逆・裏・対偶 | 集合と論理

1 対偶律と逆・裏の関係

定義 1.1 (逆・裏・対偶). 命題 $p \Rightarrow q$ に対して、次の逆 (converse)、裏 (inverse)、対偶 (contrapositive) を定める。

\begin{array}{ll} \text{逆} & q \Rightarrow p \quad(\text{前件と後件を入れ替える}) \\ \text{裏} & \lnot p \Rightarrow \lnot q \quad(\text{両方を否定する}) \\ \text{対偶} & \lnot q \Rightarrow \lnot p \quad(\text{入れ替えたうえで否定する}) \\ \end{array}

本記事でもっとも重要な事実を先に述べます。

定理 1.2 (対偶律). 任意の命題 $p$ 、 $q$ について $(p \Rightarrow q) \equiv (\lnot q \Rightarrow \lnot p)$ が成り立つ。

対偶律を真理値表で確かめます。

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$\lnot q$	$\lnot p$	$\lnot q \Rightarrow \lnot p$
T	T	T	F	F	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

証明. 上の表の第3列と第6列は、4行すべてで一致する。 $p$ と $q$ の真偽の組み合わせを尽くしているので、二つは同値である。▨

定理 1.3. 任意の命題 $p$ 、 $q$ について、 $p \Rightarrow q$ の逆 $q \Rightarrow p$ と裏 $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ は同値である。

証明. 逆 $q \Rightarrow p$ の対偶は $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ である。定理 1.2により、逆と裏は同値である。▨

例 1.4. 実数 $x$ について、条件文 $x=2 \Rightarrow x^2=4$ はすべての $x$ で真である。しかし、逆 $x^2=4 \Rightarrow x=2$ と裏 $x\ne2 \Rightarrow x^2\ne4$ は、いずれも $x=-2$ のときに偽となる。したがって、もとの条件文と逆・裏は一般には同値ではない。

もとの命題と対偶が同値であることは、真理集合の言葉でも確かめることができます。 $p \Rightarrow q$ は $P \subset Q$ にあたり、対偶 $\lnot q \Rightarrow \lnot p$ は $\overline{Q} \subset \overline{P}$ にあたります。 $P$ のどの要素も $Q$ に属することと、 $Q$ に属さないどの要素も $P$ に属さないことは、同じ包含関係を二つの側から述べたものです。

2 対偶による証明を選ぶ判断

もとの命題と対偶は真偽が一致するので、もとの命題を示す代わりに、対偶を示してもかまいません。もとの命題と対偶のうち、仮定から証明に用いる式を書き下しやすいほうを選んで示します。

定理 2.1. 整数 $n$ について、 $n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である。

もとの仮定からは、 $n^2=2k$ となる整数 $k$ を取ることができます。対偶の仮定からは、 $n=2m+1$ となる整数 $m$ を取ることができます。後者の式を二乗すれば、 $n^2$ の偶奇を直接調べることができます。

証明 (対偶). 対偶は「 $n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である」である。 $n$ が奇数ならば $n = 2m + 1$ （ $m$ は整数）と書くことができ、

$n^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1$

より $n^2$ は奇数である。定理 1.2により、もとの命題も成り立つ。▨

対偶を用いるかどうかは、もとの仮定と結論の否定から、それぞれどのような式を書き下すことができるかを比べて判断します。整数の偶奇、有理数と無理数の区別、不等式の向きに関する命題でも、結論の否定を仮定したほうが計算を進めやすい場合には、対偶による証明を選びます。

例 2.2. 実数 $a,b$ について、 $a+b>0$ ならば $a>0$ または $b>0$ である。対偶を示す。 $a\le0$ かつ $b\le0$ ならば、二つの不等式を足して $a+b\le0$ を得る。したがって、対偶律により、もとの主張が成り立つ。逆は一般には成り立たない。 $a=1,b=-2$ では $a>0$ だが $a+b=-1<0$ である。

閑話休題：ウェイソンの選択課題 机の上にカードが4枚あります。表にはアルファベットが、裏には数字が書いてあり、いま見えている面は「A」「K」「4」「7」です。規則「母音のカードの裏は偶数である」が守られているかどうかを確かめるには、どのカードを裏返す必要があるでしょうか。この課題を用いて $1966$ 年にウェイソンが行った実験では、正答率はおよそ $10\%$ でした。多くの人は「A と 4」を選びます。正解は「A と 7」です。規則は $p \Rightarrow q$ （母音ならば偶数）なので、確かめるべきは前件を満たす A と、対偶の前件 $\lnot q$ を満たす奇数の 7 です。「4」を裏返すのは逆（偶数ならば母音）を確かめる行為であって、規則は逆を主張していません。

規則を、同じ論理構造をもつ「ビールを飲んでいるなら20歳以上である」に置き換え、「ビール」「コーラ」「25歳」「16歳」の4人から選ばせると、ほとんどの人が正しく「ビールと16歳」を選びます。人間の論理的な判断は一様ではなく、文脈に強く依存しています。

二つの課題は、どちらも規則 $p \Rightarrow q$ の違反、すなわち $p$ かつ $\lnot q$ を満たす対象を探す問題です。違反になりうるのは、前件 $p$ を満たす対象と、後件の否定 $\lnot q$ を満たす対象だけです。確かめるべき対象は、文脈によらず真理値表から定まります。

3 例題

レベル1 — 逆・裏・対偶

次の命題の逆・裏・対偶を書き、それぞれの真偽を判定せよ。

解法の型逆は q $\Rightarrow$ p、裏は $\neg p$ $\Rightarrow$ $\neg q$ 、対偶は $\neg q$ $\Rightarrow$ $\neg p$ 。もとと対偶は真偽が一致し、逆と裏も互いに一致する

例 3.1.

x = 5 \Rightarrow x^2 = 25

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 = 25 \Rightarrow x = 5 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \ne 5 \Rightarrow x^2 \ne 25 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \ne 25 \Rightarrow x \ne 5 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真。逆「x² $=$ 25 $\Rightarrow$ x $=$ 5」は偽で、x $=$ -5 が反例。裏「x $\ne$ 5 $\Rightarrow$ x² $\ne$ 25」も同じ x $=$ -5 が反例で偽（逆と裏は互いに対偶なので真偽が一致する）。対偶はもとと一致して真。

例 3.2.

x > 2 \Rightarrow x^2 > 4

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 4 \Rightarrow x > 2 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 2 \Rightarrow x^2 \le 4 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 4 \Rightarrow x \le 2 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 2 > 0 なら両辺を2乗して x² > 4）。逆は偽で、x $=$ -3 が反例（x² $=$ 9 > 4 だが x > 2 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。

例 3.3.

x^2 = 9 \Rightarrow x = 3

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x = 3 \Rightarrow x^2 = 9 & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x^2 \ne 9 \Rightarrow x \ne 3 & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x \ne 3 \Rightarrow x^2 \ne 9 & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、x $=$ -3 が反例（x² $=$ 9 だが x $\ne$ 3）。対偶も偽。逆「x $=$ 3 $\Rightarrow$ x² $=$ 9」は真で、裏も真（逆の対偶だから）。

例 3.4.

n \ \text{は}\ 10 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 5 \ \text{の倍数}

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 5 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 10 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 10 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 5 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 5 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 10 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（5 は 10 の約数だから、10 の倍数は必ず 5 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 5 が反例（5 の倍数だが 10 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。

例 3.5.

n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数}

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、n $=$ 3 が反例（3 の倍数だが 9 の倍数でない）。対偶はもとと真偽が一致するので偽。逆「9 の倍数 $\Rightarrow$ 3 の倍数」は真、裏は逆の対偶なので真。もとが偽でも逆が真になりうることに注意。

例 3.6.

n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数}

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（3 は 9 の約数だから、9 の倍数は必ず 3 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 3 が反例（3 の倍数だが 9 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。

例 3.7.

x^2 = 16 \Rightarrow x = 4

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x = 4 \Rightarrow x^2 = 16 & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne 4 & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x \ne 4 \Rightarrow x^2 \ne 16 & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、x $=$ -4 が反例（x² $=$ 16 だが x $\ne$ 4）。対偶も偽。逆「x $=$ 4 $\Rightarrow$ x² $=$ 16」は真で、裏も真（逆の対偶だから）。

例 3.8.

x > 4 \Rightarrow x^2 > 16

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 16 \Rightarrow x > 4 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 4 \Rightarrow x^2 \le 16 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 16 \Rightarrow x \le 4 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 4 > 0 なら両辺を2乗して x² > 16）。逆は偽で、x $=$ -5 が反例（x² $=$ 25 > 16 だが x > 4 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。

例 3.9.

x > 5 \Rightarrow x^2 > 25

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 25 \Rightarrow x > 5 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 5 \Rightarrow x^2 \le 25 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 25 \Rightarrow x \le 5 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 5 > 0 なら両辺を2乗して x² > 25）。逆は偽で、x $=$ -6 が反例（x² $=$ 36 > 25 だが x > 5 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。

例 3.10.

n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数}

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（2 は 6 の約数だから、6 の倍数は必ず 2 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 2 が反例（2 の倍数だが 6 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。

4 演習

レベル1 — 逆・裏・対偶

次の命題の逆・裏・対偶を書き、それぞれの真偽を判定せよ。

解法の型逆は q $\Rightarrow$ p、裏は $\neg p$ $\Rightarrow$ $\neg q$ 、対偶は $\neg q$ $\Rightarrow$ $\neg p$ 。もとと対偶は真偽が一致し、逆と裏も互いに一致する

問題 4.1.

x = 4 \Rightarrow x^2 = 16

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \ne 4 \Rightarrow x^2 \ne 16 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne 4 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真。逆「x² $=$ 16 $\Rightarrow$ x $=$ 4」は偽で、x $=$ -4 が反例。裏「x $\ne$ 4 $\Rightarrow$ x² $\ne$ 16」も同じ x $=$ -4 が反例で偽（逆と裏は互いに対偶なので真偽が一致する）。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.2.

n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 8 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 8 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 8 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 8 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、n $=$ 4 が反例（4 の倍数だが 8 の倍数でない）。対偶はもとと真偽が一致するので偽。逆「8 の倍数 $\Rightarrow$ 4 の倍数」は真、裏は逆の対偶なので真。もとが偽でも逆が真になりうることに注意。▨

問題 4.3.

n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（2 は 4 の約数だから、4 の倍数は必ず 2 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 2 が反例（2 の倍数だが 4 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。▨

問題 4.4.

n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、n $=$ 3 が反例（3 の倍数だが 9 の倍数でない）。対偶はもとと真偽が一致するので偽。逆「9 の倍数 $\Rightarrow$ 3 の倍数」は真、裏は逆の対偶なので真。もとが偽でも逆が真になりうることに注意。▨

問題 4.5.

n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、n $=$ 2 が反例（2 の倍数だが 6 の倍数でない）。対偶はもとと真偽が一致するので偽。逆「6 の倍数 $\Rightarrow$ 2 の倍数」は真、裏は逆の対偶なので真。もとが偽でも逆が真になりうることに注意。▨

問題 4.6.

x = 2 \Rightarrow x^2 = 4

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \ne 2 \Rightarrow x^2 \ne 4 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne 2 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真。逆「x² $=$ 4 $\Rightarrow$ x $=$ 2」は偽で、x $=$ -2 が反例。裏「x $\ne$ 2 $\Rightarrow$ x² $\ne$ 4」も同じ x $=$ -2 が反例で偽（逆と裏は互いに対偶なので真偽が一致する）。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.7.

x > 3 \Rightarrow x^2 > 9

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 9 \Rightarrow x > 3 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 3 \Rightarrow x^2 \le 9 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 9 \Rightarrow x \le 3 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 3 > 0 なら両辺を2乗して x² > 9）。逆は偽で、x $=$ -4 が反例（x² $=$ 16 > 9 だが x > 3 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.8.

n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、n $=$ 2 が反例（2 の倍数だが 4 の倍数でない）。対偶はもとと真偽が一致するので偽。逆「4 の倍数 $\Rightarrow$ 2 の倍数」は真、裏は逆の対偶なので真。もとが偽でも逆が真になりうることに注意。▨

問題 4.9.

n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（3 は 9 の約数だから、9 の倍数は必ず 3 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 3 が反例（3 の倍数だが 9 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。▨

問題 4.10.

x^2 = 16 \Rightarrow x = 4

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x = 4 \Rightarrow x^2 = 16 & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne 4 & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x \ne 4 \Rightarrow x^2 \ne 16 & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、x $=$ -4 が反例（x² $=$ 16 だが x $\ne$ 4）。対偶も偽。逆「x $=$ 4 $\Rightarrow$ x² $=$ 16」は真で、裏も真（逆の対偶だから）。▨

問題 4.11.

x^2 = 4 \Rightarrow x = 2

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x = 2 \Rightarrow x^2 = 4 & (\text{真}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne 2 & (\text{真}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x \ne 2 \Rightarrow x^2 \ne 4 & (\text{偽}) \end{array}

注意もとの命題は偽で、x $=$ -2 が反例（x² $=$ 4 だが x $\ne$ 2）。対偶も偽。逆「x $=$ 2 $\Rightarrow$ x² $=$ 4」は真で、裏も真（逆の対偶だから）。▨

問題 4.12.

x > 2 \Rightarrow x^2 > 4

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 4 \Rightarrow x > 2 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 2 \Rightarrow x^2 \le 4 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 4 \Rightarrow x \le 2 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 2 > 0 なら両辺を2乗して x² > 4）。逆は偽で、x $=$ -3 が反例（x² $=$ 9 > 4 だが x > 2 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.13.

\text{四角形は正方形である} \Rightarrow \text{四角形は長方形である}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & \text{四角形は長方形である} \Rightarrow \text{四角形は正方形である} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & \text{四角形は正方形でない} \Rightarrow \text{四角形は長方形でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & \text{四角形は長方形でない} \Rightarrow \text{四角形は正方形でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（正方形は4つの角が直角なので長方形）。逆は偽で、正方形でない長方形（縦と横の長さが異なるもの）が反例。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.14.

x > 4 \Rightarrow x^2 > 16

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & x^2 > 16 \Rightarrow x > 4 & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & x \le 4 \Rightarrow x^2 \le 16 & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & x^2 \le 16 \Rightarrow x \le 4 & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（x > 4 > 0 なら両辺を2乗して x² > 16）。逆は偽で、x $=$ -5 が反例（x² $=$ 25 > 16 だが x > 4 でない）。裏も同じ反例で偽。対偶はもとと一致して真。▨

問題 4.15.

n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数}

解答.

答

\begin{array}{lll} \text{逆}\ (q \Rightarrow p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} & (\text{偽}) \\ \text{裏}\ (\lnot p \Rightarrow \lnot q) & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} & (\text{偽}) \\ \text{対偶}\ (\lnot q \Rightarrow \lnot p) & n \ \text{は}\ 2 \ \text{の倍数でない} \Rightarrow n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数でない} & (\text{真}) \end{array}

注意もとの命題は真（2 は 6 の約数だから、6 の倍数は必ず 2 の倍数）。逆は偽で、n $=$ 2 が反例（2 の倍数だが 6 の倍数でない）。裏は逆の対偶なので逆と同じく偽。対偶はもとと真偽が一致するので真。▨

§A3.6逆・裏・対偶

1 対偶律と逆・裏の関係

2 対偶による証明を選ぶ判断

3 例題

4 演習

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