§A3.8「すべて」「ある」を含む命題の否定

1 二種類の量化

全称命題では、例外が一つも無いことが主張されます。存在命題では、条件を満たす対象が少なくとも一つあることが主張されます。

どちらの場合も、$x$が動く範囲を定めておかなければ、命題の真偽が定まりません。「すべての$x$について$x^2 \ge 0$」は、$x$が実数の範囲を動くなら真です。複素数全体には通常の大小関係を定めていないため、同じ不等式のまま$x$の範囲を複素数全体へ広げても、真偽を問う命題にはなりません。たとえば$x=i$の平方は$-1$ですが、$x^2\ge0$を複素数上の条件として使うには、大小関係を別に定める必要があります。記号だけを書く場合は$\forall x \in \R$のように範囲を添え、文章で書く場合は「すべての実数$x$について」と書きます。

2 否定の規則

否定の計算は、次の2本の規則に尽きます。

否定を通すと$\forall$と$\exists$が入れ替わり、量化子の内側の$p(x)$が否定されます。日本語で言い換えると、次のようになります。

• 「すべてが$p$である」の否定は、「$p$でないものがある」です。
• 「$p$であるものがある」の否定は、「すべてが$p$でない」です。

たとえば「すべての鳥は飛ぶ」の否定は、「すべての鳥は飛ばない」ではなく、「飛ばない鳥が存在する」です。「すべての鳥は飛ばない」は、鳥が一羽も飛ばないという、「飛ばない鳥が存在する」よりはるかに強い主張です。

全称命題を否定するには、条件を満たさない対象を一つ挙げれば足ります。そのような対象を反例と呼びます。何万羽の飛ぶ鳥を観察しても「すべての鳥は飛ぶ」を証明することはできませんが、飛ばない鳥を一羽示せば、この命題は確実に偽になります。

3 量化子の内側にある条件の否定

量化子を入れ替えるだけでは、否定は完成しません。内側の$p(x)$の否定も正しく作ります。$p(x)$が不等式であれば、否定によって等号の付き方が変わります。「$x > 0$」の否定は「$x \le 0$」であり、「$x \ge 0$」ではありません。

$\lnot\big(\forall x\, (x > 0)\big) \equiv \exists x\, (x \le 0)$

$p(x)$が「かつ」「または」を含むときは、内側の否定にド・モルガン則を用います。$p(x)$が条件文であるときは、$\lnot(A \Rightarrow B) \equiv A \land \lnot B$を用います。この規則は、条件文が偽になるのが「前件が真かつ後件が偽」の場合だけである、という、条件文の真理値表の第2行から従います。

4 存在命題の構成による証明

全称命題と存在命題では、証明の進め方が異なります。

• 全称命題を証明するには、範囲の中から任意の対象を一つ取り、その対象について何も特別なことを仮定せずに$p(x)$を示します。
• 存在命題を証明するには、条件を満たす対象を一つ具体的に作って示します。

ただし、対象を構成することは、存在を示す唯一の方法ではありません。§A3.7 背理法の閑話休題で見た、$a^b$が有理数になる無理数の組$a$、$b$が存在するという主張の証明は、二つの場合に分けてどちらの場合でも組が存在することを示すものであり、どちらの組が条件を満たすのかを特定していません。このような証明も、存在を示す正しい証明です。本記事では、構成による証明を存在命題の基本的な手段として扱い、構成によらない存在の証明については§A3.7 背理法と、§E19 数理論理へ委ねます。構成を求める立場（直観主義論理）と、排中律を認める立場との線引きは、同単元で扱います。

5 例題

6 演習