§A1.4因数分解

例 1.1.$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$は因数分解である。右辺を展開すると

となり、元の多項式に戻る。因数分解の結果が正しいかどうかは、展開して確かめることができる。

例 2.1. 整数係数の式$3x^2+6x$では、両項に$3x$が共通するので

となる。右辺を分配法則で展開すると元の式に戻る。

例 3.2.$x^2+5x+6$を整数係数で因数分解する。積が$6$となる整数の組から、和が$5$となる$2,3$を選ぶ。$2+3=5$、$2\cdot3=6$であるから

となる。

例 4.1.$6x^2-17x+12$を整数係数で因数分解する。先頭係数$6$を$2\cdot3$、定数項$12$を$(-3)(-4)$と分けると、交差する積の和は

となり、$x$の係数とも一致する。したがって

である。右辺を展開すると$6x^2-8x-9x+12$となり、元の式に戻る。

例 5.1. 整数係数で分解するとき、まず共通の数因子$2$を外して

となる。

例 5.2. 整数係数の三次式$6x^3-17x^2+12x$では、まず共通因数$x$を外す。残った二次式に例 4.1の計算を使うと

となる。最後の積を展開すると元の三次式に戻る。

例 6.2. 整数係数で$8x^3+1$を因数分解する。$8x^3=(2x)^3$、$1=1^3$なので

となる。積を展開すると$8x^3-4x^2+2x+4x^2-2x+1=8x^3+1$であり、元の式へ戻る。

残った二次式には

がすべての実数$x$で成り立つ。§A1.3 定理 3.2により、二次式を正の次数の因子へ分解するなら、一次式2個の積になる。しかし、一方の一次式が$0$となる実数で積も$0$となるので、この正値性と両立しない。したがって、残った二次式は実数係数でも、整数係数でも正の次数の多項式の積へ分解することができない。

例 7.2.$x^2-2$は、整数係数の正の次数の多項式の積には分解することができない。分解するとすれば二つの一次式の積であり、先頭係数の積は$1$なので、それぞれの先頭係数は$1$または$-1$となる。その積は$(x+r)(x+s)$（$r,s$は整数）の形に書き直される。係数を照合すると$r+s=0$、$rs=-2$となり、$r^2=2$を満たす整数が必要となるが、そのような整数はない。

実数係数ならば$\sqrt2$を係数に用いて

と分解することができる。右辺は平方差の公式により$x^2-(\sqrt2)^2=x^2-2$となる。