§B2.6合成関数

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二つの関数を続けて施すと、一つの対応が得られます。xxから33を引き、その結果の平方根をとる操作は、xxにx−3\sqrt{x-3}を対応させる一つの関数とみることができます。

ただし、二つの関数を続けて施すことができるのは、内側の関数の値が外側の関数の定義域に入るxxに限られます。上の例x−3\sqrt{x-3}では、x<3x<3のとき平方根の中が負となるため、値が定まりません。

二つの関数を続けて施して作る関数を、合成関数といいます。合成関数は、複雑な式がどのような関数を組み合わせてできているかを調べるための基本的な概念です。合成関数は、後に合成関数の微分法で、外側の関数と内側の関数に分けて導関数を求めるときに用います。

本記事では、合成関数の定義や代表的な例について解説します。

1 合成関数と定義域

定義 1.1 (合成関数と自然な定義域).DfD_f、DgD_gを実数の部分集合とし、f:Df→Rf:D_f\to\R、g:Dg→Rg:D_g\to\Rとする。ffを内側の関数、ggを外側の関数として、

Dg∘f={x∈Df∣f(x)∈Dg}D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}

とおく。x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f}にg(f(x))g(f(x))を対応させる関数をg∘fg\circ fと書き、合成関数 (composite function) という。Dg∘fD_{g\circ f}が空集合であるときも、値をとる入力のない関数としてg∘fg\circ fを考える。

例 1.2.f(x)=x−3f(x)=x-3を実数全体で、g(x)=xg(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で定める。g∘fg\circ fの定義域はx−3≥0x-3\ge0を満たす[3,∞)[3,\infty)であり、(g∘f)(x)=x−3(g\circ f)(x)=\sqrt{x-3}である。値域は[0,∞)[0,\infty)である。実際、x≥3x\ge3のときx−3≥0\sqrt{x-3}\ge0であり、t≥0t\ge0に対してx=t2+3x=t^2+3とおけば(g∘f)(x)=t(g\circ f)(x)=tとなる。一方、(f∘g)(x)=x−3(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-3の定義域は[0,∞)[0,\infty)である。

例 1.3.

  1. f(x)=xf(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で、g(x)=x2g(x)=x^2を実数全体で定める。g∘fg\circ fの定義域は[0,∞)[0,\infty)であり、(g∘f)(x)=(x)2=x(g\circ f)(x)=(\sqrt{x})^2=xである。式はxxに簡約されるが、g∘fg\circ fはx<0x<0では定義されない。f∘gf\circ gの定義域は実数全体であり、(f∘g)(x)=x2=∣x∣(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2}=|x|である。

  2. f(x)=1xf(x)=\dfrac1xをx≠0x\ne0で、g(x)=1x−1g(x)=\dfrac1{x-1}をx≠1x\ne1で定める。g∘fg\circ fの定義域は{x≠0∣1x≠1}\{x\ne0\mid \frac1x\ne1\}すなわちx≠0, 1x\ne0,\,1であり、(g∘f)(x)=11x−1=x1−x(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\frac1x-1}=\dfrac{x}{1-x}である。簡約した式x1−x\dfrac{x}{1-x}はx=0x=0でも値をとるが、0∉Dg∘f0\notin D_{g\circ f}である。

  3. f(x)=−x2−1f(x)=-x^2-1を実数全体で、g(x)=xg(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で定める。すべての実数xxに対してf(x)≤−1<0f(x)\le-1<0であるから、Dg∘f=∅D_{g\circ f}=\varnothingである。

2 合成の順序と結合法則

定理 2.1. 実数全体で定義された関数ff、ggで、g∘fg\circ fとf∘gf\circ gの定義域がともに実数全体でありながら、g∘f≠f∘gg\circ f\ne f\circ gとなるものが存在する。

証明.例 2.2のf(x)=x+1f(x)=x+1、g(x)=x2g(x)=x^2をとる。両方の定義域は実数全体であり、x=1x=1で(g∘f)(1)=4(g\circ f)(1)=4、(f∘g)(1)=2(f\circ g)(1)=2であるから、g∘f≠f∘gg\circ f\ne f\circ gである。▨

例 2.2.f(x)=x+1f(x)=x+1、g(x)=x2g(x)=x^2をともに実数全体で定める。このとき(g∘f)(x)=(x+1)2(g\circ f)(x)=(x+1)^2、(f∘g)(x)=x2+1(f\circ g)(x)=x^2+1である。x=1x=1で前者は44、後者は22となるため、二つの関数は一致しない。

定義域だけが異なる場合も、順序の交換はできません。例 1.3 (1)ではg∘fg\circ fの定義域が[0,∞)[0,\infty)、f∘gf\circ gの定義域が実数全体であり、共通の定義域[0,∞)[0,\infty)の上では値がどちらもxxですが、定義域が一致しないので二つの関数は異なります。

定理 2.3 (合成の結合法則).f:Df→Rf:D_f\to\R、g:Dg→Rg:D_g\to\R、h:Dh→Rh:D_h\to\Rを実数値関数とする。このとき(h∘g)∘f(h\circ g)\circ fとh∘(g∘f)h\circ(g\circ f)の定義域はともに{x∈Df∣f(x)∈Dg, g(f(x))∈Dh}\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g,\ g(f(x))\in D_h\}であり、その上で値はともにh(g(f(x)))h(g(f(x)))である。したがって(h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)である。

証明.定義 1.1によりDh∘g={y∈Dg∣g(y)∈Dh}D_{h\circ g}=\{y\in D_g\mid g(y)\in D_h\}である。したがって(h∘g)∘f(h\circ g)\circ fの定義域は{x∈Df∣f(x)∈Dh∘g}\{x\in D_f\mid f(x)\in D_{h\circ g}\}であり、f(x)∈Dh∘gf(x)\in D_{h\circ g}はf(x)∈Dgf(x)\in D_gかつg(f(x))∈Dhg(f(x))\in D_hと同値である。値は((h∘g)∘f)(x)=(h∘g)(f(x))=h(g(f(x)))((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))である。

一方、Dg∘f={x∈Df∣f(x)∈Dg}D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}であるから、h∘(g∘f)h\circ(g\circ f)の定義域は{x∈Dg∘f∣(g∘f)(x)∈Dh}\{x\in D_{g\circ f}\mid (g\circ f)(x)\in D_h\}である。これはx∈Dfx\in D_f、f(x)∈Dgf(x)\in D_g、g(f(x))∈Dhg(f(x))\in D_hを満たすxxの全体であり、先の集合と一致する。値は(h∘(g∘f))(x)=h((g∘f)(x))=h(g(f(x)))(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))である。定義域と値がともに等しいので、二つの関数は等しい。▨

注意 2.4 (三つの合成の記法). 結合法則により、括弧を省いてh∘g∘fh\circ g\circ fと書く。その定義域は{x∈Df∣f(x)∈Dg, g(f(x))∈Dh}\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g,\ g(f(x))\in D_h\}であり、値はh(g(f(x)))h(g(f(x)))である。式だけを比べず、定義域も合わせて確認する。

3 例題

レベル2 — 合成関数

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。定義域が狭まる場合は明示すること。

解法の型(f∘g)(x)==f(g(x))。内側の g を先に計算する。定義域は「g の定義域」かつ「g の値域が f の定義域に入る条件」で絞る

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。

例 3.1.

f(x)=x,g(x)=x−3f(x) = \sqrt{x},\qquad g(x) = x-3

答(f∘g)(x)=x−3 (x≥3),(g∘f)(x)=x−3 (x≥0)(f\circ g)(x) = \sqrt{x-3}\ (x \ge 3),\qquad (g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 3\ (x \ge 0)（一致しない）

注意 f∘g では根号の中身 x − 3 が 0 以上でなければならないので、定義域が x≥\ge3 に狭まる。g∘f は先に √x を計算するので定義域は x≥\ge0 のまま。式も定義域も違う。「合成すると定義域が狭まることがある」がここの要点。

例 3.2.

f(x)=−3x+4,g(x)=2x−3f(x) = -3x+4,\qquad g(x) = 2x-3

答(f∘g)(x)=−6x+13,(g∘f)(x)=−6x+5(f\circ g)(x) = -6x+13,\qquad (g\circ f)(x) = -6x+5（一致しない）

注意 どちらも傾き -6 の1次関数だが、定数項が 13 と 5 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。

例 3.3.

f(x)=2x,g(x)=x2f(x) = 2x,\qquad g(x) = \dfrac{x}{2}

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==2×(x)/2==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。

例 3.4.

f(x)=−3x,g(x)=3x+1f(x) = -3x,\qquad g(x) = 3x+1

答(f∘g)(x)=−9x−3,(g∘f)(x)=−9x+1(f\circ g)(x) = -9x-3,\qquad (g\circ f)(x) = -9x+1（一致しない）

注意 どちらも傾き -9 の1次関数だが、定数項が -3 と 1 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。

例 3.5.

f(x)=5x−4,g(x)=x+45f(x) = 5x-4,\qquad g(x) = \dfrac{x+4}{5}

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==5×(x+4)/5 − 4==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。

例 3.6.

f(x)=3x−1,g(x)=x+13f(x) = 3x-1,\qquad g(x) = \dfrac{x+1}{3}

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==3×(x+1)/3 − 1==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。

例 3.7.

f(x)=−2x−2,g(x)=x2+3f(x) = -2x-2,\qquad g(x) = x^{2}+3

答(f∘g)(x)=−2x2−8,(g∘f)(x)=4x2+8x+7(f\circ g)(x) = -2x^{2}-8,\qquad (g\circ f)(x) = 4x^{2}+8x+7（一致しない）

注意 f(g(x)) は g(x) を f の x に代入したもので、x² の係数は f の傾き -2 のまま。g(f(x)) は f(x) を2乗するので x² の係数は (-2)²==4。係数からして違うので、合成の順序は交換できない。

例 3.8.

f(x)=2x+3,g(x)=2x+1f(x) = 2x+3,\qquad g(x) = 2x+1

答(f∘g)(x)=4x+5,(g∘f)(x)=4x+7(f\circ g)(x) = 4x+5,\qquad (g\circ f)(x) = 4x+7（一致しない）

注意 どちらも傾き 4 の1次関数だが、定数項が 5 と 7 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。

例 3.9.

f(x)=3x+4,g(x)=x−43f(x) = 3x+4,\qquad g(x) = \dfrac{x-4}{3}

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==3×(x-4)/3 + 4==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。

例 3.10.

f(x)=3x,g(x)=−3x+4f(x) = 3x,\qquad g(x) = -3x+4

答(f∘g)(x)=−9x+12,(g∘f)(x)=−9x+4(f\circ g)(x) = -9x+12,\qquad (g\circ f)(x) = -9x+4（一致しない）

注意 どちらも傾き -9 の1次関数だが、定数項が 12 と 4 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。

4 演習

問題 4.1 (定義域つきの合成).f(x)=x−2f(x)=x-2を実数全体で、g(x)=xg(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で定める。g∘fg\circ fとf∘gf\circ gについて、式、定義域、値域を求めなさい。

解答 (演習の解答).

(g∘f)(x)=x−2(g\circ f)(x)=\sqrt{x-2}であり、定義域はx−2≥0x-2\ge0すなわち[2,∞)[2,\infty)である。t≥0t\ge0に対してx=t2+2x=t^2+2とおくと値がttになるので、値域は[0,∞)[0,\infty)である。

(f∘g)(x)=x−2(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-2であり、定義域は[0,∞)[0,\infty)である。x\sqrt{x}は[0,∞)[0,\infty)のすべての値をとるので、値域は[−2,∞)[-2,\infty)である。▨

問題 4.2 (順序の交換).f(x)=2x+1f(x)=2x+1、g(x)=x2g(x)=x^2を実数全体で定める。g∘f≠f∘gg\circ f\ne f\circ gであることを示しなさい。

解答.

(g∘f)(x)=(2x+1)2(g\circ f)(x)=(2x+1)^2、(f∘g)(x)=2x2+1(f\circ g)(x)=2x^2+1である。x=1x=1で(g∘f)(1)=9(g\circ f)(1)=9、(f∘g)(1)=3(f\circ g)(1)=3となり、値が異なるのでg∘f≠f∘gg\circ f\ne f\circ gである。▨

問題 4.3 (定義域が除かれる合成).g(x)=xg(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で定める。次のffについて、g∘fg\circ fの定義域を求めなさい。(1)では値域も求めなさい。

  1. f(x)=1−x2f(x)=1-x^2(実数全体)

  2. f(x)=1xf(x)=\dfrac1x(x≠0x\ne0)

  3. f(x)=−x2−1f(x)=-x^2-1(実数全体)

解答.

(1)について、Dg∘f={x∣1−x2≥0}=[−1,1]D_{g\circ f}=\{x\mid 1-x^2\ge0\}=[-1,1]である。(g∘f)(x)=1−x2(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}であり、x∈[−1,1]x\in[-1,1]のとき0≤1−x2≤10\le1-x^2\le1であるから値は[0,1][0,1]に入る。s∈[0,1]s\in[0,1]に対してx=1−s2∈[0,1]x=\sqrt{1-s^2}\in[0,1]とおくと値がssになるので、値域は[0,1][0,1]である。

(2)について、Dg∘f={x≠0∣1x≥0}=(0,∞)D_{g\circ f}=\{x\ne0\mid \frac1x\ge0\}=(0,\infty)である。

(3)について、すべての実数xxに対してf(x)≤−1<0f(x)\le-1<0であるから、Dg∘f=∅D_{g\circ f}=\varnothingである。▨

問題 4.4 (合成への分解). 次の関数を、実数全体または[0,∞)[0,\infty)で定めた関数ff、ggの合成g∘fg\circ fとして表しなさい。ただし、定義域はg∘fg\circ fの自然な定義域と一致させること。

  1. x2+1\sqrt{x^2+1}

  2. (2x+1)5(2x+1)^5

解答.

(1)について、f(x)=x2+1f(x)=x^2+1を実数全体で、g(x)=xg(x)=\sqrt{x}を[0,∞)[0,\infty)で定める。x2+1≥1x^2+1\ge1であるからDg∘fD_{g\circ f}は実数全体であり、(g∘f)(x)=x2+1(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}である。

(2)について、f(x)=2x+1f(x)=2x+1、g(x)=x5g(x)=x^5をともに実数全体で定める。Dg∘fD_{g\circ f}は実数全体であり、(g∘f)(x)=(2x+1)5(g\circ f)(x)=(2x+1)^5である。▨

レベル2 — 合成関数

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。定義域が狭まる場合は明示すること。

解法の型(f∘g)(x)==f(g(x))。内側の g を先に計算する。定義域は「g の定義域」かつ「g の値域が f の定義域に入る条件」で絞る

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。

問題 4.5.

f(x)=4x−3,g(x)=x+34f(x) = 4x-3,\qquad g(x) = \dfrac{x+3}{4}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==4×(x+3)/4 − 3==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.6.

f(x)=−2x−3,g(x)=x2−1f(x) = -2x-3,\qquad g(x) = x^{2}-1
解答.

答(f∘g)(x)=−2x2−1,(g∘f)(x)=4x2+12x+8(f\circ g)(x) = -2x^{2}-1,\qquad (g\circ f)(x) = 4x^{2}+12x+8（一致しない）

注意 f(g(x)) は g(x) を f の x に代入したもので、x² の係数は f の傾き -2 のまま。g(f(x)) は f(x) を2乗するので x² の係数は (-2)²==4。係数からして違うので、合成の順序は交換できない。▨

問題 4.7.

f(x)=2x,g(x)=x2f(x) = 2x,\qquad g(x) = \dfrac{x}{2}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==2×(x)/2==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.8.

f(x)=2x+2,g(x)=x−22f(x) = 2x+2,\qquad g(x) = \dfrac{x-2}{2}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==2×(x-2)/2 + 2==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.9.

f(x)=x,g(x)=x−5f(x) = \sqrt{x},\qquad g(x) = x-5
解答.

答(f∘g)(x)=x−5 (x≥5),(g∘f)(x)=x−5 (x≥0)(f\circ g)(x) = \sqrt{x-5}\ (x \ge 5),\qquad (g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 5\ (x \ge 0)（一致しない）

注意 f∘g では根号の中身 x − 5 が 0 以上でなければならないので、定義域が x≥\ge5 に狭まる。g∘f は先に √x を計算するので定義域は x≥\ge0 のまま。式も定義域も違う。「合成すると定義域が狭まることがある」がここの要点。▨

問題 4.10.

f(x)=2x+1,g(x)=x2+3f(x) = 2x+1,\qquad g(x) = x^{2}+3
解答.

答(f∘g)(x)=2x2+7,(g∘f)(x)=4x2+4x+4(f\circ g)(x) = 2x^{2}+7,\qquad (g\circ f)(x) = 4x^{2}+4x+4（一致しない）

注意 f(g(x)) は g(x) を f の x に代入したもので、x² の係数は f の傾き 2 のまま。g(f(x)) は f(x) を2乗するので x² の係数は (2)²==4。係数からして違うので、合成の順序は交換できない。▨

問題 4.11.

f(x)=x,g(x)=x−4f(x) = \sqrt{x},\qquad g(x) = x-4
解答.

答(f∘g)(x)=x−4 (x≥4),(g∘f)(x)=x−4 (x≥0)(f\circ g)(x) = \sqrt{x-4}\ (x \ge 4),\qquad (g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 4\ (x \ge 0)（一致しない）

注意 f∘g では根号の中身 x − 4 が 0 以上でなければならないので、定義域が x≥\ge4 に狭まる。g∘f は先に √x を計算するので定義域は x≥\ge0 のまま。式も定義域も違う。「合成すると定義域が狭まることがある」がここの要点。▨

問題 4.12.

f(x)=−2x−3,g(x)=3x−4f(x) = -2x-3,\qquad g(x) = 3x-4
解答.

答(f∘g)(x)=−6x+5,(g∘f)(x)=−6x−13(f\circ g)(x) = -6x+5,\qquad (g\circ f)(x) = -6x-13（一致しない）

注意 どちらも傾き -6 の1次関数だが、定数項が 5 と -13 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。▨

問題 4.13.

f(x)=4x,g(x)=x4f(x) = 4x,\qquad g(x) = \dfrac{x}{4}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==4×(x)/4==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.14.

f(x)=3x−4,g(x)=x+43f(x) = 3x-4,\qquad g(x) = \dfrac{x+4}{3}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==3×(x+4)/3 − 4==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.15.

f(x)=5x+2,g(x)=x−25f(x) = 5x+2,\qquad g(x) = \dfrac{x-2}{5}
解答.

答(f∘g)(x)=x,(g∘f)(x)=x(f\circ g)(x) = x,\qquad (g\circ f)(x) = x（一致する。ともに恒等写像で、f と g は互いに逆関数）

注意 f(g(x))==5×(x-2)/5 + 2==x。g(f(x)) も同様に x になる。どちらの順に合成しても恒等写像になる組が「互いに逆関数」であり、これが逆関数の定義そのもの。▨

問題 4.16.

f(x)=3x+4,g(x)=2xf(x) = 3x+4,\qquad g(x) = 2x
解答.

答(f∘g)(x)=6x+4,(g∘f)(x)=6x+8(f\circ g)(x) = 6x+4,\qquad (g\circ f)(x) = 6x+8（一致しない）

注意 どちらも傾き 6 の1次関数だが、定数項が 4 と 8 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。▨

問題 4.17.

f(x)=2x−2,g(x)=x2+1f(x) = 2x-2,\qquad g(x) = x^{2}+1
解答.

答(f∘g)(x)=2x2,(g∘f)(x)=4x2−8x+5(f\circ g)(x) = 2x^{2},\qquad (g\circ f)(x) = 4x^{2}-8x+5（一致しない）

注意 f(g(x)) は g(x) を f の x に代入したもので、x² の係数は f の傾き 2 のまま。g(f(x)) は f(x) を2乗するので x² の係数は (2)²==4。係数からして違うので、合成の順序は交換できない。▨

問題 4.18.

f(x)=−3x−3,g(x)=x2+2f(x) = -3x-3,\qquad g(x) = x^{2}+2
解答.

答(f∘g)(x)=−3x2−9,(g∘f)(x)=9x2+18x+11(f\circ g)(x) = -3x^{2}-9,\qquad (g\circ f)(x) = 9x^{2}+18x+11（一致しない）

注意 f(g(x)) は g(x) を f の x に代入したもので、x² の係数は f の傾き -3 のまま。g(f(x)) は f(x) を2乗するので x² の係数は (-3)²==9。係数からして違うので、合成の順序は交換できない。▨

問題 4.19.

f(x)=3x−1,g(x)=3x+3f(x) = 3x-1,\qquad g(x) = 3x+3
解答.

答(f∘g)(x)=9x+8,(g∘f)(x)=9x(f\circ g)(x) = 9x+8,\qquad (g\circ f)(x) = 9x（一致しない）

注意 どちらも傾き 9 の1次関数だが、定数項が 8 と 0 で異なる。1次関数どうしでも合成の順序は一般に交換できない（違いは定数項に出る）。▨

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