正規族と Montel の定理 | 複素解析

1 位相的支援：コンパクト集合の上の一様収束

まず、本記事を通じて用いる収束の意味を定める。

定義 1.1. $\Omega\subseteq\C$ を開集合とし、 $f_{n}:\Omega\to\C$ （ $n\in\Z_{\ge 1}$ ）と $f:\Omega\to\C$ を関数とする。列 $(f_{n})_{n\ge 1}$ が $\Omega$ の上で $f$ へコンパクト集合の上で一様収束する (uniform convergence on compact sets) とは、 $\Omega$ に含まれるすべてのコンパクト集合 $K$ とすべての $\varepsilon>0$ に対して番号 $N\in\Z_{\ge 1}$ が存在して、 $n\ge N$ を満たすすべての $n$ と $K$ のすべての点 $z$ について

|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon

が成り立つことをいう。この収束を局所一様収束 (locally uniform convergence) ともいう。名称の由来は命題 1.4による。

コンパクト集合の上の一様収束は、 $\Omega$ の全体での一様収束より弱い。次の例で、両者が実際に異なることを示す。

例 1.2. $\Omega=D(0,1)$ とし、 $f_{n}(z)=z^{n}$ 、 $f(z)=0$ とおく。

$(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へコンパクト集合の上で一様収束することを示す。 $K\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。 $K=\varnothing$ のときは主張が空虚に成り立つので、 $K\ne\varnothing$ とする。 $z\mapsto|z|$ は $K$ の上で連続であるから、§E5.9 命題 1.1により最大値をとる。その最大値を与える点を $z_{0}\in K$ とし、 $\rho=|z_{0}|$ とおくと、 $z_{0}\in K\subseteq D(0,1)$ より $\rho<1$ である。 $\varepsilon>0$ をとる。 $\rho=0$ のときは $K=\{0\}$ であり、すべての $n$ について $f_{n}=0$ が $K$ の上で成り立つ。 $0<\rho<1$ のときは、 $\rho^{n}\to 0$ であるから $\rho^{N}<\varepsilon$ を満たす $N$ が存在する。 $n\ge N$ と $z\in K$ について $|f_{n}(z)|=|z|^{n}\le\rho^{n}\le\rho^{N}<\varepsilon$ である。

一方、 $(f_{n})$ は $\Omega$ の全体では $f$ へ一様収束しない。 $\varepsilon=1/2$ をとる。 $n$ を任意の正の整数とすると、 $t=2^{-1/n}$ は $0<t<1$ を満たす実数であるから $t\in\Omega$ であり、

|f_{n}(t)-f(t)|=t^{n}=\frac12\ge\varepsilon

である。すなわち、どのような番号 $N$ をとっても、 $n\ge N$ を満たすすべての $n$ と $\Omega$ のすべての点 $z$ について $|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$ が成り立つことはない。ゆえに $\Omega$ の全体での一様収束は成り立たない。

以下の議論では、閉円板と円周がコンパクトであることを繰り返し用いる。この事実を補題として先に置く。

補題 1.3. $a\in\C$ と $r>0$ に対して、閉円板 $\overline{D}(a,r)$ と円周 $S(a,r)=\{\,z\in\C\mid|z-a|=r\,\}$ は、どちらもコンパクトである。

証明. どちらの集合も、そのすべての点 $z$ について $|z|\le|a|+r$ を満たすので有界である。

$\overline{D}(a,r)$ が閉集合であることを示す。 $|z_{0}-a|>r$ とし、 $\varepsilon_{0}=|z_{0}-a|-r>0$ とおく。 $|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ を満たす $z$ について $|z-a|\ge|z_{0}-a|-|z-z_{0}|>|z_{0}-a|-\varepsilon_{0}=r$ であるから、 $z$ は $\overline{D}(a,r)$ に属さない。ゆえに補集合は開集合である。

$S(a,r)$ が閉集合であることを示す。 $|z_{0}-a|\ne r$ とし、 $\varepsilon_{0}=\bigl||z_{0}-a|-r\bigr|>0$ とおく。 $|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ を満たす $z$ について、三角不等式により $\bigl||z-a|-|z_{0}-a|\bigr|\le|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ であるから $|z-a|\ne r$ であり、 $z$ は $S(a,r)$ に属さない。ゆえに補集合は開集合である。

どちらの集合も有界かつ閉であるから、§E2.9 定理 4.3（ $n=2$ ）によりコンパクトである。▨

次の命題により、コンパクト集合の上の一様収束が、各点の近くでの一様収束と同じ内容であることが示される。この同値が「局所一様収束」という名称の根拠である。

命題 1.4. $\Omega\subseteq\C$ を開集合、 $f_{n},f:\Omega\to\C$ とする。次の二つは同値である。

$(f_{n})$ は $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束する。
$\Omega$ の各点 $a$ に対して $r>0$ が存在して、 $D(a,r)\subseteq\Omega$ であり、かつ $(f_{n})$ は $D(a,r)$ の上で $f$ へ一様収束する。すなわち、すべての $\varepsilon>0$ に対して番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ と $z\in D(a,r)$ について $|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$ が成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $a\in\Omega$ とする。 $\Omega$ は開集合であるから $D(a,s)\subseteq\Omega$ を満たす $s>0$ が存在する。 $r=s/2$ とおくと $\overline{D}(a,r)\subseteq D(a,s)\subseteq\Omega$ である。補題 1.3により $\overline{D}(a,r)$ はコンパクトである。(1)をこのコンパクト集合へ適用すると、 $D(a,r)\subseteq\overline{D}(a,r)$ であるから、 $(f_{n})$ は $D(a,r)$ の上で一様収束する。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $K\subseteq\Omega$ をコンパクト集合、 $\varepsilon>0$ とする。 $K=\varnothing$ のときは $N=1$ が条件を満たすので、 $K\ne\varnothing$ とする。

\mathcal V=\Bigl\{\,D(a,r)\ \Bigm|\ a\in\Omega,\ r>0,\ D(a,r)\subseteq\Omega,\ \text{$(f_{n})$ は $D(a,r)$ の上で $f$ へ一様収束する}\,\Bigr\}

とおく。 $\mathcal V$ の元はすべて開集合である。(2)により、 $K$ の各点 $a$ は $\mathcal V$ のある元に属するから、 $K\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V}V$ である。 $K$ はコンパクトであるから、§E2.19 命題 2.6により有限個の $V_{1},\dots,V_{p}\in\mathcal V$ で $K\subseteq V_{1}\cup\cdots\cup V_{p}$ を満たすものが存在する。各 $V_{i}$ について、 $n\ge N_{i}$ と $z\in V_{i}$ ならば $|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$ を満たす番号 $N_{i}$ が存在する。 $N=\max\{N_{1},\dots,N_{p}\}$ とおく。 $z\in K$ をとると $z\in V_{i}$ を満たす $i$ が存在し、 $n\ge N\ge N_{i}$ について $|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$ である。▨

以下の証明では、与えられたコンパクト集合からの距離が一定の正の数以下である点全体のなすコンパクト集合を、定義域の中にとる操作を繰り返し用いる。この操作を補題として独立に置く。

補題 1.5. $\Omega\subseteq\C$ を開集合、 $K\subseteq\Omega$ を空でないコンパクト集合とする。このとき $\rho>0$ が存在して、

K_{\rho}=\{\,z\in\C\ \mid\ d(z,K)\le\rho\,\}

が次の三つを満たす。

$K\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$ である。
$K_{\rho}$ はコンパクトである。
$K$ の各点 $z$ について $\overline{D}(z,\rho)\subseteq K_{\rho}$ である。

証明. まず $\rho$ を定める。 $\Omega=\C$ の場合は $\rho=1$ とおく。 $\Omega\ne\C$ の場合、 $F=\C\setminus\Omega$ は空でない閉集合である。§E2.10 命題 5.2 (1)により $z\mapsto d(z,F)$ は連続であるから、 $-d(\cdot,F)$ へ§E5.9 命題 1.1を適用すると、 $d(\cdot,F)$ は空でないコンパクト集合 $K$ の上で最小値をとる。その最小値を $m$ とする。 $K\subseteq\Omega$ であり $F$ は閉集合であるから、 $K$ の各点 $w$ について§E2.10 命題 5.2 (2)により $d(w,F)>0$ であり、したがって $m>0$ である。 $\rho=m/2$ とおく。

主張 (1)を示す。 $K$ の各点 $z$ について $d(z,K)=0\le\rho$ であるから $K\subseteq K_{\rho}$ である。 $K_{\rho}\subseteq\Omega$ を示す。 $\Omega=\C$ の場合、 $K_{\rho}$ は $\C$ の部分集合であり $\Omega=\C$ であるから、 $K_{\rho}\subseteq\Omega$ が成り立つ。 $\Omega\ne\C$ の場合、 $z\in F$ とすると、 $K$ の各点 $w$ について $|z-w|\ge d(w,F)\ge m$ であるから $d(z,K)\ge m>\rho$ であり、 $z\notin K_{\rho}$ である。対偶により $K_{\rho}\subseteq\Omega$ である。

主張 (2)を示す。 $K$ はコンパクトであるから§E2.9 系 4.1により有界であり、 $K$ のすべての点 $w$ について $|w|\le R$ を満たす $R$ が存在する。 $z\in K_{\rho}$ とすると $d(z,K)\le\rho<\rho+1$ であるから、下限の性質により $|z-w|<\rho+1$ を満たす $w\in K$ が存在し、 $|z|\le R+\rho+1$ である。よって $K_{\rho}$ は有界である。次に $K_{\rho}$ が閉集合であることを示す。 $z_{0}\notin K_{\rho}$ とすると $d(z_{0},K)>\rho$ であるから $\varepsilon_{0}=d(z_{0},K)-\rho>0$ とおくことができる。 $|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ を満たす $z$ について、§E2.10 命題 5.2 (1)により $d(z,K)\ge d(z_{0},K)-|z-z_{0}|>d(z_{0},K)-\varepsilon_{0}=\rho$ であるから $z\notin K_{\rho}$ である。ゆえに $K_{\rho}$ の補集合は開集合であり、 $K_{\rho}$ は閉集合である。有界かつ閉であるから§E2.9 定理 4.3（ $n=2$ ）により $K_{\rho}$ はコンパクトである。

主張 (3)を示す。 $z\in K$ と $|\zeta-z|\le\rho$ とすると、 $z\in K$ であるから $d(\zeta,K)\le|\zeta-z|\le\rho$ であり、 $\zeta\in K_{\rho}$ である。▨

次の補題では、開集合をコンパクト集合の増大列で尽くす。Montel の定理の証明では、この列に沿って部分列を取り直す。本記事のどの証明でも、補題の主張のうち補題 1.6 (2)と補題 1.6 (3)だけを用いる。補題 1.6 (1)は用いないが、コンパクト集合による尽くしの標準的な形が内部への包含を含むので、その形のままで述べる。

補題 1.6. $\Omega\subseteq\C$ を空でない開集合とする。このとき、 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合の列 $(K_{n})_{n\ge 1}$ で、次の三つを満たすものが存在する。

各 $n$ について、 $K_{n}$ は $K_{n+1}$ の内部に含まれる。すなわち $K_{n}$ の各点 $z$ に対して $\eta>0$ が存在して $D(z,\eta)\subseteq K_{n+1}$ が成り立つ。
$\Omega=\bigcup_{n\ge 1}K_{n}$ である。
$\Omega$ に含まれる任意のコンパクト集合 $K$ に対して、 $K\subseteq K_{N}$ を満たす $N\in\Z_{\ge 1}$ が存在する。

証明. $\Omega=\C$ の場合と $\Omega\ne\C$ の場合に分ける。

$\Omega=\C$ の場合、 $K_{n}=\overline{D}(0,n)$ とおく。補題 1.3により $K_{n}$ はコンパクトである。主張 (1)は、 $|z|\le n$ を満たす $z$ について $D(z,1)\subseteq\overline{D}(0,n+1)$ であることによる。主張 (2)は、各 $z\in\C$ について $|z|\le n$ を満たす $n$ が存在することによる。主張 (3)は、コンパクト集合 $K$ が§E2.9 系 4.1により有界であることから、 $K$ のすべての点の絶対値を超える整数 $N$ をとればよい。

$\Omega\ne\C$ の場合、 $F=\C\setminus\Omega$ は空でない閉集合である。

K_{n}=\Bigl\{\,z\in\C\ \Bigm|\ |z|\le n\ \text{かつ}\ d(z,F)\ge\frac1n\,\Bigr\}

とおく。

$K_{n}\subseteq\Omega$ を示す。 $z\in K_{n}$ とすると $d(z,F)\ge 1/n>0$ であるから、§E2.10 命題 5.2 (2)により $z\notin\overline{F}=F$ であり、 $z\in\Omega$ である。

$K_{n}$ がコンパクトであることを示す。 $K_{n}$ は $|z|\le n$ により有界である。閉集合であることを示す。 $z_{0}\notin K_{n}$ とする。 $|z_{0}|>n$ の場合、 $\varepsilon_{0}=|z_{0}|-n>0$ とおくと $|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ を満たす $z$ について $|z|>n$ であり $z\notin K_{n}$ である。 $d(z_{0},F)<1/n$ の場合、 $\varepsilon_{0}=1/n-d(z_{0},F)>0$ とおくと、§E2.10 命題 5.2 (1)により $|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$ を満たす $z$ について $d(z,F)\le d(z_{0},F)+|z-z_{0}|<1/n$ であり $z\notin K_{n}$ である。ゆえに $K_{n}$ の補集合は開集合であり、 $K_{n}$ は有界かつ閉であるから§E2.9 定理 4.3（ $n=2$ ）によりコンパクトである。

主張 (1)を示す。 $z\in K_{n}$ とし、 $\eta=1/(n(n+1))$ とおく。 $\eta>0$ であり $\eta\le 1/2\le 1$ である。 $|w-z|<\eta$ を満たす $w$ について、 $|w|\le|z|+\eta\le n+1$ であり、§E2.10 命題 5.2 (1)により

d(w,F)\ge d(z,F)-|w-z|>\frac1n-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}

である。よって $w\in K_{n+1}$ であり、 $D(z,\eta)\subseteq K_{n+1}$ である。

主張 (2)を示す。 $K_{n}\subseteq\Omega$ は上で示した。逆に $z\in\Omega$ とすると、§E2.10 命題 5.2 (2)により $d(z,F)>0$ である。Archimedes の性質により $n\ge|z|$ かつ $1/n\le d(z,F)$ を満たす正の整数 $n$ をとることができ、 $z\in K_{n}$ である。

主張 (3)を示す。 $K\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。 $K=\varnothing$ のときは $N=1$ でよい。 $K\ne\varnothing$ とする。§E2.9 系 4.1により $K$ は有界であるから、 $K$ のすべての点 $z$ について $|z|\le R$ を満たす $R$ が存在する。また§E2.10 命題 5.2 (1)により $d(\cdot,F)$ は連続であるから、§E5.9 命題 1.1を $-d(\cdot,F)$ へ適用して、 $d(\cdot,F)$ は $K$ の上で最小値 $m$ をとる。 $K\subseteq\Omega$ と§E2.10 命題 5.2 (2)により $m>0$ である。 Archimedes の性質により $N\ge R$ かつ $1/N\le m$ を満たす正の整数 $N$ をとると、 $K$ のすべての点 $z$ について $|z|\le R\le N$ かつ $d(z,F)\ge m\ge 1/N$ であり、 $K\subseteq K_{N}$ である。▨

最後に、一様収束する連続関数列の極限が連続であることを、複素数値の場合について確かめる。 §D1 ε-論法と基礎解析の§D1.22 定理 2.1では定義域が $\R$ の部分集合で値が実数の場合を、§E2.16 定理 2.4では定義域が位相空間で値が実数の場合を扱っている。どちらの結果も、値が複素数である場合をそのまま含まない。そこで次の補題を置く。

補題 1.7. $S\subseteq\C$ とし、 $g_{n}:S\to\C$ （ $n\in\Z_{\ge 1}$ ）を§E5.1 定義 3.1の意味で $S$ の上で連続な関数、 $g:S\to\C$ とする。すべての $\varepsilon>0$ に対して番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ と $z\in S$ について $|g_{n}(z)-g(z)|<\varepsilon$ が成り立つと仮定する。このとき $g$ は $S$ の上で連続である。

証明. $a\in S$ と $\varepsilon>0$ をとる。仮定により、 $n\ge N$ と $z\in S$ について $|g_{n}(z)-g(z)|<\varepsilon/3$ を満たす番号 $N$ が存在する。 $g_{N}$ は $a$ で連続であるから、§E5.1 定義 3.1により $\delta>0$ が存在して、 $z\in S$ かつ $|z-a|<\delta$ を満たすすべての $z$ について $|g_{N}(z)-g_{N}(a)|<\varepsilon/3$ である。このとき

|g(z)-g(a)|\le|g(z)-g_{N}(z)|+|g_{N}(z)-g_{N}(a)|+|g_{N}(a)-g(a)| <\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon

である。よって $g$ は $a$ で連続であり、 $a\in S$ は任意であったから $S$ の上で連続である。▨

2 解析的支援：極限の正則性と導関数列の収束

定理 2.1 (Weierstrass の収束定理). $\Omega\subseteq\C$ を開集合、 $f_{n}$ （ $n\in\Z_{\ge 1}$ ）を $\Omega$ の上の正則関数とし、 $f:\Omega\to\C$ とする。 $(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束するならば、次の二つが成り立つ。

$f$ は $\Omega$ の上で正則である。
各 $k\in\Z_{\ge 1}$ について、導関数の列 $(f_{n}^{(k)})_{n\ge 1}$ は $\Omega$ の上で $f^{(k)}$ へ定義 1.1の意味で収束する。

証明.主張 (1)を示す。 $a\in\Omega$ をとる。 $\Omega$ は開集合であるから $D(a,s)\subseteq\Omega$ を満たす $s>0$ が存在し、 $r=s/2$ とおくと $\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$ である。 $C_{r}$ を円周 $|\zeta-a|=r$ の反時計回りの閉曲線とし、これを一本の閉曲線からなるサイクル（§E5.4 定義 3.1）とみなす。補題 1.3により、閉円板 $\overline{D}(a,r)$ と、 $C_{r}$ の台 $|C_{r}|=\{\,\zeta\mid|\zeta-a|=r\,\}$ は、どちらもコンパクトである。

仮定により $(f_{n})$ は $|C_{r}|$ の上で $f$ へ一様収束する。各 $f_{n}$ は正則であるから§E5.1 定義 3.1の意味で連続であり、補題 1.7により $f$ は $|C_{r}|$ の上で連続である。

$z\in D(a,r)$ を固定する。§E5.6 定理 2.1の後半を $f_{n}$ と閉円板 $\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$ へ適用すると

f_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{r}}\frac{f_{n}(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta

である。 $\varepsilon_{n}=\sup_{\zeta\in|C_{r}|}|f_{n}(\zeta)-f(\zeta)|$ とおく。 $|f_{n}-f|$ は $|C_{r}|$ の上で連続であり $|C_{r}|$ は空でないコンパクト集合であるから、§E5.9 命題 1.1により $\varepsilon_{n}$ は最大値として実数の値をとる。 $(f_{n})$ が $|C_{r}|$ の上で一様収束することから $\varepsilon_{n}\to 0$ である。 $|C_{r}|$ の上で $|\zeta-z|\ge r-|z-a|>0$ であるから、 $|C_{r}|$ の上の連続関数 $(f_{n}(\zeta)-f(\zeta))/(\zeta-z)$ に§E5.4 命題 3.2を適用して

\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{r}}\frac{f_{n}(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta -\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{r}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta\right| \le\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\varepsilon_{n}}{r-|z-a|}\cdot 2\pi r =\frac{r\,\varepsilon_{n}}{r-|z-a|}

を得る。ここで円周 $C_{r}$ の長さが $2\pi r$ であることを用いた。右辺は $n\to\infty$ で $0$ へ収束する。一方、 $z\in\overline{D}(a,r)$ であり $\overline{D}(a,r)$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、 $f_{n}(z)\to f(z)$ である。極限の一意性（§E2.3 命題 1.3）により

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{r}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta

が $D(a,r)$ のすべての点 $z$ で成り立つ。 $f$ は $|C_{r}|$ の上で連続であるから、§E5.6 補題 3.1を $\Gamma=C_{r}$ 、 $\varphi=f|_{|C_{r}|}$ 、 $m=1$ として適用すると、右辺は $\C\setminus|C_{r}|$ の上で正則であり、とくに $D(a,r)$ の上で正則である。ゆえに $f$ は $D(a,r)$ の上で正則であり、 $a$ で複素微分可能である。 $a\in\Omega$ は任意であったから、 $f$ は $\Omega$ の上で正則である。

主張 (2)を示す。 $k\in\Z_{\ge 1}$ と、 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合 $K$ をとる。 $K=\varnothing$ のときは主張が空虚に成り立つので、 $K\ne\varnothing$ とする。補題 1.5により $\rho>0$ をとり、 $K_{\rho}\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。主張 (1)により $f$ は正則であるから、 $g_{n}=f_{n}-f$ は $\Omega$ の上の正則関数である。 $z\in K$ とすると、補題 1.5 (3)により $\overline{D}(z,\rho)\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$ である。円周 $|\zeta-z|=\rho$ は $K_{\rho}$ に含まれるから、

\mu_{n}=\sup_{\zeta\in K_{\rho}}|g_{n}(\zeta)|

とおくと、この円周の上で $|g_{n}(\zeta)|\le\mu_{n}$ である。 $|g_{n}|$ は $K_{\rho}$ の上で連続であり $K_{\rho}$ は空でないコンパクト集合であるから、§E5.9 命題 1.1により $\mu_{n}$ は最大値として実数の値をとる。 $K_{\rho}$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、仮定により $\mu_{n}\to 0$ である。§E5.6 系 4.2を $g_{n}$ 、中心 $z$ 、半径 $\rho$ 、 $M=\mu_{n}$ 、 $m=k$ として適用すると

\bigl|f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)\bigr|=\bigl|g_{n}^{(k)}(z)\bigr|\le\frac{k!\,\mu_{n}}{\rho^{k}}

である。右辺は $z\in K$ によらず、 $n\to\infty$ で $0$ へ収束する。よって $\varepsilon>0$ に対して $k!\,\mu_{n}/\rho^{k}<\varepsilon$ を満たす番号 $N$ をとれば、 $n\ge N$ と $z\in K$ について $|f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|<\varepsilon$ である。▨

注意 2.2 (実数の上との違い). 実数の上では、微分可能な関数の列が一様収束しても、極限が微分可能であるとは限らない。 $h_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+1/n}$ とおくと、各 $h_{n}$ は $\R$ の上で微分可能であり、

\bigl|h_{n}(x)-|x|\bigr|=\frac{1/n}{\sqrt{x^{2}+1/n}+|x|}\le\frac{1/n}{\sqrt{1/n}}=\frac{1}{\sqrt n}

であるから、 $(h_{n})$ は $\R$ の全体で $x\mapsto|x|$ へ一様収束する。極限は $x=0$ で微分可能でない。

定理 2.1では、この現象が正則関数では起こらないことが述べられている。差を生むのは§E5.6 系 4.2であり、この評価により導関数の値が、その点を囲む円周の上の関数の値だけで押さえられる。実数の上には対応する評価がない。

3 Hurwitz の定理

定理 3.1 (Hurwitz の定理). $\Omega\subseteq\C$ を領域、 $f_{n}$ （ $n\in\Z_{\ge 1}$ ）を $\Omega$ の上の正則関数とし、 $(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束するとする。 $a\in\Omega$ と $r>0$ が $\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$ を満たし、円周 $|z-a|=r$ の上で $f$ が零点をもたないとする。このとき番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ を満たすすべての $n$ について、 $f_{n}$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数と、 $f$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数は等しい。ここでどちらの個数も、零点の位数（§E5.8 定義 1.1）を込めて数えたものである。

証明. $f$ は定理 2.1 (1)により $\Omega$ の上で正則である。

まず、 $\overline{D}(a,r)$ を含む開円板を $\Omega$ の中にとる。 $K=\overline{D}(a,r)$ は補題 1.3によりコンパクトである。 $K\ne\varnothing$ であるから補題 1.5により $\rho>0$ をとり、 $K_{\rho}\subseteq\Omega$ とする。 $r'=r+\rho$ とおくと、 $|z-a|<r'$ を満たす $z$ について、 $|z-a|\le r$ ならば $z\in K\subseteq K_{\rho}$ であり、 $r<|z-a|<r'$ ならば $w=a+r(z-a)/|z-a|$ が $|w-a|=r$ を満たして $K$ に属し、 $|z-w|=|z-a|\bigl|1-r/|z-a|\bigr|=|z-a|-r<r'-r=\rho$ であるから $d(z,K)\le|z-w|<\rho$ となって $z\in K_{\rho}$ である。よって $D=D(a,r')\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$ である。 $D$ は空でない開集合であり、凸であるから任意の二点が $D$ に含まれる線分で結ばれ、§E5.1 命題 1.4により連結である。ゆえに $D$ は領域である。

|f_{n}(z)-f(z)|<m\le|f(z)|

が成り立つ。

$n\ge N$ を固定し、 $g=f_{n}-f$ とおく。 $f$ と $g$ は $D$ の上の正則関数であり、 $|\Gamma|$ の上で $|g|<|f|$ であり、 $|\Gamma|\ne\varnothing$ である。ゆえに§E5.14 定理 4.1を領域 $D$ とサイクル $\Gamma$ へ適用することができ、 $f$ と $f+g=f_{n}$ はどちらも $D$ の上で恒等的に $0$ ではなく、

\sum_{b}n(\Gamma,b)\operatorname{ord}(f,b)=\sum_{b}n(\Gamma,b)\operatorname{ord}(f_{n},b)

が成り立つ。ここで $\operatorname{ord}$ は§E5.14 定義 1.1の記号であり、極をもたない正則関数については零点の位数（§E5.8 定義 1.1）に一致する。和はそれぞれの $D$ における零点にわたる。§E5.5 命題 5.6 (1)により、 $|b-a|<r$ のとき $n(\Gamma,b)=1$ 、 $|b-a|>r$ のとき $n(\Gamma,b)=0$ である。また $|b-a|=r$ を満たす点は $|\Gamma|$ に属し、そこでは $f\ne 0$ かつ $|f_{n}|\ge|f|-|g|>0$ であるから、 $f$ の零点でも $f_{n}$ の零点でもない。したがって左辺は $f$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点を位数込みで数えた個数、右辺は $f_{n}$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点を位数込みで数えた個数であり、両者は等しい。▨

Hurwitz の定理は、円周を一つ固定した局所的な形で述べた。極限が定数でない場合には、極限の各零点のまわりで Hurwitz の定理を適用することができる。その適用の結果を、次の系で述べる。

系 3.2. $\Omega\subseteq\C$ を領域、 $f_{n}$ を $\Omega$ の上の正則関数とし、 $(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束するとする。 $f$ が $\Omega$ の上で定数でないと仮定する。 $a\in\Omega$ を $f$ の零点とし、その位数（§E5.8 定義 1.1）を $k\ge 1$ とする。このとき $r_{0}>0$ が存在して、 $0<r\le r_{0}$ を満たすすべての $r$ について次が成り立つ。番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ を満たすすべての $n$ について、 $f_{n}$ は $D(a,r)$ の中に位数を込めてちょうど $k$ 個の零点をもつ。とくに $f_{n}$ は $D(a,r)$ の中に零点をもつ。

証明. $f$ は定理 2.1 (1)により $\Omega$ の上で正則である。 $f$ は定数でないから、 $\Omega$ の上で恒等的に $0$ ではない。ゆえに§E5.8 命題 2.2により、 $\rho_{1}>0$ が存在して、 $0<|z-a|<\rho_{1}$ を満たす $z\in\Omega$ の全体で $f(z)\ne 0$ である。また $\Omega$ は開集合であるから $D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$ を満たす $\rho_{2}>0$ が存在する。 $r_{0}=\tfrac12\min(\rho_{1},\rho_{2})$ とおく。

$0<r\le r_{0}$ とする。 $\overline{D}(a,r)\subseteq D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$ であり、円周 $|z-a|=r$ の上では $0<|z-a|=r\le r_{0}<\rho_{1}$ であるから $f$ は零点をもたない。ゆえに定理 3.1を適用することができ、番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ について $f_{n}$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数は、 $f$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数に等しい。 $f$ の $D(a,r)$ における零点は $a$ だけであり、その位数は $k$ であるから、この個数は $k$ である。 $k\ge 1$ であるから $f_{n}$ は $D(a,r)$ の中に零点をもつ。▨

系 3.3. $\Omega\subseteq\C$ を領域、 $f_{n}$ を $\Omega$ の上の正則関数とし、各 $n$ について $f_{n}$ は $\Omega$ の上で零点をもたないとする。 $(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束するならば、 $f$ は $\Omega$ の上で恒等的に $0$ であるか、または $\Omega$ の上で零点をもたない。

証明. $f$ が $\Omega$ の上で恒等的に $0$ でないと仮定し、 $f$ が零点 $a\in\Omega$ をもつとして矛盾を導く。 $f$ は定理 2.1 (1)により正則である。 $f$ は恒等的に $0$ でないから、§E5.8 命題 2.2により $\rho_{1}>0$ が存在して、 $0<|z-a|<\rho_{1}$ を満たす $z\in\Omega$ の全体で $f(z)\ne 0$ である。 $D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$ を満たす $\rho_{2}>0$ をとり、 $r=\tfrac12\min(\rho_{1},\rho_{2})$ とおくと、 $\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$ であり、円周 $|z-a|=r$ の上で $f$ は零点をもたない。また $r<\rho_{1}$ であるから、 $f$ の $D(a,r)$ における零点は $a$ だけである。定理 3.1により、ある番号 $N$ が存在して、 $n\ge N$ について $f_{n}$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数は、 $f$ が $D(a,r)$ の中にもつ零点の個数に等しい。後者は $a$ の位数（§E5.8 定義 1.1）であり $1$ 以上であるから、 $f_{N}$ は $D(a,r)$ の中に零点をもつ。これは $f_{N}$ が $\Omega$ の上で零点をもたないという仮定に反する。▨

系 3.4. $\Omega\subseteq\C$ を領域、 $f_{n}$ を $\Omega$ の上の単射な正則関数とし、 $(f_{n})$ が $\Omega$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束するとする。このとき $f$ は $\Omega$ の上で単射であるか、または $\Omega$ の上で定数である。

証明. $f$ は定理 2.1 (1)により $\Omega$ の上で正則である。 $f$ が定数でないと仮定して、 $f$ が単射であることを示す。

$f$ が単射でないと仮定する。すなわち $z_{1},z_{2}\in\Omega$ が存在して $z_{1}\ne z_{2}$ かつ $f(z_{1})=f(z_{2})$ である。 $w=f(z_{1})$ とおき、 $g=f-w$ 、 $g_{n}=f_{n}-w$ とおく。 $g_{n}$ は $\Omega$ の上の正則関数であり、 $(g_{n})$ は $\Omega$ の上で $g$ へ定義 1.1の意味で収束する。実際、 $g_{n}-g=f_{n}-f$ であるから、収束の条件は $(f_{n})$ についてのものと同じである。 $f$ は定数でないから $g$ も定数でなく、 $z_{1}$ と $z_{2}$ はどちらも $g$ の零点である。

系 3.2を $g$ 、 $(g_{n})$ 、零点 $z_{1}$ へ適用して $r_{1}>0$ を、零点 $z_{2}$ へ適用して $r_{2}>0$ を得る。 $r=\tfrac13\min(r_{1},r_{2},|z_{1}-z_{2}|)$ とおくと $0<r\le r_{1}$ 、 $0<r\le r_{2}$ である。同系により、番号 $N_{1}$ が存在して $n\ge N_{1}$ について $g_{n}$ は $D(z_{1},r)$ の中に零点をもち、番号 $N_{2}$ が存在して $n\ge N_{2}$ について $g_{n}$ は $D(z_{2},r)$ の中に零点をもつ。 $n_{*}=\max(N_{1},N_{2})$ とし、 $g_{n_{*}}$ の $D(z_{1},r)$ の中の零点を $\zeta_{1}$ 、 $g_{n_{*}}$ の $D(z_{2},r)$ の中の零点を $\zeta_{2}$ とする。

|\zeta_{1}-\zeta_{2}|\ge|z_{1}-z_{2}|-|\zeta_{1}-z_{1}|-|\zeta_{2}-z_{2}| >|z_{1}-z_{2}|-2r\ge|z_{1}-z_{2}|-\tfrac23|z_{1}-z_{2}|>0

であるから $\zeta_{1}\ne\zeta_{2}$ である。一方 $g_{n_{*}}(\zeta_{1})=g_{n_{*}}(\zeta_{2})=0$ 、すなわち $f_{n_{*}}(\zeta_{1})=f_{n_{*}}(\zeta_{2})=w$ である。これは $f_{n_{*}}$ が単射であることに反する。

ゆえに $f$ が定数でなければ $f$ は単射である。▨

例 3.5.系 3.4の結論から「定数である」という場合を落とすことはできない。 $\Omega=\C$ 、 $f_{n}(z)=z/n$ とおくと、各 $f_{n}$ は正則であり、 $f_{n}(z)=f_{n}(z')$ から $z=z'$ が従うので単射である。 $K\subseteq\C$ をコンパクト集合とすると、§E2.9 系 4.1により $K$ は有界であるから、 $K$ のすべての点 $z$ について $|z|\le R$ を満たす $R$ が存在する。 $\varepsilon>0$ に対して $R/N<\varepsilon$ を満たす $N$ をとると、 $n\ge N$ と $z\in K$ について $|f_{n}(z)-0|=|z|/n\le R/N<\varepsilon$ である。よって $(f_{n})$ は定数関数 $0$ へコンパクト集合の上で一様収束する。極限は定数であり、単射ではない。

4 Montel の定理に対する解析的支援

定義 4.1. $\Omega\subseteq\C$ を開集合とし、 $\mathcal F$ を $\Omega$ の上の正則関数からなる集合とする。 $\mathcal F$ が正規族 (normal family) であるとは、 $\mathcal F$ の元からなる任意の列 $(f_{n})_{n\ge 1}$ に対して、狭義単調増加な写像 $\kappa:\Z_{\ge 1}\to\Z_{\ge 1}$ と関数 $g:\Omega\to\C$ が存在して、部分列 $(f_{\kappa(k)})_{k\ge 1}$ が $\Omega$ の上で $g$ へ定義 1.1の意味で収束することをいう。

注意 4.2 (正規族の定義について). 定義について三点を注意する。

第一に、部分列の極限 $g$ は自動的に正則である。実際、 $(f_{\kappa(k)})$ は $\Omega$ の上の正則関数の列であるから、定理 2.1 (1)が適用される。したがって定義で $g$ の正則性を要求する必要はない。

第二に、族の元が互いに異なることも、族が可算であることも要求しない。列 $(f_{n})$ の項が重複してもよい。

第三に、本記事の定義では、部分列が $\Omega$ の上の複素数値関数へ収束することを要求する。値が無限へ発散する場合を極限として許す定義もあり、その定義のもとでは有理型関数の族に対する正規性の判定が主題になる。本記事ではその形を扱わない。

正規族であるための十分条件として、本記事で扱うのは次の条件である。

定義 4.3. $\Omega\subseteq\C$ を開集合とし、 $\mathcal F$ を $\Omega$ から $\C$ への関数からなる集合とする。 $\mathcal F$ が局所一様有界 (locally uniformly bounded) であるとは、 $\Omega$ の各点 $a$ に対して $r>0$ と実数 $M$ が存在して、 $D(a,r)\subseteq\Omega$ であり、かつ $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $D(a,r)$ のすべての点 $z$ について

|f(z)|\le M

が成り立つことをいう。 $r$ と $M$ は点 $a$ に依存してよいが、 $M$ は族の元 $f$ にも点 $z$ にも依存しない。

命題 4.4. $\Omega\subseteq\C$ を開集合、 $\mathcal F$ を $\Omega$ から $\C$ への関数からなる集合とする。次の二つは同値である。

$\mathcal F$ は定義 4.3の意味で局所一様有界である。
$\Omega$ に含まれるすべてのコンパクト集合 $K$ に対して実数 $M_{K}$ が存在して、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $K$ のすべての点 $z$ について $|f(z)|\le M_{K}$ が成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $K\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。 $K=\varnothing$ のときは $M_{K}=0$ でよい。 $K\ne\varnothing$ とする。

\mathcal V=\Bigl\{\,D(a,r)\ \Bigm|\ a\in\Omega,\ r>0,\ D(a,r)\subseteq\Omega,\ \text{$\mathcal F$ は $D(a,r)$ の上で一様有界である}\,\Bigr\}

とおく。ここで「 $\mathcal F$ が $D(a,r)$ の上で一様有界である」とは、実数 $M$ が存在して $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $D(a,r)$ のすべての点 $z$ について $|f(z)|\le M$ が成り立つことをいう。(1)により、 $K$ の各点は $\mathcal V$ のある元に属するから $K\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V}V$ である。§E2.19 命題 2.6により有限個の $V_{1},\dots,V_{p}\in\mathcal V$ で $K\subseteq V_{1}\cup\cdots\cup V_{p}$ を満たすものが存在する。各 $V_{i}$ について $\mathcal F$ を $V_{i}$ の上で押さえる実数 $M_{i}$ を一つずつとる。 $M_{K}=\max\{M_{1},\dots,M_{p}\}$ とおくと、 $\mathcal F$ の各元 $f$ と $K$ の各点 $z$ について、 $z\in V_{i}$ を満たす $i$ をとって $|f(z)|\le M_{i}\le M_{K}$ である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $a\in\Omega$ とする。 $D(a,s)\subseteq\Omega$ を満たす $s>0$ をとり、 $r=s/2$ とおくと $\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$ である。補題 1.3により $\overline{D}(a,r)$ はコンパクトである。(2)をこのコンパクト集合へ適用して $M=M_{\overline{D}(a,r)}$ とおくと、 $D(a,r)\subseteq\overline{D}(a,r)$ であるから、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $D(a,r)$ のすべての点 $z$ について $|f(z)|\le M$ である。▨

次の命題が、Montel の定理の証明のうち正則性を用いる部分である。局所一様有界性という値についての仮定から、族全体に共通の $\delta$ をとることができるという同程度連続性が従う。正則性を外すと、この含意は成り立たない。実数の上の連続関数については、§E2.31 例 1.7で、 $[0,1]$ の上で値が $0$ 以上 $1$ 以下の連続関数からなる族であって同程度連続でないものを与えている。

命題 4.5. $\Omega\subseteq\C$ を開集合、 $\mathcal F$ を $\Omega$ の上の正則関数からなる定義 4.3の意味で局所一様有界な集合とし、 $K\subseteq\Omega$ を空でないコンパクト集合とする。このとき $\rho>0$ と実数 $L>0$ が存在して、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と、 $|z-w|\le\rho$ を満たす $K$ のすべての二点 $z,w$ について

|f(z)-f(w)|\le L\,|z-w|

が成り立つ。とくに、制限からなる族 $\mathcal F|_{K}=\{\,f|_{K}\mid f\in\mathcal F\,\}$ は、 $K$ に制限距離を入れたとき§E2.31 定義 1.4の意味で一様に同程度連続であり、§E2.31 定義 1.2の意味で同程度連続である。

証明.補題 1.5を $K$ へ適用して $\rho>0$ をとり、 $K_{\rho}\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。 $K_{\rho}$ は $K$ を含むから空でない。ふたたび同補題を $K_{\rho}$ へ適用して $\sigma>0$ をとり、 $(K_{\rho})_{\sigma}\subseteq\Omega$ をコンパクト集合とする。命題 4.4 (1) $\Rightarrow$ (2)により、実数 $M\ge 0$ が存在して、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $(K_{\rho})_{\sigma}$ のすべての点 $\zeta$ について $|f(\zeta)|\le M$ である。

$\mathcal F$ の元 $f$ をとる。 $K_{\rho}$ の各点 $\zeta$ について、補題 1.5 (3)により $\overline{D}(\zeta,\sigma)\subseteq(K_{\rho})_{\sigma}\subseteq\Omega$ であり、円周 $|\xi-\zeta|=\sigma$ の上で $|f(\xi)|\le M$ である。§E5.6 系 4.2を $f$ 、中心 $\zeta$ 、半径 $\sigma$ 、 $m=1$ として適用すると

|f'(\zeta)|\le\frac{M}{\sigma}

である。この評価は $K_{\rho}$ のすべての点で成り立ち、 $\mathcal F$ の元 $f$ にも依存しない。

$L=\max\bigl(M/\sigma,\ 1\bigr)$ とおく。 $z,w\in K$ が $|z-w|\le\rho$ を満たすとする。 $\gamma(t)=z+t(w-z)$ （ $t\in[0,1]$ ）は始点 $z$ 、終点 $w$ の区分的に一階連続微分可能な曲線（§E5.4 定義 2.1）であり、その長さは $|w-z|$ である。 $\gamma$ の台は $K_{\rho}$ に含まれる。実際 $t\in[0,1]$ について $|\gamma(t)-z|=t|w-z|\le\rho$ であり、 $z\in K$ であるから $d(\gamma(t),K)\le\rho$ である。 $f$ は $\Omega$ の上で正則であるから§E5.6 定理 4.1により $f'$ も $\Omega$ の上で正則であり、とくに連続である。 $f$ は $f'$ の原始関数であるから、§E5.4 定理 4.2により

f(w)-f(z)=\int_{\gamma}f'(\zeta)\,d\zeta

である。 $\gamma$ の台の上で $|f'|\le M/\sigma\le L$ であるから、§E5.4 命題 3.2により

|f(w)-f(z)|\le L\,|w-z|

である。

最後の主張を示す。 $\varepsilon>0$ をとり、 $\delta=\min\bigl(\rho,\ \varepsilon/(L+1)\bigr)$ とおく。 $\delta>0$ である。 $\mathcal F$ の元 $f$ と、 $|z-w|<\delta$ を満たす $K$ の二点 $z,w$ について、 $|z-w|<\delta\le\rho$ であるから上の評価を用いることができ、

|f(z)-f(w)|\le L|z-w|<L\delta\le\frac{L\varepsilon}{L+1}<\varepsilon

である。 $\delta$ は $f$ にも $z,w$ にも依存しないから、§E2.31 定義 1.4の意味で $\mathcal F|_{K}$ は一様に同程度連続である。一様に同程度連続な族が§E2.31 定義 1.2の意味で同程度連続であることは、後者の条件が前者の条件で基準点 $z$ を固定したものであることによる。▨

5 Montel の定理

定理 5.1 (Montel の定理). $\Omega\subseteq\C$ を開集合とし、 $\mathcal F$ を $\Omega$ の上の正則関数からなる定義 4.3の意味で局所一様有界な集合とする。このとき $\mathcal F$ は定義 4.1の意味で正規族である。

証明. $\Omega=\varnothing$ の場合、 $\Omega$ の上の関数は空写像だけであり、 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合は $\varnothing$ だけである。任意の列に対して恒等写像 $\kappa$ と空写像 $g$ をとれば、定義 1.1の条件は空虚に成り立つ。以下 $\Omega\ne\varnothing$ とする。

$(f_{j})_{j\ge 1}$ を $\mathcal F$ の元からなる列とする。

補題 1.6により、 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合の列 $(K_{n})_{n\ge 1}$ で補題 1.6 (2)と補題 1.6 (3)を満たすものをとる。

まず、一つのコンパクト集合の上で部分列を取り出す。 $n\in\Z_{\ge 1}$ と狭義単調増加な写像 $\tau:\Z_{\ge 1}\to\Z_{\ge 1}$ に対して、狭義単調増加な写像 $\upsilon:\Z_{\ge 1}\to\Z_{\ge 1}$ が存在して、列 $(f_{\tau(\upsilon(k))})_{k\ge 1}$ は $K_{n}$ の上で一様収束する。ここで「 $K_{n}$ の上で一様収束する」とは、ある関数 $h:K_{n}\to\C$ が存在して、すべての $\varepsilon>0$ に対して番号 $N$ が存在し、 $k\ge N$ と $z\in K_{n}$ について $|f_{\tau(\upsilon(k))}(z)-h(z)|<\varepsilon$ が成り立つことをいう。

$K_{n}=\varnothing$ のときは $\upsilon$ を恒等写像、 $h$ を空写像とすればよい。以下 $K_{n}\ne\varnothing$ とする。 $K_{n}$ に $\C$ の距離の制限を入れると、§E2.12 命題 4.8により制限距離が生じる位相は部分空間位相に一致するので、 $K_{n}$ はコンパクト距離空間である。値域は $\C$ であり、これは Euclid 距離を入れた $\R^{2}$ と同一視される（§E1.14 定義 4.1、§E2.1 定義 3.2）から、§E2.5 命題 4.2により完備距離空間である。 $\mathcal F$ の各元は $\Omega$ の上で正則であり、とくに連続であるから、制限からなる族 $\mathcal F|_{K_{n}}$ は $C(K_{n},\C)$ の部分集合である。

$\mathcal F|_{K_{n}}$ が同程度連続であることは命題 4.5による。各点で全有界（§E2.31 定義 2.1）であることを示す。命題 4.4 (1) $\Rightarrow$ (2)により、実数 $M\ge 0$ が存在して、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $K_{n}$ のすべての点 $z$ について $|f(z)|\le M$ である。 $z\in K_{n}$ を固定すると、 $\mathcal F|_{K_{n}}(z)=\{f(z) : f\in\mathcal F\}\subseteq\overline{D}(0,M)$ である。 $\overline{D}(0,M)$ は有界かつ閉であるから§E2.9 定理 4.3（ $n=2$ ）によりコンパクトであり、§E2.9 系 3.3により、制限距離を入れた距離空間として全有界である。§E2.8 命題 3.1によりその部分集合 $\mathcal F|_{K_{n}}(z)$ も全有界であり、制限距離の制限はもとの距離の制限であるから、 $\mathcal F|_{K_{n}}(z)$ は $\C$ の部分集合として全有界である。

ゆえに§E2.31 系 4.5を、定義域 $K_{n}$ 、値域 $\C$ 、族 $\mathcal F|_{K_{n}}$ 、点列 $(f_{\tau(k)}|_{K_{n}})_{k\ge 1}$ へ適用することができ、この点列の部分列と $h\in C(K_{n},\C)$ で、部分列が $h$ へ§E2.31 定義 4.3の意味で一様収束するものが存在する。部分列をとることは、狭義単調増加な写像 $\upsilon$ による添字の合成にほかならない。また§E2.30 定義 2.5の一様距離は $K_{n}$ の上の最大値として定まるから、 $\lim_{k\to\infty}d_{\infty}(f_{\tau(\upsilon(k))}|_{K_{n}},h)=0$ が成り立つことと、上に述べた $\varepsilon$ と $N$ による条件が成り立つことは同じ内容である。

この部分列抽出を $K_1,K_2,\ldots$ に対して帰納的に適用する。 $T$ を $\Z_{\ge1}$ から $\Z_{\ge1}$ への狭義単調増加写像の全体とする。 $\tau_0=\mathrm{id}$ とし、各 $n\ge0$ について、 $K_{n+1}$ の上で一様収束する部分列を与える狭義単調増加写像 $\upsilon_{n+1}$ を直前の列 $(f_{\tau_n(k)})_{k\ge1}$ に対して取り、 $\tau_{n+1}=\tau_n\circ\upsilon_{n+1}$ とおく。したがって

\tau_{n+1}=\tau_{n}\circ\upsilon_{n+1}\quad(\upsilon_{n+1}\in T),\qquad (f_{\tau_{n+1}(k)})_{k\ge 1}\ \text{は}\ K_{n+1}\ \text{の上で一様収束する}

を満たす列 $(\tau_n)$ を得る。

$\kappa(k)=\tau_{k}(k)$ （ $k\in\Z_{\ge 1}$ ）とおく。 $\kappa$ が狭義単調増加であることを示す。 $\upsilon_{k+1}$ は狭義単調増加な写像であるから $\upsilon_{k+1}(k+1)\ge k+1$ であり、 $\tau_{k}$ も狭義単調増加であるから

\kappa(k+1)=\tau_{k+1}(k+1)=\tau_{k}\bigl(\upsilon_{k+1}(k+1)\bigr)\ge\tau_{k}(k+1)>\tau_{k}(k)=\kappa(k)

である。

次に、各 $m\in\Z_{\ge 1}$ について、列 $(f_{\kappa(k)})_{k\ge m}$ が $(f_{\tau_{m}(j)})_{j\ge 1}$ の部分列であることを示す。 $k\ge m$ に対して $\omega_{m,k}=\upsilon_{m+1}\circ\upsilon_{m+2}\circ\cdots\circ\upsilon_{k}$ とおく（ $k=m$ のときは恒等写像とする）。狭義単調増加な写像の合成は狭義単調増加であるから $\omega_{m,k}\in T$ であり、 $\tau_{k}=\tau_{m}\circ\omega_{m,k}$ である。 $j_{k}=\omega_{m,k}(k)$ とおくと $\kappa(k)=\tau_{m}(j_{k})$ である。 $j_{k}$ が $k\ge m$ について狭義単調増加であることは、

j_{k+1}=\omega_{m,k+1}(k+1)=\omega_{m,k}\bigl(\upsilon_{k+1}(k+1)\bigr) \ge\omega_{m,k}(k+1)>\omega_{m,k}(k)=j_{k}

による。 $j_{k}$ は正の整数からなる狭義単調増加な列であるから、 $k\ge m$ について $j_{k}\ge j_{m}+(k-m)\ge k-m+1$ が成り立つ。 $(f_{\tau_{m}(j)})_{j\ge 1}$ は $K_{m}$ の上である関数 $h_{m}$ へ一様収束するから、 $\varepsilon>0$ に対して番号 $N$ をとり、 $k_{0}=m+N$ とおく。 $k\ge k_{0}$ ならば $j_{k}\ge k-m+1\ge N+1>N$ であるから、 $k\ge k_{0}$ と $z\in K_{m}$ について $|f_{\kappa(k)}(z)-h_{m}(z)|=|f_{\tau_{m}(j_{k})}(z)-h_{m}(z)|<\varepsilon$ である。ゆえに $(f_{\kappa(k)})_{k\ge 1}$ は $K_{m}$ の上で $h_{m}$ へ一様収束する。

$z\in\Omega$ とすると、補題 1.6 (2)により $z\in K_{m}$ を満たす $m$ が存在する。上で示した一様収束により $(f_{\kappa(k)}(z))_{k\ge 1}$ は $h_{m}(z)$ へ収束する。 $z\in K_{m}\cap K_{m'}$ であれば、§E2.3 命題 1.3により $h_{m}(z)=h_{m'}(z)$ である。したがって

g(z)=\lim_{k\to\infty}f_{\kappa(k)}(z)\qquad(z\in\Omega)

は $\Omega$ の上の関数を定め、 $K_{m}$ の上で $g=h_{m}$ である。

$K\subseteq\Omega$ をコンパクト集合、 $\varepsilon>0$ とする。補題 1.6 (3)により $K\subseteq K_{N}$ を満たす $N$ が存在する。番号 $N'$ が存在して、 $k\ge N'$ と $z\in K_{N}$ について $|f_{\kappa(k)}(z)-h_{N}(z)|<\varepsilon$ である。 $K\subseteq K_{N}$ かつ $K_{N}$ の上で $h_{N}=g$ であるから、 $k\ge N'$ と $z\in K$ について $|f_{\kappa(k)}(z)-g(z)|<\varepsilon$ である。ゆえに $(f_{\kappa(k)})$ は $\Omega$ の上で $g$ へ定義 1.1の意味で収束する。 $\kappa$ は狭義単調増加であるから、 $\mathcal F$ は正規族である。▨

例 5.2. $\Omega=D(0,1)$ 、 $M>0$ とし、

\mathcal F=\{\,f:\Omega\to\C\ \mid\ f\ \text{は}\ \Omega\ \text{の上で正則であり、}\ \Omega\ \text{のすべての点}\ z\ \text{について}\ |f(z)|\le M\,\}

とおく。 $\Omega$ の各点 $a$ に対して、 $D(a,r)\subseteq\Omega$ を満たす $r>0$ をとれば、 $\mathcal F$ のすべての元と $D(a,r)$ のすべての点について $|f(z)|\le M$ であるから、 $\mathcal F$ は定義 4.3の意味で局所一様有界である。ゆえに定理 5.1により $\mathcal F$ は正規族である。

$M=1$ とした族は、単位円板から単位円板への正則写像をすべて含む。実際、そのような写像 $f$ は $\Omega$ のすべての点 $z$ について $|f(z)|<1$ を満たし、とくに $|f(z)|\le 1$ である。したがって§E5.16 定理 2.1が扱う関数は、すべてこの族に属する。

例 5.3. $\Omega=D(0,1)$ とし、 $f_{n}(z)=nz$ 、 $\mathcal F=\{\,f_{n}\mid n\in\Z_{\ge 1}\,\}$ とおく。各 $f_{n}$ は $\Omega$ の上で正則である。この族は正規族でない。

実際、列 $(f_{n})_{n\ge 1}$ と狭義単調増加な写像 $\kappa$ をとる。 $K=\overline{D}(0,1/2)$ は補題 1.3によりコンパクトであり、 $K\subseteq\Omega$ である。 $(f_{\kappa(k)})$ が $\Omega$ の上のある関数 $g$ へ定義 1.1の意味で収束すると仮定する。 $K$ へ条件を適用し、 $z=1/2\in K$ をとると、複素数の列 $(f_{\kappa(k)}(1/2))_{k\ge 1}=(\kappa(k)/2)_{k\ge 1}$ は $g(1/2)$ へ収束する。 $\varepsilon=1$ に対して番号 $N$ をとると、 $k\ge N$ について $\kappa(k)/2<|g(1/2)|+1$ である。 $\kappa$ は狭義単調増加な正の整数の列であるから、 $k$ についての帰納法により $\kappa(k)\ge k$ が成り立ち、 $k\ge N$ について $k/2<|g(1/2)|+1$ となる。ところが Archimedes の性質により $k/2\ge|g(1/2)|+1$ を満たす $k\ge N$ が存在するので、これは矛盾である。ゆえに一様収束する部分列は存在せず、 $\mathcal F$ は正規族でない。

この族が定理 5.1の仮定を満たさないことも直接確かめることができる。定義 4.3の条件を点 $a=1/2$ について見ると、 $D(1/2,r)\subseteq\Omega$ を満たすどのような $r>0$ をとっても、 $1/2\in D(1/2,r)$ であり $|f_{n}(1/2)|=n/2$ は $n$ について上に有界でないから、条件にある実数 $M$ は存在しない。よって $\mathcal F$ は局所一様有界でない。

注意 5.4 (本記事が扱わない範囲). 三点を挙げる。

第一に、本記事では定理 5.1の逆を扱わない。すなわち、正則関数からなる正規族が局所一様有界であるかどうかを、本記事では論じない。以後の議論で用いるのは、局所一様有界性から正規性を導く向きだけである。

第二に、注意 4.2の第三点で述べたとおり、値が無限へ発散する場合を極限として許す正規族の定義があり、その定義のもとで有理型関数の族に対する正規性の判定が主題になる。本記事ではこの形を扱わない。

第三に、一意化定理と Picard の定理は本単元では扱わない。

6 演習

問題 6.1.

例 1.2で、 $K\subseteq D(0,1)$ がコンパクトであることから $\max_{z\in K}|z|<1$ を導いた。 $K$ を単に有界な部分集合としたとき、この不等式が成り立たない例を一つ挙げる。
$H=\{z\in\C:\Re z>1\}$ とし、正の整数 $n$ と $z\in\C$ について $n^{-z}=e^{-z\ln n}$ とおく。級数 $F(z)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-z}$ は $H$ の各点で収束し、 $F$ は $H$ の上で正則であって $F'(z)=-\sum_{n=2}^{\infty}(\ln n)\,n^{-z}$ が成り立つことを示せ。
$\Omega=D(0,1)$ 、 $f_{n}(z)=z^{n}/n$ とする。 $(f_{n})$ は $\Omega$ の全体で $0$ へ一様収束するが、導関数の列 $(f_{n}')$ は $\Omega$ の全体では $0$ へ一様収束しないことを示せ。
非負の整数 $n$ について $P_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}z^{k}/k!$ とおく。任意の $R>0$ に対して番号 $N$ が存在し、 $n\ge N$ ならば $P_{n}$ は $D(0,R)$ に零点をもたないことを示せ。
系 3.3の結論から「恒等的に $0$ である」という場合を落とすことはできない。 $\Omega=D(0,1)$ の上の $f_{n}(z)=1/n$ について、このことを確かめる。
$\Omega=D(0,1)\cup D(3,1)$ とする。 $\Omega$ の上の単射な正則関数の列 $(f_{n})$ であって、 $\Omega$ の上で定数でない関数 $f$ へ一様収束し、 $f$ が単射でないものを構成せよ。これにより、系 3.4で $\Omega$ が領域であるという仮定を外すと結論が成り立たないことを示せ。
命題 4.5の評価を、補題 1.5を $K$ に一度だけ適用し、線分 $[z,w]$ の点が $K$ からの距離 $\rho/2$ 以内にあることを用いて示せ。
$\mathcal P$ を、 $D(0,1)$ の上の正則関数 $f$ であって、すべての $z\in D(0,1)$ で $\Re f(z)>0$ を満たし、 $f(0)=1$ を満たすものの全体とする。 $\mathcal P$ は定義 4.1の意味で正規族であることを示せ。
$\Omega=D(0,1)$ とする。 $\Omega$ の上の正則関数の列 $(f_{j})_{j\ge1}$ と、狭義単調増加な写像 $\tau_{n}:\NN\to\NN$ （ $n\ge1$ ）であって、次を満たすものを構成せよ。各 $n$ について $(f_{\tau_{n}(k)})_{k\ge1}$ は $\Omega$ の上で一様収束し、 $\kappa(k)=\tau_{k}(k)$ は狭義単調増加であるが、 $(f_{\kappa(k)})_{k\ge1}$ は $\Omega$ のどの点でも収束しない。

解答.

$K=D(0,1)$ とする。 $K$ は有界であり、 $K\subseteq D(0,1)$ である。 $K$ の点 $t=1-1/n$ （ $n\ge2$ ）は $|t|\to1$ を満たすので $\sup_{z\in K}|z|=1$ であり、 $|z|<1$ がすべての $z\in K$ で成り立つから、この上限は $K$ の上で達成されない。したがって $\max_{z\in K}|z|$ は存在せず、 $|z|\le\rho$ （ $z\in K$ ）を満たす $\rho<1$ も存在しない。実際、同例の後半で示したとおり、 $(z^{n})$ はこの $K$ の上で $0$ へ一様収束しない。 $K$ が空でないコンパクト集合であれば、§E5.9 命題 1.1により $|z|$ は $K$ の点 $z_{0}$ で最大値をとり、 $z_{0}\in D(0,1)$ から最大値は $1$ 未満になる。
$z=x+iy$ とすると、§E5.3 命題 1.7 (1)により $|n^{-z}|=e^{-x\ln n}=n^{-x}$ である。

$K\subseteq H$ を空でないコンパクト集合とする。§E5.9 命題 1.1により連続関数 $\Re z$ は $K$ の上で最小値 $\sigma$ をとり、 $\sigma>1$ である。 $z\in K$ について $|n^{-z}|\le n^{-\sigma}$ であり、§D1.21 例 5.2により $\sum_{n\ge1}n^{-\sigma}$ は収束する。§E5.3 補題 1.1により $F(z)$ は収束し、 $H$ の各点は一点からなるコンパクト集合であるから、 $F$ は $H$ の上で定まる。 $S_{N}(z)=\sum_{n=1}^{N}n^{-z}$ とおくと、 $z\in K$ について
$|F(z)-S_{N}(z)|=\Bigl|\sum_{n>N}n^{-z}\Bigr|\le\sum_{n>N}n^{-\sigma}$
であり、右辺は $z$ によらず $N\to\infty$ で $0$ に収束する。したがって $(S_{N})$ は $H$ の上で $F$ へ定義 1.1の意味で収束する。各 $S_{N}$ は§E5.3 命題 1.8と連鎖律により正則で、 $S_{N}'(z)=-\sum_{n=1}^{N}(\ln n)n^{-z}$ である。定理 2.1 (1)により $F$ は $H$ の上で正則であり、定理 2.1 (2)により $S_{N}'\to F'$ が $H$ の各点で成り立つ。 $\ln1=0$ であるから $F'(z)=-\sum_{n=2}^{\infty}(\ln n)n^{-z}$ である。
$z\in\Omega$ について $|f_{n}(z)|=|z|^{n}/n<1/n$ であるから、 $(f_{n})$ は $\Omega$ の全体で $0$ へ一様収束する。

$f_{n}'(z)=z^{n-1}$ である。 $(f_{n}')$ が $\Omega$ の全体で $0$ へ一様収束すると仮定し、 $\varepsilon=1/2$ に対する番号を $N$ とする。 $n=\max(N,2)$ とし、 $t=(3/4)^{1/(n-1)}$ とおくと、 $0<t<1$ であるから $t\in\Omega$ であり、 $|f_{n}'(t)|=t^{n-1}=3/4\ge1/2$ である。これは番号 $N$ の選び方に反する。したがって $(f_{n}')$ は $\Omega$ の全体では $0$ へ一様収束しない。一方、定理 2.1 (2)により、 $(f_{n}')$ は $\Omega$ の上で $0$ へ定義 1.1の意味で収束する。
$P_{n}$ は多項式であるから $\C$ の上で正則である。 $K\subseteq\C$ をコンパクト集合とすると、 $K$ は有界であり、ある $\rho>0$ について $K\subseteq\overline D(0,\rho)$ である。§E5.3 定義 1.3により、 $z\in K$ について
$|e^{z}-P_{n}(z)|=\Bigl|\sum_{k>n}\frac{z^{k}}{k!}\Bigr|\le\sum_{k>n}\frac{\rho^{k}}{k!}$
であり、右辺は収束する級数 $\sum_{k\ge0}\rho^{k}/k!$ の残りであるから、 $z$ によらず $n\to\infty$ で $0$ に収束する。したがって $(P_{n})$ は $\C$ の上で $e^{z}$ へ定義 1.1の意味で収束する。

$R>0$ とする。 $\C$ は領域であり、 $\overline D(0,R)\subseteq\C$ である。§E5.3 命題 1.7 (1)により $e^{z}$ は零点をもたず、とくに円周 $|z|=R$ の上で零点をもたない。定理 3.1により番号 $N$ が存在し、 $n\ge N$ ならば $P_{n}$ が $D(0,R)$ の中にもつ零点の個数は、 $e^{z}$ が $D(0,R)$ の中にもつ零点の個数 $0$ に等しい。
$\Omega=D(0,1)$ 、 $f_{n}(z)=1/n$ とする。各 $f_{n}$ は定数関数であるから正則であり、 $1/n\ne0$ であるから零点をもたない。すべての $z\in\Omega$ について $|f_{n}(z)-0|=1/n$ であり、 $\varepsilon>0$ に対して $1/N<\varepsilon$ を満たす $N$ を取れば $n\ge N$ で $|f_{n}(z)|<\varepsilon$ が $\Omega$ の全体で成り立つ。とくに $(f_{n})$ はコンパクト集合の上で定数関数 $0$ へ一様収束する。極限 $0$ は $\Omega$ の各点で $0$ になるので零点をもつ。したがって、系 3.3の結論から「恒等的に $0$ である」という場合を落とし、「 $f$ は零点をもたない」とだけ結論することはできない。
$D(0,1)$ と $D(3,1)$ は交わらない。正の整数 $n$ について、 $z\in D(0,1)$ では $f_{n}(z)=z$ 、 $z\in D(3,1)$ では $f_{n}(z)=3+(z-3)/n$ と定める。 $\Omega$ の各点は二つの円板の一方の内部にあるので、 $f_{n}$ は $\Omega$ の上で正則である。 $f_{n}(D(0,1))=D(0,1)$ 、 $f_{n}(D(3,1))=D(3,1/n)\subseteq D(3,1)$ であり、二つの像は交わらず、それぞれの円板の上で $f_{n}$ は単射であるから、 $f_{n}$ は $\Omega$ の上で単射である。

$z\in D(0,1)$ では $f(z)=z$ 、 $z\in D(3,1)$ では $f(z)=3$ と定める。 $z\in D(0,1)$ では $f_{n}(z)-f(z)=0$ 、 $z\in D(3,1)$ では $|f_{n}(z)-f(z)|=|z-3|/n<1/n$ であるから、 $(f_{n})$ は $\Omega$ の全体で $f$ へ一様収束し、とくに定義 1.1の意味で収束する。 $f(0)=0\ne3=f(3)$ であるから $f$ は定数でなく、 $f(3)=f(7/2)=3$ であるから $f$ は単射でない。 $\Omega$ は二つの交わらない開集合の和であって領域でなく、系 3.4の結論はこの $\Omega$ では成り立たない。
補題 1.5を $K$ に適用して、 $\rho>0$ と、 $K\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$ を満たすコンパクト集合 $K_{\rho}$ をとる。命題 4.4 (1) $\Rightarrow$ (2)により、 $\mathcal F$ のすべての元 $f$ と $K_{\rho}$ のすべての点 $\xi$ について $|f(\xi)|\le M'$ を満たす実数 $M'$ が存在する。必要なら $M'$ を大きくとり、 $M'>0$ とする。

$z,w\in K$ が $|z-w|\le\rho$ を満たすとし、 $\gamma(t)=z+t(w-z)$ （ $0\le t\le1$ ）とおく。 $|\gamma(t)-z|=t|w-z|$ 、 $|\gamma(t)-w|=(1-t)|w-z|$ であり、 $z,w\in K$ であるから、 $d(\gamma(t),K)\le\min(t,1-t)|w-z|\le\rho/2$ である。 $|\xi-\gamma(t)|\le\rho/2$ を満たす $\xi$ について、§E2.10 命題 5.2 (1)により $d(\xi,K)\le d(\gamma(t),K)+|\xi-\gamma(t)|\le\rho$ であるから、 $\overline D(\gamma(t),\rho/2)\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$ である。 $f\in\mathcal F$ に§E5.6 系 4.2を半径 $\rho/2$ で用いると、 $|f'(\gamma(t))|\le M'/(\rho/2)=2M'/\rho$ である。

§E5.4 定理 4.2により $f(w)-f(z)=\int_{\gamma}f'(\zeta)\,d\zeta$ であり、 $\gamma$ の長さは $|w-z|$ であるから、§E5.4 命題 3.2により $|f(w)-f(z)|\le(2M'/\rho)|w-z|$ である。 $L=2M'/\rho>0$ は $f$ にも $z,w$ にもよらないので、命題 4.5の評価が得られる。
$f\in\mathcal P$ とする。 $\Re f>0$ であるから $f+1\ne0$ であり、 $|f-1|^{2}-|f+1|^{2}=-4\Re f<0$ である。したがって $g=(f-1)/(f+1)$ は $D(0,1)$ の上で正則で、 $|g|<1$ 、 $g(0)=0$ を満たし、 $f=(1+g)/(1-g)$ である。

$(f_{n})$ を $\mathcal P$ の元の列とし、 $g_{n}=(f_{n}-1)/(f_{n}+1)$ とおく。 $|g_{n}|\le1$ であるから、例 5.2により、狭義単調増加な $\kappa$ と関数 $g$ が存在して、 $(g_{\kappa(k)})$ は $D(0,1)$ の上で $g$ へ定義 1.1の意味で収束する。定理 2.1 (1)により $g$ は正則であり、 $|g|\le1$ 、 $g(0)=\lim g_{\kappa(k)}(0)=0$ である。ある $z_{0}$ で $|g(z_{0})|=1$ とすると、 $|g|$ は $z_{0}$ で最大値をとり、§E5.9 定理 3.1により $g$ は $D(0,1)$ の上で定数となって、 $|g(0)|=1$ となり $g(0)=0$ に反する。したがって $|g|<1$ であり、 $f=(1+g)/(1-g)$ は $D(0,1)$ の上で正則である。

$K\subseteq D(0,1)$ を空でないコンパクト集合とする。§E5.9 命題 1.1により $r=\max_{K}|g|<1$ が存在する。番号 $k_{0}$ を、 $k\ge k_{0}$ と $z\in K$ について $|g_{\kappa(k)}(z)-g(z)|<(1-r)/2$ となるようにとる。このとき $K$ の上で $|1-g_{\kappa(k)}|\ge1-|g_{\kappa(k)}|\ge(1-r)/2$ 、 $|1-g|\ge1-r$ であり、
$f_{\kappa(k)}-f=\frac{1+g_{\kappa(k)}}{1-g_{\kappa(k)}}-\frac{1+g}{1-g}=\frac{2(g_{\kappa(k)}-g)}{(1-g_{\kappa(k)})(1-g)}$
であるから、 $|f_{\kappa(k)}-f|\le4|g_{\kappa(k)}-g|/(1-r)^{2}$ が $K$ の上で成り立つ。右辺は $K$ の上で一様に $0$ へ収束するので、 $(f_{\kappa(k)})$ は $D(0,1)$ の上で $f$ へ定義 1.1の意味で収束する。ゆえに $\mathcal P$ は正規族である。
$f_{j}$ を、 $j$ が偶数のとき定数関数 $0$ 、 $j$ が奇数のとき定数関数 $1$ とする。 $n$ が奇数のとき $\tau_{n}(k)=2k$ 、 $n$ が偶数のとき $\tau_{n}(k)=2k+1$ と定める。どちらも狭義単調増加であり、 $(f_{\tau_{n}(k)})_{k}$ は $n$ が奇数のとき定数列 $0$ 、偶数のとき定数列 $1$ であるから、 $\Omega$ の上で一様収束する。

$\kappa(k)=\tau_{k}(k)$ は、 $k$ が奇数のとき $2k$ 、偶数のとき $2k+1$ である。 $\kappa(k+1)-\kappa(k)$ は、 $k$ が奇数のとき $(2k+3)-2k=3$ 、偶数のとき $2(k+1)-(2k+1)=1$ であるから、 $\kappa$ は狭義単調増加である。 $k$ が奇数のとき $\kappa(k)$ は偶数で $f_{\kappa(k)}=0$ 、 $k$ が偶数のとき $\kappa(k)$ は奇数で $f_{\kappa(k)}=1$ である。したがって各 $z\in\Omega$ について $(f_{\kappa(k)}(z))_{k}$ は $0,1,0,1,\ldots$ であり、収束しない。各段の部分列が直前の段の部分列の部分列になっていないので、定理 5.1の証明の対角線の論法はこの選び方には適用することができない。

▨

§E5.17正規族と Montel の定理