§A1.9恒等式と係数比較

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ある等式が一部の値だけで成り立つのか、共通定義域のすべての値で成り立つのかによって、方程式と恒等式を区別します。実数係数多項式の差を順次取ると次数が下がることから係数比較の原理を証明し、有限個の値を除く等式と部分分数分解にも適用します。

1 係数比較の原理

定義 1.1 (恒等式). 実数係数多項式を両辺にもつ等式が 恒等式 (identity) であるとは、その両辺の共通定義域に属するすべての実数xxで等式が成り立つことをいう。たとえば

x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1)

はすべての実数xxで成り立つ恒等式である。一方、x2−1=0x^2-1=0はx=±1x=\pm1でだけ成り立つ方程式であり、恒等式でない。

定理 1.2. 実数係数多項式

P(X)=p0+p1X+⋯+pnXn,Q(X)=q0+q1X+⋯+qnXnP(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_nX^n,\qquad Q(X)=q_0+q_1X+\cdots+q_nX^n

について、すべての実数xxでP(x)=Q(x)P(x)=Q(x)となることと、すべてのk=0,1,…,nk=0,1,\ldots,nでpk=qkp_k=q_kとなることは同値である。

証明. すべてのkkでpk=qkp_k=q_kならば、同じ係数をもつ二つの式へ任意の実数xxを代入してP(x)=Q(x)P(x)=Q(x)を得る。

すべての実数xxでP(x)=Q(x)P(x)=Q(x)とし、D(X)=P(X)−Q(X)D(X)=P(X)-Q(X)と置く。次数がnn以下で、すべての実数を代入すると00になる多項式が零多項式であることを、nnについての帰納法で示す。n=0n=0のとき、DDは定数であり、D(0)=0D(0)=0からその定数は00である。

n≥1n\ge1とし、次数がn−1n-1以下の場合まで主張が成り立つと仮定する。

ΔD(X)=D(X+1)−D(X)\Delta D(X)=D(X+1)-D(X)

と置く。任意の実数xxについてD(x+1)=D(x)=0D(x+1)=D(x)=0であるから、ΔD(x)=0\Delta D(x)=0である。DDのXnX^nの係数をdnd_nとする。因数分解

(X+1)n−Xn=((X+1)−X)∑j=0n−1(X+1)n−1−jXj(X+1)^n-X^n=((X+1)-X)\sum_{j=0}^{n-1}(X+1)^{n-1-j}X^j

の右辺には最高次項Xn−1X^{n-1}をもつ項がnn個あるので、(X+1)n−Xn(X+1)^n-X^nのXn−1X^{n-1}の係数はnnである。したがってΔD\Delta Dの次数はn−1n-1以下であり、そのXn−1X^{n-1}の係数はndnnd_nである。

帰納法の仮定からΔD\Delta Dは零多項式であるため、ndn=0nd_n=0となる。nnは正の整数であるからdn=0d_n=0である。よってDDの次数はn−1n-1以下であり、再び帰納法の仮定からDDは零多項式となる。したがってPPとQQの対応する係数はすべて等しい。▨

例 1.3. 実数a,b,ca,b,cについて

ax2+bx+c=2x2−5x+3ax^2+bx+c=2x^2-5x+3

がすべての実数xxで成り立つことと

a=2,b=−5,c=3a=2,\qquad b=-5,\qquad c=3

となることは同値である。必要性は定理 1.2により、十分性は三つの係数を代入して両辺が同じ式になることにより従う。

2 有限個の値を除く場合

定理 2.1.S⊂RS\subset\Rを有限集合とする。実数係数多項式D(X)D(X)が、すべてのx∈R∖Sx\in\R\setminus SでD(x)=0D(x)=0を満たすならば、DDは零多項式である。

証明.DDが零多項式でないと仮定し、その次数をmm、最高次係数をaaとする。各j=0,1,…,mj=0,1,\ldots,mに対して

S−j={s−j∣s∈S}S-j=\{s-j\mid s\in S\}

と置く。有限集合(S−0)∪(S−1)∪⋯∪(S−m)(S-0)\cup(S-1)\cup\cdots\cup(S-m)の外から実数ttを取ると、t,t+1,…,t+mt,t+1,\ldots,t+mはすべてSSの外にある。したがって

D(t)=D(t+1)=⋯=D(t+m)=0D(t)=D(t+1)=\cdots=D(t+m)=0

となる。

ΔD(X)=D(X+1)−D(X)\Delta D(X)=D(X+1)-D(X)と置く。上の等式から差を順に取るとΔmD(t)=0\Delta^mD(t)=0を得る。一方、定理 1.2の証明で用いた計算により、差を一回取るたびに次数が一つ下がり、最高次係数にはそのときの次数が掛かる。よってΔmD\Delta^mDは定数多項式m!am!aである。したがってm!a=0m!a=0となるが、m!≠0m!\ne0かつa≠0a\ne0であるため両立しない。ゆえにDDは零多項式である。▨

有限個の点を除いて得た多項式の等式を、係数比較を行うことができる恒等式へ移す場合に、この定理を用います。

3 部分分数と共通定義域

例 3.1. 実数x≠1,2x\ne1,2に対して

1(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}

が成り立つように実数A,BA,Bを定める。共通定義域R∖{1,2}\R\setminus\{1,2\}では(x−1)(x−2)≠0(x-1)(x-2)\ne0であるから、両辺に(x−1)(x−2)(x-1)(x-2)を掛けて

1=A(x−2)+B(x−1)1=A(x-2)+B(x-1)

を得る。この等式は有限個の点を除くすべての実数で成り立つので、定理 2.1により多項式の恒等式である。両辺を

1=(A+B)x+(−2A−B)1=(A+B)x+(-2A-B)

と整理し、定理 1.2を適用すると

A+B=0,−2A−B=1A+B=0,\qquad -2A-B=1

となる。これを解いてA=−1,B=1A=-1,B=1を得る。

実際に

−1(x−2)+1(x−1)=1-1(x-2)+1(x-1)=1

であるから十分性も成り立つ。したがって、元の共通定義域x≠1,2x\ne1,2で

1(x−1)(x−2)=−1x−1+1x−2\frac{1}{(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}

となる。除外したx=1,2x=1,2では元の分数式が定まらない。

4 数値代入との使い分け

等式へ数値を代入して得られる等式は、もとの等式が恒等式であるための必要条件です。未知係数を決めるために都合のよい値を代入した場合も、最後に係数比較または展開を行い、共通定義域のすべての値で成り立つという十分性を確かめます。

定理 4.1.P(x),Q(x)P(x),Q(x)を実数係数の二次以下の多項式とする。r,s,tr,s,tを互いに異なる実数とすると、

P(r)=Q(r),P(s)=Q(s),P(t)=Q(t)P(r)=Q(r),\qquad P(s)=Q(s),\qquad P(t)=Q(t)

であることと、すべての実数xxでP(x)=Q(x)P(x)=Q(x)となることは同値である。

証明.P(x)−Q(x)=ux2+vx+wP(x)-Q(x)=ux^2+vx+wと書く。r,s,tr,s,tでの値がすべて00ならば、rrとssでの等式の差から

0=u(r2−s2)+v(r−s)=(r−s){u(r+s)+v}0=u(r^2-s^2)+v(r-s)=(r-s)\{u(r+s)+v\}

を得る。r≠sr\ne sなのでu(r+s)+v=0u(r+s)+v=0である。同じく、rrとttでの等式の差からu(r+t)+v=0u(r+t)+v=0を得る。この二つの式の差はu(s−t)=0u(s-t)=0であり、s≠ts\ne tからu=0u=0となる。したがってv=0v=0、さらにrrでの等式からw=0w=0である。

逆に、すべての実数でP(x)=Q(x)P(x)=Q(x)ならば、r,s,tr,s,tでも値は一致する。▨

問題 4.2. 実数係数の二次以下の多項式P(x)P(x)が

P(−1)=4,P(0)=1,P(1)=2P(-1)=4,\qquad P(0)=1,\qquad P(1)=2

を満たすとき、P(x)P(x)とP(2)P(2)を求めよ。また、次数の制限を外すと、同じ三つの値からP(2)P(2)は定まらないことを示せ。

解答.

P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cと置く。P(0)=1P(0)=1からc=1c=1であり、残る二つの条件は

a−b=3,a+b=1a-b=3,\qquad a+b=1

となる。よってa=2a=2、b=−1b=-1であり、

P(x)=2x2−x+1,P(2)=7P(x)=2x^2-x+1,\qquad P(2)=7

を得る。この式は指定された三つの値をとる。定理 4.1により、条件を満たす二次以下の多項式はこの式だけである。

次数の制限がなければ、任意の実数λ\lambdaに対して

Pλ(x)=2x2−x+1+λx(x−1)(x+1)P_\lambda(x)=2x^2-x+1+\lambda x(x-1)(x+1)

も指定された三つの値をとる。ところがPλ(2)=7+6λP_\lambda(2)=7+6\lambdaなので、P(2)P(2)は定まらない。▨

5 例題

レベル1 — 恒等式と係数比較

実数を係数・代入値として扱い、各問の結論とその根拠を答えよ。分数式では共通定義域も確認せよ。

解法の型全実数点または有限個の除外点での一致は有限差分で多項式の等式へ戻す。分数式は共通定義域で分母を払った後、展開で十分性を確かめる

例 5.1. 実数 x で x≠\ne2, 3, -2 のとき、等式 (9x-22)/((x - 2)(x - 3)(x + 2))==A/(x - 2) + B/(x - 3) + C/(x + 2) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

9x−22(x−2)(x−3)(x+2)=Ax−2+Bx−3+Cx+2\dfrac{9x-22}{(x-2)(x-3)(x+2)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} + \dfrac{C}{x + 2}

答A=1,B=1,C=−2(x≠2,3,−2)A = 1,\quad B = 1,\quad C = -2\quad (x \ne 2, 3, -2)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x - 2)(x - 3)(x + 2) を掛け、多項式の等式を作る。x==2 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==3 で B、x==-2 で C）。結果は A==1、B==1、C==-2。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。

例 5.2. 実数を係数とする2次以下の多項式 P について、x≠\ne-2, 1 のすべての実数 x でP(x)=0P(x)=0が成り立つ。Pについて結論を述べよ。

P(x)=0(x∈R∖{−2,1}),deg⁡P≤2P(x)=0\quad(x\in\mathbb R\setminus\{-2,1\}),\qquad \deg P\le2

答P(X)≡0P(X)\equiv0

注意 除外点を避けて連続する3点 t, t+1, t+2 を選べる。そこで P は0なので2階差も0。一方、P の2次の係数を a とすると2階差は2a。最高次係数から順に0となり、P は零多項式。除外点で元の分数式が定義されるとは結論しない。

例 5.3. 実数を係数とする2次以下の多項式 P について、x≠\ne-2, 0 のすべての実数 x でP(x)=0P(x)=0が成り立つ。Pについて結論を述べよ。

P(x)=0(x∈R∖{−2,0}),deg⁡P≤2P(x)=0\quad(x\in\mathbb R\setminus\{-2,0\}),\qquad \deg P\le2

答P(X)≡0P(X)\equiv0

注意 除外点を避けて連続する3点 t, t+1, t+2 を選べる。そこで P は0なので2階差も0。一方、P の2次の係数を a とすると2階差は2a。最高次係数から順に0となり、P は零多項式。除外点で元の分数式が定義されるとは結論しない。

例 5.4. 実数を係数とする多項式 P について、すべての実数 x でP(x)=0P(x)=0が成り立つ。P(X)=aXP(X)=aX²+bX+c と書くとき、Pについて結論を述べよ。

P(X)=aX2+bX+c,P(x)=0(all x∈R)P(X)=aX^2+bX+c,\qquad P(x)=0\quad(\text{all }x\in\mathbb R)

答P(X)≡0P(X)\equiv0なのでa=b=c=0a=b=c=0

注意 差分ΔP(X)=P(X+1)−P(X)\Delta P(X)=P(X+1)-P(X)もすべての実数で 0。ΔP\Delta Pの X の係数は 2a だからa=0a=0。残りは1次式、定数式へ同じ議論を繰り返してb=c=0b=c=0。実数を係数とし、実数を代入していることが必要。

例 5.5. 実数 x で x≠\ne-1 のとき、等式 (2x+4)/(x + 1)²==A/(x + 1) + B/(x + 1)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

2x+4(x+1)2=Ax+1+B(x+1)2\dfrac{2x+4}{(x+1)^{2}} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x+1)^{2}}

答A=2,B=2(x≠−1)A = 2,\quad B = 2\quad (x \ne -1)

注意 共通定義域 x≠\ne-1 で両辺に (x + 1)² を掛けると 2x+4==A(x + 1) + B。x の係数を比較して A==2、x==-1 を代入して B==2。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。

例 5.6. 実数 x で x≠\ne2 のとき、等式 (-3x+8)/(x - 2)²==A/(x - 2) + B/(x - 2)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−3x+8(x−2)2=Ax−2+B(x−2)2\dfrac{-3x+8}{(x-2)^{2}} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{(x-2)^{2}}

答A=−3,B=2(x≠2)A = -3,\quad B = 2\quad (x \ne 2)

注意 共通定義域 x≠\ne2 で両辺に (x - 2)² を掛けると -3x+8==A(x - 2) + B。x の係数を比較して A==-3、x==2 を代入して B==2。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。

例 5.7. 実数 x で x≠\ne-1, 2, -2 のとき、等式 (-7x-10)/((x + 1)(x - 2)(x + 2))==A/(x + 1) + B/(x - 2) + C/(x + 2) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

−7x−10(x+1)(x−2)(x+2)=Ax+1+Bx−2+Cx+2\dfrac{-7x-10}{(x+1)(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{x + 2}

答A=1,B=−2,C=1(x≠−1,2,−2)A = 1,\quad B = -2,\quad C = 1\quad (x \ne -1, 2, -2)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x + 1)(x - 2)(x + 2) を掛け、多項式の等式を作る。x==-1 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==2 で B、x==-2 で C）。結果は A==1、B==-2、C==1。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。

例 5.8. 実数 x で x≠\ne2 のとき、等式 (2x)/(x - 2)²==A/(x - 2) + B/(x - 2)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

2x(x−2)2=Ax−2+B(x−2)2\dfrac{2x}{(x-2)^{2}} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{(x-2)^{2}}

答A=2,B=4(x≠2)A = 2,\quad B = 4\quad (x \ne 2)

注意 共通定義域 x≠\ne2 で両辺に (x - 2)² を掛けると 2x==A(x - 2) + B。x の係数を比較して A==2、x==2 を代入して B==4。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。

例 5.9. 実数 x で x≠\ne-2 のとき、等式 (-x+1)/(x + 2)²==A/(x + 2) + B/(x + 2)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−x+1(x+2)2=Ax+2+B(x+2)2\dfrac{-x+1}{(x+2)^{2}} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x+2)^{2}}

答A=−1,B=3(x≠−2)A = -1,\quad B = 3\quad (x \ne -2)

注意 共通定義域 x≠\ne-2 で両辺に (x + 2)² を掛けると -x+1==A(x + 2) + B。x の係数を比較して A==-1、x==-2 を代入して B==3。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。

例 5.10. 実数 x で x≠\ne1, -1, 2 のとき、等式(3x2−5x+4)/((x(3x^2-5x+4)/((x- 1)(x + 1)(x - 2))==A/(x - 1) + B/(x + 1) + C/(x - 2) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

3x2−5x+4(x−1)(x+1)(x−2)=Ax−1+Bx+1+Cx−2\dfrac{3x^{2}-5x+4}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{x - 2}

答A=−1,B=2,C=2(x≠1,−1,2)A = -1,\quad B = 2,\quad C = 2\quad (x \ne 1, -1, 2)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x - 1)(x + 1)(x - 2) を掛け、多項式の等式を作る。x==1 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==-1 で B、x==2 で C）。結果は A==-1、B==2、C==2。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。

6 演習

レベル1 — 恒等式と係数比較

実数を係数・代入値として扱い、各問の結論とその根拠を答えよ。分数式では共通定義域も確認せよ。

解法の型全実数点または有限個の除外点での一致は有限差分で多項式の等式へ戻す。分数式は共通定義域で分母を払った後、展開で十分性を確かめる

問題 6.1. 実数 x で x≠\ne-1, -2, 3 のとき、等式(−2x2+8x+14)/((x(-2x^2+8x+14)/((x+ 1)(x + 2)(x - 3))==A/(x + 1) + B/(x + 2) + C/(x - 3) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

−2x2+8x+14(x+1)(x+2)(x−3)=Ax+1+Bx+2+Cx−3\dfrac{-2x^{2}+8x+14}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x - 3}
解答.

答A=−1,B=−2,C=1(x≠−1,−2,3)A = -1,\quad B = -2,\quad C = 1\quad (x \ne -1, -2, 3)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x + 1)(x + 2)(x - 3) を掛け、多項式の等式を作る。x==-1 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==-2 で B、x==3 で C）。結果は A==-1、B==-2、C==1。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。▨

問題 6.2. 実数 x で x≠\ne-2 のとき、等式 (-3x-5)/(x + 2)²==A/(x + 2) + B/(x + 2)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−3x−5(x+2)2=Ax+2+B(x+2)2\dfrac{-3x-5}{(x+2)^{2}} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x+2)^{2}}
解答.

答A=−3,B=1(x≠−2)A = -3,\quad B = 1\quad (x \ne -2)

注意 共通定義域 x≠\ne-2 で両辺に (x + 2)² を掛けると -3x-5==A(x + 2) + B。x の係数を比較して A==-3、x==-2 を代入して B==1。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。▨

問題 6.3. 実数を係数とする2次以下の多項式 P について、x≠\ne-1, 1 のすべての実数 x でP(x)=0P(x)=0が成り立つ。Pについて結論を述べよ。

P(x)=0(x∈R∖{−1,1}),deg⁡P≤2P(x)=0\quad(x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}),\qquad \deg P\le2
解答.

答P(X)≡0P(X)\equiv0

注意 除外点を避けて連続する3点 t, t+1, t+2 を選べる。そこで P は0なので2階差も0。一方、P の2次の係数を a とすると2階差は2a。最高次係数から順に0となり、P は零多項式。除外点で元の分数式が定義されるとは結論しない。▨

問題 6.4. 実数 x で x≠\ne-2, -1 のとき、等式 (3x+5)/((x + 2)(x + 1))==A/(x + 2) + B/(x + 1) が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

3x+5(x+2)(x+1)=Ax+2+Bx+1\dfrac{3x+5}{(x+2)(x+1)} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1}
解答.

答A=1,B=2(x≠−2,−1)A = 1,\quad B = 2\quad (x \ne -2, -1)

注意 共通定義域 x≠\ne-2, -1 で両辺に (x + 2)(x + 1) を掛けると 3x+5==A(x + 1) + B(x + 2) という多項式の等式になる。x==-2 を代入すると (-1) × A==-1、よって A==1。x==-1 を代入すると 1 × B==2、よって B==2。x の係数を比べても A + B==3。得た値を右辺へ戻して展開し、共通定義域で左辺と一致することを確認する。▨

問題 6.5. 実数 x で x≠\ne2, 1, -3 のとき、等式(3x2+9x−20)/((x(3x^2+9x-20)/((x- 2)(x - 1)(x + 3))==A/(x - 2) + B/(x - 1) + C/(x + 3) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

3x2+9x−20(x−2)(x−1)(x+3)=Ax−2+Bx−1+Cx+3\dfrac{3x^{2}+9x-20}{(x-2)(x-1)(x+3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x + 3}
解答.

答A=2,B=2,C=−1(x≠2,1,−3)A = 2,\quad B = 2,\quad C = -1\quad (x \ne 2, 1, -3)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x - 2)(x - 1)(x + 3) を掛け、多項式の等式を作る。x==2 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==1 で B、x==-3 で C）。結果は A==2、B==2、C==-1。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。▨

問題 6.6. 実数 x で x≠\ne-1 のとき、等式 (3x+7)/(x + 1)²==A/(x + 1) + B/(x + 1)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

3x+7(x+1)2=Ax+1+B(x+1)2\dfrac{3x+7}{(x+1)^{2}} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x+1)^{2}}
解答.

答A=3,B=4(x≠−1)A = 3,\quad B = 4\quad (x \ne -1)

注意 共通定義域 x≠\ne-1 で両辺に (x + 1)² を掛けると 3x+7==A(x + 1) + B。x の係数を比較して A==3、x==-1 を代入して B==4。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。▨

問題 6.7. 実数 x で x≠\ne1, -1, -3 のとき、等式(−x2−4x−11)/((x(-x^2-4x-11)/((x- 1)(x + 1)(x + 3))==A/(x - 1) + B/(x + 1) + C/(x + 3) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

−x2−4x−11(x−1)(x+1)(x+3)=Ax−1+Bx+1+Cx+3\dfrac{-x^{2}-4x-11}{(x-1)(x+1)(x+3)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{x + 3}
解答.

答A=−2,B=2,C=−1(x≠1,−1,−3)A = -2,\quad B = 2,\quad C = -1\quad (x \ne 1, -1, -3)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x - 1)(x + 1)(x + 3) を掛け、多項式の等式を作る。x==1 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==-1 で B、x==-3 で C）。結果は A==-2、B==2、C==-1。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。▨

問題 6.8. 実数 x で x≠\ne-1, 1 のとき、等式 (6)/((x + 1)(x - 1))==A/(x + 1) + B/(x - 1) が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

6(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1\dfrac{6}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1}
解答.

答A=−3,B=3(x≠−1,1)A = -3,\quad B = 3\quad (x \ne -1, 1)

注意 共通定義域 x≠\ne-1, 1 で両辺に (x + 1)(x - 1) を掛けると 6==A(x - 1) + B(x + 1) という多項式の等式になる。x==-1 を代入すると (-2) × A==6、よって A==-3。x==1 を代入すると 2 × B==6、よって B==3。x の係数を比べても A + B==0。得た値を右辺へ戻して展開し、共通定義域で左辺と一致することを確認する。▨

問題 6.9. 実数 x で x≠\ne1, -1, 2 のとき、等式(2x2+4x−10)/((x(2x^2+4x-10)/((x- 1)(x + 1)(x - 2))==A/(x - 1) + B/(x + 1) + C/(x - 2) が成り立つように、定数 A, B, C を定めよ。

2x2+4x−10(x−1)(x+1)(x−2)=Ax−1+Bx+1+Cx−2\dfrac{2x^{2}+4x-10}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{x - 2}
解答.

答A=2,B=−2,C=2(x≠1,−1,2)A = 2,\quad B = -2,\quad C = 2\quad (x \ne 1, -1, 2)

注意 共通定義域で両辺に分母 (x - 1)(x + 1)(x - 2) を掛け、多項式の等式を作る。x==1 を代入すると B, C の項が消えて A が出る（同様に x==-1 で B、x==2 で C）。結果は A==2、B==-2、C==2。得た値を展開して共通定義域で十分性を確認する。▨

問題 6.10. 実数 x で x≠\ne-2, -3 のとき、等式 (3x+7)/((x + 2)(x + 3))==A/(x + 2) + B/(x + 3) が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

3x+7(x+2)(x+3)=Ax+2+Bx+3\dfrac{3x+7}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 3}
解答.

答A=1,B=2(x≠−2,−3)A = 1,\quad B = 2\quad (x \ne -2, -3)

注意 共通定義域 x≠\ne-2, -3 で両辺に (x + 2)(x + 3) を掛けると 3x+7==A(x + 3) + B(x + 2) という多項式の等式になる。x==-2 を代入すると 1 × A==1、よって A==1。x==-3 を代入すると (-1) × B==-2、よって B==2。x の係数を比べても A + B==3。得た値を右辺へ戻して展開し、共通定義域で左辺と一致することを確認する。▨

問題 6.11. 実数 x で x≠\ne2, 1 のとき、等式 (-4x+7)/((x - 2)(x - 1))==A/(x - 2) + B/(x - 1) が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−4x+7(x−2)(x−1)=Ax−2+Bx−1\dfrac{-4x+7}{(x-2)(x-1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1}
解答.

答A=−1,B=−3(x≠2,1)A = -1,\quad B = -3\quad (x \ne 2, 1)

注意 共通定義域 x≠\ne2, 1 で両辺に (x - 2)(x - 1) を掛けると -4x+7==A(x - 1) + B(x - 2) という多項式の等式になる。x==2 を代入すると 1 × A==-1、よって A==-1。x==1 を代入すると (-1) × B==3、よって B==-3。x の係数を比べても A + B==-4。得た値を右辺へ戻して展開し、共通定義域で左辺と一致することを確認する。▨

問題 6.12. 実数 x で x≠\ne2 のとき、等式 (-x+4)/(x - 2)²==A/(x - 2) + B/(x - 2)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−x+4(x−2)2=Ax−2+B(x−2)2\dfrac{-x+4}{(x-2)^{2}} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{(x-2)^{2}}
解答.

答A=−1,B=2(x≠2)A = -1,\quad B = 2\quad (x \ne 2)

注意 共通定義域 x≠\ne2 で両辺に (x - 2)² を掛けると -x+4==A(x - 2) + B。x の係数を比較して A==-1、x==2 を代入して B==2。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。▨

問題 6.13. 実数 x で x≠\ne3, -3 のとき、等式 (-4x-6)/((x - 3)(x + 3))==A/(x - 3) + B/(x + 3) が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

−4x−6(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+3\dfrac{-4x-6}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{x + 3}
解答.

答A=−3,B=−1(x≠3,−3)A = -3,\quad B = -1\quad (x \ne 3, -3)

注意 共通定義域 x≠\ne3, -3 で両辺に (x - 3)(x + 3) を掛けると -4x-6==A(x + 3) + B(x - 3) という多項式の等式になる。x==3 を代入すると 6 × A==-18、よって A==-3。x==-3 を代入すると (-6) × B==6、よって B==-1。x の係数を比べても A + B==-4。得た値を右辺へ戻して展開し、共通定義域で左辺と一致することを確認する。▨

問題 6.14. 実数 x で x≠\ne1 のとき、等式 (3x-6)/(x - 1)²==A/(x - 1) + B/(x - 1)² が成り立つように、定数 A, B を定めよ。

3x−6(x−1)2=Ax−1+B(x−1)2\dfrac{3x-6}{(x-1)^{2}} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{(x-1)^{2}}
解答.

答A=3,B=−3(x≠1)A = 3,\quad B = -3\quad (x \ne 1)

注意 共通定義域 x≠\ne1 で両辺に (x - 1)² を掛けると 3x-6==A(x - 1) + B。x の係数を比較して A==3、x==1 を代入して B==-3。得た値を展開して共通定義域で確かめる。分母が重複因数のときは A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を立てる。▨

問題 6.15. 実数を係数とする多項式 P について、すべての実数 x でP(x)=0P(x)=0が成り立つ。P(X)=aXP(X)=aX²+bX+c と書くとき、Pについて結論を述べよ。

P(X)=aX2+bX+c,P(x)=0(all x∈R)P(X)=aX^2+bX+c,\qquad P(x)=0\quad(\text{all }x\in\mathbb R)
解答.

答P(X)≡0P(X)\equiv0なのでa=b=c=0a=b=c=0

注意 差分ΔP(X)=P(X+1)−P(X)\Delta P(X)=P(X+1)-P(X)もすべての実数で 0。ΔP\Delta Pの X の係数は 2a だからa=0a=0。残りは1次式、定数式へ同じ議論を繰り返してb=c=0b=c=0。実数を係数とし、実数を代入していることが必要。▨