グラフ変換の一般論 | 関数の性質

1 グラフの変換と点の対応

定義 1.1 (グラフの変換). $k$ を正の数とする。平面の点 $(x,y)$ を点 $(kx,\ y)$ へ移す写像を、 $y$ 軸を基準とする $x$ 軸方向の $k$ 倍の伸縮 (scaling) といい、点 $(x,y)$ を点 $(x,\ ky)$ へ移す写像を、 $x$ 軸を基準とする $y$ 軸方向の $k$ 倍の伸縮という。基準とする軸の上の点は、伸縮によって動かない。

$a,b,p,q$ を実数とし、 $a\ne0$ 、 $b\ne0$ とする。平面の点 $(x,y)$ を点 $\left(\dfrac{x}{b}+p,\ ay+q\right)$ へ移す写像を、係数 $a,b,p,q$ のグラフの変換 (graph transformation) という。

定理 1.2. $f:D\to\R$ を関数とし、 $a,b,p,q$ を実数、 $a\ne0$ 、 $b\ne0$ とする。 $D'=\{x\in\R\mid b(x-p)\in D\}$ を定義域とする関数 $g$ を $g(x)=af(b(x-p))+q$ により定め、係数 $a,b,p,q$ のグラフの変換を $\Phi$ と書く。このとき次が成り立つ。

$D'=\left\{\dfrac{u}{b}+p\ \middle|\ u\in D\right\}$ である。
$g$ の値域は $\{ay+q\mid y\in f(D)\}$ である。
$\Phi$ は、 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(u,f(u))$ （ $u\in D$ ）を、 $y=g(x)$ のグラフ上の点 $\left(\dfrac{u}{b}+p,\ af(u)+q\right)$ へ移す。 $y=f(x)$ のグラフの $\Phi$ による像は、 $y=g(x)$ のグラフに等しい。
$\Phi$ は、 $x$ 軸方向の $\dfrac{1}{|b|}$ 倍の伸縮（ $b<0$ のときは続けて $y$ 軸に関する対称移動）と、 $y$ 軸方向の $|a|$ 倍の伸縮（ $a<0$ のときは続けて $x$ 軸に関する対称移動）を施した後に、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する写像に等しい。

証明. 実数 $x$ に対して $u=b(x-p)$ とおくと、 $b\ne0$ であるから $x=\dfrac{u}{b}+p$ である。逆に、実数 $u$ に対して $x=\dfrac{u}{b}+p$ とおくと、 $b(x-p)=u$ である。したがって、 $x\in D'$ であることは、 $x=\dfrac{u}{b}+p$ を満たす $u\in D$ が存在することと同値であり、 $D'=\left\{\dfrac{u}{b}+p\ \middle|\ u\in D\right\}$ である。

$u\in D$ に対して $x=\dfrac{u}{b}+p$ とおくと、 $b(x-p)=u$ であるから $g(x)=af(u)+q$ である。主張 (1)により、 $u$ が $D$ を動くとき $x$ は $D'$ 全体を動く。よって $g$ の値域は $\{af(u)+q\mid u\in D\}=\{ay+q\mid y\in f(D)\}$ である。また $\Phi(u,f(u))=\left(\dfrac{u}{b}+p,\ af(u)+q\right)=(x,g(x))$ であるから、 $y=f(x)$ のグラフ $\{(u,f(u))\mid u\in D\}$ の $\Phi$ による像は $\{(x,g(x))\mid x\in D'\}$ 、すなわち $y=g(x)$ のグラフである。

平面の点 $(s,t)$ をとる。 $x$ 軸方向の $\dfrac{1}{|b|}$ 倍の伸縮は $(s,t)$ を $\left(\dfrac{s}{|b|},\ t\right)$ へ移し、 $b<0$ のときに続ける $y$ 軸に関する対称移動は、この点を $\left(-\dfrac{s}{|b|},\ t\right)$ へ移す。 $b>0$ ならば $\dfrac{s}{|b|}=\dfrac{s}{b}$ 、 $b<0$ ならば $-\dfrac{s}{|b|}=\dfrac{s}{b}$ であるから、いずれの場合も第1座標は $\dfrac{s}{b}$ になる。同様に、 $y$ 軸方向の $|a|$ 倍の伸縮と、 $a<0$ のときの $x$ 軸に関する対称移動によって、第2座標は $at$ になる。伸縮と対称移動は、それぞれ第1座標と第2座標の一方だけを変えるので、施す順序によらず点 $\left(\dfrac{s}{b},\ at\right)$ を得る。続く平行移動により、この点は $\left(\dfrac{s}{b}+p,\ at+q\right)=\Phi(s,t)$ へ移る。▨

公式 1.3. $f:D\to\R$ を関数とする。次の表の各行は、定理 1.2の係数 $(a,b,p,q)$ を表の値にとった場合である。

式	$(a,b,p,q)$	定義域	値域	グラフの変化
$y=f(x-p)+q$	$(1,1,p,q)$	$D+p=\{x\in\R\mid x-p\in D\}$	$\{y+q\mid y\in f(D)\}$	$x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動
$y=af(x)$ （ $a\ne0$ ）	$(a,1,0,0)$	$D$	$\{ay\mid y\in f(D)\}$	$y$ 軸方向に $\lvert a\rvert$ 倍に伸縮（ $a<0$ のときは続けて $x$ 軸に関して対称移動）
$y=f(bx)$ （ $b\ne0$ ）	$(1,b,0,0)$	$\{x\in\R\mid bx\in D\}$	$f(D)$	$x$ 軸方向に $\dfrac{1}{\lvert b\rvert}$ 倍に伸縮（ $b<0$ のときは続けて $y$ 軸に関して対称移動）
$y=-f(x)$	$(-1,1,0,0)$	$D$	$\{-y\mid y\in f(D)\}$	$x$ 軸に関して対称移動
$y=f(-x)$	$(1,-1,0,0)$	$\{x\in\R\mid -x\in D\}$	$f(D)$	$y$ 軸に関して対称移動

平行移動の行は§B2.2 定理 1.1と、対称移動の二つの行は§B2.2 定理 2.1と一致する。

注意 1.4. $x$ 軸方向では、点の動きは式の中で $x$ に施す操作の逆になる。定理 1.2 (3)により点の第1座標は $u$ から $\dfrac{u}{b}+p$ へ移るので、 $x$ を $bx$ に置き換えると点の第1座標は $\dfrac{1}{b}$ 倍になり、 $x$ を $x-p$ に置き換えると点の第1座標は $p$ だけ増える。たとえば $y=f(2x)$ のグラフは、 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac12$ 倍に縮めたものである。一方、点の第2座標は $v$ から $av+q$ へ移るので、 $y$ 軸方向では、関数の値を $a$ 倍して $q$ を加える式の操作が、そのまま点の動きになる。

$af(b(x-p))+q$ の値は $x-p$ 、 $b(x-p)$ 、 $f(b(x-p))$ の順に計算するが、もとのグラフには定理 1.2 (4)のとおり伸縮と対称移動を先に、平行移動を後に施す。平行移動を先に施す場合、その移動量は $p$ 、 $q$ とは限らない。平行移動 $(x,y)\mapsto\left(x+bp,\ y+\dfrac{q}{a}\right)$ を施した後に写像 $(x,y)\mapsto\left(\dfrac{x}{b},\ ay\right)$ を施すと、点 $(x,y)$ は $\left(\dfrac{x+bp}{b},\ a\left(y+\dfrac{q}{a}\right)\right)=\left(\dfrac{x}{b}+p,\ ay+q\right)$ へ移るので、先に施す平行移動の量は $x$ 軸方向に $bp$ 、 $y$ 軸方向に $\dfrac{q}{a}$ である。

$a=0$ のとき、 $y=af(b(x-p))+q$ は定義域 $\{x\in\R\mid b(x-p)\in D\}$ 上の定数関数 $q$ であり、点 $(x,y)$ を $\left(\dfrac{x}{b}+p,\ q\right)$ へ移す写像は、平面全体を直線 $y=q$ の上へ写す。この写像は異なる点を同じ点へ移すので、グラフの変換には含めない。

次の図は、 $y=\sin x$ のグラフに係数 $a,b,p,q$ のグラフの変換を施したものです。

例 1.5. $f(x)=\sqrt{x}$ （定義域 $[0,\infty)$ 、値域 $[0,\infty)$ ）とする。

$y=\sqrt{2x-6}$ は、 $2x-6=2(x-3)$ より $a=1$ 、 $b=2$ 、 $p=3$ 、 $q=0$ の場合である。定理 1.2により、このグラフは $y=\sqrt{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac12$ 倍に伸縮した後、 $x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したものであり、点 $(u,\sqrt{u})$ は点 $\left(\dfrac{u}{2}+3,\ \sqrt{u}\right)$ へ移る。定義域は $\left\{\dfrac{u}{2}+3\ \middle|\ u\ge0\right\}=[3,\infty)$ 、値域は $[0,\infty)$ である。 $x$ 軸方向の移動量は、式に現れる $6$ ではなく $3$ である。

同じ二つの操作でも、施す順序を入れ替えると別の関数のグラフになる。 $y=\sqrt{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると $y=\sqrt{x-1}$ のグラフになり、続けて $x$ 軸方向に $\dfrac12$ 倍に伸縮すると、公式 1.3の $y=f(bx)$ の行により $x$ を $2x$ に置き換えた $y=\sqrt{2x-1}$ （定義域 $\left[\dfrac12,\infty\right)$ ）のグラフになる。先に $x$ 軸方向に $\dfrac12$ 倍に伸縮すると $y=\sqrt{2x}$ のグラフになり、続けて $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると、 $x$ を $x-1$ に置き換えた $y=\sqrt{2(x-1)}=\sqrt{2x-2}$ （定義域 $[1,\infty)$ ）のグラフになる。前者は $\sqrt{2x-1}=\sqrt{2\left(x-\dfrac12\right)}$ と書くことができ、伸縮の後に施す移動量 $\dfrac12$ は、先に施した移動量 $1$ を $b=2$ で割ったものである。

2 絶対値による折り返し

公式 2.1. $f:D\to\R$ を関数とする。

$y=|f(x)|$ の定義域は $D$ 、値域は $\{|y|\mid y\in f(D)\}$ である。このグラフは、 $y=f(x)$ のグラフの点のうち、 $f(x)\ge0$ を満たす点をそのまま残し、 $f(x)<0$ を満たす点を $x$ 軸に関して対称移動したものである。
$y=f(|x|)$ の定義域は $\{x\in\R\mid |x|\in D\}$ 、値域は $\{f(u)\mid u\in D,\ u\ge0\}$ である。このグラフは、 $y=f(x)$ のグラフの $x\ge0$ の部分と、その部分を $y$ 軸に関して対称移動した図形とを合わせたものである。

証明.主張 (1)を示す。 $|f(x)|$ は $f(x)$ が定まる $x$ 、すなわち $x\in D$ に対して定まるので、定義域は $D$ であり、値域は $\{|f(x)|\mid x\in D\}=\{|y|\mid y\in f(D)\}$ である。 $x\in D$ について、 $f(x)\ge0$ ならば $(x,|f(x)|)=(x,f(x))$ である。 $f(x)<0$ ならば $(x,|f(x)|)=(x,-f(x))$ であり、これは点 $(x,f(x))$ を $x$ 軸に関して対称移動した点である。

主張 (2)を示す。 $f(|x|)$ は $|x|\in D$ を満たす $x$ に対して定まるので、定義域は $\{x\in\R\mid |x|\in D\}$ である。 $x\ge0$ ならば $|x|=x$ であるから、点 $(x,f(|x|))=(x,f(x))$ は $y=f(x)$ のグラフの $x\ge0$ の部分の点であり、この部分の点はすべてこの形で得られる。 $x<0$ ならば $|x|=-x>0$ であるから、点 $(x,f(|x|))=(x,f(-x))$ は $y=f(x)$ のグラフの点 $(-x,f(-x))$ を $y$ 軸に関して対称移動した点であり、 $u>0$ を満たす点 $(u,f(u))$ の対称移動 $(-u,f(u))$ はすべてこの形で得られる。 $x$ が定義域を動くとき、 $|x|$ は $D$ の $0$ 以上の要素全体を動くので、値域は $\{f(u)\mid u\in D,\ u\ge0\}$ である。▨

$y=|f(x)|$ と $y=f(|x|)$ のどちらでも、点の対応は場所によって変わります。とくに $y=f(|x|)$ では、 $u>0$ を満たす点 $(u,f(u))$ に二つの点 $(u,f(u))$ 、 $(-u,f(u))$ が対応し、もとのグラフの点のうち $x$ 座標が負である点は用いられません。これらの性質において、 $y=|f(x)|$ と $y=f(|x|)$ のグラフの作り方は、平面全体に一つの写像を施すグラフの変換と異なります。

例 2.2. $f(x)=x^2-2x$ （定義域 $D=[-1,3]$ ）とする。 $f(x)=(x-1)^2-1$ であるから、 $f(D)=[-1,3]$ である。

$y=|x^2-2x|$ の定義域は $[-1,3]$ 、値域は $\{|y|\mid -1\le y\le3\}=[0,3]$ である。 $f(x)<0$ となるのは $0<x<2$ のときであり、グラフのこの部分は $x$ 軸に関して対称移動されて、 $y=-x^2+2x$ （ $0<x<2$ ）のグラフになる。

$y=f(|x|)=x^2-2|x|$ の定義域は $\{x\in\R\mid |x|\in[-1,3]\}=[-3,3]$ 、値域は $\{f(u)\mid 0\le u\le3\}=[-1,3]$ である。グラフは、 $y=x^2-2x$ （ $0\le x\le3$ ）のグラフと、それを $y$ 軸に関して対称移動した $y=x^2+2x$ （ $-3\le x\le0$ ）のグラフを合わせたものである。もとの関数の $-1\le x<0$ の部分は用いられず、たとえば $x=-1$ での値は $f(-1)=3$ ではなく $f(|-1|)=f(1)=-1$ である。

3 変換後の周期

定理 3.1. $f:D\to\R$ を関数とし、 $a,b,p,q$ を実数、 $a\ne0$ 、 $b\ne0$ とする。

関数 $h(x)=f(bx)$ （定義域 $\{x\in\R\mid bx\in D\}$ ）について、正の数 $S$ が $h$ の周期であるための必要十分条件は、 $|b|S$ が $f$ の周期であることである。とくに、 $f$ が基本周期 $T$ をもつならば、 $h$ の基本周期は $\dfrac{T}{|b|}$ である。
関数 $y=af(b(x-p))+q$ （定義域 $\{x\in\R\mid b(x-p)\in D\}$ ）の正の周期は、 $h$ の正の周期と一致する。とくに、 $f$ が基本周期 $T$ をもつならば、 $y=af(b(x-p))+q$ の基本周期も $\dfrac{T}{|b|}$ である。

証明.主張 (1)を示す。実数 $c$ について、「すべての実数 $u$ について、 $u\in D$ と $u+c\in D$ は同値であり、 $u\in D$ ならば $f(u+c)=f(u)$ である」という条件を $(\ast)_c$ と書く。§B2.3 定義 1.1により、正の数 $c$ については、 $(\ast)_c$ は $c$ が $f$ の周期であることにほかならない。

実数 $c$ について $(\ast)_c$ を仮定し、実数 $u$ をとる。 $(\ast)_c$ を $u-c$ に用いると、 $u-c\in D$ と $u\in D$ は同値であり、 $u-c\in D$ ならば $f(u)=f(u-c)$ である。よって、 $u\in D$ ならば $u-c\in D$ かつ $f(u-c)=f(u)$ であり、 $(\ast)_{-c}$ が成り立つ。 $c$ を $-c$ に替えれば逆も成り立つので、 $(\ast)_c$ と $(\ast)_{-c}$ は同値である。

正の数 $S$ をとる。 $S$ が $h$ の周期であることは、すべての実数 $x$ について、 $bx\in D$ と $bx+bS\in D$ が同値であり、 $bx\in D$ ならば $f(bx+bS)=f(bx)$ が成り立つことである。 $b\ne0$ であるから $u=bx$ は $x$ とともに実数全体を動き、この条件は $(\ast)_{bS}$ と同値である。 $bS$ は $|b|S$ と $-|b|S$ のいずれかに等しいので、前段により、 $S$ が $h$ の周期であることは $(\ast)_{|b|S}$ 、すなわち $|b|S$ が $f$ の周期であることと同値である。したがって、 $h$ の正の周期全体は、 $f$ の正の周期全体の各要素を $\dfrac{1}{|b|}$ 倍した集合に等しく、 $f$ の正の周期の最小値が $T$ ならば、 $h$ の正の周期の最小値は $\dfrac{T}{|b|}$ である。

主張 (2)を示す。 $k(x)=af(b(x-p))+q$ とおくと $k(x)=ah(x-p)+q$ であり、 $x$ が $k$ の定義域に属することは、 $x-p$ が $h$ の定義域に属することと同値である。正の数 $S$ と実数 $x$ に対して $t=x-p$ とおくと、 $x$ と $x+S$ が $k$ の定義域に属するかどうかは、それぞれ $t$ と $t+S$ が $h$ の定義域に属するかどうかと一致する。 $t$ と $t+S$ がともに $h$ の定義域に属するとき、 $a\ne0$ であるから、 $k(x+S)=k(x)$ すなわち $ah(t+S)+q=ah(t)+q$ は $h(t+S)=h(t)$ と同値である。 $t$ は $x$ とともに実数全体を動くので、 $S$ が $k$ の周期であることと $S$ が $h$ の周期であることは同値である。これと主張 (1)により、 $f$ が基本周期 $T$ をもつならば、 $k$ の基本周期は $\dfrac{T}{|b|}$ である。▨

$f=\sin$ とし、正弦の基本周期 $2\pi$ （§B2.3 定理 2.1）を $T$ とすると、主張 (1)からは§B2.3 定理 4.1と同じ結論が得られます。

4 三角関数の振幅・周期・位相

公式 4.1. $a,b,p,q$ を実数とし、 $a\ne0$ 、 $b\ne0$ とする。関数 $y=a\sin(b(x-p))+q$ （定義域 $\R$ ）について、 $|a|$ を振幅、 $p$ を位相のずれという。同じ関数は、 $p$ を $\dfrac{2\pi}{|b|}$ の整数倍だけずらしても、 $a$ を $-a$ に替えて $p$ を $\dfrac{\pi}{|b|}$ だけずらしても（ $\sin(\theta\pm\pi)=-\sin\theta$ による）表されるので、位相のずれは関数だけからは一つに定まらず、関数をこの形に表したときの $p$ として読む。この関数のグラフは、 $y=\sin x$ のグラフを係数 $a,b,p,q$ のグラフの変換で移したものであり、基本周期は $\dfrac{2\pi}{|b|}$ 、値域は $[q-|a|,\ q+|a|]$ である。実際、正弦の定義域は $\R$ 、値域は $[-1,1]$ 、基本周期は $2\pi$ である（§B2.3 定理 2.1）から、グラフと値域は定理 1.2により、基本周期は定理 3.1 (2)により得られる。

また、実数 $r,s$ が $(r,s)\ne(0,0)$ を満たすとき、 $R=\sqrt{r^2+s^2}$ とおき、

\cos\varphi=\frac rR,\qquad \sin\varphi=\frac sR

を満たす実数 $\varphi$ を選ぶと、加法定理により、すべての実数 $\theta$ について

r\sin\theta+s\cos\theta=R\sin(\theta+\varphi)

である。右辺は $R\sin(\theta-(-\varphi))$ と書くことができるので、 $R$ が振幅、 $-\varphi$ が位相のずれである。

例 4.2. $y=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{2}\right)+1$ は、 $3x-\dfrac{\pi}{2}=3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ より $a=2$ 、 $b=3$ 、 $p=\dfrac{\pi}{6}$ 、 $q=1$ の場合である。振幅は $2$ 、基本周期は $\dfrac{2\pi}{3}$ 、位相のずれは $\dfrac{\pi}{6}$ 、値域は $[-1,3]$ である。グラフは、 $y=\sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac13$ 倍、 $y$ 軸方向に $2$ 倍に伸縮した後、 $x$ 軸方向に $\dfrac{\pi}{6}$ 、 $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものである。 $x$ 軸方向の移動量は、式に現れる $\dfrac{\pi}{2}$ ではない。

$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$ では $r=\sqrt3$ 、 $s=1$ 、 $R=2$ であり、 $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 、 $\sin\varphi=\dfrac12$ を満たす $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ をとると、 $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ である。位相のずれは $-\dfrac{\pi}{6}$ であり、グラフは $y=2\sin\theta$ のグラフを横軸の負の向きに $\dfrac{\pi}{6}$ だけ平行移動したものである。

5 例題

レベル2 — グラフ変換の一般論

次の問いに答えよ（y $=$ f(x) のグラフに施す変換を考える。x 方向の変換は式の上では逆に効くことに注意: y $=$ f(bx) は x 方向に 1/b 倍）。

解法の型点の移動で考える。(X, Y) $\to$ (kX, Y) なら X $=$ x/k を代入して y $=$ f(x/k)。式を評価する順序とグラフへ変換を施す順序を区別し、y $=$ a f(b(x − p)) + q は「x 方向に 1/b 倍 $\to$ y 方向に a 倍 $\to$ (p, q) 平行移動」の順と点対応から定める

例 5.1. f(x) $=$ x - 2 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = x-2

答

y = |f(x)| = \begin{cases} x-2 & (x \ge 2) \\ -x+2 & (x < 2) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} x-2 & (x \ge 0) \\ -x-2 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 2 ではそのまま、x < 2 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 2）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -x - 2 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 3 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ -1 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。

例 5.2. f(x) $=$ 2x - 6 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = 2x-6

答

y = |f(x)| = \begin{cases} 2x-6 & (x \ge 3) \\ -2x+6 & (x < 3) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} 2x-6 & (x \ge 0) \\ -2x-6 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 3 ではそのまま、x < 3 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 3）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -2x - 6 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 8 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ -4 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。

例 5.3. y $=$ f(x) のグラフに次の2つの手順で変換を施す。(A) y 軸方向に 4 だけ平行移動してから、y 軸方向に 1/2 倍する。(B) y 軸方向に 1/2 倍してから、y 軸方向に 4 だけ平行移動する。それぞれで得られるグラフの方程式を求め、一致するかどうか答えよ。

y = f(x)

答 (A) $y = \dfrac{1}{2}f\left(x\right) + 2,$ (B) $y = \dfrac{1}{2}f\left(x\right) + 4$ （一致しない）

注意 (A) は先に 4 だけ上下に動かしてから 1/2 倍するので、定数項まで 1/2 倍されて 2 になる。(B) は先に 1/2 倍してから動かすので定数項は 4 のまま。よって (A) は y $=$ 1/2f(x) + 2、(B) は y $=$ 1/2f(x) + 4 で一致しない。「倍してから動かす」と「動かしてから倍する」は別物（拡大縮小の中心が原点だから）。

例 5.4. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = \dfrac{1}{2}f\left(3\left(x - 4\right)\right) - 4

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{3}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $4$ 、 $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(3x) は x 軸方向に 1/3 倍、つまり横に縮む。次に 1/2 倍で y 軸方向に 1/2 倍し、最後に 4 と -4 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/3 倍すると、移動量まで 1/3 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ 4 とおくと (1/2)f(0) - 4 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 4 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 1/2 倍してから -4 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (4, -4) に移る」とは言えない。

例 5.5. f(x) $=$ x - 1 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = x-1

答

y = |f(x)| = \begin{cases} x-1 & (x \ge 1) \\ -x+1 & (x < 1) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} x-1 & (x \ge 0) \\ -x-1 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 1 ではそのまま、x < 1 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 1）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -x - 1 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 2 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ 0 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。

例 5.6. f(x) $=$ 2x - 2 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = 2x-2

答

y = |f(x)| = \begin{cases} 2x-2 & (x \ge 1) \\ -2x+2 & (x < 1) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} 2x-2 & (x \ge 0) \\ -2x-2 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 1 ではそのまま、x < 1 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 1）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -2x - 2 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 4 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ 0 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。

例 5.7. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（直線 y $=$ x に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = 2^{x} \qquad \Longrightarrow \qquad y = f^{-1}(x) = \ ?

答 $y = \log_{2} x$

注意指数関数と対数関数は互いに逆関数。y $=$ x に関して対称なので、定義域（実数全体）と値域（y > 0）もそのまま入れ替わる。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。

例 5.8. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（原点に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = x^{2} - 2x \qquad \Longrightarrow \qquad y = -f(-x) = \ ?

答 $y = -x^{2} - 2x$

注意 -((-x)² - 2(-x)) $=$ -(x² + 2x) $=$ -x² - 2x。頂点 (1, -1) が (-1, 1) に移る（原点対称なので符号が両方反転する）。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。

例 5.9. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（y 軸に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = \dfrac{1}{x - 1} \qquad \Longrightarrow \qquad y = f(-x) = \ ?

答 $y = \dfrac{1}{-x - 1} = -\dfrac{1}{x + 1}$

注意 x を -x に置き換えると 1/(-x - 1)。分子分母に -1 を掛けて -1/(x + 1)。漸近線 x $=$ 1 が x $=$ -1 に移り、y $=$ 0 はそのまま。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。

例 5.10. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = 3f\left(2\left(x - 1\right)\right) + 3

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $3$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(2x) は x 軸方向に 1/2 倍、つまり横に縮む。次に 3 倍で y 軸方向に 3 倍し、最後に 1 と 3 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/2 倍すると、移動量まで 1/2 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ 1 とおくと 3f(0) + 3 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 1 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 3 倍してから 3 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (1, 3) に移る」とは言えない。

6 演習

問題 6.1. $y=-2\sqrt{3-x}+1$ のグラフは、 $y=\sqrt{x}$ のグラフにどの伸縮・対称移動・平行移動をどの順に施したものか答えよ。また、定義域と値域を求めよ。

解答.

$3-x=-(x-3)$ であるから、 $y=-2\sqrt{-(x-3)}+1$ は、 $f(x)=\sqrt{x}$ （定義域 $[0,\infty)$ 、値域 $[0,\infty)$ ）について $a=-2$ 、 $b=-1$ 、 $p=3$ 、 $q=1$ の場合である。定理 1.2 (4)により、グラフは $y=\sqrt{x}$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動し（ $x$ 軸方向の伸縮の倍率は $\dfrac{1}{|b|}=1$ ）、 $y$ 軸方向に $2$ 倍に伸縮して $x$ 軸に関して対称移動した後、 $x$ 軸方向に $3$ 、 $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものである。定理 1.2 (1)により定義域は $\{-u+3\mid u\ge0\}=(-\infty,3]$ 、定理 1.2 (2)により値域は $\{-2y+1\mid y\ge0\}=(-\infty,1]$ である。たとえば、 $y=\sqrt{x}$ のグラフの端点 $(0,0)$ は $(3,1)$ へ移る。▨

問題 6.2. $y=|\sin x|$ の基本周期が $\pi$ であることを示せ。

解答.

逆に、 $T$ を正の周期とすると、 $x=0$ について $|\sin T|=|\sin 0|=0$ であるから、 $\sin T=0$ である。単位円上で $y$ 座標が $0$ の点は $(1,0)$ と $(-1,0)$ だけであり、これらに対応する角は $n\pi$ （ $n\in\Z$ ）に限られるので、 $T=n\pi$ と表される。 $T>0$ より $n\ge1$ であるから、 $T\ge\pi$ である。したがって正の周期の最小値は $\pi$ であり、基本周期は $\pi$ である。 $y=\sin x$ の基本周期 $2\pi$ と比べると、絶対値による折り返しによって基本周期が半分になっている。▨

問題 6.3. $y=\sin 2x-\sqrt3\cos 2x-1$ を $y=a\sin(b(x-p))+q$ （ $a>0$ 、 $b>0$ 、 $0\le p<\dfrac{2\pi}{b}$ ）の形に表し、振幅、基本周期、この表し方における位相のずれ、値域を求めよ。

解答.

公式 4.1の合成の式で $r=1$ 、 $s=-\sqrt3$ とすると $R=2$ であり、 $\cos\varphi=\dfrac12$ 、 $\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ を満たす $\varphi=-\dfrac{\pi}{3}$ をとることができる。すべての実数 $\theta$ について $\sin\theta-\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)$ であるから、 $\theta=2x$ とおくと

y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1=2\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)-1

である。 $a=2>0$ 、 $b=2>0$ 、 $q=-1$ であり、 $p=\dfrac{\pi}{6}$ は $0\le p<\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ を満たす。したがって、振幅は $2$ 、基本周期は $\pi$ 、この表し方における位相のずれは $\dfrac{\pi}{6}$ 、値域は $[-3,1]$ である。▨

レベル2 — グラフ変換の一般論

次の問いに答えよ（y $=$ f(x) のグラフに施す変換を考える。x 方向の変換は式の上では逆に効くことに注意: y $=$ f(bx) は x 方向に 1/b 倍）。

問題 6.4. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（直線 y $=$ x に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = 2^{x} \qquad \Longrightarrow \qquad y = f^{-1}(x) = \ ?

解答.

答 $y = \log_{2} x$

問題 6.5. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（x 軸に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = 2^{x} \qquad \Longrightarrow \qquad y = -f(x) = \ ?

解答.

答 $y = -2^{x}$

注意 x 軸対称移動は式全体に -1 を掛けるだけ。値域は y > 0 から y < 0 に移る（漸近線 y $=$ 0 はそのまま）。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。▨

問題 6.6. f(x) $=$ 2x - 6 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = 2x-6

解答.

答

y = |f(x)| = \begin{cases} 2x-6 & (x \ge 3) \\ -2x+6 & (x < 3) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} 2x-6 & (x \ge 0) \\ -2x-6 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

問題 6.7. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = \dfrac{1}{2}f\left(4\left(x - 1\right)\right) - 1

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{4}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(4x) は x 軸方向に 1/4 倍、つまり横に縮む。次に 1/2 倍で y 軸方向に 1/2 倍し、最後に 1 と -1 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/4 倍すると、移動量まで 1/4 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ 1 とおくと (1/2)f(0) - 1 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 1 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 1/2 倍してから -1 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (1, -1) に移る」とは言えない。▨

問題 6.8. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（y 軸に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = 2^{x} \qquad \Longrightarrow \qquad y = f(-x) = \ ?

解答.

答 $y = 2^{-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$

注意 y 軸対称移動で、底が逆数の指数関数になる。増加関数が減少関数に変わるが、値域は y > 0 のまま。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。▨

問題 6.9. y $=$ f(x) のグラフに、次の変換をこの順に施して得られるグラフの方程式を、f を用いて表せ。 (1) x 軸に関して対称移動する (2) x 軸方向に 1 だけ平行移動する (3) x 軸方向に 1/3 倍に縮小する

y = f(x)

解答.

答 $y = -f\left(3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\right)$

注意 1段ずつ書き換える。(1) の後: y $=$ -f(x)、(2) の後: y $=$ -f(x - 1)、(3) の後: y $=$ -f(3(x - 1/3))。x 軸方向に k 倍する変換は、点 (X, Y) が (kX, Y) に移る、つまり新しい x に対して X $=$ x/k なので、式では x を x/k で置き換える（k 倍なのに 1/k を掛ける、が「x 方向は逆に効く」の正体）。y 軸方向の a 倍は、平行移動の分 Q にも a が掛かることに注意。▨

問題 6.10. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = \dfrac{1}{2}f\left(4\left(x + 2\right)\right) - 4

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{4}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $-2$ 、 $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(4x) は x 軸方向に 1/4 倍、つまり横に縮む。次に 1/2 倍で y 軸方向に 1/2 倍し、最後に -2 と -4 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/4 倍すると、移動量まで 1/4 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ -2 とおくと (1/2)f(0) - 4 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 -2 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 1/2 倍してから -4 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (-2, -4) に移る」とは言えない。▨

問題 6.11. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = 2f\left(4\left(x + 3\right)\right) - 1

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{4}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $2$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $-3$ 、 $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(4x) は x 軸方向に 1/4 倍、つまり横に縮む。次に 2 倍で y 軸方向に 2 倍し、最後に -3 と -1 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/4 倍すると、移動量まで 1/4 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ -3 とおくと 2f(0) - 1 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 -3 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 2 倍してから -1 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (-3, -1) に移る」とは言えない。▨

問題 6.12. f(x) $=$ 3x - 9 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = 3x-9

解答.

答

y = |f(x)| = \begin{cases} 3x-9 & (x \ge 3) \\ -3x+9 & (x < 3) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} 3x-9 & (x \ge 0) \\ -3x-9 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 3 ではそのまま、x < 3 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 3）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -3x - 9 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 12 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ -6 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。▨

問題 6.13. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（y 軸に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = x^{2} - 4x + 1 \qquad \Longrightarrow \qquad y = f(-x) = \ ?

解答.

答 $y = x^{2} + 4x + 1$

注意 x を -x で置き換える: (-x)² - 4(-x) + 1 $=$ x² + 4x + 1。もとの頂点 (2, -3) が (-2, -3) に移っている。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。▨

問題 6.14. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = 3f\left(3\left(x + 2\right)\right) - 3

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{3}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $3$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $-2$ 、 $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(3x) は x 軸方向に 1/3 倍、つまり横に縮む。次に 3 倍で y 軸方向に 3 倍し、最後に -2 と -3 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/3 倍すると、移動量まで 1/3 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ -2 とおくと 3f(0) - 3 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 -2 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 3 倍してから -3 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (-2, -3) に移る」とは言えない。▨

問題 6.15. f(x) $=$ 3x - 3 とする。y $=$ |f(x)| と y $=$ f(|x|) を場合分けして表し、2つのグラフが一致するかどうか答えよ。

f(x) = 3x-3

解答.

答

y = |f(x)| = \begin{cases} 3x-3 & (x \ge 1) \\ -3x+3 & (x < 1) \end{cases},\qquad y = f(|x|) = \begin{cases} 3x-3 & (x \ge 0) \\ -3x-3 & (x < 0) \end{cases} \qquad \text{（一致しない）}

注意 y $=$ |f(x)| は、f(x) の符号で分ける。f(x) $\ge$ 0 すなわち x $\ge$ 1 ではそのまま、x < 1 では符号を反転する。グラフで言えば、y $=$ f(x) のうち x 軸より下の部分を x 軸に関して折り返したもの（折れ目は x $=$ 1）。一方 y $=$ f(|x|) は x の符号で分ける。x $\ge$ 0 ではもとのまま、x < 0 では f(-x) $=$ -3x - 3 になる。グラフで言えば、x $\ge$ 0 の部分だけを残し、それを y 軸に関して折り返して左側に写したもの（もとの x < 0 の部分は捨てられ、折れ目は x $=$ 0）。x $=$ -1 で比べると |f(-1)| $=$ 6 だが f(|-1|) $=$ f(1) $=$ 0 で、値が違う。折り返す軸（x 軸か y 軸か）も、捨てる部分の有無も違う別の操作。▨

問題 6.16. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = \dfrac{1}{2}f\left(3\left(x + 3\right)\right) - 1

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{3}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $-3$ 、 $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(3x) は x 軸方向に 1/3 倍、つまり横に縮む。次に 1/2 倍で y 軸方向に 1/2 倍し、最後に -3 と -1 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/3 倍すると、移動量まで 1/3 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ -3 とおくと (1/2)f(0) - 1 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 -3 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 1/2 倍してから -1 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (-3, -1) に移る」とは言えない。▨

問題 6.17. 次の関数のグラフは、y $=$ f(x) のグラフにどのような変換をどの順に施して得られるか答えよ（拡大縮小・平行移動の順序に注意）。

y = 2f\left(2\left(x - 4\right)\right) - 4

解答.

答 (1) $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍 $\rightarrow$ (2) $y$ 軸方向に $2$ 倍 $\rightarrow$ (3) $x$ 軸方向に $4$ 、 $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動

注意式を評価する順序と、もとのグラフへ変換を施す順序を区別し、点の座標の対応から読む。まず f(2x) は x 軸方向に 1/2 倍、つまり横に縮む。次に 2 倍で y 軸方向に 2 倍し、最後に 4 と -4 の平行移動を施す。先に平行移動してから x 方向に 1/2 倍すると、移動量まで 1/2 倍されて別のグラフになる。検算として得られた式で x $=$ 4 とおくと 2f(0) - 4 である。したがって、もとのグラフ上の点 (0, f(0)) は x 座標 4 の位置に移り、その y 座標は f(0) を 2 倍してから -4 を足した値になる。f が原点を通るとは限らないので、「(0, 0) が (4, -4) に移る」とは言えない。▨

問題 6.18. 次の f について、指定された式で表されるグラフ（直線 y $=$ x に関する対称移動）の式を求めよ。

f(x) = x^{3} + 1 \qquad \Longrightarrow \qquad y = f^{-1}(x) = \ ?

解答.

答 $y = \sqrt[3]{x - 1}$

注意 y $=$ x³ + 1 より x³ $=$ y - 1、x は y - 1 の3乗根。x と y を入れ替える。3乗は実数全体で単調増加（単射）なので、制限なしで逆関数をもつ。対称移動の型は4つ: y $=$ f(-x) が y 軸対称、y $=$ -f(x) が x 軸対称、y $=$ -f(-x) が原点対称、y $= f^{-}$ ¹(x) が直線 y $=$ x に関する対称。ただし前の3つはどんな f でも使えるのに対し、4つ目だけは f が単射のときにしか使えない（グラフを y $=$ x で折り返した図形が、また関数のグラフになるとは限らないから）。▨

§B2.4グラフ変換の一般論

1 グラフの変換と点の対応

2 絶対値による折り返し

3 変換後の周期

4 三角関数の振幅・周期・位相

5 例題

6 演習

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