§E5.22Bernoulli 数と Euler–Maclaurin の和公式

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有限和を積分で近似すると、端点だけでは説明できない差が残る。Bernoulli 多項式を周期化した関数を用いて部分積分を繰り返すと、この差は、有限個の補正項と剰余積分の和として表される。

本記事では Bernoulli 数を母関数の Taylor 係数として定める。余接関数の極における留数と正方形の境界上の評価を用いると、偶数冪の逆数和は Bernoulli 数によって表される。Bernoulli 数は、Bernoulli 多項式と Euler–Maclaurin の和公式の係数にも現れる。本記事の主題は、母関数、留数計算、有限和の補正という三つの場面に、同じ数列が現れることである。

1 Bernoulli 数と偶数冪の逆数和

Bernoulli 数を母関数によって定め、偶数乗の逆数の総和との関係と、後続で用いる積分の値を求める。

定義 1.1.g(w)=∑k≥0wk(k+1)!g(w)=\sum_{k\ge0}\dfrac{w^{k}}{(k+1)!}とおくと、ggは整関数であり、指数関数の級数（§E5.3 定義 1.3）によりew−1=w g(w)e^{w}-1=w\,g(w)が成り立つ。g(0)=1g(0)=1であり、w≠0w\ne0についてg(w)=0g(w)=0となるのはew=1e^{w}=1となるとき、すなわちw=2πikw=2\pi ik（kkは00でない整数）のときに限る（§E5.3 命題 1.7）。したがって

wew−1:=1g(w)\frac{w}{e^{w}-1}:=\frac{1}{g(w)}

は円板∣w∣<2π|w|<2\piの上で正則である。その原点を中心とする Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）の係数によって Bernoulli 数BnB_{n} (Bernoulli numberBnB_{n}) を

wew−1=∑n≥0Bnn! wn(∣w∣<2π)\frac{w}{e^{w}-1}=\sum_{n\ge0}\frac{B_{n}}{n!}\,w^{n}\qquad(|w|<2\pi)

と定める。

補題 1.2.B1=−12B_{1}=-\tfrac12であり、33以上の奇数nnについてBn=0B_{n}=0である。さらに正の整数mmについて

∑n≥11n2m=(−1)m−1(2π)2mB2m2 (2m)!\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}B_{2m}}{2\,(2m)!}

が成り立つ。とくに(−1)m−1B2m>0(-1)^{m-1}B_{2m}>0であり、(−1)m−1B2m=∣B2m∣(-1)^{m-1}B_{2m}=|B_{2m}|である。

証明.E(w)=wew−1+w2E(w)=\dfrac{w}{e^{w}-1}+\dfrac w2とおく。wewew−1=w+wew−1\dfrac{we^{w}}{e^{w}-1}=w+\dfrac{w}{e^{w}-1}であるから

E(−w)=−we−w−1−w2=wewew−1−w2=w+wew−1−w2=E(w)E(-w)=\frac{-w}{e^{-w}-1}-\frac w2=\frac{we^{w}}{e^{w}-1}-\frac w2 =w+\frac{w}{e^{w}-1}-\frac w2=E(w)

であり、EEは偶関数である。Taylor 係数の一意性（§E5.7 系 2.2）によりEEの奇数次の係数は00である。11次の係数はB1+12B_{1}+\tfrac12であるからB1=−12B_{1}=-\tfrac12であり、33以上の奇数nnについてはBn=0B_{n}=0である。

∣w∣<1|w|<1のとき∣2πiw∣<2π|2\pi iw|<2\piであるから、u=2πiwu=2\pi iwをEEの展開へ代入することができる。§E5.20 補題 2.1 (2)によるC(w)=πcot⁡(πw)C(w)=\pi\cot(\pi w)の指数表示と合わせると、

E(2πiw)=πiw(2e2πiw−1+1)=πiw⋅e2πiw+1e2πiw−1=πwcot⁡(πw)E(2\pi iw)=\pi iw\left(\frac{2}{e^{2\pi iw}-1}+1\right)=\pi iw\cdot\frac{e^{2\pi iw}+1}{e^{2\pi iw}-1} =\pi w\cot(\pi w)

である。したがって∣w∣<1|w|<1で

πwcot⁡(πw)=∑j≥0B2j(2j)!(2πiw)2j=∑j≥0(−1)jB2j(2π)2j(2j)! w2j\pi w\cot(\pi w)=\sum_{j\ge0}\frac{B_{2j}}{(2j)!}(2\pi iw)^{2j} =\sum_{j\ge0}\frac{(-1)^{j}B_{2j}(2\pi)^{2j}}{(2j)!}\,w^{2j}

である。

C(w)=πcot⁡(πw)C(w)=\pi\cot(\pi w)とおく。§E5.20 補題 2.1 (1)によりCCはC∖Z\C\setminus\Zの上で正則である。正の整数mmを固定しFm(w)=C(w)/w2mF_{m}(w)=C(w)/w^{2m}とおく。nnを00でない整数とする。§E5.20 補題 2.1 (3)のHnH_nを用いると、D(n,1)D(n,1)の上でHnH_nは正則、Hn(n)=1H_n(n)=1であり、0<∣w−n∣<10<|w-n|<1では

Fm(w)=Hn(w)/w2mw−nF_m(w)=\frac{H_n(w)/w^{2m}}{w-n}

である。n≠0n\ne0であるからHn(w)/w2mH_n(w)/w^{2m}はnnの近傍で正則であり、そのnnにおける値はn−2mn^{-2m}である。したがって§E5.12 命題 1.2によりRes⁡(Fm,n)=n−2m\operatorname{Res}(F_m,n)=n^{-2m}である。

w=0w=0を考える。h(w)=E(2πiw)h(w)=E(2\pi iw)とおくと、EEは∣u∣<2π|u|<2\piの上で正則であるからhhは∣w∣<1|w|<1の上で正則であり、上で示した等式により0<∣w∣<10<|w|<1でh(w)=πwcot⁡(πw)h(w)=\pi w\cot(\pi w)である。またwew−1=1/g(w)\frac{w}{e^{w}-1}=1/g(w)のw=0w=0における値は1/g(0)=11/g(0)=1であるからB0=1B_{0}=1であり、h(0)=E(0)=B0=1≠0h(0)=E(0)=B_{0}=1\ne0である。0<∣w∣<10<|w|<1でFm(w)=h(w)/w2m+1F_{m}(w)=h(w)/w^{2m+1}であるから、§E5.11 命題 3.3により00はFmF_{m}の位数2m+12m+1の極であり、その Laurent 係数はk≥0k\ge0についてck−(2m+1)=h(k)(0)/k!c_{k-(2m+1)}=h^{(k)}(0)/k!である。k=2mk=2mとおき、hhの上のべき級数展開の係数が Taylor 係数に一致すること（§E5.7 系 2.2）を用いると

Res⁡(Fm,0)=c−1=h(2m)(0)(2m)!=(−1)mB2m(2π)2m(2m)!\operatorname{Res}(F_{m},0)=c_{-1}=\frac{h^{(2m)}(0)}{(2m)!}=\frac{(-1)^{m}B_{2m}(2\pi)^{2m}}{(2m)!}

である。

NNを正の整数とし、QNQ_{N}を頂点±(N+12)±i(N+12)\pm(N+\tfrac12)\pm i(N+\tfrac12)をもつ閉正方形、∂QN\partial Q_{N}をその正の向きの境界とする。U=CU=\C、A=ZA=\ZとするとAAはC\Cの中に集積点をもたず、FmF_{m}はC∖Z\C\setminus\Zの上で正則であり、∂QN\partial Q_{N}はC\Cの内部で零ホモローグである。§E5.5 命題 5.6によりn(∂QN,n)n(\partial Q_{N},n)は∣n∣≤N|n|\le Nで11、∣n∣>N|n|>Nで00であるから、§E5.12 定理 2.2により

∫∂QNFm(w) dw=2πi[(−1)mB2m(2π)2m(2m)!+2∑n=1N1n2m]\int_{\partial Q_{N}}F_{m}(w)\,dw =2\pi i\left[\frac{(-1)^{m}B_{2m}(2\pi)^{2m}}{(2m)!}+2\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2m}}\right]

である。

§E5.20 補題 2.2により、c0=eπ+1eπ−1c_{0}=\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}とおくと∂QN\partial Q_Nの上で∣C(w)∣≤πc0|C(w)|\le\pi c_0である。また∣w∣≥N+12|w|\ge N+\tfrac12であり、∂QN\partial Q_{N}の長さは8(N+12)8\bigl(N+\tfrac12\bigr)であるから、 ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

∣∫∂QNFm∣≤πc0⋅8(N+12)(N+12)2m\left|\int_{\partial Q_{N}}F_{m}\right|\le\pi c_{0}\cdot\frac{8\bigl(N+\tfrac12\bigr)}{\bigl(N+\tfrac12\bigr)^{2m}}

である。2m≥22m\ge2であるから右辺はN→∞N\to\inftyで00へ収束する。ゆえに

(−1)mB2m(2π)2m(2m)!+2∑n≥11n2m=0\frac{(-1)^{m}B_{2m}(2\pi)^{2m}}{(2m)!}+2\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{2m}}=0

であり、主張の等式を得る。左辺の和は正であるから(−1)m−1B2m>0(-1)^{m-1}B_{2m}>0である。▨

2 Bernoulli 多項式と周期 Bernoulli 関数

Bernoulli 数の母関数へ指数関数を掛けると、和公式で用いる多項式族が得られる。

定義 2.1.x∈Rx\in\Rについて、wwの原点における Taylor 展開

wexwew−1=∑n≥0Bn(x)n! wn(∣w∣<2π)\frac{we^{xw}}{e^{w}-1}=\sum_{n\ge0}\frac{B_{n}(x)}{n!}\,w^{n}\qquad(|w|<2\pi)

によって Bernoulli 多項式Bn(x)B_{n}(x) (Bernoulli polynomialBn(x)B_{n}(x)) を定める。Bn=Bn(0)B_{n}=B_{n}(0)である。

t∈Rt\in\Rに対して{t}=t−⌊t⌋∈[0,1)\{t\}=t-\lfloor t\rfloor\in[0,1)とおき、

B~n(t)=Bn({t})\widetilde B_{n}(t)=B_{n}(\{t\})

によって 周期 Bernoulli 関数B~n\widetilde B_{n} (periodic Bernoulli functionB~n\widetilde B_{n}) を定める。

補題 2.2. 非負整数nnについて

Bn(x)=∑j=0n(nj)Bjxn−jB_{n}(x)=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}B_{j}x^{n-j}(2.2.1)\text{(2.2.1)}

が成り立つ。正の整数nnについて

Bn′(x)=nBn−1(x),Bn(1)−Bn(0)={1,n=1,0,n≠1B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\qquad B_{n}(1)-B_{n}(0)= \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\ne1 \end{cases}

である。したがってn≥2n\ge2のときB~n\widetilde B_{n}は連続な周期11の関数であり、整数を含まない各開区間の上でB~n′=nB~n−1\widetilde B_{n}'=n\widetilde B_{n-1}を満たす。

さらに

Cn=∑j=0n(nj)∣Bj∣C_{n}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}|B_{j}|

とおくと、すべての実数ttについて∣B~n(t)∣≤Cn|\widetilde B_{n}(t)|\le C_{n}である。

証明.定義 1.1の母関数と指数関数の積を、絶対収束する級数の Cauchy 積（§D1.21 定理 6.3）で展開すると

wexwew−1=(∑j≥0Bjj!wj)(∑ℓ≥0xℓℓ!wℓ)=∑n≥0(∑j=0nBjxn−jj!(n−j)!)wn\frac{we^{xw}}{e^{w}-1} =\left(\sum_{j\ge0}\frac{B_{j}}{j!}w^{j}\right) \left(\sum_{\ell\ge0}\frac{x^{\ell}}{\ell!}w^{\ell}\right) =\sum_{n\ge0}\left(\sum_{j=0}^{n}\frac{B_{j}x^{n-j}}{j!(n-j)!}\right)w^{n}

である。Taylor 係数の一意性（§E5.7 系 2.2）により式 (2.2.1)を得る。とくにBn(x)B_n(x)は多項式である。

式 (2.2.1)を項ごとに微分し、(nj)(n−j)=n(n−1j)\binom nj(n-j)=n\binom{n-1}jを用いると

Bn′(x)=n∑j=0n−1(n−1j)Bjxn−1−j=nBn−1(x)B_n'(x) =n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}B_jx^{n-1-j} =nB_{n-1}(x)

である。また

wewew−1−wew−1=w\frac{we^{w}}{e^{w}-1}-\frac{w}{e^{w}-1}=w

であるから、係数を比較すると端点の差に関する等式を得る。

n≥2n\ge2ではBn(1)=Bn(0)B_n(1)=B_n(0)であるから、各区間[k,k+1)[k,k+1)に置いたBn(t−k)B_n(t-k)の両端の値が一致する。したがってB~n\widetilde B_nは連続であり、定義から周期11をもつ。整数を含まない各開区間では多項式と同じ微分関係が成り立つ。

最後に0≤{t}<10\le\{t\}<1と式 (2.2.1)から

∣B~n(t)∣≤∑j=0n(nj)∣Bj∣ {t}n−j≤∑j=0n(nj)∣Bj∣=Cn|\widetilde B_n(t)| \le\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}|B_j|\,\{t\}^{n-j} \le\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}|B_j|=C_n

を得る。▨

とくにB1(x)=x−12B_{1}(x)=x-\tfrac12であるから、整数でないttについてB~1(t)={t}−12\widetilde B_{1}(t)=\{t\}-\tfrac12である。B~1\widetilde B_{1}は整数で跳躍するため、和公式の証明の最初の部分積分だけは各単位区間で行う。二回目以降は連続なB~n\widetilde B_nを用いることができる。

3 Euler–Maclaurin の和公式

定理 3.1 (Euler–Maclaurin の和公式).a<ba<bを整数、mmを正の整数とし、f:[a,b]→Cf:[a,b]\to\Cは2m2m回連続微分可能であるとする。このとき

∑j=abf(j)=∫abf(x) dx+f(a)+f(b)2+∑r=1mB2r(2r)!(f(2r−1)(b)−f(2r−1)(a))+Rm(f;a,b),\begin{aligned} \sum_{j=a}^{b}f(j) ={}&\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}\\ &+\sum_{r=1}^{m}\frac{B_{2r}}{(2r)!} \left(f^{(2r-1)}(b)-f^{(2r-1)}(a)\right)+R_m(f;a,b), \end{aligned}

ただし

Rm(f;a,b)=−1(2m)!∫abB~2m(x)f(2m)(x) dxR_m(f;a,b) =-\frac{1}{(2m)!}\int_{a}^{b}\widetilde B_{2m}(x)f^{(2m)}(x)\,dx

である。とくに

∣Rm(f;a,b)∣≤C2m(2m)!∫ab∣f(2m)(x)∣ dx|R_m(f;a,b)| \le\frac{C_{2m}}{(2m)!}\int_{a}^{b}|f^{(2m)}(x)|\,dx

が成り立つ。

証明. 整数jjがa≤j<ba\le j<bを満たすとする。区間[j,j+1][j,j+1]の内部ではB~1(x)=x−j−12\widetilde B_1(x)=x-j-\tfrac12であるから、実部と虚部へ通常の部分積分を適用すると

∫jj+1B~1(x)f′(x) dx=f(j+1)+f(j)2−∫jj+1f(x) dx\int_j^{j+1}\widetilde B_1(x)f'(x)\,dx =\frac{f(j+1)+f(j)}{2}-\int_j^{j+1}f(x)\,dx

である。j=a,…,b−1j=a,\ldots,b-1について加えると

∑j=abf(j)=∫abf(x) dx+f(a)+f(b)2+∫abB~1(x)f′(x) dx\sum_{j=a}^{b}f(j) =\int_a^b f(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}2 +\int_a^b\widetilde B_1(x)f'(x)\,dx(3.1.1)\text{(3.1.1)}

を得る。

補題 2.2によりB~2\widetilde B_2は連続であり、各単位区間の内部でB~2′=2B~1\widetilde B_2'=2\widetilde B_1を満たす。したがって各単位区間で部分積分して加えると、中間の整数における境界項は連続性によって相殺し、

∫abB~1f′=B22!(f′(b)−f′(a))−12!∫abB~2f′′\int_a^b\widetilde B_1 f' =\frac{B_2}{2!}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr) -\frac1{2!}\int_a^b\widetilde B_2 f''(3.1.2)\text{(3.1.2)}

である。

一般に、1≤r<m1\le r<mとする。B2r+1=0B_{2r+1}=0（補題 1.2）であるからB~2r+1\widetilde B_{2r+1}は両端で00となり、

−1(2r)!∫abB~2rf(2r)=1(2r+1)!∫abB~2r+1f(2r+1)-\frac1{(2r)!}\int_a^b\widetilde B_{2r}f^{(2r)} =\frac1{(2r+1)!}\int_a^b\widetilde B_{2r+1}f^{(2r+1)}

である。次にB~2r+2\widetilde B_{2r+2}を用いて部分積分すると

1(2r+1)!∫abB~2r+1f(2r+1)=B2r+2(2r+2)!(f(2r+1)(b)−f(2r+1)(a))−1(2r+2)!∫abB~2r+2f(2r+2)\frac1{(2r+1)!}\int_a^b\widetilde B_{2r+1}f^{(2r+1)} =\frac{B_{2r+2}}{(2r+2)!} \bigl(f^{(2r+1)}(b)-f^{(2r+1)}(a)\bigr) -\frac1{(2r+2)!}\int_a^b\widetilde B_{2r+2}f^{(2r+2)}

となる。式 (3.1.2)からこの操作をm−1m-1回繰り返し、式 (3.1.1)へ代入すると主張の等式を得る。

剰余項の評価は補題 2.2の∣B~2m∣≤C2m|\widetilde B_{2m}|\le C_{2m}と積分の三角不等式から従う。▨

注意 3.2 (剰余項を残す意味).定理 3.1は無限級数についての主張ではない。正の整数mmを一つ固定した有限の等式であり、打切り後の差を積分RmR_mが正確に表している。mmを増やすときに右辺の有限和が収束するとは限らない。漸近展開へ適用するときは、mmを固定して剰余積分を別に評価する必要がある。

補題 3.3. 非負整数kkについて

∫0∞t2k+1e2πt−1 dt=∣B2k+2∣4k+4\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}}{e^{2\pi t}-1}\,dt=\frac{|B_{2k+2}|}{4k+4}

が成り立つ。

証明.λ>0\lambda>0とs>0s>0について、§E4.15 定義 1.1の積分でt=u/λt=u/\lambdaと置換すると∫0∞ts−1e−λtdt=Γ(s)/λs\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-\lambda t}dt=\Gamma(s)/\lambda^{s}である。s=2k+2s=2k+2とすると∫0∞t2k+1e−2πmtdt=(2k+1)!(2πm)2k+2\int_{0}^{\infty}t^{2k+1}e^{-2\pi mt}dt=\dfrac{(2k+1)!}{(2\pi m)^{2k+2}}である。

t>0t>0と正の整数MMについて、等比数列の有限和により

∑m=1Me−2πmt=1−e−2πMte2πt−1\sum_{m=1}^{M}e^{-2\pi mt}=\frac{1-e^{-2\pi Mt}}{e^{2\pi t}-1}

であるから

∫0∞t2k+1e2πt−1 dt−∑m=1M(2k+1)!(2πm)2k+2=∫0∞t2k+1e−2πMte2πt−1 dt\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}}{e^{2\pi t}-1}\,dt-\sum_{m=1}^{M}\frac{(2k+1)!}{(2\pi m)^{2k+2}} =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}e^{-2\pi Mt}}{e^{2\pi t}-1}\,dt

である。§E5.21 補題 1.3 (1)によりe2πt−1≥2πte^{2\pi t}-1\ge2\pi tであるから右辺は12π∫0∞t2ke−2πMtdt=(2k)!2π(2πM)2k+1\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}t^{2k}e^{-2\pi Mt}dt=\frac{(2k)!}{2\pi(2\pi M)^{2k+1}}以下であり、M→∞M\to\inftyで00へ収束する。ゆえに

∫0∞t2k+1e2πt−1 dt=(2k+1)!(2π)2k+2∑n≥11n2k+2\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}}{e^{2\pi t}-1}\,dt =\frac{(2k+1)!}{(2\pi)^{2k+2}}\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{2k+2}}

である。補題 1.2をm=k+1m=k+1として用いると、右辺は

(2k+1)!(2π)2k+2⋅(−1)k(2π)2k+2B2k+22 (2k+2)!=(−1)kB2k+22(2k+2)=∣B2k+2∣4k+4\frac{(2k+1)!}{(2\pi)^{2k+2}}\cdot\frac{(-1)^{k}(2\pi)^{2k+2}B_{2k+2}}{2\,(2k+2)!} =\frac{(-1)^{k}B_{2k+2}}{2(2k+2)}=\frac{|B_{2k+2}|}{4k+4}

である。最後の等号では(−1)kB2k+2=∣B2k+2∣(-1)^{k}B_{2k+2}=|B_{2k+2}|（同じ補題）を用いた。▨

4 演習

問題 4.1.

  1. 定義 1.1の Taylor 級数∑n≥0Bnwn/n!\sum_{n\ge0}B_{n}w^{n}/n!の収束半径はちょうど2π2\piであることを示せ。また、22以上の整数NNについて∑j=0N−1(Nj)Bj=0\sum_{j=0}^{N-1}\binom{N}{j}B_{j}=0が成り立つことを示せ。
  2. B1,…,B6B_{1},\ldots,B_{6}を求め、∑n≥1n−2=π2/6\sum_{n\ge1}n^{-2}=\pi^{2}/6、∑n≥1n−4=π4/90\sum_{n\ge1}n^{-4}=\pi^{4}/90、∑n≥1n−6=π6/945\sum_{n\ge1}n^{-6}=\pi^{6}/945を示せ。
  3. 非負整数kkについて ∫0∞t2k+1e2πt+1 dt=(1−2−2k−1)∣B2k+2∣4k+4\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}}{e^{2\pi t}+1}\,dt=\bigl(1-2^{-2k-1}\bigr)\frac{|B_{2k+2}|}{4k+4} を示し、k=0,1k=0,1の値を求めよ。
  4. 非負整数nnと実数xxについてBn(1−x)=(−1)nBn(x)B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)とBn(1/2)=(21−n−1)BnB_{n}(1/2)=(2^{1-n}-1)B_{n}を示せ。
  5. 定理 3.1をf(x)=x3f(x)=x^{3}、a=0a=0、b=nb=n、m=2m=2に用いて、正の整数nnについて∑j=1nj3=(n(n+1)/2)2\sum_{j=1}^{n}j^{3}=\bigl(n(n+1)/2\bigr)^{2}を導け。また、ffが次数2m−12m-1以下の多項式ならばRm(f;a,b)=0R_{m}(f;a,b)=0であることを示せ。
  6. 正の整数nnについてHn=∑j=1n1/jH_{n}=\sum_{j=1}^{n}1/jとおく。極限γ=lim⁡n→∞(Hn−ln⁡n)\gamma=\lim_{n\to\infty}(H_{n}-\ln n)が存在し、 ∣Hn−ln⁡n−γ−12n∣≤16n2\Bigl|H_{n}-\ln n-\gamma-\frac1{2n}\Bigr|\le\frac1{6n^{2}} が成り立つことを示せ。
解答.

  1. ggを定義 1.1の整関数とし、Z={2πik:k∈Z∖{0}}Z=\{2\pi ik:k\in\Z\setminus\{0\}\}とおく。1/g1/gは∣w∣<2π|w|<2\piの上で正則であるから、§E5.7 定理 2.1により級数の収束半径は2π2\pi以上である。収束半径RRが2π2\piより大きいと仮定し、級数の和をSSとする。SSはD(0,R)D(0,R)の上で正則であり、D(0,2π)D(0,2\pi)の上でS=1/gS=1/gである。D(0,R)∖ZD(0,R)\setminus Zは領域であり、その上でSg−1Sg-1は正則でD(0,2π)D(0,2\pi)の上で00であるから、§E5.8 定理 3.1によりD(0,R)∖ZD(0,R)\setminus Zの上でSg=1Sg=1である。w→2πiw\to2\pi i（w∉Zw\notin Z）とすると、g(w)→g(2πi)=0g(w)\to g(2\pi i)=0でありS(w)→S(2πi)S(w)\to S(2\pi i)であるから、S(w)g(w)→0S(w)g(w)\to0となってSg=1Sg=1に反する。ゆえに収束半径はちょうど2π2\piである。

    ∣w∣<2π|w|<2\piではg(w)g(w)の級数と∑Bjwj/j!\sum B_{j}w^{j}/j!はともに絶対収束するので、§D1.21 定理 6.3により積g(w)⋅(1/g(w))=1g(w)\cdot(1/g(w))=1は

    ∑n≥0(∑j=0nBjj! (n−j+1)!)wn=1\sum_{n\ge0}\Bigl(\sum_{j=0}^{n}\frac{B_{j}}{j!\,(n-j+1)!}\Bigr)w^{n}=1

    と書くことができる。§E5.7 系 2.2により、n≥1n\ge1についてwnw^{n}の係数は00である。この係数に(n+1)!(n+1)!を掛けると∑j=0n(n+1j)Bj=0\sum_{j=0}^{n}\binom{n+1}{j}B_{j}=0であり、N=n+1≥2N=n+1\ge2とおけば主張を得る。

  2. B0=1/g(0)=1B_{0}=1/g(0)=1である。(1)の漸化式をN=2,…,7N=2,\ldots,7に用いる。N=2N=2では1+2B1=01+2B_{1}=0よりB1=−1/2B_{1}=-1/2、N=3N=3では1−3/2+3B2=01-3/2+3B_{2}=0よりB2=1/6B_{2}=1/6、N=4N=4では1−2+1+4B3=01-2+1+4B_{3}=0よりB3=0B_{3}=0、N=5N=5では1−5/2+5/3+0+5B4=01-5/2+5/3+0+5B_{4}=0よりB4=−1/30B_{4}=-1/30、N=6N=6では1−3+5/2+0−1/2+6B5=01-3+5/2+0-1/2+6B_{5}=0よりB5=0B_{5}=0、N=7N=7では1−7/2+7/2+0−7/6+0+7B6=01-7/2+7/2+0-7/6+0+7B_{6}=0よりB6=1/42B_{6}=1/42である。

    補題 1.2にm=1,2,3m=1,2,3を代入すると、

    ∑n≥11n2=(2π)22⋅2!⋅16=π26,∑n≥11n4=(2π)42⋅4!⋅130=π490,∑n≥11n6=(2π)62⋅6!⋅142=π6945\sum_{n\ge1}\frac1{n^{2}}=\frac{(2\pi)^{2}}{2\cdot2!}\cdot\frac16=\frac{\pi^{2}}6,\qquad \sum_{n\ge1}\frac1{n^{4}}=\frac{(2\pi)^{4}}{2\cdot4!}\cdot\frac1{30}=\frac{\pi^{4}}{90},\qquad \sum_{n\ge1}\frac1{n^{6}}=\frac{(2\pi)^{6}}{2\cdot6!}\cdot\frac1{42}=\frac{\pi^{6}}{945}

    である。

  3. x>0x>0について

    1ex−1−2e2x−1=(ex+1)−2e2x−1=ex−1(ex−1)(ex+1)=1ex+1\frac1{e^{x}-1}-\frac2{e^{2x}-1}=\frac{(e^{x}+1)-2}{e^{2x}-1}=\frac{e^{x}-1}{(e^{x}-1)(e^{x}+1)}=\frac1{e^{x}+1}

    である。x=2πtx=2\pi tとし、両辺にt2k+1t^{2k+1}を掛けて(0,∞)(0,\infty)で積分する。補題 3.3により右辺の各項の積分は有限である。第二項の積分ではu=2tu=2tと置換すると

    ∫0∞2t2k+1e4πt−1 dt=2∫0∞(u/2)2k+1e2πu−1 du2=2−2k−1∫0∞u2k+1e2πu−1 du\int_{0}^{\infty}\frac{2t^{2k+1}}{e^{4\pi t}-1}\,dt=2\int_{0}^{\infty}\frac{(u/2)^{2k+1}}{e^{2\pi u}-1}\,\frac{du}2=2^{-2k-1}\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{e^{2\pi u}-1}\,du

    である。したがって、補題 3.3により左辺は(1−2−2k−1)∣B2k+2∣/(4k+4)(1-2^{-2k-1})|B_{2k+2}|/(4k+4)に等しい。(2)の値により、k=0k=0では12⋅16⋅14=148\frac12\cdot\frac16\cdot\frac14=\frac1{48}、k=1k=1では78⋅130⋅18=71920\frac78\cdot\frac1{30}\cdot\frac18=\frac7{1920}である。

  4. ggを定義 1.1の整関数とすると、定義 2.1の母関数は∣w∣<2π|w|<2\piの上でGx(w)=exw/g(w)G_{x}(w)=e^{xw}/g(w)である。w≠0w\ne0について

    g(−w)=e−w−1−w=e−wew−1w=e−wg(w)g(-w)=\frac{e^{-w}-1}{-w}=e^{-w}\frac{e^{w}-1}{w}=e^{-w}g(w)

    であり、w=0w=0でも両辺は11である。したがってGx(−w)=e−xwew/g(w)=G1−x(w)G_{x}(-w)=e^{-xw}e^{w}/g(w)=G_{1-x}(w)である。両辺を展開すると∑nBn(x)(−w)n/n!=∑nBn(1−x)wn/n!\sum_{n}B_{n}(x)(-w)^{n}/n!=\sum_{n}B_{n}(1-x)w^{n}/n!であり、§E5.7 系 2.2によりBn(1−x)=(−1)nBn(x)B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)である。

    ew−1=(ew/2−1)(ew/2+1)e^{w}-1=(e^{w/2}-1)(e^{w/2}+1)から、w≠0w\ne0について2g(w)=g(w/2)(ew/2+1)2g(w)=g(w/2)(e^{w/2}+1)であり、w=0w=0でも両辺は22である。∣w∣<2π|w|<2\piではg(w)≠0g(w)\ne0、g(w/2)≠0g(w/2)\ne0であるから

    G1/2(w)=ew/2g(w)=(ew/2+1)−1g(w)=2g(w/2)−1g(w)=∑n≥0(2⋅2−n−1)Bnn!wnG_{1/2}(w)=\frac{e^{w/2}}{g(w)}=\frac{(e^{w/2}+1)-1}{g(w)}=\frac{2}{g(w/2)}-\frac1{g(w)} =\sum_{n\ge0}\bigl(2\cdot2^{-n}-1\bigr)\frac{B_{n}}{n!}w^{n}

    である。ここで1/g(w/2)=∑nBn(w/2)n/n!1/g(w/2)=\sum_{n}B_{n}(w/2)^{n}/n!（∣w/2∣<2π|w/2|<2\pi）を用いた。係数を比べてBn(1/2)=(21−n−1)BnB_{n}(1/2)=(2^{1-n}-1)B_{n}を得る。

  5. ffが次数2m−12m-1以下の多項式ならばf(2m)=0f^{(2m)}=0であり、定理 3.1の積分表示によりRm(f;a,b)=0R_{m}(f;a,b)=0である。

    f(x)=x3f(x)=x^{3}は次数3=2⋅2−13=2\cdot2-1の多項式であるからR2(f;0,n)=0R_{2}(f;0,n)=0である。f′(x)=3x2f'(x)=3x^{2}、f′′′(x)=6f'''(x)=6であり、(2)によりB2=1/6B_{2}=1/6であるから、

    ∑j=0nj3=∫0nx3 dx+0+n32+B22!(3n2−0)+B44!(6−6)=n44+n32+n24=(n(n+1)2)2\sum_{j=0}^{n}j^{3}=\int_{0}^{n}x^{3}\,dx+\frac{0+n^{3}}2+\frac{B_{2}}{2!}(3n^{2}-0)+\frac{B_{4}}{4!}(6-6) =\frac{n^{4}}4+\frac{n^{3}}2+\frac{n^{2}}4=\Bigl(\frac{n(n+1)}2\Bigr)^{2}

    である。j=0j=0の項は00である。

  6. 式 (2.2.1)とB0=1B_{0}=1、B1=−1/2B_{1}=-1/2、B2=1/6B_{2}=1/6によりB2(x)=x2−x+1/6B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6であり、0≤x≤10\le x\le1では−1/4≤x2−x≤0-1/4\le x^{2}-x\le0であるから∣B~2(t)∣≤1/6|\widetilde B_{2}(t)|\le1/6（t∈Rt\in\R）である。

    n≥2n\ge2とし、定理 3.1をf(x)=1/xf(x)=1/x、a=1a=1、b=nb=n、m=1m=1に用いる。f′(x)=−x−2f'(x)=-x^{-2}、f′′(x)=2x−3f''(x)=2x^{-3}であるから、

    Hn=ln⁡n+1+1/n2+112(1−1n2)−∫1nB~2(x)x3 dxH_{n}=\ln n+\frac{1+1/n}2+\frac1{12}\Bigl(1-\frac1{n^{2}}\Bigr)-\int_{1}^{n}\frac{\widetilde B_{2}(x)}{x^{3}}\,dx

    である。n=1n=1では両辺はともに11であり、この等式はn=1n=1でも成り立つ。∣B~2(x)x−3∣≤x−3/6|\widetilde B_{2}(x)x^{-3}|\le x^{-3}/6であり、∫1∞x−3dx\int_{1}^{\infty}x^{-3}dxは有限であるから、広義積分∫1∞B~2(x)x−3dx\int_{1}^{\infty}\widetilde B_{2}(x)x^{-3}dxは絶対収束する。したがって

    Hn−ln⁡n⟶γ=712−∫1∞B~2(x)x3 dxH_{n}-\ln n\longrightarrow\gamma=\frac7{12}-\int_{1}^{\infty}\frac{\widetilde B_{2}(x)}{x^{3}}\,dx

    であり、極限は存在する。さらに

    Hn−ln⁡n−γ−12n=−112n2+∫n∞B~2(x)x3 dx,∣∫n∞B~2(x)x3 dx∣≤16∫n∞dxx3=112n2H_{n}-\ln n-\gamma-\frac1{2n}=-\frac1{12n^{2}}+\int_{n}^{\infty}\frac{\widetilde B_{2}(x)}{x^{3}}\,dx,\qquad \Bigl|\int_{n}^{\infty}\frac{\widetilde B_{2}(x)}{x^{3}}\,dx\Bigr|\le\frac16\int_{n}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}=\frac1{12n^{2}}

    であるから、主張の評価を得る。

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参考文献

  1. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 5th ed., Cambridge University Press, 2021.Bernoulli 数、Bernoulli 多項式、および Euler–Maclaurin の和公式を参考にした。
  2. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, translated by R. C. H. Young, 2 (English) ed., Dover Publications, 1990, originally published 1951.Bernoulli 数、偶数乗の逆数の総和、および Euler–Maclaurin の和公式を参考にした。
  3. National Institute of Standards and Technology, NIST Digital Library of Mathematical Functions.Bernoulli 多項式と周期 Bernoulli 関数の定義（§24.2）と、積分形の剰余項をもつ Euler–Maclaurin の和公式（(2.10.1)）を参考にした。

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