§A3.3集合の記法と演算

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条件を「それを満たすものの集まり」として扱うと、論理の演算がそのまま集まりの演算になります。本記事では、条件を満たすものの集まりを扱うための記法と演算を定めます。

1 集合を書き表す二つの記法

定義 1.1 (集合と要素). ものの集まりのうち、あるものがその集まりに属するかどうかが一意に定まるものを集合 (set) という。集合を作る一つひとつのものを要素といい、aaが集合AAの要素であることをa∈Aa \in A、要素でないことをa∉Aa \notin Aと書く。

集合の表し方には、次の二通りがあります。

  • 外延的記法は、要素を書き並べます。A={1,2,3,6}A = \{1, 2, 3, 6\}のように書きます。
  • 内包的記法は、要素が満たす条件を書きます。A={ x∣x は 6 の正の約数 }A = \{\, x \mid x \text{ は } 6 \text{ の正の約数} \,\}のように書き、縦線の左に要素の形を、右に条件を置きます。

上の二つの式は、どちらも66の正の約数全体の集合を表しています。要素が有限個で少なければ外延的記法が読みやすいのに対して、要素が多い場合や無限にある場合には内包的記法を使います。{ x∣x は実数で x>3 }\{\, x \mid x \text{ は実数で } x > 3 \,\}のように、要素を書き並べることができない集合は、内包的記法でしか表すことができません。

内包的記法では、条件から、その条件を満たす要素全体の集合を直接に書き表します。

2 要素であることと、部分集合であること

定義 2.1 (部分集合).AAのすべての要素がBBの要素でもあるとき、AAはBBの部分集合 (subset) であるといい、A⊂BA \subset Bと書く。

A⊂BA \subset Bは、条件についての「p⇒qp \Rightarrow q」に対応します。∈\inと⊂\subsetは別の記号です。∈\inの左に来るのは要素であり、⊂\subsetの左に来るのは集合です。A={1,2}A = \{1, 2\}について、1∈A1 \in Aは正しく、{1}⊂A\{1\} \subset Aも正しい一方、1⊂A1 \subset Aと{1}∈A\{1\} \in Aはいずれも誤りです。

3 四つの演算

定義 3.1 (和集合・共通部分・補集合・差集合). 全体集合をUUとし、AA、BBをその部分集合とする。

  • 和集合 (union)A∪BA \cup Bは、AAまたはBBの少なくとも一方に属する要素の全体である。
  • 共通部分 (intersection)A∩BA \cap Bは、AAとBBの両方に属する要素の全体である。
  • 補集合 (complement)A‾\overline{A}は、UUに属してAAに属さない要素の全体である。
  • 差集合 (set difference)A∖BA \setminus Bは、AAに属してBBに属さない要素の全体である。

和集合、共通部分、補集合は、それぞれ「または」「かつ」「でない」に一対一で対応します。差集合はA∖B=A∩B‾A \setminus B = A \cap \overline{B}と書き換えることができるので、新しい演算というよりも、共通部分と補集合を組み合わせた記法です。補集合はA‾=U∖A\overline{A} = U \setminus Aにあたります。

例 3.2.U={1,2,3,4,5,6}U = \{1,2,3,4,5,6\}、A={1,2,3,6}A = \{1,2,3,6\}、B={2,4,6}B = \{2,4,6\}とすると、A∪B={1,2,3,4,6}A \cup B = \{1,2,3,4,6\}、A∩B={2,6}A \cap B = \{2,6\}、A‾={4,5}\overline{A} = \{4,5\}、A∖B={1,3}A \setminus B = \{1,3\}である。

4 空集合と全体集合

要素を一つも持たない集合を空集合と呼び、∅\varnothingと書きます。空集合は、どの集合の部分集合でもあります。「∅\varnothingのすべての要素がAAの要素である」という条件は、確かめるべき要素が一つも無いので、AAが何であっても成り立つからです。A∩A‾=∅A \cap \overline{A} = \varnothingです。二つの集合の共通部分が空集合であることは、それらの集合が共通の要素を持たないことを意味します。

全体集合は、その議論で考える対象の範囲を定める集合です。全体集合を決めなければ、補集合を定めることができません。「AAに属さないもの」だけでは、どこまでを候補にするのかが決まらないからです。A={1,2,3,6}A = \{1,2,3,6\}の補集合は、U={1,2,…,6}U = \{1,2,\dots,6\}とすれば{4,5}\{4,5\}ですが、UUを正の整数全体とすれば4,5,7,8,…4,5,7,8,\dotsを要素にもつ無限集合になります。補集合を書く場面では、全体集合が何であるかを先に決めておきます。A∪A‾=UA \cup \overline{A} = Uであり、U‾=∅\overline{U} = \varnothing、∅‾=U\overline{\varnothing} = Uです。

5 集合の等式とド・モルガン則

集合の関係をベン図に描くと、等式の見通しを得ることができます。ただし、図から読み取った関係と、一般の集合についての証明とは区別します。集合の等式X=YX=Yを証明するには、XXの任意の要素がYYに属することと、YYの任意の要素がXXに属することを示します。二つの向きを示せば、X⊂YX\subset YとY⊂XY\subset Xが成り立ち、X=YX=Yが従います。

公式 5.1 (集合のド・モルガン則). 全体集合をUUとし、AA、BBをその部分集合とする。A∪B‾=A‾∩B‾,A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

証明.x∈Ux\in Uを任意に取る。§A3.2 定理 2.1により、xxがA∪BA\cup Bに属さないことと、xxがAAにもBBにも属さないことは同値である。したがって、x∈A∪B‾x\in\overline{A\cup B}とx∈A‾∩B‾x\in\overline A\cap\overline Bは同値である。同じ論理則により、xxがA∩BA\cap Bに属さないことと、xxがAAに属さないか、またはBBに属さないことは同値である。したがって、x∈A∩B‾x\in\overline{A\cap B}とx∈A‾∪B‾x\in\overline A\cup\overline Bは同値である。x∈Ux\in Uは任意であったので、二つの集合の等式が成り立つ。▨

閑話休題：ラッセルのパラドックス 「ものの集まりのうち、あるものがその集まりに属するかどうかが一意に定まるもの」という集合の定義を素朴に運用すると、矛盾が生じます。19021902年、ラッセルは次の集合を考えました。自分自身を要素として含まない集合の全体R={ x∣x∉x }R = \{\, x \mid x \notin x \,\}です。さて、RR自身はRRに属するでしょうか。属するとすると、RRの定義（自分自身を含まないものの集まり）からR∉RR \notin Rが従います。属さないとすると、定義の条件を満たすのでR∈RR \in Rが従います。どちらの場合にも矛盾が出ます。有名な言い換えが床屋のパラドックスです。「自分でひげを剃らない村人全員の、そして彼らだけのひげを剃る」床屋は、自分のひげを剃るのでしょうか。

このパラドックスは、集合論によって数学全体を基礎づけようとしていたフレーゲの大著の第2巻が印刷中であったときに、ラッセルからの手紙によってフレーゲに伝えられました。フレーゲは後に付録を加えてこの問題に触れています。以後、数学者たちは、どんな条件からでも集合を作ってよいという素朴な運用を放棄し、すでにある集合から、決められた操作によってだけ新しい集合を作るという公理的集合論を整備して危機を収拾しました（§F1 公理的集合論で扱います）。条件を満たすものをどこからでも集めてよいとすると矛盾が生じるので、集合を作る規則には制限が必要です。本記事で使っている∈\inや{x∣… }\{x \mid \dots\}の記法も、この制限のもとで用いるものです。高等学校で扱う範囲では、制限を意識することなくこれらの記法を使うことができますが、どんな集まりでも集合にすることができるわけではありません。

6 例題

レベル1 — 集合の演算とド・モルガン

全体集合を U=={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} とする。次の集合を、要素を並べる形で答えよ（A の補集合は U に関する補集合）。

解法の型和は「または」、共通部分は「かつ」、補集合は「でない」。ド・モルガン:(A∪B)(A\cup B)の補集合==Ā∩B\cap B̄、(A∩B)(A\cap B)の補集合==Ā∪B\cup B̄

例 6.1. 差集合 A ∖ B と B ∖ A を求めよ（A ∖ B は A に属し B に属さない要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 2, 6, 8},B={1, 4, 7, 8}求めるもの: A∖B,B∖A\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 2,\ 6,\ 8\},\quad B = \{1,\ 4,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \setminus B,\quad B \setminus A \end{aligned}

答A∖B={2, 6},B∖A={4, 7}A \setminus B = \{2,\ 6\},\quad B \setminus A = \{4,\ 7\}

注意 A ∖ B==A∩\capB̄ と同じ。A からA∩B=A\cap B ={1, 8} を取り除けばよい。差集合は順序を入れ替えると別物になる（A ∖ B≠\neB ∖ A）。

例 6.2. 対称差 (A ∖ B)∪\cup(B ∖ A) を求めよ（ちょうど一方だけに属する要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={4, 5, 8},B={2, 3, 4, 6, 8}求めるもの: (A∖B)∪(B∖A)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{4,\ 5,\ 8\},\quad B = \{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{aligned}

答{2, 3, 5, 6}\{2,\ 3,\ 5,\ 6\}

注意 対称差は(A∪B)(A\cup B)からA∩BA\cap Bを除いたものに等しい。A∪B=A\cup B ={2, 3, 4, 5, 6, 8}、A∩B=A\cap B ={4, 8} なので、差を取ると {2, 3, 5, 6}。

例 6.3.(A∪B)(A\cup B)の補集合を求め、それが Ā∩\capB̄ と一致することを確かめよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={3, 6, 7, 8},B={1, 2, 6, 7, 8}求めるもの: A∪B‾ と A‾∩B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{3,\ 6,\ 7,\ 8\},\quad B = \{1,\ 2,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A \cup B}\ \text{と}\ \overline{A} \cap \overline{B} \end{aligned}

答A∪B‾=A‾∩B‾={4, 5}\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{4,\ 5\}

注意A∪B=A\cup B ={1, 2, 3, 6, 7, 8} の補集合は {4, 5}。一方 Ā=={1, 2, 4, 5}、B̄=={3, 4, 5} の共通部分も {4, 5} で一致する。これがド・モルガンの法則（補集合をかぶせると∪\cupと∩\capが入れ替わる）。

例 6.4. ちょうど1つの集合だけに属する要素の集合、A∩B∩CA\cap B\cap C、およびn(A∪B∪C)n(A\cup B\cup C)を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 4, 5},B={4, 5, 6, 7},C={3, 4, 6, 8}求めるもの: （1つだけに属する要素）,A∩B∩C,n(A∪B∪C)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 4,\ 5\},\quad B = \{4,\ 5,\ 6,\ 7\},\quad C = \{3,\ 4,\ 6,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \text{（1つだけに属する要素）},\quad A \cap B \cap C,\quad n(A \cup B \cup C) \end{aligned}

答{2, 3, 7, 8},A∩B∩C={4},n(A∪B∪C)=7\{2,\ 3,\ 7,\ 8\},\quad A \cap B \cap C = \{4\},\quad n(A \cup B \cup C) = 7

注意 各要素について A, B, C のいくつに属するかを数える（ベン図の領域を1つずつ確定させる）。3つすべてに属するのは {4}、1つだけに属するのは {2, 3, 7, 8}。n(A∪B∪C)=n(A\cup B\cup C) =3 + 4 + 4 - 2 - 2 - 1 + 1==7（包除原理）で検算できる。

例 6.5.A∪BA\cup BとA∩BA\cap Bを求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 5, 8},B={1, 4, 5, 7}求めるもの: A∪B,A∩B\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 5,\ 8\},\quad B = \{1,\ 4,\ 5,\ 7\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \cup B,\quad A \cap B \end{aligned}

答A∪B={1, 4, 5, 7, 8},A∩B={1, 5}A \cup B = \{1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8\},\quad A \cap B = \{1,\ 5\}

注意 和集合は「A または B に属する」要素を全部集める。共通部分は「A かつ B に属する」要素だけを残す。両方に現れる要素を二重に数えないこと。

例 6.6. A の補集合と B の補集合を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={4, 5, 6},B={2, 3, 4, 5, 8}求めるもの: A‾,B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{4,\ 5,\ 6\},\quad B = \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A},\quad \overline{B} \end{aligned}

答A‾={1, 2, 3, 7, 8},B‾={1, 6, 7}\overline{A} = \{1,\ 2,\ 3,\ 7,\ 8\},\quad \overline{B} = \{1,\ 6,\ 7\}

注意 補集合は U の要素のうち、その集合に属さないものを集める。A の要素数と Ā の要素数の和が n(U)==8 になることで検算できる（ここでは 3 + 5==8）。

例 6.7. 差集合 A ∖ B と B ∖ A を求めよ（A ∖ B は A に属し B に属さない要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 3, 5, 7},B={1, 2, 3, 8}求めるもの: A∖B,B∖A\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \setminus B,\quad B \setminus A \end{aligned}

答A∖B={5, 7},B∖A={2, 8}A \setminus B = \{5,\ 7\},\quad B \setminus A = \{2,\ 8\}

注意 A ∖ B==A∩\capB̄ と同じ。A からA∩B=A\cap B ={1, 3} を取り除けばよい。差集合は順序を入れ替えると別物になる（A ∖ B≠\neB ∖ A）。

例 6.8. 対称差 (A ∖ B)∪\cup(B ∖ A) を求めよ（ちょうど一方だけに属する要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 3, 7, 8},B={1, 3, 5, 7, 8}求めるもの: (A∖B)∪(B∖A)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 3,\ 7,\ 8\},\quad B = \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{aligned}

答{1, 2, 5}\{1,\ 2,\ 5\}

注意 対称差は(A∪B)(A\cup B)からA∩BA\cap Bを除いたものに等しい。A∪B=A\cup B ={1, 2, 3, 5, 7, 8}、A∩B=A\cap B ={3, 7, 8} なので、差を取ると {1, 2, 5}。

例 6.9.(A∪B)(A\cup B)の補集合を求め、それが Ā∩\capB̄ と一致することを確かめよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={3, 5, 7, 8},B={2, 3, 4, 7, 8}求めるもの: A∪B‾ と A‾∩B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{3,\ 5,\ 7,\ 8\},\quad B = \{2,\ 3,\ 4,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A \cup B}\ \text{と}\ \overline{A} \cap \overline{B} \end{aligned}

答A∪B‾=A‾∩B‾={1, 6}\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{1,\ 6\}

注意A∪B=A\cup B ={2, 3, 4, 5, 7, 8} の補集合は {1, 6}。一方 Ā=={1, 2, 4, 6}、B̄=={1, 5, 6} の共通部分も {1, 6} で一致する。これがド・モルガンの法則（補集合をかぶせると∪\cupと∩\capが入れ替わる）。

例 6.10. ちょうど1つの集合だけに属する要素の集合、A∩B∩CA\cap B\cap C、およびn(A∪B∪C)n(A\cup B\cup C)を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={4, 6, 7},B={1, 2, 3, 4, 6},C={1, 2, 5, 6}求めるもの: （1つだけに属する要素）,A∩B∩C,n(A∪B∪C)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{4,\ 6,\ 7\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\},\quad C = \{1,\ 2,\ 5,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ \text{（1つだけに属する要素）},\quad A \cap B \cap C,\quad n(A \cup B \cup C) \end{aligned}

答{3, 5, 7},A∩B∩C={6},n(A∪B∪C)=7\{3,\ 5,\ 7\},\quad A \cap B \cap C = \{6\},\quad n(A \cup B \cup C) = 7

注意 各要素について A, B, C のいくつに属するかを数える（ベン図の領域を1つずつ確定させる）。3つすべてに属するのは {6}、1つだけに属するのは {3, 5, 7}。n(A∪B∪C)=n(A\cup B\cup C) =3 + 5 + 4 - 2 - 3 - 1 + 1==7（包除原理）で検算できる。

7 演習

レベル1 — 集合の演算とド・モルガン

全体集合を U=={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} とする。次の集合を、要素を並べる形で答えよ（A の補集合は U に関する補集合）。

解法の型和は「または」、共通部分は「かつ」、補集合は「でない」。ド・モルガン:(A∪B)(A\cup B)の補集合==Ā∩B\cap B̄、(A∩B)(A\cap B)の補集合==Ā∪B\cup B̄

問題 7.1. 差集合 A ∖ B と B ∖ A を求めよ（A ∖ B は A に属し B に属さない要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 3, 5, 8},B={3, 4, 7, 8}求めるもの: A∖B,B∖A\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 3,\ 5,\ 8\},\quad B = \{3,\ 4,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \setminus B,\quad B \setminus A \end{aligned}
解答.

答A∖B={1, 5},B∖A={4, 7}A \setminus B = \{1,\ 5\},\quad B \setminus A = \{4,\ 7\}

注意 A ∖ B==A∩\capB̄ と同じ。A からA∩B=A\cap B ={3, 8} を取り除けばよい。差集合は順序を入れ替えると別物になる（A ∖ B≠\neB ∖ A）。▨

問題 7.2. 対称差 (A ∖ B)∪\cup(B ∖ A) を求めよ（ちょうど一方だけに属する要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 3, 4},B={1, 2, 4, 6, 8}求めるもの: (A∖B)∪(B∖A)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 3,\ 4\},\quad B = \{1,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{aligned}
解答.

答{1, 3, 6, 8}\{1,\ 3,\ 6,\ 8\}

注意 対称差は(A∪B)(A\cup B)からA∩BA\cap Bを除いたものに等しい。A∪B=A\cup B ={1, 2, 3, 4, 6, 8}、A∩B=A\cap B ={2, 4} なので、差を取ると {1, 3, 6, 8}。▨

問題 7.3.(A∪B)(A\cup B)の補集合を求め、それが Ā∩\capB̄ と一致することを確かめよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 3, 6, 8},B={1, 3, 4, 5, 6}求めるもの: A∪B‾ と A‾∩B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 3,\ 6,\ 8\},\quad B = \{1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A \cup B}\ \text{と}\ \overline{A} \cap \overline{B} \end{aligned}
解答.

答A∪B‾=A‾∩B‾={2, 7}\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{2,\ 7\}

注意A∪B=A\cup B ={1, 3, 4, 5, 6, 8} の補集合は {2, 7}。一方 Ā=={2, 4, 5, 7}、B̄=={2, 7, 8} の共通部分も {2, 7} で一致する。これがド・モルガンの法則（補集合をかぶせると∪\cupと∩\capが入れ替わる）。▨

問題 7.4. ちょうど1つの集合だけに属する要素の集合、A∩B∩CA\cap B\cap C、およびn(A∪B∪C)n(A\cup B\cup C)を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 6, 7},B={1, 2, 3, 6},C={2, 4, 6}求めるもの: （1つだけに属する要素）,A∩B∩C,n(A∪B∪C)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 6,\ 7\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 6\},\quad C = \{2,\ 4,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ \text{（1つだけに属する要素）},\quad A \cap B \cap C,\quad n(A \cup B \cup C) \end{aligned}
解答.

答{3, 4, 7},A∩B∩C={6},n(A∪B∪C)=6\{3,\ 4,\ 7\},\quad A \cap B \cap C = \{6\},\quad n(A \cup B \cup C) = 6

注意 各要素について A, B, C のいくつに属するかを数える（ベン図の領域を1つずつ確定させる）。3つすべてに属するのは {6}、1つだけに属するのは {3, 4, 7}。n(A∪B∪C)=n(A\cup B\cup C) =3 + 4 + 3 - 2 - 2 - 1 + 1==6（包除原理）で検算できる。▨

問題 7.5.A∪BA\cup BとA∩BA\cap Bを求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 4, 6, 8},B={1, 2, 4, 5, 8}求めるもの: A∪B,A∩B\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 4,\ 6,\ 8\},\quad B = \{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \cup B,\quad A \cap B \end{aligned}
解答.

答A∪B={1, 2, 4, 5, 6, 8},A∩B={2, 4, 8}A \cup B = \{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8\},\quad A \cap B = \{2,\ 4,\ 8\}

注意 和集合は「A または B に属する」要素を全部集める。共通部分は「A かつ B に属する」要素だけを残す。両方に現れる要素を二重に数えないこと。▨

問題 7.6. A の補集合と B の補集合を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 5, 6, 8},B={1, 5, 7, 8}求めるもの: A‾,B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 5,\ 6,\ 8\},\quad B = \{1,\ 5,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A},\quad \overline{B} \end{aligned}
解答.

答A‾={1, 3, 4, 7},B‾={2, 3, 4, 6}\overline{A} = \{1,\ 3,\ 4,\ 7\},\quad \overline{B} = \{2,\ 3,\ 4,\ 6\}

注意 補集合は U の要素のうち、その集合に属さないものを集める。A の要素数と Ā の要素数の和が n(U)==8 になることで検算できる（ここでは 4 + 4==8）。▨

問題 7.7. 差集合 A ∖ B と B ∖ A を求めよ（A ∖ B は A に属し B に属さない要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 3, 5, 7},B={1, 3, 4, 5, 6}求めるもの: A∖B,B∖A\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\},\quad B = \{1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \setminus B,\quad B \setminus A \end{aligned}
解答.

答A∖B={7},B∖A={4, 6}A \setminus B = \{7\},\quad B \setminus A = \{4,\ 6\}

注意 A ∖ B==A∩\capB̄ と同じ。A からA∩B=A\cap B ={1, 3, 5} を取り除けばよい。差集合は順序を入れ替えると別物になる（A ∖ B≠\neB ∖ A）。▨

問題 7.8. 対称差 (A ∖ B)∪\cup(B ∖ A) を求めよ（ちょうど一方だけに属する要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={4, 5, 6, 8},B={2, 4, 7, 8}求めるもの: (A∖B)∪(B∖A)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{4,\ 5,\ 6,\ 8\},\quad B = \{2,\ 4,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{aligned}
解答.

答{2, 5, 6, 7}\{2,\ 5,\ 6,\ 7\}

注意 対称差は(A∪B)(A\cup B)からA∩BA\cap Bを除いたものに等しい。A∪B=A\cup B ={2, 4, 5, 6, 7, 8}、A∩B=A\cap B ={4, 8} なので、差を取ると {2, 5, 6, 7}。▨

問題 7.9.(A∪B)(A\cup B)の補集合を求め、それが Ā∩\capB̄ と一致することを確かめよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={5, 6, 8},B={3, 4, 5, 6, 7}求めるもの: A∪B‾ と A‾∩B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{5,\ 6,\ 8\},\quad B = \{3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A \cup B}\ \text{と}\ \overline{A} \cap \overline{B} \end{aligned}
解答.

答A∪B‾=A‾∩B‾={1, 2}\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{1,\ 2\}

注意A∪B=A\cup B ={3, 4, 5, 6, 7, 8} の補集合は {1, 2}。一方 Ā=={1, 2, 3, 4, 7}、B̄=={1, 2, 8} の共通部分も {1, 2} で一致する。これがド・モルガンの法則（補集合をかぶせると∪\cupと∩\capが入れ替わる）。▨

問題 7.10. ちょうど1つの集合だけに属する要素の集合、A∩B∩CA\cap B\cap C、およびn(A∪B∪C)n(A\cup B\cup C)を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={4, 5, 7},B={1, 2, 3, 5, 7},C={1, 2, 5, 6}求めるもの: （1つだけに属する要素）,A∩B∩C,n(A∪B∪C)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{4,\ 5,\ 7\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7\},\quad C = \{1,\ 2,\ 5,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ \text{（1つだけに属する要素）},\quad A \cap B \cap C,\quad n(A \cup B \cup C) \end{aligned}
解答.

答{3, 4, 6},A∩B∩C={5},n(A∪B∪C)=7\{3,\ 4,\ 6\},\quad A \cap B \cap C = \{5\},\quad n(A \cup B \cup C) = 7

注意 各要素について A, B, C のいくつに属するかを数える（ベン図の領域を1つずつ確定させる）。3つすべてに属するのは {5}、1つだけに属するのは {3, 4, 6}。n(A∪B∪C)=n(A\cup B\cup C) =3 + 5 + 4 - 2 - 3 - 1 + 1==7（包除原理）で検算できる。▨

問題 7.11.A∪BA\cup BとA∩BA\cap Bを求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={3, 4, 6},B={1, 2, 3, 4, 5}求めるもの: A∪B,A∩B\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{3,\ 4,\ 6\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \cup B,\quad A \cap B \end{aligned}
解答.

答A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6},A∩B={3, 4}A \cup B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\},\quad A \cap B = \{3,\ 4\}

注意 和集合は「A または B に属する」要素を全部集める。共通部分は「A かつ B に属する」要素だけを残す。両方に現れる要素を二重に数えないこと。▨

問題 7.12. A の補集合と B の補集合を求めよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 2, 7},B={1, 4, 5, 7, 8}求めるもの: A‾,B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 2,\ 7\},\quad B = \{1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A},\quad \overline{B} \end{aligned}
解答.

答A‾={3, 4, 5, 6, 8},B‾={2, 3, 6}\overline{A} = \{3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8\},\quad \overline{B} = \{2,\ 3,\ 6\}

注意 補集合は U の要素のうち、その集合に属さないものを集める。A の要素数と Ā の要素数の和が n(U)==8 になることで検算できる（ここでは 3 + 5==8）。▨

問題 7.13. 差集合 A ∖ B と B ∖ A を求めよ（A ∖ B は A に属し B に属さない要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={2, 7, 8},B={2, 3, 4, 5, 8}求めるもの: A∖B,B∖A\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{2,\ 7,\ 8\},\quad B = \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 8\} \\ &\text{求めるもの}:\ A \setminus B,\quad B \setminus A \end{aligned}
解答.

答A∖B={7},B∖A={3, 4, 5}A \setminus B = \{7\},\quad B \setminus A = \{3,\ 4,\ 5\}

注意 A ∖ B==A∩\capB̄ と同じ。A からA∩B=A\cap B ={2, 8} を取り除けばよい。差集合は順序を入れ替えると別物になる（A ∖ B≠\neB ∖ A）。▨

問題 7.14. 対称差 (A ∖ B)∪\cup(B ∖ A) を求めよ（ちょうど一方だけに属する要素の集合）。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 3, 6, 7},B={2, 3, 4, 6, 7}求めるもの: (A∖B)∪(B∖A)\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 3,\ 6,\ 7\},\quad B = \{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7\} \\ &\text{求めるもの}:\ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{aligned}
解答.

答{1, 2, 4}\{1,\ 2,\ 4\}

注意 対称差は(A∪B)(A\cup B)からA∩BA\cap Bを除いたものに等しい。A∪B=A\cup B ={1, 2, 3, 4, 6, 7}、A∩B=A\cap B ={3, 6, 7} なので、差を取ると {1, 2, 4}。▨

問題 7.15.(A∪B)(A\cup B)の補集合を求め、それが Ā∩\capB̄ と一致することを確かめよ。

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A={1, 2, 8},B={1, 2, 3, 5, 6}求めるもの: A∪B‾ と A‾∩B‾\begin{aligned} &U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\} \\ &A = \{1,\ 2,\ 8\},\quad B = \{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6\} \\ &\text{求めるもの}:\ \overline{A \cup B}\ \text{と}\ \overline{A} \cap \overline{B} \end{aligned}
解答.

答A∪B‾=A‾∩B‾={4, 7}\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{4,\ 7\}

注意A∪B=A\cup B ={1, 2, 3, 5, 6, 8} の補集合は {4, 7}。一方 Ā=={3, 4, 5, 6, 7}、B̄=={4, 7, 8} の共通部分も {4, 7} で一致する。これがド・モルガンの法則（補集合をかぶせると∪\cupと∩\capが入れ替わる）。▨

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