§A3.5必要条件・十分条件・必要十分条件

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必要条件、十分条件、必要十分条件を、二つの条件のあいだにある含意の向きからどのように判別するのでしょうか。本記事では、条件文p⇒qp\Rightarrow qと二つの条件の真理集合を対象として、三つの関係を矢印の向きと包含関係から判別し、同値であることを二つの向きの含意に分けて確かめるところまで進みます。

1 必要条件・十分条件と真理集合の包含

定義 1.1 (必要条件・十分条件・必要十分条件). 条件文p⇒qp \Rightarrow qが真であるとき、ppをqqであるための十分条件 (sufficient condition) といい、qqをppであるための必要条件 (necessary condition) という。p⇒qp \Rightarrow qとq⇒pq \Rightarrow pの両方が真であるとき、ppをqqであるための必要十分条件 (necessary and sufficient condition) といい、p  ⟺  qp \iff qと書く。このとき、ppとqqは同値であるという。

定理 1.2.XXを全体集合とし、XX上の条件p(x)p(x)、q(x)q(x)の真理集合をそれぞれPP、QQとする。すべてのx∈Xx\in Xについて条件文p(x)⇒q(x)p(x)\Rightarrow q(x)が真であるための必要十分条件は、P⊆QP\subseteq Qであることである。

証明. すべてのx∈Xx\in Xについてp(x)⇒q(x)p(x)\Rightarrow q(x)が真であると仮定し、x∈Px\in Pを任意に取る。真理集合の定義によりp(x)p(x)は真であるから、仮定した条件文によってq(x)q(x)も真である。したがってx∈Qx\in Qであり、P⊆QP\subseteq Qが成り立つ。

逆に、P⊆QP\subseteq Qと仮定し、x∈Xx\in Xを任意に取る。p(x)p(x)が真ならばx∈Px\in Pであり、P⊆QP\subseteq Qからx∈Qx\in Qとなるので、q(x)q(x)は真である。したがって、すべてのx∈Xx\in Xについてp(x)⇒q(x)p(x)\Rightarrow q(x)は真である。▨

定理 1.2により、真理集合が小さい条件から、真理集合が大きい条件への含意が成り立ちます。したがって、条件が満たされる範囲が狭いほど条件は強くなります。

四角形全体をXXとすると、正方形の集合は長方形の集合に含まれます。この包含関係から、「正方形であること」は「長方形であること」であるための十分条件であり、「長方形であること」は「正方形であること」であるための必要条件です。

また、実数xxについてp(x)p(x)をx>3x>3、q(x)q(x)をx>1x>1とします。このときP={x∈R∣x>3}⊆{x∈R∣x>1}=QP=\{x\in\R\mid x>3\}\subseteq\{x\in\R\mid x>1\}=Qであるため、ppはqqであるための十分条件であり、qqはppであるための必要条件です。

2 二つの向きの含意による分類

定理 2.1.XXを全体集合とし、XX上の二つの条件p(x)p(x)、q(x)q(x)の真理集合をそれぞれPP、QQとする。次の表では、p⇒qp\Rightarrow qが真であるとは、すべてのx∈Xx\in Xについてp(x)⇒q(x)p(x)\Rightarrow q(x)が真であることをいう。q⇒pq\Rightarrow pについても同様とする。ppがqqであるための条件は、二つの含意と真理集合の関係によって次の四つの場合に分類される。

p⇒qp\Rightarrow q q⇒pq\Rightarrow p 真理集合の関係 ppの分類
真 真 P=QP=Q 必要十分条件
真 偽 P⊆QP\subseteq QかつQ⊈PQ\not\subseteq P 十分条件であるが、必要条件ではない
偽 真 Q⊆PQ\subseteq PかつP⊈QP\not\subseteq Q 必要条件であるが、十分条件ではない
偽 偽 P⊈QP\not\subseteq QかつQ⊈PQ\not\subseteq P 必要条件でも十分条件でもない

証明. 定義により、p⇒qp\Rightarrow qが真であることはppがqqであるための十分条件であることと同値であり、q⇒pq\Rightarrow pが真であることはppがqqであるための必要条件であることと同値である。定理 1.2により、二つの含意はそれぞれP⊆QP\subseteq Q、Q⊆PQ\subseteq Pと同値である。両方の包含関係が成り立つことは、PPとQQの要素が一致すること、すなわちP=QP=Qと同値である。したがって、二つの含意の真偽の四通りから表の各場合が得られる。▨

一方の含意が偽であることを示すには、前件を満たして後件を満たさない対象を一つ挙げます。同値であることを示すには二つの向きの含意をともに示す必要があり、一方の向きだけから同値と結論することはできません。

3 例：二乗によって生じる候補

例 3.1. 実数xxについての方程式x+2=x\sqrt{x + 2} = xを考える。両辺を2乗するとx+2=x2x + 2 = x^2となり、x2−x−2=0x^2-x-2=0からx=2,−1x=2,-1が得られる。元の方程式が成り立てば二乗後の方程式も成り立つが、逆向きの含意はまだ示されていない。x=−1x=-1を元の方程式へ代入すると左辺は1=1\sqrt{1}=1、右辺は−1-1であり、等号は成り立たない。x=2x=2を代入すると両辺はともに22であり、等号が成り立つ。したがって、元の方程式の解はx=2x=2だけである。

二乗する前の式では、左辺が非負なので右辺のxxも非負である。この条件を二乗後の式に加えると、x≥−2x\geq-2の範囲で

x+2=x  ⟺  (x+2=x2)∧(x≥0)\sqrt{x+2}=x\quad\iff\quad (x+2=x^2)\land(x\geq0)

が成り立つ。左から右への含意は、両辺を二乗することと、平方根が非負であることから従う。逆に、x+2=x2x+2=x^2かつx≥0x\geq0ならば、xxは二乗してx+2x+2になる非負の数であるから、平方根の定義によりx+2=x\sqrt{x+2}=xとなる。したがって、二乗後に得られた候補{−1,2}\{-1,2\}と、条件x≥0x\geq0の真理集合との共通部分{2}\{2\}が、元の方程式の解の集合である。

上の例で、「x+2=x2x + 2 = x^2を満たすこと」は、「x+2=x\sqrt{x+2} = xを満たすこと」であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。必要条件だけを用いて得た候補については、元の式を満たすかどうかを確かめる必要があります。式変形では、各段階が⇒\Rightarrowだけを保つのか、  ⟺  \iffを保つのかを区別します。

4 例題

レベル1 — 必要条件・十分条件の判定

次の条件 p は、条件 q であるためのどのような条件か（十分条件・必要条件・必要十分条件・どちらでもない）を答えよ。

解法の型p⇒\Rightarrowq と q⇒\Rightarrowp を独立に調べる。真理集合で見れば、小さいほう（きつい条件）が十分条件、大きいほう（ゆるい条件）が必要条件

次の条件 p は、条件 q であるための何条件か答えよ。

例 4.1.

p:n は 6 の倍数q:n は 3 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \end{array}

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 3 は 6 の約数なので、6 の倍数はすべて 3 の倍数。すなわち P⊂\subsetQ で p は十分条件。逆に n==3 は 3 の倍数だが 6 の倍数ではないので、q⇒\Rightarrowp は偽。必要条件ではない。

例 4.2.

p:x>1q:x2>4\begin{array}{ll} p: & x > 1 \\ q: & x^2 > 4 \end{array}

答ppはqqであるための 必要条件でも十分条件でもない

注意 x==1.5 は p を満たすが x²==2.25 で q を満たさないので p⇒\Rightarrowq は偽。x==-3 は x²==9 > 4 で q を満たすが p を満たさないので q⇒\Rightarrowp も偽。P と Q はどちらも他方を含まない。

例 4.3.

p:x2+y2=0q:x=0 かつ y=0\begin{array}{ll} p: & x^2 + y^2 = 0 \\ q: & x = 0 \ \text{かつ}\ y = 0 \end{array}

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 x, y が実数なら x²≥\ge0 かつ y²≥\ge0 なので、和が 0 になるのは両方 0 のときだけ。逆も明らか。P==Q なので必要十分条件。

例 4.4.

p:x>0q:x2>0\begin{array}{ll} p: & x > 0 \\ q: & x^2 > 0 \end{array}

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 P=={x : x > 0}、Q=={x : x≠\ne0} で P⊂\subsetQ。よって p は十分条件。x==-1 は q を満たすが p を満たさないので、必要条件ではない。

例 4.5.

p:x=5q:x2=25\begin{array}{ll} p: & x = 5 \\ q: & x^2 = 25 \end{array}

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 p の真理集合は P=={5}、q の真理集合は Q=={5, -5} で P⊂\subsetQ。真理集合が小さいほう（きつい条件）が十分条件。実際 x==5 なら x²==25 なので p⇒\Rightarrowq は真。逆に x==-5 は q を満たすが p を満たさないので、q⇒\Rightarrowp は偽。よって p は十分条件だが必要条件ではない。

例 4.6.

p:x>0 かつ y>0q:xy>0\begin{array}{ll} p: & x > 0 \ \text{かつ}\ y > 0 \\ q: & xy > 0 \end{array}

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 P は座標平面の第1象限、Q は第1象限と第3象限の和で P⊂\subsetQ。よって p⇒\Rightarrowq は真。しかし x==-1, y==-1 は xy==1 > 0 で q を満たすが p を満たさない（第3象限）。よって必要条件ではない。

例 4.7.

p:四角形が正方形であるq:四角形がひし形である\begin{array}{ll} p: & \text{四角形が正方形である} \\ q: & \text{四角形がひし形である} \end{array}

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 正方形の集合 P は、ひし形の集合 Q に含まれる（正方形は4辺が等しいのでひし形）。P⊂\subsetQ なので p は十分条件。一方、内角が直角でないひし形は Q に属すが P に属さないので、必要条件ではない。

例 4.8.

p:三角形 ABC の3辺の長さを a,b,c とするとき、ABC は c を斜辺とする直角三角形q:a2+b2=c2\begin{array}{ll} p: & \text{三角形 ABC の3辺の長さを } a, b, c \text{ とするとき、ABC は } c \text{ を斜辺とする直角三角形} \\ q: & a^2 + b^2 = c^2 \end{array}

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 三角形 ABC の3辺の長さを a, b, c とする（q の a, b, c はこの3辺）。三平方の定理より p⇒\Rightarrowq、その逆（三平方の定理の逆）より q⇒\Rightarrowp。両方向とも真なので P==Q、すなわち必要十分条件。

例 4.9.

p:n は 3 の倍数q:n は 9 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 9 \ \text{の倍数} \end{array}

答ppはqqであるための 必要条件（十分条件ではない）

注意 9 の倍数はすべて 3 の倍数なので Q⊂\subsetP。真理集合が大きいほうが必要条件なので、p は q の必要条件。しかし n==3 は p を満たすが q を満たさないので、十分条件ではない。

例 4.10.

p:n は 3 の倍数q:n は 6 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \end{array}

答ppはqqであるための 必要条件（十分条件ではない）

注意 6 の倍数はすべて 3 の倍数なので Q⊂\subsetP。真理集合が大きいほうが必要条件なので、p は q の必要条件。しかし n==3 は p を満たすが q を満たさないので、十分条件ではない。

5 演習

レベル1 — 必要条件・十分条件の判定

次の条件 p は、条件 q であるためのどのような条件か（十分条件・必要条件・必要十分条件・どちらでもない）を答えよ。

解法の型p⇒\Rightarrowq と q⇒\Rightarrowp を独立に調べる。真理集合で見れば、小さいほう（きつい条件）が十分条件、大きいほう（ゆるい条件）が必要条件

次の条件 p は、条件 q であるための何条件か答えよ。

問題 5.1.

p:x>0 かつ y>0q:xy>0\begin{array}{ll} p: & x > 0 \ \text{かつ}\ y > 0 \\ q: & xy > 0 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 P は座標平面の第1象限、Q は第1象限と第3象限の和で P⊂\subsetQ。よって p⇒\Rightarrowq は真。しかし x==-1, y==-1 は xy==1 > 0 で q を満たすが p を満たさない（第3象限）。よって必要条件ではない。▨

問題 5.2.

p:x>0q:x2>0\begin{array}{ll} p: & x > 0 \\ q: & x^2 > 0 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 P=={x : x > 0}、Q=={x : x≠\ne0} で P⊂\subsetQ。よって p は十分条件。x==-1 は q を満たすが p を満たさないので、必要条件ではない。▨

問題 5.3.

p:n は 6 の倍数q:n は 3 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 3 は 6 の約数なので、6 の倍数はすべて 3 の倍数。すなわち P⊂\subsetQ で p は十分条件。逆に n==3 は 3 の倍数だが 6 の倍数ではないので、q⇒\Rightarrowp は偽。必要条件ではない。▨

問題 5.4.

p:四角形が正方形であるq:四角形がひし形である\begin{array}{ll} p: & \text{四角形が正方形である} \\ q: & \text{四角形がひし形である} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 正方形の集合 P は、ひし形の集合 Q に含まれる（正方形は4辺が等しいのでひし形）。P⊂\subsetQ なので p は十分条件。一方、内角が直角でないひし形は Q に属すが P に属さないので、必要条件ではない。▨

問題 5.5.

p:n は 5 の倍数q:n は 10 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 5 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 10 \ \text{の倍数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要条件（十分条件ではない）

注意 10 の倍数はすべて 5 の倍数なので Q⊂\subsetP。真理集合が大きいほうが必要条件なので、p は q の必要条件。しかし n==5 は p を満たすが q を満たさないので、十分条件ではない。▨

問題 5.6.

p:三角形 ABC の3辺の長さを a,b,c とするとき、ABC は c を斜辺とする直角三角形q:a2+b2=c2\begin{array}{ll} p: & \text{三角形 ABC の3辺の長さを } a, b, c \text{ とするとき、ABC は } c \text{ を斜辺とする直角三角形} \\ q: & a^2 + b^2 = c^2 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 三角形 ABC の3辺の長さを a, b, c とする（q の a, b, c はこの3辺）。三平方の定理より p⇒\Rightarrowq、その逆（三平方の定理の逆）より q⇒\Rightarrowp。両方向とも真なので P==Q、すなわち必要十分条件。▨

問題 5.7.

p:x2+y2=0q:x=0 かつ y=0\begin{array}{ll} p: & x^2 + y^2 = 0 \\ q: & x = 0 \ \text{かつ}\ y = 0 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 x, y が実数なら x²≥\ge0 かつ y²≥\ge0 なので、和が 0 になるのは両方 0 のときだけ。逆も明らか。P==Q なので必要十分条件。▨

問題 5.8.

p:ab=0q:a=0 または b=0\begin{array}{ll} p: & ab = 0 \\ q: & a = 0 \ \text{または}\ b = 0 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 実数では ab==0⇔\Leftrightarrowa==0 または b==0（これは実数が「零因子を持たない」ということ）。真理集合が P==Q なので必要十分条件。両方向の含意がともに真であることを確認するのが手順。▨

問題 5.9.

p:x=3q:x2=9\begin{array}{ll} p: & x = 3 \\ q: & x^2 = 9 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 p の真理集合は P=={3}、q の真理集合は Q=={3, -3} で P⊂\subsetQ。真理集合が小さいほう（きつい条件）が十分条件。実際 x==3 なら x²==9 なので p⇒\Rightarrowq は真。逆に x==-3 は q を満たすが p を満たさないので、q⇒\Rightarrowp は偽。よって p は十分条件だが必要条件ではない。▨

問題 5.10.

p:∣x∣<1q:x<1\begin{array}{ll} p: & |x| < 1 \\ q: & x < 1 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 P=={x : -1 < x < 1}、Q=={x : x < 1} で P⊂\subsetQ。したがって p⇒\Rightarrowq は真で p は十分条件。x==-2 は Q に属すが P に属さない（q は満たすが p は満たさない）ので、必要条件ではない。▨

問題 5.11.

p:n は 2 の倍数q:n は 3 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は 2 の倍数} \\ q: & n \ \text{は 3 の倍数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要条件でも十分条件でもない

注意 n==2 は p を満たすが q を満たさないので p⇒\Rightarrowq は偽（十分条件でない）。n==3 は q を満たすが p を満たさないので q⇒\Rightarrowp も偽（必要条件でない）。真理集合は P ⊄ Q かつ Q ⊄ P で、どちらの包含も成り立たない。▨

問題 5.12.

p:整数 n は偶数q:n2 は偶数\begin{array}{ll} p: & \text{整数 } n \text{ は偶数} \\ q: & n^2 \ \text{は偶数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要十分条件

注意 n が偶数なら n² も偶数（p⇒\Rightarrowq）。逆に n が奇数なら n² は奇数なので、対偶をとれば n² が偶数なら n は偶数（q⇒\Rightarrowp）。P==Q なので必要十分条件。▨

問題 5.13.

p:n は 3 の倍数q:n は 6 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 3 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 6 \ \text{の倍数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要条件（十分条件ではない）

注意 6 の倍数はすべて 3 の倍数なので Q⊂\subsetP。真理集合が大きいほうが必要条件なので、p は q の必要条件。しかし n==3 は p を満たすが q を満たさないので、十分条件ではない。▨

問題 5.14.

p:n は 8 の倍数q:n は 4 の倍数\begin{array}{ll} p: & n \ \text{は}\ 8 \ \text{の倍数} \\ q: & n \ \text{は}\ 4 \ \text{の倍数} \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 十分条件（必要条件ではない）

注意 4 は 8 の約数なので、8 の倍数はすべて 4 の倍数。すなわち P⊂\subsetQ で p は十分条件。逆に n==4 は 4 の倍数だが 8 の倍数ではないので、q⇒\Rightarrowp は偽。必要条件ではない。▨

問題 5.15.

p:x>1q:x2>4\begin{array}{ll} p: & x > 1 \\ q: & x^2 > 4 \end{array}
解答.

答ppはqqであるための 必要条件でも十分条件でもない

注意 x==1.5 は p を満たすが x²==2.25 で q を満たさないので p⇒\Rightarrowq は偽。x==-3 は x²==9 > 4 で q を満たすが p を満たさないので q⇒\Rightarrowp も偽。P と Q はどちらも他方を含まない。▨

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