§A2.5点と直線

証明. 横と縦の移動の長さは$|x_2-x_1|$、$|y_2-y_1|$である。両方が正なら、この二辺を直角をはさむ辺とする直角三角形に三平方の定理を適用する。一方が$0$なら距離は他方の長さであり、両方が$0$なら距離は$0$なので、同じ式が成り立つ。▨

証明. 直線$\mathrm{AB}$上の点を

と表すと、$\mathrm{AP}=|t|\mathrm{AB}$、$\mathrm{PB}=|1-t|\mathrm{AB}$である。内分では$0<t<1$なので$t/(1-t)=m/n$から$t=m/(m+n)$を得る。外分では$t<0$または$t>1$なので、$|t|/|1-t|=m/n$から$t=m/(m-n)$を得る。$m>n$なら$t>1$、$m<n$なら$t<0$であり、いずれも線分の外側にある。$m=n$では有限の外分点は存在しない。▨

証明.$x_1\ne x_2$のとき、直線の式$y=mx+d$に二点を代入して引くと$m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$、さらに$d=y_1-mx_1$と一意に定まる。$x_1=x_2$なら$y_1\ne y_2$なので、二点を通る非鉛直な直線は存在せず、鉛直線$x=x_1$が唯一の直線である。▨

証明.$b_1b_2\ne0$の場合、方向が同じ条件は傾き$-a_1/b_1$と$-a_2/b_2$が等しいことであり、第1式に等しい。方向の角を$\theta_1,\theta_2$とすると、垂直である条件は$\cos(\theta_1-\theta_2)=0$である。余弦の差の公式を$\cos\theta_1\cos\theta_2\ne0$で割ると$1+\tan\theta_1\tan\theta_2=0$、すなわち$1+m_1m_2=0$を得る。係数で書くと第2式となる。一方、$b_1=0$の場合には第1直線は鉛直であり、方向が同じ条件は$b_2=0$、垂直である条件は$a_2=0$である。二つの係数条件はそれぞれこの条件と一致する。$b_2=0$の場合も二直線を取り替えれば同じである。▨

証明.$t=(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$とし、$\mathrm{H}=(x_0-ta,y_0-tb)$をとる。

なので$\mathrm{H}$は$l$上にある。$t=0$なら$\mathrm{P}=\mathrm{H}$は直線上にあり、距離は$0$である。$t\ne0$の場合、$\mathrm{P}$と$\mathrm{H}$を通る直線の方程式は

であり、その係数$(b,-a)$と$l$の係数$(a,b)$は$ba-ab=0$を満たす。したがって二直線は垂直である。直線上の任意の点$\mathrm{Q}\ne\mathrm{H}$に対し、三平方の定理から

である。よって$\mathrm{H}$が最短距離を与え、

を得る。▨