§E5.13留数による実積分

例 2.2.$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}=\pi$を示す。$f(z)=1/(1+z^{2})$とおくと、$f$は$\C\setminus\{i,-i\}$の上で正則である。$R>1$とし、$U=\C$、$A=\{i,-i\}$として§E5.12 定理 2.2を$\Gamma_{R}$へ適用する。$\C$に属さない点はないので$\Gamma_{R}$は零ホモローグであり、命題 2.1により$n(\Gamma_{R},i)=1$、$n(\Gamma_{R},-i)=0$である。§E5.12 例 1.3により$\operatorname{Res}(f,i)=1/(2i)$であるから

である。ここで$A_{R}$は上半円弧であり、線分に沿う積分が実積分に一致することは§E5.4 定義 2.2による。

円弧の上では、$|z|=R$より$|1+z^{2}|\ge|z|^{2}-1=R^{2}-1>0$であるから$|f|\le1/(R^{2}-1)$である。円弧の長さは$\pi R$であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

である。したがって$\int_{-R}^{R}dx/(1+x^{2})\to\pi$である。被積分関数は非負で$1/(1+x^{2})\le1/x^{2}$（$|x|\ge1$）であるから広義積分は収束し、その値は$\pi$である。

例 2.3.$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^{4}}=\frac{\pi}{\sqrt2}$を示す。$f(z)=1/(1+z^{4})$の極は$z^{4}=-1$の解であり、上半平面にあるのは$z_{0}=e^{i\pi/4}$と$z_{1}=e^{3i\pi/4}$の二つ、下半平面にあるのは$e^{5i\pi/4}$と$e^{7i\pi/4}$である。四つの解は相異なるから$1+z^{4}=\prod_{k=0}^{3}(z-w_{k})$（$w_{k}$は四つの解）であり、各$k$について$h_{k}(z)=\prod_{j\ne k}(z-w_{j})^{-1}$は$w_{k}$を中心とし他の三点を含まない開円板の上で正則で$h_{k}(w_{k})\ne0$、その穿孔円板の上で$f(z)=h_{k}(z)/(z-w_{k})$である。ゆえに§E5.11 命題 3.3により、四点はいずれも$f$の位数$1$の極である。§E5.12 命題 1.2により

である。ここで差商の極限が導関数の逆数であること、および$z_{k}^{4}=-1$を用いた。$z_{0}=(1+i)/\sqrt2$、$z_{1}=(-1+i)/\sqrt2$であるから

である。$R>1$について命題 2.1と§E5.12 定理 2.2により

である。円弧の上では$|1+z^{4}|\ge R^{4}-1$であるから、ML 不等式により円弧の積分の絶対値は$\pi R/(R^{4}-1)$以下であり、$R\to\infty$で$0$へ収束する。したがって$\int_{-R}^{R}dx/(1+x^{4})\to\pi/\sqrt2$である。被積分関数は非負であり、$|x|\ge1$のとき$1+x^{4}\ge x^{4}\ge x^{2}$から$1/(1+x^{4})\le1/x^{2}$であるから、広義積分は収束し、その値は対称極限の値$\pi/\sqrt2$に等しい。

例 3.2.$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$を示す。$f(z)=e^{iz}/z$とおくと、$f$は$\C\setminus\{0\}$の上で正則である。$0<\varepsilon<R$とし、次の四つをつないだ閉曲線を$\Gamma$とする。線分$[-R,-\varepsilon]$、半径$\varepsilon$の上半円弧を角$\pi$から$0$へ向きを逆にたどるもの（この逆向きの上半円弧を$-A_{\varepsilon}$と書く）、線分$[\varepsilon,R]$、上半円弧$A_{R}$。

$|\Gamma|$は$\{\Im z\ge0\}\setminus\{0\}$に含まれ、原点から真下へ伸びる半直線とは交わらないから、補題 1.1により$n(\Gamma,0)=0$である。$U=\C$、$A=\{0\}$として§E5.12 定理 2.2を適用すると$\int_{\Gamma}f=0$、すなわち

である。第一の積分で$x$を$-x$に置き換えると

であるから、最初の二つの和は$\int_{\varepsilon}^{R}(e^{ix}-e^{-ix})/x\,dx =2i\int_{\varepsilon}^{R}(\sin x)/x\,dx$である（§E5.3 定義 1.5）。

大円弧を評価する。$g(z)=1/z$は$|z|=R$の上で$|g|=1/R$であるから、命題 3.1を$a=1$、$M_{R}=1/R$として適用すると$\bigl|\int_{A_{R}}f\bigr|\le\pi/R\to0$である。

小円弧を評価する。$e^{iz}=1+z\,u(z)$（$u$は$\C$の上で正則）と書くことができる。実際、§E5.3 定義 1.3の級数から$u(z)=\sum_{k\ge1}i^{k}z^{k-1}/k!$とおけばよい。すると

である。第一項は、径数表示$z=\varepsilon e^{i\theta}$（$0\le\theta\le\pi$）により$\int_{0}^{\pi}i\,d\theta=i\pi$である。第二項について、$\varepsilon<1$とすると円弧は閉円板$\{|z|\le1\}$に含まれる。この閉円板は有界かつ閉であるから、$\C$を Euclid 距離（§E2.1 定義 3.2）を入れた$\R^{2}$と同一視すると§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、$|u|$は連続であるから§E5.9 命題 1.1によりそこで最大値$M_{u}$をとる。円弧の長さは$\pi\varepsilon$であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により第二項の絶対値は$\pi\varepsilon M_{u}$以下であり、$\varepsilon\to0^{+}$で$0$へ収束する。すなわち小円弧の積分は$i\pi$へ収束する。ここでは消えるのではなく、有限の極限値をもつ。

式 (3.2.1)で先に$R\to\infty$、次に$\varepsilon\to0^{+}$とすると$2i\int_{0}^{\infty}(\sin x)/x\,dx-i\pi=0$を得る。極限を通す順序は、大円弧の評価が$\varepsilon$によらず、小円弧の評価が$R$によらないことによって正当化される。ゆえに主張を得る。ここで得たのは$\lim_{\varepsilon\to0,R\to\infty}\int_{\varepsilon}^{R}$であり、$(\sin x)/x$は原点で有界に延長されるので、この二重極限は通常の広義積分の値である。

例 4.1.$n\ge2$を整数とする。$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^{n}}=\frac{\pi}{n\sin(\pi/n)}$を示す。$f(z)=1/(1+z^{n})$とおく。$R>1$とし、線分$[0,R]$、円弧$\theta\mapsto Re^{i\theta}$（$0\le\theta\le2\pi/n$）、線分$Re^{2\pi i/n}$から$0$への三つをつないだ閉曲線を$\Gamma$とする。

$1+z^{n}=0$の解は$z_{k}=e^{i(2k+1)\pi/n}$（$k=0,1,\ldots,n-1$）であり、いずれも絶対値が$1$である（§E5.3 命題 1.7）。偏角$(2k+1)\pi/n$が$(0,2\pi/n)$に入るのは$k=0$のときだけであり、$k\ge1$では$(2k+1)\pi/n\ge3\pi/n>2\pi/n$かつ$(2k+1)\pi/n\le(2n-1)\pi/n<2\pi$である。$|z_{0}|=1<R$である。

回転数を求める。線分$[0,Re^{2\pi i/n}]$、円弧$\theta\mapsto Re^{i\theta}$（$2\pi/n\le\theta\le2\pi$）、線分$[R,0]$をつないだ閉曲線を$\Gamma''$とすると、$\Gamma$と$\Gamma''$を合わせたとき二組の線分が相殺し、残るのは$C_{R}$である。$|\Gamma''|$は$\{re^{i\theta} : 0\le r\le R,\ 2\pi/n\le\theta\le2\pi\}$に含まれ、$z_{0}$から外向きに伸びる半直線$\{(1+t)e^{i\pi/n} : t\ge0\}$はこの集合と交わらない。実際、その半直線の点は偏角$\pi/n$をもち、$0<\pi/n<2\pi/n$である。ゆえに補題 1.1により$n(\Gamma'',z_{0})=0$であり、§E5.5 命題 5.6と合わせて$n(\Gamma,z_{0})=1$である。

$k\ge1$の解については$n(\Gamma,z_{k})=0$である。実際、$z_{k}$から外向きに伸びる半直線$\{(1+t)e^{i(2k+1)\pi/n} : t\ge0\}$の点は、絶対値が$1$以上で偏角が$(2k+1)\pi/n$である。$|\Gamma|$は線分$[0,R]$、円弧$\{Re^{i\theta} : 0\le\theta\le2\pi/n\}$、線分$[0,Re^{2\pi i/n}]$の和であり、二つの線分の上の$0$でない点の偏角は$0$または$2\pi/n$、円弧の点の絶対値は$R>1$である。上で見たとおり$2\pi/n<(2k+1)\pi/n<2\pi$であるから半直線は二つの線分と交わらず、半直線の点の偏角は円弧の点の偏角の範囲$[0,2\pi/n]$に入らないから円弧とも交わらない。ゆえに補題 1.1により$n(\Gamma,z_{k})=0$である。

$1+z^{n}=\prod_{k=0}^{n-1}(z-z_{k})$である。実際、両辺は最高次の係数が$1$の$n$次多項式であり、相異なる$n$個の同じ根をもつ。そこで$h(z)=\prod_{k\ne0}(z-z_{k})^{-1}$とおくと、$h$は$z_{0}$を中心とし他の解を含まない開円板の上で正則で$h(z_{0})\ne0$であり、その穿孔円板の上で$f(z)=h(z)/(z-z_{0})$であるから、§E5.11 命題 3.3により$z_{0}$は$f$の位数$1$の極である。§E5.12 命題 1.2により$\operatorname{Res}(f,z_{0})=1/(nz_{0}^{n-1})=z_{0}/(nz_{0}^{n})=-z_{0}/n$である。したがって§E5.12 定理 2.2により

である。ここで$A$は円弧であり、第三項は$z=te^{2\pi i/n}$と置いたときに$z^{n}=t^{n}$、$dz=e^{2\pi i/n}dt$となることによる。

円弧の上では$|1+z^{n}|\ge R^{n}-1$であり、長さは$2\pi R/n$であるから、ML 不等式により円弧の積分の絶対値は$2\pi R/\bigl(n(R^{n}-1)\bigr)$以下であり、$n\ge2$より$R\to\infty$で$0$へ収束する。ゆえに$I=\int_{0}^{\infty}dx/(1+x^{n})$とおくと

である。$1-e^{2\pi i/n}=-e^{i\pi/n}\bigl(e^{i\pi/n}-e^{-i\pi/n}\bigr)=-e^{i\pi/n}\cdot2i\sin(\pi/n)$（§E5.3 定義 1.5）であるから

である。

例 5.1.$0<a<1$とする。$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}\,dx=\frac{\pi}{\sin(\pi a)}$を示す。

$D_{0'}=\C\setminus\{r : r\ge0\}$とおく。§E5.3 命題 2.11を$\alpha=0$として適用すると、$D_{0'}$の上の対数の枝$\ell_{0}$で$\ell_{0}'(z)=1/z$を満たすものが存在する。この枝が与える偏角は$(-2\pi,0)$に入る。実際、$z=re^{i\theta}$（$r>0$、$0<\theta<2\pi$）とすると$-z=re^{i(\theta-\pi)}$で$\theta-\pi\in(-\pi,\pi)$であるから、§E5.3 定義 2.7により$\operatorname{Log}(-z)=\ln r+i(\theta-\pi)$であり、$\ell_{0}(z)=\operatorname{Log}(-z)-i\pi=\ln r+i(\theta-2\pi)$である。

そこで$\ell=\ell_{0}+2\pi i$とおく。$e^{2\pi i}=1$（§E5.3 命題 1.7）と加法法則（§E5.3 命題 1.6）により$e^{\ell(z)}=e^{\ell_{0}(z)}=z$であるから、$\ell$も$D_{0'}$の上の対数の枝であり、定数を足しただけであるから$\ell$は正則で$\ell'(z)=1/z$である。$\ell(re^{i\theta})=\ln r+i\theta$（$0<\theta<2\pi$）であり、$\ell$が与える偏角は$(0,2\pi)$に入る。§E5.3 命題 2.5により$D_{0'}$の上の対数の枝は$\ell_{0}$と$2\pi i$の整数倍だけ異なるものに限られるので、この$\ell$が偏角の範囲$(0,2\pi)$を与える唯一の枝である。$z^{a-1}=e^{(a-1)\ell(z)}$と定め、

とおく。$f$は$D_{0'}\setminus\{-1\}$の上で正則である（§E5.2 命題 1.2、§E5.3 命題 1.8）。

$0<\varepsilon<1<R$と$0<\eta<\pi/2$を取り、次の四つをつないだ閉曲線を$\Gamma$とする。線分$\varepsilon e^{i\eta}$から$Re^{i\eta}$、円弧$\theta\mapsto Re^{i\theta}$（$\eta\le\theta\le2\pi-\eta$）、線分$Re^{i(2\pi-\eta)}$から$\varepsilon e^{i(2\pi-\eta)}$、円弧$\theta\mapsto\varepsilon e^{i\theta}$を$2\pi-\eta$から$\eta$へ向きを逆にたどるもの。

回転数を求める。線分$\varepsilon e^{i(2\pi-\eta)}$から$Re^{i(2\pi-\eta)}$、円弧$\theta\mapsto Re^{i\theta}$（$2\pi-\eta\le\theta\le2\pi+\eta$）、線分$Re^{i\eta}$から$\varepsilon e^{i\eta}$、円弧$\theta\mapsto\varepsilon e^{i\theta}$を$\eta$から$-\eta$へたどるものをつないだ閉曲線を$\Gamma''$とすると、$\Gamma$と$\Gamma''$を合わせたとき二組の線分が相殺し、二つの円弧はそれぞれ$C_{R}$と$-C_{\varepsilon}$を与える。$|\Gamma''|$は$\{re^{i\theta} : \varepsilon\le r\le R,\ |\theta|\le\eta\}$に含まれ、実部が正である。$-1$から負の実軸方向へ伸びる半直線$\{-1-t : t\ge0\}$は実部が負であるから、この集合と交わらない。ゆえに補題 1.1により$n(\Gamma'',-1)=0$であり、§E5.5 命題 5.6により$n(C_{R},-1)=1$、$n(C_{\varepsilon},-1)=0$であるから、$n(\Gamma,-1)=1$である。

$-1=e^{i\pi}$における留数を求める。$D(-1,1)$は$D_{0'}$に含まれ、$h(z)=z^{a-1}$はその上で正則で$h(-1)=e^{(a-1)i\pi}\ne0$である（§E5.3 命題 1.7）。$0<|z+1|<1$で$f(z)=h(z)/(z+1)$であるから、§E5.11 命題 3.3により$-1$は$f$の位数$1$の極である。§E5.12 命題 1.2により$\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to-1}(z+1)f(z)=e^{(a-1)\ell(-1)}=e^{(a-1)i\pi}$である。ここで$\ell(-1)=i\pi$（$|{-1}|=1$、偏角$\pi$）を用いた。$U=D_{0'}$、$A=\{-1\}$として§E5.12 定理 2.2を適用する。$\Gamma$は$D_{0'}$の内部で零ホモローグである。実際、$p\notin D_{0'}$ならば$p$は非負の実数であり、$p$から正の実軸方向へ伸びる半直線は$|\Gamma|$と交わらないので$n(\Gamma,p)=0$である。ゆえに

である。

二つの線分の寄与を、極座標を通してコンパクトな長方形の上の連続関数へ書き直す。$r>0$と$0<\theta<2\pi$について、$\ell(re^{i\theta})=\ln r+i\theta$であるから$z^{a-1}=e^{(a-1)(\ln r+i\theta)}=r^{a-1}e^{i(a-1)\theta}$である。偏角$\theta$を一定にした線分の径数表示$z=re^{i\theta}$（$\varepsilon\le r\le R$）では$dz=e^{i\theta}dr$であるから、$f(z)\,dz$は$G(r,\theta)\,dr$に等しい。ここで

である。$G$を、この式によって定まる二つの閉じた長方形

の上の関数と見る。$Q_{+}$と$Q_{-}$では$\cos\theta\ge0$であるから$\Re(1+re^{i\theta})=1+r\cos\theta\ge1>0$であり、分母は$0$にならない。ゆえに$G$は$Q_{+}$と$Q_{-}$の上で連続であり、両端の辺での値は

と異なる。ここで$e^{2\pi i}=1$（§E5.3 命題 1.7）を用いた。切断の上下で被積分関数が$e^{2\pi ia}$倍だけ違うのは、選んだ枝の偏角が上側で$0$、下側で$2\pi$へ近づくためである。

$Q_{+}$と$Q_{-}$は$\R^{2}$の有界閉集合であるから、Euclid 距離（§E2.1 定義 3.2）について§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。制限距離（§E2.1 命題 2.2）を入れると、$Q_{+}$と$Q_{-}$はコンパクト距離空間であり、$\C$も距離空間であるから、§E2.9 定理 5.1により$G$は$Q_{+}$と$Q_{-}$のそれぞれの上で一様連続である。したがって$\sigma>0$に対して$\delta>0$が存在し、$0<\eta<\delta$ならば$r\in[\varepsilon,R]$について$|G(r,\eta)-G(r,0)|<\sigma$かつ$|G(r,2\pi-\eta)-G(r,2\pi)|<\sigma$である。すなわち$\eta\to0^{+}$で、二つの線分の上での被積分関数は$r$について一様に、それぞれ$G(r,0)$と$G(r,2\pi)$へ収束する。ゆえに二つの線分に沿う積分の和は

へ収束する。差の絶対値が$(R-\varepsilon)\cdot2\sigma$以下であることによる。

二つの円弧を、$\eta$によらない形で評価する。$|z^{a-1}|=|e^{(a-1)\ell(z)}|=|z|^{a-1}$である（§E5.3 命題 1.7）。大きい円弧の上では$|z|=R$かつ$|1+z|\ge R-1$であるから$|f(z)|\le R^{a-1}/(R-1)$であり、長さは$2\pi R$以下であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により積分の絶対値は$2\pi R^{a}/(R-1)$以下である。小さい円弧の上では$|z|=\varepsilon$かつ$|1+z|\ge1-\varepsilon$であるから$|f(z)|\le\varepsilon^{a-1}/(1-\varepsilon)$であり、長さは$2\pi\varepsilon$以下であるから、積分の絶対値は$2\pi\varepsilon^{a}/(1-\varepsilon)$以下である。いずれの上界も$\eta$によらない。

$\Gamma$に沿う積分は、二つの線分の寄与と二つの円弧の寄与の和であり、その値は$\eta$によらず$-2\pi i\,e^{ia\pi}$である。円弧の寄与の和を$T(\eta)$と書くと、線分の寄与は$-2\pi i\,e^{ia\pi}-T(\eta)$であり、上で見たとおり$\eta\to0^{+}$で収束するから、$T(\eta)$も収束する。$B=\dfrac{2\pi R^{a}}{R-1}+\dfrac{2\pi\varepsilon^{a}}{1-\varepsilon}$とおくと、すべての$\eta$について$|T(\eta)|\le B$であるから、その極限も$\bigl|\lim T\bigr|\le B$を満たす。線分の寄与の極限と合わせて