§E5.19解析接続

$z\in\Omega$と$0\le t\le1$について$tz\in\Omega$である。実際、$tz\in[1,\infty)$ならば$t>0$であり、$z=(tz)/t\in[1,\infty)$となる。したがって$\Omega$は$0$に関して星形な開集合であり、§E5.2 命題 4.5により領域である。$1-z\in(-\infty,0]$と$z\in[1,\infty)$は同値であるから、$z\in\Omega$ならば$1-z\in D_{0}$であり、§E5.3 命題 2.10と連鎖律により$g(z)=-\operatorname{Log}(1-z)$は$\Omega$の上で正則で$g'(z)=1/(1-z)$である。

$|z|<1$では$|z^{n}/n|\le|z|^{n}$であるから$S$の級数は収束し、収束半径は$1$以上である。§E5.7 定理 1.5により$S'(z)=\sum_{n\ge1}z^{n-1}=1/(1-z)$である（例 1.3）。$D(0,1)$は領域であり、$(S-g)'=0$であるから、§E5.4 命題 4.3により$S-g$は定数であり、$S(0)-g(0)=0+\operatorname{Log}1=0$である。ゆえに$D(0,1)$の上で$S=g$であり、$g$は$S$の$\Omega$への解析接続である。

$G$を$S$の$\C\setminus\{1\}$への解析接続と仮定する。$\Omega\subseteq\C\setminus\{1\}$であり、$G$の$\Omega$への制限は$S$の$\Omega$への解析接続であるから、命題 1.2により$\Omega$の上で$G=g$である。$x>1$を固定し、$a=x-1>0$、$\varepsilon>0$とすると、$1-(x\pm i\varepsilon)=-a\mp i\varepsilon$であり、§E5.3 命題 2.3により$\operatorname{Arg}(-a-i\varepsilon)=-\pi+\arctan(\varepsilon/a)$、$\operatorname{Arg}(-a+i\varepsilon)=\pi-\arctan(\varepsilon/a)$である。したがって

（$\varepsilon\to0^{+}$）である。一方、$G$は$x$で連続であるから左辺は$0$に収束する。これは矛盾である。ゆえに$\C\setminus\{1\}$への解析接続は存在しない。

$(f,U)$が条件を満たすと仮定し、$D(a,\rho)\subseteq U$を満たす$\rho>0$をとる。§E5.7 定理 2.1により、$|z-a|<\rho$について$f(z)=\sum_{n\ge0}\frac{(n!)^{2}}{n!}(z-a)^{n}=\sum_{n\ge0}n!(z-a)^{n}$であり、この級数は収束する。$z=a+\rho/2$をとると、第$n$項の絶対値$c_{n}=n!(\rho/2)^{n}$は$c_{n+1}/c_{n}=(n+1)\rho/2$を満たすので、$(n+1)\rho/2\ge2$となる番号以降は倍以上に増え、$c_{n}\to\infty$である。§D1.21 命題 2.1により級数は収束しない。これは矛盾である。

$f(z)=1/(1-(z-a))$、$U=D(a,1)$とすると、$f^{(n)}(z)=n!/(1-(z-a))^{n+1}$であり（$n$についての帰納法と商の微分）、$f^{(n)}(a)=n!$である。

$|z|<1$では$|z^{2^{n}}|\le|z|^{n}$であるから級数は絶対収束し、収束半径は$1$以上で、$f$は$D(0,1)$の上で正則である（§E5.7 定理 1.5）。

領域$D_{2}\supsetneq D(0,1)$と$D_{2}$の上の正則関数$f_{2}$が、$D(0,1)$の上で$f_{2}=f$を満たすと仮定する。$w\in D_{2}\setminus D(0,1)$をとると$|w|\ge1$である。§E5.1 命題 1.4 (1)$\Rightarrow$(2)により$0$と$w$を結ぶ$D_{2}$内の折れ線$\sigma:[0,1]\to D_{2}$があり、連続関数$|\sigma(t)|$は$0$から$|w|\ge1$まで動くので、中間値の定理により$|\sigma(t_{0})|=1$を満たす$t_{0}$がある。$\zeta_{0}=\sigma(t_{0})$とおく。$D_{2}$は開集合であるから$\overline D(\zeta_{0},\rho)\subseteq D_{2}$を満たす$0<\rho<1$があり、$f_{2}$はこのコンパクト集合の上で連続であるから、ある$B$について$|f_{2}|\le B$である。

$\zeta_{0}=e^{i\theta_{0}}$とし、$2\pi/2^{m}<\rho/2$を満たす$m$と、$|\theta_{0}-2\pi k/2^{m}|\le2\pi/2^{m}$を満たす整数$k$をとって$\zeta=e^{2\pi ik/2^{m}}$とおく。§E5.4 定理 4.2と§E5.4 命題 3.2により$|e^{i\alpha}-e^{i\beta}|\le|\alpha-\beta|$であるから$|\zeta-\zeta_{0}|<\rho/2$である。$1-\rho/2<r<1$ならば$|r\zeta-\zeta_{0}|\le(1-r)+|\zeta-\zeta_{0}|<\rho$であり、$r\zeta\in D(0,1)$であるから$|f(r\zeta)|=|f_{2}(r\zeta)|\le B$である。一方、$n\ge m$では$\zeta^{2^{n}}=1$であるから

がすべての$L\ge m$について成り立つ。$L\ge B+2m$を満たす整数$L$を固定すると、$r\to1^{-}$のとき右辺は$L-2m+1\ge B+1$に収束するので、$1$に十分近い$r$では$|f(r\zeta)|>B$となって矛盾する。ゆえに、そのような$D_{2}$への解析接続は存在しない。

§E5.6 定理 4.1により$f_{t}'$は$U_{t}$の上で正則であり、$(f_{t}',U_{t})$は$\gamma(t)$における関数要素である。$t\in[0,1]$について、定義 3.1の$\delta_{t}$をもとの族のものとする。$|s-t|<\delta_{t}$ならば$\gamma(s)\in U_{t}\cap U_{s}$であり、$\gamma(s)$を含む開集合$W\subseteq U_{t}\cap U_{s}$の上で$f_{s}=f_{t}$であるから、$W$の上で$f_{s}'=f_{t}'$である。ゆえに$(f_{t}',U_{t})$も$\gamma$に沿う解析接続である。

例 4.1の族では、$U_{t}$の上で$f_{t}^{2}=e^{\ell_{t}}=z$である。両辺を微分すると$2f_{t}f_{t}'=1$であり、$f_{t}\ne0$であるから$f_{t}'=1/(2f_{t})$である。$f_{0}(1)=1$、$f_{1}(1)=-1$であるから、$f_{0}'(1)=1/2$、$f_{1}'(1)=-1/2$である。

整数$m\ne0$に対して$\gamma_{m}(t)=e^{2\pi imt}$（$0\le t\le1$）とおく。$m=-1$が逆向きの一周、$m=2$が同じ向きの二周である。例 4.1の構成で$2\pi t$を$2\pi mt$に置き換える。すなわち$\alpha_{t}=2\pi mt+\pi$とし、$U_{t}$を半直線$\{re^{i\alpha_{t}}:r\ge0\}$を取り除いた領域、$\ell_{t}$を$U_{t}$の上の対数の枝で$\ell_{t}(\gamma_{m}(t))=2\pi imt$を満たすもの、$f_{t}=e^{\ell_{t}/2}$とする。このような$\ell_{t}$は§E5.3 命題 2.11、§E5.3 命題 2.5、§E5.3 命題 1.7 (3)により同例と同じくただ一つ存在する。$\gamma_{m}(t)=re^{i\alpha_{t}}$とすると$r=1$であり、$e^{2\pi imt}=e^{i(2\pi mt+\pi)}$から$i\pi\in2\pi i\Z$となって矛盾するので、$\gamma_{m}(t)\in U_{t}$である。$t=0$では$U_{0}=D_{0}$、$\ell_{0}=\operatorname{Log}$、$f_{0}=q$である。$|s-t|<1/(2|m|)$ならば$\gamma_{m}(s)\in U_{t}$である。実際、$\gamma_{m}(s)=re^{i\alpha_{t}}$とすると$r=1$であり、§E5.3 命題 1.7 (3)により$m(s-t)$は$1/2$に整数を足したものになるので、$|m(s-t)|\ge1/2$である。$s\mapsto\ell_{t}(\gamma_{m}(s))$の連続性により、$0<\delta_{t}\le1/(2|m|)$を、$|s-t|<\delta_{t}$ならば$|\ell_{t}(\gamma_{m}(s))-2\pi imt|<\pi$となるように取る。$|s-t|<\delta_{t}$とし、$D(\gamma_{m}(s),\rho)\subseteq U_{t}\cap U_{s}$の上で$\ell_{t}-\ell_{s}=2\pi ik$とすると

であるから$k=0$である。したがって同例と同じく、$(f_{t},U_{t})$は$\gamma_{m}$に沿う解析接続である。$\ell_{1}(1)=\ell_{1}(\gamma_{m}(1))=2\pi im$であるから

である。定理 3.2により、$(q,D_{0})$から出発する$\gamma_{m}$に沿う解析接続の終点の関数要素は$1$において互いに同値であるから、この値は解析接続の取り方によらない。逆向きに一周した場合（$m=-1$）は$f_{1}(1)=e^{-\pi i}=-1$、同じ向きに二周した場合（$m=2$）は$f_{1}(1)=e^{2\pi i}=1$である。

$F$が存在すると仮定し、$\gamma(t)=e^{2\pi it}$（$0\le t\le1$）とする。$\gamma$は$\C\setminus\{0\}$の中の閉曲線であるから、§E5.4 定理 4.2により$\int_{\gamma}F'(z)\,dz=F(\gamma(1))-F(\gamma(0))=0$である。一方

であり、矛盾する。

$\ell$を$\C\setminus\{0\}$の上の対数の枝と仮定する。$z_{0}\ne0$をとり、$\alpha=\operatorname{Arg}z_{0}+\pi$について§E5.3 命題 2.11の枝$\ell_{\alpha}$を考える。$z_{0}\in D_{\alpha}$であり、$D(z_{0},\rho)\subseteq D_{\alpha}$を満たす$\rho>0$をとる。開円板は領域であり（§E5.2 命題 4.5）、$\ell$と$\ell_{\alpha}$の制限はどちらもその上の対数の枝であるから、§E5.3 命題 2.5により$D(z_{0},\rho)$の上で$\ell-\ell_{\alpha}$は$2\pi i$の整数倍の定数である。したがって$\ell$は$z_{0}$の近くで正則で$\ell'(z_{0})=\ell_{\alpha}'(z_{0})=1/z_{0}$である。$z_{0}$は任意であるから、$\ell$は前半の$F$の条件を満たし、矛盾する。