§A1.17不定元と変数の区別

例 3.1. 次の主張の真偽を判定せよ。主張: 整式（多項式）として f$=$g とは、対応する係数がすべて一致することである

答 真

注意 多項式は「係数の並び」という形式的な対象なので、相等の定義は係数の一致。ここでの x は不定元であり、値を代入する対象ではない。

例 3.2. 有限体 F_2（元は 0, 1 の 2 個で、法 2 で計算する体）を考える。f(x)$= x^2$− x について、F_2 のすべての元 a における値 f(a) を計算せよ。そのうえで、f が多項式として零多項式かどうかを判定せよ。

答

注意 フェルマーの小定理より、素数 2 と任意の整数 a について$a^2 \equiv$a (mod 2)。したがって F_2 のすべての元 a で f(a)$=$0 となり、f は零関数を定める。ところが多項式としての f は係数の並びが零ではない（$x^2$の係数が 1）ので、零多項式ではない。つまり F_2 上では「関数として等しい」と「多項式として等しい」が食い違う。同じことを言い換えると、相異なる2つの多項式$x^2$と x が同じ関数を定めている。$\mathbb{R}$のような無限個の元をもつ体ではこの現象は起こらない（相異なる無限個の点で一致する多項式は係数も一致するため）。ここが不定元と変数を区別しておくご利益。

例 3.3. 次の主張の真偽を判定せよ。主張:$F_{2}$上で x² と x は多項式として等しい

答 偽（次数が$2$と$1$で異なる）

注意 係数の並びが (0, 0, 1) と (0, 1, 0) で違うので、多項式としては別物。関数としては一致する（前の項目）のに多項式としては異なる、という食い違いがまさに不定元と変数を区別する理由。

例 3.4. f(x) と g(x) が次で与えられるとき、f + g の次数と fg の次数を求めよ。

答$\deg(f + g) = 1,\qquad \deg(fg) = 4$

注意 f の次数は 2、g の次数は 2。和を実際に計算すると f + g$=$2x-4 で、次数は 1。最高次の係数が 2 と (-2) で打ち消し合うため、和の次数は max(2, 2)$=$2 より下がっている。和の次数について言えるのは deg(f+g)$\le$max(deg f, deg g) という不等式だけ。 一方、積の次数は必ず deg f + deg g$=$2 + 2$=$4。最高次の係数は 2 × (-2)$=$-4 で、係数が体（$\mathbb{R}$など）なら 0 でない数どうしの積は 0 にならないからである。これらはすべて「係数の並び」だけを見る不定元の立場での話で、x に値を代入する必要はない。

例 3.5. f(x) と g(x) が次で与えられるとき、f + g の次数と fg の次数を求めよ。

答$\deg(f + g) = 2,\qquad \deg(fg) = 6$

注意 f の次数は 3、g の次数は 3。和を実際に計算すると f + g$= 3x^2+4$で、次数は 2。最高次の係数が (-3) と 3 で打ち消し合うため、和の次数は max(3, 3)$=$3 より下がっている。和の次数について言えるのは deg(f+g)$\le$max(deg f, deg g) という不等式だけ。 一方、積の次数は必ず deg f + deg g$=$3 + 3$=$6。最高次の係数は (-3) × 3$=$-9 で、係数が体（$\mathbb{R}$など）なら 0 でない数どうしの積は 0 にならないからである。これらはすべて「係数の並び」だけを見る不定元の立場での話で、x に値を代入する必要はない。

例 3.6. 等式 x³ + 1$=$(x+1)(x²−x+1) は恒等式か方程式か（あるいは解をもたないか）を判定せよ。方程式ならば解も求めよ。

答 恒等式（すべての$x$で成立）

注意 展開すると x³ − x² + x + x² − x + 1$=$x³ + 1。3次の因数分解公式で、恒等式。

例 3.7. f(x) と g(x) が次で与えられるとき、f + g の次数と fg の次数を求めよ。

答$\deg(f + g) = 3,\qquad \deg(fg) = 8$

注意 f の次数は 4、g の次数は 4。和を実際に計算すると f + g$= -x^3-5x^2-4x+5$で、次数は 3。最高次の係数が 1 と (-1) で打ち消し合うため、和の次数は max(4, 4)$=$4 より下がっている。和の次数について言えるのは deg(f+g)$\le$max(deg f, deg g) という不等式だけ。 一方、積の次数は必ず deg f + deg g$=$4 + 4$=$8。最高次の係数は 1 × (-1)$=$-1 で、係数が体（$\mathbb{R}$など）なら 0 でない数どうしの積は 0 にならないからである。これらはすべて「係数の並び」だけを見る不定元の立場での話で、x に値を代入する必要はない。

例 3.8. f(x) と g(x) が次で与えられるとき、f + g の次数と fg の次数を求めよ。

答$\deg(f + g) = 4,\qquad \deg(fg) = 8$

注意 f の次数は 4、g の次数は 4。和を実際に計算すると f + g$= 4x^4+x^3-x-1$で、次数は 4。最高次が打ち消し合わないので deg(f+g)$=$max(4, 4)$=$4。ただし最高次の係数が打ち消し合う場合は次数が下がるので、一般には deg(f+g)$\le$max(deg f, deg g) までしか言えない。 一方、積の次数は必ず deg f + deg g$=$4 + 4$=$8。最高次の係数は 2 × 2$=$4 で、係数が体（$\mathbb{R}$など）なら 0 でない数どうしの積は 0 にならないからである。これらはすべて「係数の並び」だけを見る不定元の立場での話で、x に値を代入する必要はない。

例 3.9. 次の主張の真偽を判定せよ。主張: 整式の除法（商と余りを求める操作）では x に値を代入しない

答 真

注意 整式の除法は係数だけを操作して商と余りを出す。ここでの x は不定元として働いており、値の代入とは無関係。剰余の定理で「x$=$a を代入する」のは、その後で関数として見るときの話。

例 3.10. f(x) と g(x) が次で与えられるとき、f + g の次数と fg の次数を求めよ。

答$\deg(f + g) = 4,\qquad \deg(fg) = 6$

注意 f の次数は 4、g の次数は 2。和を実際に計算すると f + g$= -x^4+x^3-2x^2-4x+4$で、次数は 4。最高次が打ち消し合わないので deg(f+g)$=$max(4, 2)$=$4。ただし最高次の係数が打ち消し合う場合は次数が下がるので、一般には deg(f+g)$\le$max(deg f, deg g) までしか言えない。 一方、積の次数は必ず deg f + deg g$=$4 + 2$=$6。最高次の係数は (-1) × (-3)$=$3 で、係数が体（$\mathbb{R}$など）なら 0 でない数どうしの積は 0 にならないからである。これらはすべて「係数の並び」だけを見る不定元の立場での話で、x に値を代入する必要はない。