§A1.62次関数

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x2−4x+1x^2-4x+1に実数を代入すると、代入する数によって式の値が変わります。方程式x2−4x+1=0x^2-4x+1=0の解を求めれば、式の値が零になる場合は分かります。しかし、式の値がどこまで小さくなるかを知るには、零になる場合だけでなく、実数xx全体にわたる値の変化を調べる必要があります。

このように二次式の値をxxに対応させて調べる対象が二次関数です。xxと式の値の対応をグラフに表すと、式の値の変化と、二次方程式の解の位置を同じ図で捉えることができます。

本記事では、二次関数の式とグラフの関係を通して、値の変化と二次方程式の実数解の配置を調べます。

1 平方完成と頂点・軸

実数xxの値を定めると、そのxxに対応する値yyが一つ定まるとき、yyはxxの関数であるといいます。横軸にxx、縦軸にyyをとり、対応する点(x,y)(x,y)を集めたものが関数のグラフです。変数xxが動く範囲を定義域といいます。

a,b,ca,b,cを実数、a≠0a\ne0としたy=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cを二次関数といいます。まず定義域を実数全体とします。二次関数のグラフを放物線といいます。平方完成によって、放物線の位置と向きを調べます。

公式 1.1.a,b,ca,b,cを実数、a≠0a\ne0とし、p=−b/(2a)p=-b/(2a)、q=c−b2/(4a)q=c-b^2/(4a)と置く。二次関数は

y=ax2+bx+c=a(x−p)2+qy=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q

と表される。グラフは直線x=px=pに関して対称であり、この直線を軸と呼ぶ。軸上の点(p,q)(p,q)を頂点と呼ぶ。a>0a>0のときグラフは下に凸、a<0a<0のとき上に凸である。

証明. 平方完成の等式は§A1.5 公式 4.2による。任意の実数ttに対して、x=p+tx=p+tとx=p−tx=p-tで関数値はともにat2+qat^2+qとなるので、グラフはx=px=pに関して対称である。x=px=pでy=qy=qとなり、a>0a>0ならそこから左右へ離れるほど関数値は大きくなる。a<0a<0なら関数値は小さくなる。▨

例 1.2.y=x2−4x+1=(x−2)2−3y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3の頂点は(2,−3)(2,-3)、軸はx=2x=2である。係数が11でない場合も

y=2x2−8x+5=2(x−2)2−3y=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3

と平方完成すると、頂点は(2,−3)(2,-3)、軸はx=2x=2となる。x=1,3x=1,3ではともにy=−1y=-1となり、軸に関して対称な二点を得る。

下の図はa=1a=1の場合です。p,qp,qを動かすと頂点の位置が変わります。係数aaが負の場合のグラフの向きは、上の公式から判断します。

2 最大値と最小値

定義域に属するすべてのxxで関数値がある値以下であり、その値を実際にとるとき、その値を最大値といいます。最小値は、すべての関数値以下であって実際にとる値です。

公式 2.1.a,p,qa,p,qを実数、a≠0a\ne0とし、y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+qの定義域を実数全体とする。a>0a>0のとき、x=px=pで最小値qqをとり、最大値はない。a<0a<0のとき、x=px=pで最大値qqをとり、最小値はない。

証明.(x−p)2≥0(x-p)^2\ge0であり、等号はx=px=pのときだけ成り立つ。a>0a>0ならy≥qy\ge q、a<0a<0ならy≤qy\le qとなる。∣x−p∣|x-p|を大きくすると、a>0a>0では関数値はいくらでも大きくなり、a<0a<0ではいくらでも小さくなるので、もう一方の極値は存在しない。▨

定義域を有界閉区間l≤x≤rl\le x\le r（l<rl<r）に制限すると、両端の値と、区間に属する場合の頂点の値を比較して最大値・最小値を求めます。(x−p)2(x-p)^2はxxとppの距離の二乗なので、その距離が最も小さい点と最も大きい点を調べればよいからです。

例 2.2.y=2(x−2)2−3y=2(x-2)^2-3を0≤x≤30\le x\le3で考える。頂点のxx座標22は定義域に属し、端点と頂点で

y(0)=5,y(2)=−3,y(3)=−1y(0)=5,\qquad y(2)=-3,\qquad y(3)=-1

となる。したがって最小値は−3-3（x=2x=2）、最大値は55（x=0x=0）である。

同じ関数を3≤x≤43\le x\le4で考えると、頂点は定義域の外にある。xxが33から44へ増えるとx−2x-2は正で大きくなるので、関数値も増える。よって最小値は−1-1（x=3x=3）、最大値は55（x=4x=4）である。

問題 2.3.mmを実数とする。0≤x≤20\le x\le2における二次関数

y=x2−2mxy=x^2-2mx

の最大値と最小値、および各値をとるxxを、mmの値によって場合分けして求めよ。

解答.

平方完成すると

y=(x−m)2−m2y=(x-m)^2-m^2

であり、軸はx=mx=mである。最小値は、区間0≤x≤20\le x\le2のうちmmに最も近い点でとる。

m<0m<0ではx=0x=0が最も近いので、最小値は00である。0≤m≤20\le m\le2ではx=mx=mが区間に属するので、最小値は−m2-m^2である。m>2m>2ではx=2x=2が最も近いので、最小値は4−4m4-4mである。したがって

min⁡y={0(m<0),−m2(0≤m≤2),4−4m(m>2).\min y= \begin{cases} 0 & (m<0),\\ -m^2 & (0\le m\le2),\\ 4-4m & (m>2). \end{cases}

各場合で最小値をとるxxは、それぞれ0,m,20,m,2である。

最大値は、mmから最も遠い端点でとる。両端の値は

y(0)=0,y(2)=4−4my(0)=0,\qquad y(2)=4-4m

なので、m<1m<1では最大値が4−4m4-4m、その値をとる点がx=2x=2となる。m>1m>1では最大値が00、その値をとる点がx=0x=0となる。m=1m=1では

y=(x−1)2−1y=(x-1)^2-1

であり、両端x=0,2x=0,2で最大値00をとる。0<x<20<x<2では(x−1)2<1(x-1)^2<1なので、ほかに最大値をとる点はない。▨

注意 2.4. 定義域が端点を含まない場合には、最大値・最小値が存在するとは限らない。たとえばy=x2y=x^2を1<x<21<x<2で考えると1<y<41<y<4であるが、11も44も関数値としてとらない。任意のxxに対して、11に近い点ではより小さい値を、22に近い点ではより大きい値をとるので、最小値も最大値もない。

3 判別式と実数解の配置

公式 3.1.a,b,ca,b,cを実数、a≠0a\ne0とし、二次関数y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cの定義域を実数全体とする。D=b2−4acD=b^2-4acと置くと、頂点は

(−b2a,−D4a)\left(-\frac b{2a},-\frac D{4a}\right)

である。したがって、頂点がxx軸上にあるための必要十分条件はD=0D=0である。グラフとxx軸の共有点の個数は、D>0D>0のとき二個、D=0D=0のとき一個、D<0D<0のとき零個である。

証明.公式 1.1により、頂点の座標は(−b/(2a),c−b2/(4a))(-b/(2a),c-b^2/(4a))である。

c−b24a=−b2−4ac4a=−D4ac-\frac{b^2}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac D{4a}

なので、頂点の高さは−D/(4a)-D/(4a)であり、a≠0a\ne0より、この高さが零となることとD=0D=0は同値である。グラフとxx軸の共有点ではy=0y=0なので、共有点のxx座標はax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0の実数解と一致する。共有点の個数は§A1.5 公式 5.1による。▨

二次方程式の実数解の個数だけでは、実数解が与えられた区間に属するかどうかは定まりません。軸の位置、区間の端点での関数値の符号、放物線の向きをあわせて調べます。

例 3.2.y=2(x−2)2−3y=2(x-2)^2-3ではD=24>0D=24>0なので実数解は二つである。解は2±3/22\pm\sqrt{3/2}であり、0<3/2<20<\sqrt{3/2}<2なので二つとも正である。また1<3/2<21<\sqrt{3/2}<2なので、一方の解は00と11の間、他方は33と44の間にある。関数値もy(0)=y(4)=5>0y(0)=y(4)=5>0、y(1)=y(3)=−1<0y(1)=y(3)=-1<0となり、この配置と一致する。

閑話休題：放物線の相似y=x2y=x^2とy=100x2y=100x^2のグラフは、同じ座標尺度で描くと開き方が異なります。しかし、後者のグラフを縦横ともに100100倍に拡大すると、前者のグラフに重なります。実際にx=X/100x=X/100、y=Y/100y=Y/100を代入すると

Y100=100(X100)2  ⟺  Y=X2\frac Y{100}=100\left(\frac X{100}\right)^2\iff Y=X^2

となります。

一般にy=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q（a,p,qa,p,qは実数、a≠0a\ne0）のグラフを、頂点が原点へ移るように平行移動するとv=au2v=au^2となります。a<0a<0の場合は、グラフを横軸に関して反射してv=∣a∣u2v=|a|u^2とします。その後、縦横ともに∣a∣|a|倍し、U=∣a∣uU=|a|u、V=∣a∣vV=|a|vと置くとV=U2V=U^2となります。よってすべての放物線は互いに相似です。

楕円や双曲線では、一般に軸の長さの比が異なる図形は相似ではありません。楕円の長半径をrr、短半径をss（r≥s>0r\ge s>0）とすると、軸の比はs/rs/r、離心率は1−(s/r)2\sqrt{1-(s/r)^2}です。相似によって軸の比が保たれるので、離心率も保たれます。

放物線を用いる衛星アンテナやヘッドライトの反射鏡の寸法は、相似な放物線の尺度を変えると変わります。ただし、放物線全体を一つ定めても、その放物線のどの範囲を用いるかはまだ定まりません。二つの放物線が相似な曲線であることと、放物線のうち利用する範囲の寸法を選ぶことは、区別する必要があります。平方完成の式から、二次関数のグラフは、平行移動・必要な反射・拡大縮小によってy=x2y=x^2のグラフへ移ることが分かります。

4 平方完成の検算

(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2=x^2-4x+4なので、x2−4x+1x^2-4x+1と等しい式を作るには、(x−2)2(x-2)^2の定数項44から33を引きます。平方完成の結果を展開し直すと、展開した式の係数が元の式の係数と一致するかを確かめることができます。最大値・最小値を求める場合には、その値をとる点が定義域に属することも確かめます。

5 例題

レベル1 — 平方完成

次の2次関数を平方完成し、頂点を求めよ。

解法の型平方完成 → 頂点(p,q)(p,q)を読む

例 5.1.y=x2−2x+7y = x^{2}-2x+7

答y=(x−1)2+6y = (x-1)^{2} + 6

注意 頂点(1,6)(1,6)

例 5.2.y=x2−6x+11y = x^{2}-6x+11

答y=(x−3)2+2y = (x-3)^{2} + 2

注意 頂点(3,2)(3,2)

例 5.3.y=−x2−2x−2y = -x^{2}-2x-2

答y=−(x+1)2−1y = -(x+1)^{2} - 1

注意 頂点(−1,−1)(-1,-1)

例 5.4.y=x2+6x+3y = x^{2}+6x+3

答y=(x+3)2−6y = (x+3)^{2} - 6

注意 頂点(−3,−6)(-3,-6)

例 5.5.y=−x2−4x−2y = -x^{2}-4x-2

答y=−(x+2)2+2y = -(x+2)^{2} + 2

注意 頂点(−2,2)(-2,2)

レベル2 — 最大値・最小値

次の2次関数の最大値・最小値があれば求めよ（定義域は実数全体とする）。

解法の型平方完成 →aaの符号で最大か最小かを判断

例 5.6.y=x2+4x+7y = x^{2}+4x+7

答x=−2x = -2のとき最小値33

注意 最大値はなし

例 5.7.y=2x2−12x+17y = 2x^{2}-12x+17

答x=3x = 3のとき最小値−1-1

注意 最大値はなし

例 5.8.y=x2−2x+5y = x^{2}-2x+5

答x=1x = 1のとき最小値44

注意 最大値はなし

例 5.9.y=−2x2−4xy = -2x^{2}-4x

答x=−1x = -1のとき最大値22

注意 最小値はなし

例 5.10.y=x2−8x+20y = x^{2}-8x+20

答x=4x = 4のとき最小値44

注意 最大値はなし

6 演習

レベル1 — 平方完成

次の2次関数を平方完成し、頂点を求めよ。

解法の型平方完成 → 頂点(p,q)(p,q)を読む

問題 6.1.y=x2−2x+6y = x^{2}-2x+6

解答.

答y=(x−1)2+5y = (x-1)^{2} + 5

注意 頂点(1,5)(1,5)▨

問題 6.2.y=−2x2−12x−16y = -2x^{2}-12x-16

解答.

答y=−2(x+3)2+2y = -2(x+3)^{2} + 2

注意 頂点(−3,2)(-3,2)▨

問題 6.3.y=2x2−8x+13y = 2x^{2}-8x+13

解答.

答y=2(x−2)2+5y = 2(x-2)^{2} + 5

注意 頂点(2,5)(2,5)▨

問題 6.4.y=x2+2x+5y = x^{2}+2x+5

解答.

答y=(x+1)2+4y = (x+1)^{2} + 4

注意 頂点(−1,4)(-1,4)▨

問題 6.5.y=−2x2−16x−35y = -2x^{2}-16x-35

解答.

答y=−2(x+4)2−3y = -2(x+4)^{2} - 3

注意 頂点(−4,−3)(-4,-3)▨

問題 6.6.y=2x2−4x+8y = 2x^{2}-4x+8

解答.

答y=2(x−1)2+6y = 2(x-1)^{2} + 6

注意 頂点(1,6)(1,6)▨

問題 6.7.y=3x2+12x+10y = 3x^{2}+12x+10

解答.

答y=3(x+2)2−2y = 3(x+2)^{2} - 2

注意 頂点(−2,−2)(-2,-2)▨

問題 6.8.y=−x2−2x−4y = -x^{2}-2x-4

解答.

答y=−(x+1)2−3y = -(x+1)^{2} - 3

注意 頂点(−1,−3)(-1,-3)▨

レベル2 — 最大値・最小値

次の2次関数の最大値・最小値があれば求めよ（定義域は実数全体とする）。

解法の型平方完成 →aaの符号で最大か最小かを判断

問題 6.9.y=−x2+2x−5y = -x^{2}+2x-5

解答.

答x=1x = 1のとき最大値−4-4

注意 最小値はなし▨

問題 6.10.y=3x2+18x+31y = 3x^{2}+18x+31

解答.

答x=−3x = -3のとき最小値44

注意 最大値はなし▨

問題 6.11.y=x2−2x+4y = x^{2}-2x+4

解答.

答x=1x = 1のとき最小値33

注意 最大値はなし▨

問題 6.12.y=x2−8x+21y = x^{2}-8x+21

解答.

答x=4x = 4のとき最小値55

注意 最大値はなし▨

問題 6.13.y=x2−2x−3y = x^{2}-2x-3

解答.

答x=1x = 1のとき最小値−4-4

注意 最大値はなし▨

問題 6.14.y=2x2−12x+17y = 2x^{2}-12x+17

解答.

答x=3x = 3のとき最小値−1-1

注意 最大値はなし▨

問題 6.15.y=−x2−2x+4y = -x^{2}-2x+4

解答.

答x=−1x = -1のとき最大値55

注意 最小値はなし▨

問題 6.16.y=x2−2x−2y = x^{2}-2x-2

解答.

答x=1x = 1のとき最小値−3-3

注意 最大値はなし▨