \to \inftyとした極限が、定積分になります。

ffが[0,1][0, 1]で連続なら、

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx

が成り立ちます。したがって、1n∑f(kn)\dfrac1n \sum f(\tfrac kn)の形をした和の極限は、対応する積分に書き換えて計算できます。区分求積法は、直接足し合わせて求めることができない和の極限を、定積分に書き換えて計算するときに用います。

2 使い方の手順

lim⁡n→∞∑k=1n(⋯ )\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\cdots)の形の極限は、次の手順で計算します。

  1. 1n\dfrac1nをくくり出します（長方形の幅にあたる因子を作ります）。
  2. 残りの因子を kn\dfrac{k}{n}の関数f ⁣(kn)f\!\left(\dfrac kn\right)の形に書き直します。
  3. 和の極限を∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dxに置き換えて、積分を計算します。

たとえば、lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2=lim⁡n→∞1n∑k=1n11+(k/n)2=∫01dx1+x2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2 + k^2} = \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2}となります。

3 例題

レベル2 — 区分求積法

次の極限を、区分求積法により定積分に直して求めよ。

解法の型1/n（長方形の幅）をくくり出し、残りを k/n の関数 f(k/n) にして、0 から 1 までの∫\intf(x) dx に読み替える

例 3.1.

lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+kn)\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log\left(1 + \dfrac{k}{n}\right)

答2log⁡2−12\log 2 - 1

注意 f(x)==log(1 + x) の 0 から 1 までの積分。部分積分で原始関数は (1 + x)log(1 + x) - (1 + x) となり、値は (2log 2 - 2) - (0 - 1)==2log 2 - 1。

例 3.2.

lim⁡n→∞∑k=1nkn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^{2}+k^{2}}

答12log⁡2\dfrac{1}{2}\log 2

注意 分母分子を n² で割ると (1/n)·(k/n)/(1 + (k/n)²)。f(x)==x/(1 + x²) の 0 から 1 までの積分は (1/2)log(1 + x²) の差で (1/2)log 2。

例 3.3.

lim⁡n→∞1n∑k=1nek/n\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{k/n}

答e−1e - 1

注意 f(x)==eˣ の 0 から 1 までの積分。原始関数も eˣ だから、値は e¹ -e0=e^{0} =e - 1。

例 3.4.

lim⁡n→∞1n∑k=1nsin⁡kπn\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\dfrac{k\pi}{n}

答2π\dfrac{2}{\pi}

注意 f(x)=sin(πx)= sin(\pi x)の 0 から 1 までの積分。原始関数は−cos(πx)/π-cos(\pi x)/\piなので、値は(1/π)(1(1/\pi)(1- (-1))=2/π= 2/\pi。

例 3.5.

lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{n^{2}-k^{2}}}{n^{2}}

答π4\dfrac{\pi}{4}

注意 (1/n)·√(1 - (k/n)²) の形。f(x)==√(1 - x²) を 0 から 1 まで積分すると、半径 1 の四分円の面積でπ/4\pi/4。

例 3.6.

lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}

答π4\dfrac{\pi}{4}

注意 分母分子を n² で割ると (1/n)·1/(1 + (k/n)²)。f(x)==1/(1 + x²) を 0 から 1 まで積分すると arctan 1 - arctan 0=π/4= \pi/4。

例 3.7.

lim⁡n→∞∑k=1n2k4n5\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2k^{4}}{n^{5}}

答25\dfrac{2}{5}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ2(k/n)4(1/n)\Sigma 2(k/n)^{4}の形。f(x)=2x4= 2x^{4}を 0 から 1 まで積分すると 2/5==2/5。

例 3.8.

lim⁡n→∞∑k=1n1n+k\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}

答log⁡2\log 2

注意 各項を (1/n)·1/(1 + k/n) と書き直す。f(x)==1/(1 + x) を 0 から 1 まで積分して log 2 - log 1==log 2。

例 3.9.

lim⁡n→∞∑k=1n3k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3k^{2}}{n^{3}}

答11

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma3(k/n)² の形。f(x)==3x² を 0 から 1 まで積分すると 3/3==1。

例 3.10.

lim⁡n→∞∑k=1n6k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6k^{2}}{n^{3}}

答22

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma6(k/n)² の形。f(x)==6x² を 0 から 1 まで積分すると 6/3==2。

4 演習

レベル2 — 区分求積法

次の極限を、区分求積法により定積分に直して求めよ。

解法の型1/n（長方形の幅）をくくり出し、残りを k/n の関数 f(k/n) にして、0 から 1 までの∫\intf(x) dx に読み替える

問題 4.1.

lim⁡n→∞∑k=1nkn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^{2}+k^{2}}
解答.

答12log⁡2\dfrac{1}{2}\log 2

注意 分母分子を n² で割ると (1/n)·(k/n)/(1 + (k/n)²)。f(x)==x/(1 + x²) の 0 から 1 までの積分は (1/2)log(1 + x²) の差で (1/2)log 2。▨

問題 4.2.

lim⁡n→∞1n∑k=1nsin⁡kπn\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\dfrac{k\pi}{n}
解答.

答2π\dfrac{2}{\pi}

注意 f(x)=sin(πx)= sin(\pi x)の 0 から 1 までの積分。原始関数は−cos(πx)/π-cos(\pi x)/\piなので、値は(1/π)(1(1/\pi)(1- (-1))=2/π= 2/\pi。▨

問題 4.3.

lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+kn)\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log\left(1 + \dfrac{k}{n}\right)
解答.

答2log⁡2−12\log 2 - 1

注意 f(x)==log(1 + x) の 0 から 1 までの積分。部分積分で原始関数は (1 + x)log(1 + x) - (1 + x) となり、値は (2log 2 - 2) - (0 - 1)==2log 2 - 1。▨

問題 4.4.

lim⁡n→∞∑k=1n1n+k\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}
解答.

答log⁡2\log 2

注意 各項を (1/n)·1/(1 + k/n) と書き直す。f(x)==1/(1 + x) を 0 から 1 まで積分して log 2 - log 1==log 2。▨

問題 4.5.

lim⁡n→∞∑k=1n6kn2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6k}{n^{2}}
解答.

答33

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma6(k/n) の形。f(x)==6x を 0 から 1 まで積分すると 6/2==3。▨

問題 4.6.

lim⁡n→∞1n∑k=1nek/n\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{k/n}
解答.

答e−1e - 1

注意 f(x)==eˣ の 0 から 1 までの積分。原始関数も eˣ だから、値は e¹ -e0=e^{0} =e - 1。▨

問題 4.7.

lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}
解答.

答π4\dfrac{\pi}{4}

注意 分母分子を n² で割ると (1/n)·1/(1 + (k/n)²)。f(x)==1/(1 + x²) を 0 から 1 まで積分すると arctan 1 - arctan 0=π/4= \pi/4。▨

問題 4.8.

lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{n^{2}-k^{2}}}{n^{2}}
解答.

答π4\dfrac{\pi}{4}

注意 (1/n)·√(1 - (k/n)²) の形。f(x)==√(1 - x²) を 0 から 1 まで積分すると、半径 1 の四分円の面積でπ/4\pi/4。▨

問題 4.9.

lim⁡n→∞∑k=1n2k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2k^{2}}{n^{3}}
解答.

答23\dfrac{2}{3}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma2(k/n)² の形。f(x)==2x² を 0 から 1 まで積分すると 2/3==2/3。▨

問題 4.10.

lim⁡n→∞∑k=1n3k4n5\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3k^{4}}{n^{5}}
解答.

答35\dfrac{3}{5}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ3(k/n)4(1/n)\Sigma 3(k/n)^{4}の形。f(x)=3x4= 3x^{4}を 0 から 1 まで積分すると 3/5==3/5。▨

問題 4.11.

lim⁡n→∞∑k=1n6k4n5\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6k^{4}}{n^{5}}
解答.

答65\dfrac{6}{5}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ6(k/n)4(1/n)\Sigma 6(k/n)^{4}の形。f(x)=6x4= 6x^{4}を 0 から 1 まで積分すると 6/5==6/5。▨

問題 4.12.

lim⁡n→∞∑k=1n3k3n4\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3k^{3}}{n^{4}}
解答.

答34\dfrac{3}{4}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma3(k/n)³ の形。f(x)==3x³ を 0 から 1 まで積分すると 3/4==3/4。▨

問題 4.13.

lim⁡n→∞∑k=1n2k3n4\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2k^{3}}{n^{4}}
解答.

答12\dfrac{1}{2}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma2(k/n)³ の形。f(x)==2x³ を 0 から 1 まで積分すると 2/4==1/2。▨

問題 4.14.

lim⁡n→∞∑k=1n3k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3k^{2}}{n^{3}}
解答.

答11

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(1/n)\Sigma3(k/n)² の形。f(x)==3x² を 0 から 1 まで積分すると 3/3==1。▨

問題 4.15.

lim⁡n→∞∑k=1nk4n5\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{4}}{n^{5}}
解答.

答15\dfrac{1}{5}

注意 1/n をくくり出すと(1/n)Σ(k/n)4(1/n)\Sigma (k/n)^{4}の形。f(x)=x4= x^{4}を 0 から 1 まで積分すると 1/5==1/5。▨

前提記事