三角形の五心 | 初等幾何学

1 五心の定義

以下では、互いに異なる非共線な三点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が作る三角形を扱います。通常の角は、二本の半直線がつくる $0°$ 以上 $180°$ 以下の小さい方の角とします。鈍角三角形では、垂線の足や傍接円の接点が辺の延長上にある場合も扱います。辺の長さを $a=\mathrm{BC},\qquad b=\mathrm{CA},\qquad c=\mathrm{AB}$ と書きます。

重心・外心・内心・垂心・傍心を、三角形の五心と総称します。傍心は各頂点に対応する三個を一種類として数えます。

定義 1.1 (重心). 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。3本の中線の共通点を重心 (centroid) といい、 $\mathrm{G}$ で表す。

定義 1.2 (外心). 三角形の3辺の垂直二等分線の共通点を外心 (circumcenter) といい、 $\mathrm{O}$ で表す。 $\mathrm{O}$ を中心として3頂点を通る円を外接円という。

定義 1.3 (内心). 三角形の3つの内角の二等分線の共通点を内心 (incenter) といい、 $\mathrm{I}$ で表す。 $\mathrm{I}$ を中心として3辺すべてに接する円を内接円という。

定義 1.4 (垂心). 頂点を通り対辺に垂直な直線を垂線という。3本の垂線の共通点を垂心 (orthocenter) といい、 $\mathrm{H}$ で表す。垂線の足は、必要なら対辺の延長上にとる。

定義 1.5 (傍心と傍接円). 頂点 $\mathrm{A}$ の内角の二等分線と、 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ の外角の二等分線の共通点を $\mathrm{A}$ に対する傍心 (excenter) $\mathrm{I_A}$ という。 $\mathrm{I_A}$ を中心として辺 $\mathrm{BC}$ と辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ の延長に接する円を $\mathrm{A}$ に対する傍接円という。 $\mathrm{I_B},\mathrm{I_C}$ も頂点を巡回して同様に定める。

定理 1.6 (三角形の五心). 非退化三角形 $\triangle\mathrm{ABC}$ では、3本の中線、3本の辺の垂直二等分線、3本の内角の二等分線、3本の垂線、および各頂点に対応する内外角の二等分線が、それぞれただ1点で共点となる。これらの点を順に重心、外心、内心、垂心、傍心と呼ぶ。

定義では「共通点」と書きましたが、3本が本当に一点で交わることはまだ証明していません。まず、4つの中心と2つの円を動かして、何を証明すべきかを観察します。

2 動かして観察する

下の図では、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ のどの頂点もドラッグできます。灰色の破線は中線、緑の破線は垂線です。三角形を鋭角から鈍角へ変え、 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{H}$ が三角形の外へ出る様子、 $\mathrm{I}$ が内接円の中心にとどまる様子、 $\mathrm{O}$ が外接円の中心にとどまる様子を見てください。

図で見たことは証明ではありません。 ドラッグで調べられるのは有限個の配置だけであり、点がほぼ重なる配置では見た目だけの判定も危険です。以下では、3本目の直線まで同じ点を通る理由を五心ごとに示します。

3 重心——3本の中線

定理 3.1. $\triangle\mathrm{ABC}$ の3本の中線はただ1点 $\mathrm{G}$ で交わる。 $\mathrm{M_A}$ を辺 $\mathrm{BC}$ の中点とすると $\mathrm{AG}:\mathrm{GM_A}=2:1$ であり、他の2本の中線についても同じ比になる。

4 初等幾何による主証明

証明. 中線 $\mathrm{AM}$ と $\mathrm{BN}$ の交点を $\mathrm{G}$ とする。ただし $\mathrm{M},\mathrm{N}$ はそれぞれ $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ の中点である。 $\mathrm{G}$ を内部にとる面積を $[XYZ]$ と書く。 $\mathrm{M}$ が中点なので $[ABM]=[ACM]$ であり、 $\mathrm{G}$ が $\mathrm{AM}$ 上にあることから $[ABG]+[BGM]=[ACG]+[CGM].$ $[BGM]=[CGM]$ だから $[ABG]=[ACG]$ を得る。同様に、 $\mathrm{N}$ が中点であることから $[ABG]=[BCG]$ も得る。したがって3つの小三角形の面積をすべて $u$ と書ける。

$[ABM]=\frac12[ABC]=\frac32u$ なので $[BGM]=u/2$ 。同じ直線 $\mathrm{AM}$ を底辺とし、共通の高さをもつ三角形の面積比から $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GM}}=\frac{[ABG]}{[BGM]}=2.$ 同じ議論を他の2本の中線にも巡回して適用するので、3本は $\mathrm{G}$ で共点し、比はすべて $2:1$ である。▨

5 別証明：位置ベクトルによる重心

証明. 原点を任意にとり、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点は $\vec m_A=(\vec b+\vec c)/2$ である。 $\vec g:=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$ とおくと

\vec g-\vec a=\frac23\left(\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a\right)=\frac23(\vec m_A-\vec a).

したがって $\mathrm{G}$ は中線 $\mathrm{AM_A}$ 上にあり、頂点から中点へ向かって $2/3$ の位置にある。 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を巡回すれば、同じ $\mathrm{G}$ が残り2本の中線にも乗る。

異なる2本の中線が同一直線なら3頂点が同一直線上になってしまうので、非退化な三角形では交点はただ1つである。比も上の係数から $\mathrm{AG}:\mathrm{GM_A}=2:1$ 。▨

6 外心——3辺の垂直二等分線

補題 6.1. 異なる2点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ から等距離にある点全体は、線分 $\mathrm{PQ}$ の垂直二等分線である。

証明. $\mathrm{M}$ を $\mathrm{PQ}$ の中点とする。点 $\mathrm{X}$ が垂直二等分線上にあれば、直角三角形 $\triangle\mathrm{XMP},\triangle\mathrm{XMQ}$ は、 $\mathrm{XM}$ が共通で $\mathrm{MP}=\mathrm{MQ}$ だから合同であり、 $\mathrm{XP}=\mathrm{XQ}$ 。

逆に $\mathrm{XP}=\mathrm{XQ}$ なら、 $\triangle\mathrm{XMP},\triangle\mathrm{XMQ}$ は3辺相等で合同である。よって $\angle\mathrm{XMP}=\angle\mathrm{XMQ}$ 。この2角は一直線上に並ぶのでともに $90°$ となり、 $\mathrm{X}$ は垂直二等分線上にある。 $\mathrm{X}=\mathrm{M}$ の場合も自明である。▨

定理 6.2. $\triangle\mathrm{ABC}$ の3辺の垂直二等分線はただ1点 $\mathrm{O}$ で交わる。さらに $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ であり、 $\mathrm{O}$ を中心とするこの半径の円が三角形の外接円である。

証明の方針。 辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線を先に交わらせます。その点は $\mathrm{A}$ を仲立ちにして $\mathrm{OB}=\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ を満たすため、残る $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線にも乗ります。

証明. 辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線は平行ではない。もし平行なら、それぞれに垂直な $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ も平行になり、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が同一直線上に並ぶからである。よって2直線はただ1点 $\mathrm{O}$ で交わる。

補題 6.1より $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ 。したがって $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ でもあるから、同じ補題の逆向きにより $\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にもある。3点までの共通距離は正なので、 $\mathrm{O}$ を中心とする円は3頂点を通る。最初の2直線の交点が一意だから、外心も外接円も一意である。▨

7 内心——3本の内角の二等分線

補題 7.1. 交わる2直線 $\ell,m$ に対し、その交点でない点 $\mathrm{P}$ から $\ell,m$ までの距離が等しいことと、 $\mathrm{P}$ が $\ell,m$ の作る内角または外角の二等分線上にあることは同値である。どちらの二等分線かは、 $\mathrm{P}$ が四つの角領域のどこにあるかで決まる。

証明. $\mathrm{P}$ から $\ell,m$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{L},\mathrm{M}$ 、2直線の交点を $\mathrm{V}$ とする。 $\mathrm{P}$ がある角の二等分線上なら、直角三角形 $\triangle\mathrm{PVL},\triangle\mathrm{PVM}$ は斜辺 $\mathrm{PV}$ が共通で、 $\mathrm{V}$ の角も等しいため合同である。よって $\mathrm{PL}=\mathrm{PM}$ 。

逆に $\mathrm{PL}=\mathrm{PM}$ なら、二つの直角三角形は斜辺と一辺がそれぞれ等しいので合同であり、 $\mathrm{P}$ を含む角領域の二つの角が等しい。したがって $\mathrm{VP}$ はその領域の二等分線である。▨

定理 7.2. $\triangle\mathrm{ABC}$ の3本の内角の二等分線は、三角形の内部のただ1点 $\mathrm{I}$ で交わる。 $\mathrm{I}$ から3辺までの距離はすべて $r=\frac{2S}{a+b+c}$ に等しい。ここで $S$ は三角形の面積であり、 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $r$ の円が内接円である。

8 初等幾何による主証明

証明. $\angle\mathrm{A}$ と $\angle\mathrm{B}$ の内角の二等分線の交点を $\mathrm{I}$ とする。2直線から等距離な点の軌跡の補題より、 $\mathrm{I}$ から $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ までの距離は等しく、また $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{BC}$ までの距離も等しい。したがって3辺を含む直線までの距離は共通の値 $r>0$ であり、同じ補題の逆から $\mathrm{CI}$ も $\angle\mathrm{C}$ の二等分線上にある。 2本の異なる内角の二等分線の交点は一意なので、3本はただ1点で共点となる。

3つの三角形 $\mathrm{IAB},\mathrm{IBC},\mathrm{ICA}$ の面積を底辺と高さで足すと $S=\frac12r(c+a+b)$ である。よって $r=2S/(a+b+c)$ 。この距離を半径とする円は3辺に接するので内接円である。▨

9 別証明：重み付き位置ベクトルによる内心

証明の方針。 3本の二等分線を直接追う代わりに、3辺から同じ距離にある内部の点を一つ作ります。各頂点に向かい側の辺の長さを重みとして付けると、各辺までの距離が同じになります。

証明. 位置ベクトルを用いて $\vec i:=\frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}$ とおく。係数はすべて正で和が1だから、 $\mathrm{I}$ は三角形の内部にある。

辺 $\mathrm{BC}$ から頂点 $\mathrm{A}$ までの高さは $2S/a$ である。直線までの符号つき距離は位置ベクトルの一次式なので、 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ の距離が0であることと合わせると、 $\mathrm{I}$ から $\mathrm{BC}$ までの距離は $\frac{a}{a+b+c}\cdot\frac{2S}{a}=\frac{2S}{a+b+c}.$ 同様に、 $\mathrm{CA}$ と $\mathrm{AB}$ までの距離もそれぞれ $\dfrac{b}{a+b+c}\dfrac{2S}{b}$ 、 $\dfrac{c}{a+b+c}\dfrac{2S}{c}$ で、同じ値になる。

補題 7.1より $\mathrm{I}$ は各頂点の二等分線上にある。 $\mathrm{I}$ は三角形の内部なので、いずれも内角の二等分線である。異なる2本の内角の二等分線は平行でないため共通点は一意である。また各辺の両端で内角の内部にあるため、 $\mathrm{I}$ から辺を含む直線へ下ろした垂線の足は2頂点の間にある。したがって3辺までの共通距離を半径とする円は 3辺すべてに接する。 $S>0$ だから $r>0$ である。▨

10 垂心——3本の垂線

定理 10.1. $\triangle\mathrm{ABC}$ の3本の垂線はただ1点 $\mathrm{H}$ で交わる。

証明の方針。 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ からの垂線を交わらせて $\mathrm{H}$ を作ります。二つの直角を直径の円へ読み替える操作を2回行い、円周角を移すと $\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ が出ます。鈍角三角形では足が辺の延長上に出るので、直線の向きを $180°$ を法として測る有向角を使います。

証明. まず三角形が直角三角形なら、直角をはさむ2辺そのものが他の2頂点からの垂線であり、直角の頂点で交わる。残る頂点から斜辺への垂線もその頂点を通るので、垂心は直角の頂点である。

以下、直角三角形でないとする。 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{D}$ 、 $\mathrm{B}$ から直線 $\mathrm{CA}$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{E}$ とする。直線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ は平行でないので、ただ1点 $\mathrm{H}$ で交わる。

$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{AEB}=90°$ だから、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D},\mathrm{E}$ は直径 $\mathrm{AB}$ の同一円周上にある。また $\angle\mathrm{CDH}=\angle\mathrm{CEH}=90°$ だから、 $\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{H}$ は直径 $\mathrm{CH}$ の同一円周上にある。これは直径を直角に見込む点の判定であり、円周角の定理の逆 (§A5.5 定理 1.1 (2)と§A5.5 注意 6.1) の同じ側・反対側の両場合を含む。

ここからは直線どうしの有向角を $180°$ を法として測る。後者の円で同じ弦 $\mathrm{HE}$ を見込む円周角、前者の円で同じ弦 $\mathrm{EB}$ を見込む円周角を順に使うと

\begin{aligned} \measuredangle(\mathrm{CH},\mathrm{CA}) &=\measuredangle(\mathrm{DH},\mathrm{DE})\\ &=90°-\measuredangle(\mathrm{DE},\mathrm{DB})\\ &=90°-\measuredangle(\mathrm{AC},\mathrm{AB}). \end{aligned}

したがって

\measuredangle(\mathrm{CH},\mathrm{AB})=\measuredangle(\mathrm{CH},\mathrm{CA})+\measuredangle(\mathrm{CA},\mathrm{AB})=90°.

よって $\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ であり、 $\mathrm{H}$ は $\mathrm{C}$ からの垂線上にもある。最初の2本の交点が一意なので、3本の共通点もただ1つである。有向角を使ったため、 $\mathrm{D},\mathrm{E}$ が辺の延長上に出る鈍角の場合も同じ計算に含まれる。▨

11 傍心——内角1本と外角2本の二等分線

定理 11.1. $\triangle\mathrm{ABC}$ には3個の傍心 $\mathrm{I_A},\mathrm{I_B},\mathrm{I_C}$ があり、いずれも三角形の外部にある。 $\mathrm{I_A}$ は $\mathrm{A}$ の内角の二等分線と $\mathrm{B},\mathrm{C}$ の外角の二等分線の共通点であり、辺を含む3直線までの距離は $r_A=\frac{2S}{-a+b+c}$ に等しい。他の2個も文字を巡回して得られる。

12 初等幾何による主証明

証明. $\angle\mathrm{A}$ の内角二等分線と $\angle\mathrm{B}$ の外角二等分線の交点を $\mathrm{I_A}$ とする。二直線からの距離の補題により、 $\mathrm{I_A}$ から $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ までの距離の絶対値は等しく、 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{BC}$ までの距離の絶対値も等しい。したがって $\mathrm{I_A}$ は $\angle\mathrm{C}$ の外角二等分線上にもあり、3本は共点となる。 $\mathrm{I_A}$ は $\mathrm{BC}$ の反対側の領域にあるので三角形の外部にある。

3辺を含む直線までの距離の共通絶対値を $r_A$ とする。符号付き面積を用いて $S=\frac12(-a+b+c)r_A$ となるので、三角不等式 $-a+b+c>0$ と合わせて $r_A=\frac{2S}{-a+b+c}.$ この半径の円は $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ の延長に接する。他の傍心も頂点を巡回して得られる。▨

13 別証明：符号付き位置ベクトルによる傍心

証明の方針。 内心の式で一つの重みだけ符号を反転します。すると、向かい側の辺を越えて外へ出る一方、3本の辺を含む直線までの距離の絶対値は等しいままです。距離の符号が、内角か外角かを判定します。

証明. 三角不等式より $q_A:=-a+b+c>0$ である。位置ベクトルを用いて $\vec i_A:=\frac{-a\vec a+b\vec b+c\vec c}{q_A}$ とおく。辺 $\mathrm{BC}$ までの符号つき距離を $\mathrm{A}$ 側で正、 $\mathrm{CA}$ までを $\mathrm{B}$ 側で正、 $\mathrm{AB}$ までを $\mathrm{C}$ 側で正にとる。内心の証明と同じ一次性により、 $\mathrm{I_A}$ の3直線までの符号つき距離は順に

-\frac{a}{q_A}\frac{2S}{a}=-\frac{2S}{q_A},\qquad \frac{b}{q_A}\frac{2S}{b}=\frac{2S}{q_A},\qquad \frac{c}{q_A}\frac{2S}{c}=\frac{2S}{q_A}.

絶対値はすべて $r_A=2S/q_A$ である。

符号から、 $\mathrm{I_A}$ は $\mathrm{BC}$ を越えた三角形の外部にあり、直線 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ については三角形の内部と同じ側にある。したがって $\mathrm{I_A}$ は $\mathrm{A}$ の内角領域、 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ の外角領域にある。補題 7.1により、それぞれ対応する二等分線上にある。

中心 $\mathrm{I_A}$ 、半径 $r_A$ の円は3本の辺を含む直線に接する。接点がどの部分にあるかも、符号から確認できる。実際、 $\mathrm{BC}$ を $x$ 軸、 $\mathrm{B}=(0,0)$ 、 $\mathrm{C}=(a,0)$ 、 $\mathrm{A}=(u,v)$ （ $v>0$ ）とすると

0<\frac{c-u}{q_A}<1

である。 $\mathrm{I_A}$ の $\mathrm{BC}$ への垂足は $\bigl(a(c-u)/q_A,0\bigr)$ だから線分 $\mathrm{BC}$ 上にある。一方、 $\mathrm{AB}$ への垂足を $\mathrm{B}$ から $\mathrm{A}$ へ向かうパラメータで表すと $a(u-c)/(q_Ac)<0$ となり、 $\mathrm{B}$ の外側にある。 $\mathrm{AC}$ についても同様に $\mathrm{C}$ の外側にある。したがって辺 $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ の延長に接する。二等分線2本の交点は一意だから $\mathrm{I_A}$ も一意である。 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を巡回して $\mathrm{I_B},\mathrm{I_C}$ が得られる。▨

14 中心はどこに来るか

系 14.1. 非退化な三角形について、中心の位置は次のようになる。

$\mathrm{G}$ と $\mathrm{I}$ は、三角形の形によらず常に内部にある。
鋭角三角形では $\mathrm{O},\mathrm{H}$ も内部にある。
直角三角形では $\mathrm{O}$ は斜辺の中点、 $\mathrm{H}$ は直角の頂点にある。
鈍角三角形では $\mathrm{O},\mathrm{H}$ はともに外部にある。
3個の傍心は常に外部にある。

証明. $\mathrm{G}$ は3頂点の係数が $1/3$ の凸結合、 $\mathrm{I}$ は正の係数 $a/(a+b+c),b/(a+b+c),c/(a+b+c)$ の凸結合なので内部にある。傍心が外部にあることは定理 11.1の距離の符号から従う。

$\mathrm{BC}$ の中点を原点とし、 $\mathrm{B}=(-u,0)$ 、 $\mathrm{C}=(u,0)$ 、 $\mathrm{A}=(p,q)$ （ $u,q>0$ ）とおく。 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上の外心を $(0,t)$ とすると、 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ から $t=\frac{p^2+q^2-u^2}{2q}.$ 一方、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=p^2+q^2-u^2$ だから、 $t$ の符号は $\angle\mathrm{A}$ が鋭角・直角・鈍角であるのに応じて正・0・負になる。各辺について同じ議論をすると、外心は3角が鋭角なら各辺の内側、直角なら斜辺上、鈍角なら鈍角の向かいの辺の外側にある。直角の場合、斜辺の垂直二等分線との交点はその中点である。

垂心については、鋭角なら各垂線の足が辺の内部にあり、2本の垂線の線分が三角形の内部で交わる。直角の場合は定理 10.1の証明の通り直角の頂点である。鈍角が $\mathrm{A}$ なら、 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ からの垂線の足はそれぞれ $\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ の $\mathrm{A}$ 側の延長上にあり、2本は三角形の外側で交わる。他の頂点が鈍角の場合も同様である。▨

二等辺三角形では、対称軸による折り返しで中心の定義が保たれます。一意性から $\mathrm{G},\mathrm{I},\mathrm{O},\mathrm{H}$ はすべて対称軸上にあり、頂角に対応する傍心も対称軸上、残る2個の傍心は互いに鏡映の位置にあります。

正三角形では3本の対称軸が中線・内角の二等分線・垂直二等分線・垂線をすべて兼ねるため、 $\mathrm{G}=\mathrm{I}=\mathrm{O}=\mathrm{H}$ となります。ただし、3個の傍心は外部の異なる点のままです。

15 オイラー線と九点円へ

系 15.1. 正三角形でない三角形では、外心 $\mathrm{O}$ 、重心 $\mathrm{G}$ 、垂心 $\mathrm{H}$ はこの順に一直線上にあり、 $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ である。この直線をオイラー線という。

証明. 三辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ の中点を、それぞれ $\mathrm{M},\mathrm{N},\mathrm{L}$ とする。

$\mathrm{O}=\mathrm{G}$ と仮定する。重心は中線 $\mathrm{AM}$ の内部にあり、 $\mathrm{G}\neq\mathrm{M}$ である。外心は $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にあるので、 $\mathrm{O}=\mathrm{G}$ なら直線 $\mathrm{AM}$ がこの垂直二等分線であり、 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ である。同じ議論を中線 $\mathrm{BN}$ に用いると $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ となる。よって三辺は等しい。いま三角形は正三角形でないので、 $\mathrm{O}\neq\mathrm{G}$ である。

直線 $\mathrm{OG}$ 上で、 $\mathrm{G}$ に関して $\mathrm{O}$ と反対側に、 $\mathrm{GH}'=2\mathrm{GO}$ を満たす点 $\mathrm{H}'$ をとる。

定理 3.1により、 $\mathrm{A},\mathrm{G},\mathrm{M}$ はこの順に並び、 $\mathrm{GA}=2\mathrm{GM}$ である。 $\mathrm{O}=\mathrm{M}$ のとき、 $\mathrm{H}'$ と $\mathrm{A}$ は $\mathrm{G}$ から同じ向きに同じ距離だけ離れているので一致する。この場合、 $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ を通る垂線上にある。

$\mathrm{O}\neq\mathrm{M}$ とする。 $\mathrm{G},\mathrm{O},\mathrm{M}$ が一直線上にあるならば、 $\mathrm{A},\mathrm{H}'$ はともに直線 $\mathrm{OM}$ 上にある。外心の定義から $\mathrm{OM}\perp\mathrm{BC}$ であるから、 $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの垂線上にある。

$\mathrm{G},\mathrm{O},\mathrm{M}$ が一直線上にないならば、 $\angle\mathrm{AGH}'=\angle\mathrm{MGO}$ は対頂角であり、 $\mathrm{GA}/\mathrm{GM}=\mathrm{GH}'/\mathrm{GO}=2$ である。したがって§A5.1 定理 3.1 (2)により、三角形 $\mathrm{AGH}'$ と三角形 $\mathrm{MGO}$ はこの頂点順に相似である。対応する角の等しさと、 $\mathrm{A},\mathrm{M}$ が $\mathrm{G}$ の反対側にあることから、 $\mathrm{AH}'\parallel\mathrm{MO}$ である。 $\mathrm{MO}\perp\mathrm{BC}$ なので、この場合も $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの垂線上にある。

同じ議論で、 $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{B}$ から直線 $\mathrm{CA}$ への垂線と、 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AB}$ への垂線上にもある。定理 10.1の一意性により $\mathrm{H}'=\mathrm{H}$ である。構成により、 $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ はこの順に並び、 $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ である。▨

16 別証明：内積によるオイラー線

証明. $\mathrm{O}$ を原点とし、3頂点の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ とする。外心の定義から $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$ 。 $\vec h':=\vec a+\vec b+\vec c$ とおくと

(\vec h'-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c) =(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=0.

よって $\mathrm{H'}$ は $\mathrm{A}$ を通り $\mathrm{BC}$ に垂直な直線上にある。文字を巡回すれば $\mathrm{H'}$ は3本の垂線上にあるので、定理 10.1の一意性から $\mathrm{H'}=\mathrm{H}$ である。一方定理 3.1より $\vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec h}{3}.$ したがって $\mathrm{G}$ は $\mathrm{OH}$ を $1:2$ に内分する。正三角形では $\mathrm{O}=\mathrm{G}=\mathrm{H}$ となり、2点で直線を定められず比も $0:0$ になるため除いた。▨

オイラー線の次に現れるのが九点円です。§C2.3 定理 1.1では、3辺の中点、3本の垂線の足、 $\mathrm{H}$ と3頂点の中点という9点が、 $\mathrm{OH}$ の中点を中心とする半径 $R/2$ の円に乗ることが述べられます。この9点が同一円周上にあることは、この記事では証明せず、参照先の記事の証明に委ねます。直角三角形でも外接円の半径 $R$ は正なので九点円は退化しませんが、垂心が頂点に来るため9点のうちいくつかは重なります。正三角形では $\mathrm{O}=\mathrm{H}$ でも、九点円は半径 $R/2$ の円として残ります。

17 退化する配置に注意

3頂点が同一直線上に並ぶと、この記事の仮定から外れます。このとき3点を通る有限半径の外接円はなく、頂点から対辺の直線へ引く3本の垂線は互いに平行になって、有限の垂心を持ちません。面積 $S$ が0なので、内接円・傍接円の半径の式も0または定義不能となり、通常の円ではなくなります。2頂点が一致すれば辺や角そのものが定義できません。

したがって「ほとんど一直線」の三角形を極限として眺めることと、一直線に並んだ配置を三角形として定理へ代入することは別です。上の動く図は、ドラッグ範囲を分けてこの退化を起こさないようにしています。

§A5.8三角形の五心