円の方程式と、直線・円の位置関係 | 図形と方程式

1 円の標準形と一般形

中心 $\mathrm C=(a,b)$ 、半径 $r>0$ の円は、実数平面の点 $\mathrm P=(x,y)$ のうち $\mathrm{CP}=r$ を満たす点の集合です。距離は非負なので、距離の式を二乗すると同値な方程式が得られます。

公式 1.1. 中心 $(a,b)$ 、半径 $r>0$ の円の方程式は

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

実係数 $\ell,m,n$ に対して、一般形 $x^2+y^2+\ell x+my+n=0$ は

\left(x+\frac\ell2\right)^2+\left(y+\frac m2\right)^2 =\frac{\ell^2+m^2}{4}-n

と同値である。右辺が正なら中心 $(-\ell/2,-m/2)$ 、半径が右辺の平方根である円を表す。右辺が $0$ なら中心の一点だけを表し、負なら実数の点を表さない。

証明. $x^2+\ell x=(x+\ell/2)^2-\ell^2/4$ と $y^2+my=(y+m/2)^2-m^2/4$ を一般形へ代入する。左辺の平方和は非負であり、 $0$ になるのは二つの平方がともに $0$ のときに限る。右辺が正なら、その平方根を距離とする円になる。▨

例 1.2. $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ を平方完成すると

(x-2)^2+(y+1)^2=9

となるので、中心は $(2,-1)$ 、半径は $3$ である。一方、定数項を $5$ に変えた方程式は $(x-2)^2+(y+1)^2=0$ となり、点 $(2,-1)$ だけを表す。この一点の集合を点円と呼ぶこともある。

2 直線と円の位置関係

定理 2.1. 中心 $\mathrm C=(u,v)$ 、半径 $r>0$ の円と、直線 $l:ax+by+c=0$ （ $a^2+b^2>0$ ）に対し、

d=\frac{|au+bv+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

とおく。 $d<r$ なら共有点は二つ、 $d=r$ なら一つで接し、 $d>r$ なら共有点はない。

証明.§A2.5 公式 4.1により、 $d$ は中心 $\mathrm C$ と直線 $l$ の距離である。垂線の足を $\mathrm H$ とすると、 $l$ 上の点 $\mathrm P$ に対し三平方の定理から $\mathrm{CP}^2=d^2+\mathrm{HP}^2$ である。よって円上にある条件は $\mathrm{HP}^2=r^2-d^2$ となる。右辺が正なら $\mathrm H$ の両側に一点ずつ、 $0$ なら $\mathrm H$ だけがあり、負なら点はない。▨

交点の座標は、円と直線の連立方程式を解いて求めます。 $b\ne0$ なら $y=(-ax-c)/b$ を円の方程式に代入して $x$ の二次方程式を作ります。 $b=0$ なら $a\ne0$ なので $x=-c/a$ を円の方程式に代入し、 $y$ の二次方程式を作ります。残した未知数の各実数解に交点が一つずつ対応するため、その二次方程式の判別式の正・零・負が共有点の個数二・一・零に対応します。

例 2.2. 円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ では、中心から直線までの距離が $1/\sqrt2<\sqrt5$ なので交点は二つである。代入すると

x^2+(x+1)^2=5,\qquad 2(x+2)(x-1)=0

となる。二次方程式 $2x^2+2x-4=0$ の判別式は $D=2^2-4\cdot2\cdot(-4)=36>0$ で、距離による二交点の判定と一致する。交点は $(-2,-1),(1,2)$ である。同じ円と鉛直線 $x=1$ では $1<\sqrt5$ であり、代入した式は $y^2=4$ となる。交点は $(1,-2),(1,2)$ である。鉛直線 $x=\sqrt5$ なら $y^2=0$ となり、接点は $(\sqrt5,0)$ である。

問題 2.3. 円 $x^2+y^2=1$ に接し、点 $\mathrm P=(1,2)$ を通る直線をすべて求め、それぞれの接点の座標を求めよ。

解答.

$\mathrm P$ を通る鉛直線は $x=1$ である。原点からこの直線までの距離は $1$ なので、円に接する。接点は $(1,0)$ である。

$\mathrm P$ を通る鉛直でない直線は、実数 $m$ を用いて

y-2=m(x-1)

と表される。定理 2.1により、円に接する条件は、原点から直線までの距離が半径 $1$ に等しいことである。したがって

\frac{|2-m|}{\sqrt{m^2+1}}=1.

分母は正であり、両辺が非負なので、この等式は

(2-m)^2=m^2+1

と同値である。整理すると $4-4m=1$ となり、 $m=3/4$ を得る。よって鉛直でない接線は

3x-4y+5=0

だけである。

接点は原点から接線へ下ろした垂線の足である。§A2.5 公式 4.1より、この接点は

\left(-\frac{5\cdot3}{3^2+(-4)^2}, -\frac{5\cdot(-4)}{3^2+(-4)^2}\right) =\left(-\frac35,\frac45\right)

となる。したがって求める接線は $x=1$ と $3x-4y+5=0$ であり、接点はそれぞれ $(1,0)$ と $(-3/5,4/5)$ である。▨

3 2つの円の位置関係

定理 3.1. 二つの円の中心間距離を $d$ 、半径を $r_1,r_2>0$ とする。 $d>0$ のとき、 $d>r_1+r_2$ または $d<|r_1-r_2|$ なら共有点はなく、等号ならそれぞれ外接・内接する。 $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ なら2点で交わる。 $d=0$ のときは、半径が等しければ同じ円、異なれば共有点なしである。

証明. $d=0$ なら、同じ中心からの距離が二つの半径に等しくなる条件を比べれば結論を得る。 $d>0$ の場合、中心を結ぶ方向を座標軸とし、中心を $(0,0),(d,0)$ に置く。二つの円の方程式を引くと、両方の円上にある条件は

x^2+y^2=r_1^2,\qquad x=s,\qquad s=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}

と同値である。したがって、二円の共有点は、中心が原点で半径が $r_1$ の円と直線 $x=s$ の共有点である。原点と直線 $x=s$ の距離は $|s|$ なので、定理 2.1により、共有点の個数は $r_1^2-s^2$ が正なら二つ、零なら一つ、負なら零である。

r_1^2-s^2 =\frac{((r_1+r_2)^2-d^2)(d^2-(r_1-r_2)^2)}{4d^2}.

$r_1+r_2>|r_1-r_2|$ なので、この式は $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ で正、両端で零、それ以外で負になる。▨

閑話休題：アポロニウスの円 相異なる定点 $\mathrm A,\mathrm B$ から等距離にある点の集合は、線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線です。一方、距離の比を $k:1$ （ $k>0$ , $k\ne1$ ）に固定した点の集合は円となり、アポロニウスの円と呼ばれます。たとえば $\mathrm A=(0,0)$ 、 $\mathrm B=(3,0)$ 、 $\mathrm P=(x,y)$ とすると、 $\mathrm{AP}=2\mathrm{BP}$ は、距離がともに非負であるため

x^2+y^2=4((x-3)^2+y^2)

と同値です。平方完成すると

(x - 4)^2 + y^2 = 4

となります。この円には $\mathrm B$ が含まれないので、比 $\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:1$ も定義されます。一般の $k>0$ , $k\ne1$ では、同じ計算によって中心と半径は

\left(\frac{3k^2}{k^2-1},0\right),\qquad \frac{3k}{|k^2-1|}

となります。 $k$ が $1$ に近づくと、原点から中心までの距離と半径はともに増大します。 $k=1$ の距離条件を直接整理すると、垂直二等分線 $x=3/2$ が得られます。

複素解析では、円と直線を合わせた族がメビウス変換によって保たれるという性質を扱います。直線も円とともに扱うことで、変換の性質を統一して述べることができます。

4 例題

レベル1 — 一般形から中心と半径

実数平面上の半径 r>0 の円を表す次の方程式について、中心と半径を求めよ。

解法の型平方完成して $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ の形に直す。

例 4.1. $x^{2} + y^{2} - 4y - 21 = 0$

答 $(0,2),\quad r=5$

例 4.2. $x^{2} + y^{2} + 12x + 4y + 15 = 0$

答 $(-6,-2),\quad r=5$

例 4.3. $x^{2} + y^{2} + 6x + 8y = 0$

答 $(-3,-4),\quad r=5$

例 4.4. $x^{2} + y^{2} + 8y - 9 = 0$

答 $(0,-4),\quad r=5$

例 4.5. $x^{2} + y^{2} - 10x + 21 = 0$

答 $(5,0),\quad r=2$

例 4.6. $x^{2} + y^{2} - 8x - 12y + 43 = 0$

答 $(4,6),\quad r=3$

例 4.7. $x^{2} + y^{2} + 4x + 4y + 4 = 0$

答 $(-2,-2),\quad r=2$

例 4.8. $x^{2} + y^{2} + 8x - 12y + 48 = 0$

答 $(-4,6),\quad r=2$

例 4.9. $x^{2} + y^{2} - 8x + 4y + 19 = 0$

答 $(4,-2),\quad r=1$

例 4.10. $x^{2} + y^{2} - 2x - 6y + 6 = 0$

答 $(1,3),\quad r=2$

5 演習

レベル1 — 一般形から中心と半径

実数平面上の半径 r>0 の円を表す次の方程式について、中心と半径を求めよ。

解法の型平方完成して $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ の形に直す。

問題 5.1. $x^{2} + y^{2} + 10x + 8y + 16 = 0$

解答.

答 $(-5,-4),\quad r=5$ ▨

問題 5.2. $x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 13 = 0$

解答.

答 $(2,-5),\quad r=4$ ▨

問題 5.3. $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 20 = 0$

解答.

答 $(-1,2),\quad r=5$ ▨

問題 5.4. $x^{2} + y^{2} - 8x - 12y + 43 = 0$

解答.

答 $(4,6),\quad r=3$ ▨

問題 5.5. $x^{2} + y^{2} - 10x - 12y + 52 = 0$

解答.

答 $(5,6),\quad r=3$ ▨

問題 5.6. $x^{2} + y^{2} + 12x + 4y + 36 = 0$

解答.

答 $(-6,-2),\quad r=2$ ▨

問題 5.7. $x^{2} + y^{2} - 12x + 12y + 63 = 0$

解答.

答 $(6,-6),\quad r=3$ ▨

問題 5.8. $x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 4 = 0$

解答.

答 $(2,-5),\quad r=5$ ▨

問題 5.9. $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$

解答.

答 $(2,-3),\quad r=1$ ▨

問題 5.10. $x^{2} + y^{2} - 6x + 12y + 36 = 0$

解答.

答 $(3,-6),\quad r=3$ ▨

問題 5.11. $x^{2} + y^{2} + 6x + 4y + 12 = 0$

解答.

答 $(-3,-2),\quad r=1$ ▨

問題 5.12. $x^{2} + y^{2} + 10x - 10y + 46 = 0$

解答.

答 $(-5,5),\quad r=2$ ▨

問題 5.13. $x^{2} + y^{2} + 10x - 4y + 28 = 0$

解答.

答 $(-5,2),\quad r=1$ ▨

問題 5.14. $x^{2} + y^{2} - 10x + 8y + 32 = 0$

解答.

答 $(5,-4),\quad r=3$ ▨

問題 5.15. $x^{2} + y^{2} + 10x - 4y + 25 = 0$

解答.

答 $(-5,2),\quad r=2$ ▨

§A2.6円の方程式と、直線・円の位置関係

1 円の標準形と一般形

2 直線と円の位置関係

3 2つの円の位置関係

4 例題

5 演習

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