§A2.2一般角と弧度法、三角関数の定義

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回転を表すには、角の大きさに加えて、回転の向きや何周したかを区別する必要があります。たとえば、反時計回りに420度回転したときの向きは、60度回転したときと同じですが、回転した量は異なります。一般角は、このような回転の量を表すための角です。三角比を円上の点の座標として捉えると、負の角や一周を超える角にも三角関数を定めることができます。この定義は、回転に伴って三角関数の値が繰り返されることを理解する基礎になります。本記事では、一般角の測り方と、円による三角関数の定義を解説します。

1 一般角と弧度法

角を回転の量として表すとき、反時計回りを正、時計回りを負とします。回転を始める半直線を始辺、回転後の半直線を終辺と呼びます。一周を超える回転も含めた角が一般角です。度数法では一周を360∘360^\circとします。

定義 1.1 (弧度法). 円の半径をr>0r>0、中心角に対応する弧の長さをllとするとき、l/rl/rによって角の大きさを測る方法を 弧度法 (radian measure) という。単位をラジアンとし、正の回転には正、負の回転には負の符号を付ける。一周の角は2π2\piラジアンである。

公式 1.2. 度数法の角d∘d^\circと弧度法の角θ\thetaの換算は

θ=π180d,d=180πθ.\theta=\frac{\pi}{180}d,\qquad d=\frac{180}{\pi}\theta.

したがって180∘=π180^\circ=\piラジアン、90∘=π/290^\circ=\pi/2ラジアンである。

例 1.3.−60∘-60^\circは−π/3-\pi/3ラジアン、420∘420^\circは7π/37\pi/3ラジアンである。逆に5π/35\pi/3ラジアンは300∘300^\circである。

公式 1.4. 半径r>0r>0、中心角0≤θ≤2π0\le\theta\le2\piラジアンの扇形では、弧長llと面積SSは

l=rθ,S=12r2θ.l=r\theta,\qquad S=\frac12r^2\theta.

証明. 円周2πr2\pi rと円の面積πr2\pi r^2に、それぞれ全周に対する中心角の割合θ/(2π)\theta/(2\pi)を掛ける。▨

例 1.5. 半径33、中心角π/3\pi/3の扇形ではl=πl=\pi、S=3π/2S=3\pi/2である。負の角や一周を超える回転量を、通常の扇形の負の弧長や面積と解釈することはしない。

以降、単位を明示しない角はラジアンで表します。

2 単位円による定義

定義 2.1 (三角関数). 任意の実数角θ\thetaに対し、原点を中心とする半径11の円上で、正のxx軸からθ\thetaだけ回転した点を(x,y)(x,y)とする。cos⁡θ=x\cos\theta=x、sin⁡θ=y\sin\theta=yと定め、cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0のときtan⁡θ=y/x\tan\theta=y/xと定める。これらを 三角関数 (trigonometric function) という。

注意 2.2. 正弦と余弦はすべての実数角で定義される。正接は

θ=π2+kπ(k∈Z)\theta=\frac\pi2+k\pi\quad(k\in\Z)

では定義されない。単位円上で終辺がyy軸と一致し、分母のxx座標が00になるためである。

次の図では、角に対応する単位円上の点の位置を確認することができます。

三角関数の定義域は、図で角を動かすことができる範囲に限られません。

3 符号と周期

注意 3.1. 軸上の点を除くと、(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)の符号は第1象限で(+,+)(+,+)、第2象限で(−,+)(-,+)、第3象限で(−,−)(-,-)、第4象限で(+,−)(+,-)である。正接の符号は二つの座標の比から定まる。軸上では座標の一方が00になるため、象限内の符号表をそのまま適用しない。

公式 3.2.θ∈R\theta\in\R、k∈Zk\in\Zに対して

sin⁡(θ+2kπ)=sin⁡θ,cos⁡(θ+2kπ)=cos⁡θ.\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta,\qquad \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta.

正接が定義される角ではtan⁡(θ+kπ)=tan⁡θ\tan(\theta+k\pi)=\tan\thetaである。同じ始辺から測った二つの角が同じ終辺をもつことと、その差が2kπ2k\pi（k∈Zk\in\Z）であることは同値である。

証明. 整数回の一周によって単位円上の点は変わらない。同じ終辺へ戻る回転量は整数回の一周である。また、半周によって(x,y)(x,y)は(−x,−y)(-x,-y)に移るので、x≠0x\ne0なら比y/xy/xは変わらない。▨

注意 3.3.π/6\pi/6ラジアンと30∘30^\circは同じ角である。度数法と弧度法を混在させて足すことはできない。角を換算してから計算する。負の角や一周を超える角の三角関数は、同じ終辺をもつ0≤θ<2π0\le\theta<2\piの角へ移して求めることができる。

例 3.4.−π/3-\pi/3と5π/3=−π/3+2π5\pi/3=-\pi/3+2\piは同じ終辺をもち、第4象限の点

(cos⁡θ,sin⁡θ)=(12,−32)(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)

に対応する。したがって、どちらの角でもtan⁡θ=−3\tan\theta=-\sqrt3である。7π/3=π/3+2π7\pi/3=\pi/3+2\piは第1象限の点(1/2,3/2)(1/2,\sqrt3/2)に対応し、正接は3\sqrt3である。

閑話休題：360 と2π2\piの使い分け なぜ1周を360∘360^\circとするのかについては、古代の60進法や天文上の慣行と結び付けて説明されることが多いものの、ここでは起源を一つの理由に断定しません。360 は多くの整数で割り切れるため、角を分割して扱うときに便利な単位です。

一方、ラジアンは円の弧長から直接定まる単位です。そのため、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xという式は、角をラジアンで測ったときにだけ成り立ちます。度で測ると(sin⁡x∘)′=π180cos⁡x∘(\sin x^\circ)' = \frac{\pi}{180}\cos x^\circと係数が付きます。小さい角でsin⁡x≈x\sin x\approx xと書くことができることや、微分公式が簡潔になることは、弧度法の数学的な利点です。物理現象への応用には、それぞれ別途のモデルと仮定が必要です。

4 例題

レベル1 — 度とラジアン

次の角を指定された単位に変換せよ。

解法の型180∘=π180^\circ = \piラジアン

例 4.1. 次の角をラジアンで表せ。

60∘60^{\circ}

答π3\dfrac{\pi}{3}

例 4.2. 次の角をラジアンで表せ。

300∘300^{\circ}

答5π3\dfrac{5\pi}{3}

例 4.3. 次の角を度で表せ。

π\pi

答180∘180^{\circ}

例 4.4. 次の角を度で表せ。

11π6\dfrac{11\pi}{6}

答330∘330^{\circ}

例 4.5. 次の角を度で表せ。

7π6\dfrac{7\pi}{6}

答210∘210^{\circ}

例 4.6. 次の角を度で表せ。

3π4\dfrac{3\pi}{4}

答135∘135^{\circ}

例 4.7. 次の角を度で表せ。

4π3\dfrac{4\pi}{3}

答240∘240^{\circ}

例 4.8. 次の角を度で表せ。

3π2\dfrac{3\pi}{2}

答270∘270^{\circ}

例 4.9. 次の角をラジアンで表せ。

315∘315^{\circ}

答7π4\dfrac{7\pi}{4}

例 4.10. 次の角を度で表せ。

2π3\dfrac{2\pi}{3}

答120∘120^{\circ}

5 演習

レベル1 — 度とラジアン

次の角を指定された単位に変換せよ。

解法の型180∘=π180^\circ = \piラジアン

問題 5.1. 次の角をラジアンで表せ。

150∘150^{\circ}
解答.

答5π6\dfrac{5\pi}{6}▨

問題 5.2. 次の角をラジアンで表せ。

330∘330^{\circ}
解答.

答11π6\dfrac{11\pi}{6}▨

問題 5.3. 次の角を度で表せ。

5π6\dfrac{5\pi}{6}
解答.

答150∘150^{\circ}▨

問題 5.4. 次の角をラジアンで表せ。

30∘30^{\circ}
解答.

答π6\dfrac{\pi}{6}▨

問題 5.5. 次の角をラジアンで表せ。

60∘60^{\circ}
解答.

答π3\dfrac{\pi}{3}▨

問題 5.6. 次の角を度で表せ。

2π3\dfrac{2\pi}{3}
解答.

答120∘120^{\circ}▨

問題 5.7. 次の角を度で表せ。

3π2\dfrac{3\pi}{2}
解答.

答270∘270^{\circ}▨

問題 5.8. 次の角を度で表せ。

π2\dfrac{\pi}{2}
解答.

答90∘90^{\circ}▨

問題 5.9. 次の角をラジアンで表せ。

90∘90^{\circ}
解答.

答π2\dfrac{\pi}{2}▨

問題 5.10. 次の角を度で表せ。

π\pi
解答.

答180∘180^{\circ}▨

問題 5.11. 次の角をラジアンで表せ。

270∘270^{\circ}
解答.

答3π2\dfrac{3\pi}{2}▨

問題 5.12. 次の角を度で表せ。

11π6\dfrac{11\pi}{6}
解答.

答330∘330^{\circ}▨

問題 5.13. 次の角を度で表せ。

3π4\dfrac{3\pi}{4}
解答.

答135∘135^{\circ}▨

問題 5.14. 次の角をラジアンで表せ。

315∘315^{\circ}
解答.

答7π4\dfrac{7\pi}{4}▨

問題 5.15. 次の角を度で表せ。

π6\dfrac{\pi}{6}
解答.

答30∘30^{\circ}▨

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