§E5.18Riemann の写像定理

証明.主張 (1)を示す。$f$は$\Omega$の上で正則であるから、§E5.6 定理 4.1により$f$は$\Omega$の上で何回でも複素微分可能であり、とくに$f'$は$\Omega$の上で正則である。$f$は$\Omega$の上で零点をもたないから、§E5.2 命題 1.2 (3)により$f'/f$は$\Omega$の上で正則である。$\Omega$は単連結な領域であるから、§E5.5 系 8.2により$\Omega$の上の正則関数$h$で$h'=f'/f$を満たすものが存在する。

$z_{0}\in\Omega$を一つ固定する。$f(z_{0})\ne0$であるから、§E5.3 命題 2.3により$e^{w_{0}}=f(z_{0})$を満たす複素数$w_{0}$が存在する。

とおく。$g$は$\Omega$の上で正則であり、$g'=h'=f'/f$かつ$e^{g(z_{0})}=e^{w_{0}}=f(z_{0})$である。

$\psi(z)=f(z)e^{-g(z)}$とおく。§E5.3 命題 1.8と§E5.2 命題 1.2により$\psi$は$\Omega$の上で正則であり、

が$\Omega$の各点で成り立つ。$\Omega$は領域であるから§E5.4 命題 4.3により$\psi$は$\Omega$の上で定数であり、その値は$\psi(z_{0})=f(z_{0})e^{-g(z_{0})}$である。§E5.3 命題 1.6の加法法則と、§E5.3 定義 1.3により与えられる$e^{0}=1$により$e^{g(z_{0})}e^{-g(z_{0})}=e^{0}=1$であるから、$e^{-g(z_{0})}=1/e^{g(z_{0})}=1/f(z_{0})$であり、$\psi(z_{0})=1$である。ゆえに$\Omega$のすべての点$z$について$f(z)e^{-g(z)}=1$であり、同じ加法法則により$e^{g(z)}=f(z)e^{-g(z)}e^{g(z)}=f(z)$である。

主張 (2)を示す。$g$と$\tilde g$がともに主張 (1)の条件を満たすとする。$e^{g}=f$の両辺を微分すると、§E5.3 命題 1.8と§E5.2 命題 1.2 (4)により$g'e^{g}=f'$であり、$e^{g}=f$は零点をもたないから$g'=f'/f$である。$\tilde g$についても同じ計算により$\tilde g'=f'/f$である。よって$(\tilde g-g)'=0$が$\Omega$の各点で成り立ち、$\Omega$は領域であるから§E5.4 命題 4.3により$\tilde g-g$は$\Omega$の上で定数である。その値を$c$とおく。$\Omega$の点$z$を一つとると$e^{\tilde g(z)}=f(z)=e^{g(z)}$であるから、§E5.3 命題 1.7 (3)により$\tilde g(z)-g(z)=2\pi ik$を満たす整数$k$が存在する。$\tilde g-g$は定数$c$であるから$c=2\pi ik$であり、この等式は$\Omega$のすべての点で成り立つ。▨

証明.主張 (1)を示す。定理 1.1 (1)により、$\Omega$の上の正則関数$g$で$e^{g}=f$を満たすものが存在する。$h(z)=e^{g(z)/2}$とおく。§E5.3 命題 1.8と§E5.2 命題 1.2により$h$は$\Omega$の上で正則である。§E5.3 命題 1.6の加法法則により

である。§E5.3 命題 1.7 (1)により$h$は$\Omega$の上で零点をもたない。

主張 (2)を示す。$h$と$\tilde h$がともに主張 (1)の条件を満たすとする。主張 (1)により$h$は零点をもたないから、§E5.2 命題 1.2 (3)により$q=\tilde h/h$は$\Omega$の上で正則であり、$q^{2}=\tilde h^{2}/h^{2}=f/f=1$が$\Omega$の上で成り立つ。両辺を微分すると§E5.2 命題 1.2 (2)により$2qq'=0$である。$q^{2}=1$より$q$は$\Omega$の上で零点をもたないから、$\Omega$の各点で$q'=0$である。$\Omega$は領域であるから§E5.4 命題 4.3により$q$は定数であり、その定数を$c$とおくと$c^{2}=1$、すなわち$c=1$または$c=-1$である。$c=1$ならば$\tilde h=h$であり、$c=-1$ならば$\tilde h=-h$である。▨

証明. まず$f$が$\Omega$の上で定数でないことを示す。$\Omega$は空でない開集合であるから、$a\in\Omega$と$r>0$で$D(a,r)\subseteq\Omega$を満たすものが存在する。$a$と$a+r/2$は$\Omega$の相異なる二点であり、$f$は単射であるから$f(a)\ne f(a+r/2)$である。ゆえに$f$は定数でない。

主張 (1)を示す。$z\in\Omega$をとる。$\Omega$は開集合であるから$D(z,\delta)\subseteq\Omega$を満たす$\delta>0$が存在する。$f$は$\Omega$の全体で単射であるから、その部分集合$D(z,\delta)$の上でも単射である。すなわち§E5.10 定理 3.1 (2)が成り立つので、同定理により$f'(z)\ne0$である。

主張 (2)は、§E5.10 定理 1.1を領域$\Omega$と定数でない正則関数$f$へ適用して得られる。

主張 (3)を示す。$z_{0}\in\Omega$をとり、$w_{0}=f(z_{0})$とおく。

第一に、$f^{-1}$が$w_{0}$で連続であることを示す。$\varepsilon>0$をとる。$\Omega$は開集合であるから、$0<\varepsilon'\le\varepsilon$を$D(z_{0},\varepsilon')\subseteq\Omega$を満たすようにとることができる。主張 (2)により$f(D(z_{0},\varepsilon'))$は開集合であり、$w_{0}$を含むから、$D(w_{0},\eta)\subseteq f(D(z_{0},\varepsilon'))$を満たす$\eta>0$が存在する。$w\in f(\Omega)$が$|w-w_{0}|<\eta$を満たすとすると、$w\in f(D(z_{0},\varepsilon'))$であるから、$f^{-1}(w)$は$D(z_{0},\varepsilon')$の点である。実際、$w=f(z_{1})$を満たす$z_{1}\in D(z_{0},\varepsilon')$が存在し、$f$は単射であるから$f^{-1}(w)=z_{1}$である。ゆえに$|f^{-1}(w)-z_{0}|<\varepsilon'\le\varepsilon$である。

第二に、差商の極限を計算する。$\Omega\setminus\{z_{0}\}$の上の関数

は、§E5.2 定義 1.1により$z\to z_{0}$のとき$f'(z_{0})$へ収束する。主張 (1)により$f'(z_{0})\ne0$であるから、$\delta_{1}>0$を、$z\in\Omega$かつ$0<|z-z_{0}|<\delta_{1}$を満たすすべての$z$について

が成り立つようにとることができる。このとき同じ範囲の$z$について$|q(z)|\ge|f'(z_{0})|-|q(z)-f'(z_{0})|>|f'(z_{0})|/2>0$である。$\varepsilon>0$をとり、$0<\delta_{2}\le\delta_{1}$を、$z\in\Omega$かつ$0<|z-z_{0}|<\delta_{2}$を満たすすべての$z$について$|q(z)-f'(z_{0})|<\varepsilon|f'(z_{0})|^{2}/2$が成り立つようにとる。この範囲の$z$について

である。

第三に、二つを合わせる。第一の段により、$\eta>0$が存在して、$w\in f(\Omega)$かつ$|w-w_{0}|<\eta$ならば$|f^{-1}(w)-z_{0}|<\delta_{2}$である。さらに$w\ne w_{0}$とし$z=f^{-1}(w)$とおくと、$f$は単射であるから$z\ne z_{0}$であり、$0<|z-z_{0}|<\delta_{2}$である。$w=f(z)$、$w_{0}=f(z_{0})$であるから

であり、第二の段の評価により

である。$\varepsilon>0$は任意であったから、$f^{-1}$は$w_{0}$で複素微分可能であり、その微分係数は$1/f'(z_{0})$である。$f(\Omega)$は主張 (2)により開集合であり、$w_{0}\in f(\Omega)$は任意であったから、$f^{-1}$は$f(\Omega)$の上で正則である。▨

証明.$\Omega\ne\C$であるから$a\in\C\setminus\Omega$をとることができる。$u(z)=z-a$とおくと、$u$は$\Omega$の上で正則であり、$\Omega$のすべての点$z$について$z\ne a$であるから$u(z)\ne0$である。$\Omega$は単連結な領域であるから、系 1.3 (1)により、$\Omega$の上の正則関数$h$で$h(z)^{2}=z-a$を満たすものが存在し、$h$は$\Omega$の上で零点をもたない。

$h(z_{1})=h(z_{2})$とすると$z_{1}-a=h(z_{1})^{2}=h(z_{2})^{2}=z_{2}-a$であるから$z_{1}=z_{2}$である。

$h(z_{1})=-h(z_{2})$を満たす$z_{1},z_{2}\in\Omega$が存在したとする。両辺を二乗すると$z_{1}-a=z_{2}-a$であるから$z_{1}=z_{2}$であり、したがって$h(z_{1})=-h(z_{1})$、すなわち$h(z_{1})=0$である。これは$h$が零点をもたないことに反する。ゆえに、$\Omega$のすべての点$z_{1},z_{2}$について$h(z_{1})\ne-h(z_{2})$である。

$h$は単射であるから、命題 2.3 (2)により$h(\Omega)$は開集合である。$w_{0}=h(z_{0})$とおくと$w_{0}\in h(\Omega)$であるから、$D(w_{0},r)\subseteq h(\Omega)$を満たす$r>0$が存在する。

$\Omega$のすべての点$z$について$|h(z)+w_{0}|\ge r$であることを示す。$|h(z)+w_{0}|<r$を満たす$z\in\Omega$が存在したとする。$\zeta=h(z)$とおくと$|-\zeta-w_{0}|=|\zeta+w_{0}|<r$であるから$-\zeta\in D(w_{0},r)\subseteq h(\Omega)$であり、$-\zeta=h(z')$を満たす$z'\in\Omega$が存在する。すなわち$h(z)=-h(z')$となり、上で示した$h(\Omega)\cap(-h(\Omega))=\varnothing$に反する。

そこで

とおく。$|h(z)+w_0|\ge r$であるから分母は$\Omega$の上で零点をもたず、§E5.2 命題 1.2 (3)により$F$は$\Omega$の上で正則である。$\Omega$のすべての点$z$について

である。また$F$は単射である。実際、$F(z_{1})=F(z_{2})$とすると$h(z_{1})+w_{0}=h(z_{2})+w_{0}$であるから$h(z_{1})=h(z_{2})$であり、$h$の単射性により$z_{1}=z_{2}$である。

$b=F(z_{0})$とおくと$|b|<1$、すなわち$b\in\mathbb D$である。§E5.16 補題 3.2により$\varphi_{b}$は$\mathbb D$の正則自己同型であり$\varphi_{b}(b)=0$である。$f=\varphi_{b}\circ F$とおく。$F$は$\Omega$から$\mathbb D$への写像であり$\varphi_{b}$は$\mathbb D$の上で正則であるから、§E5.2 命題 1.2 (4)により$f$は$\Omega$の上で正則である。$\varphi_{b}$は$\mathbb D$の単射であり$F$も単射であるから、$f$は単射である。$\varphi_{b}$は$\mathbb D$を$\mathbb D$へ写すから、$\Omega$のすべての点$z$について$|f(z)|<1$である。最後に$f(z_{0})=\varphi_{b}(b)=0$である。ゆえに$f$は定義 3.1の四条件を満たし、$\mathcal F(\Omega,z_{0})\ne\varnothing$である。▨

証明.$\Omega$は開集合であるから、$\overline{D}(z_{0},r)\subseteq\Omega$を満たす$r>0$が存在する。$f\in\mathcal F$とすると、円周$|\zeta-z_{0}|=r$の上で$|f(\zeta)|<1$、とくに$|f(\zeta)|\le1$であるから、§E5.6 系 4.2を関数$f$、中心$z_{0}$、半径$r$、同系の上界を$1$、同系の階数$m$を$1$として適用して$|f'(z_{0})|\le 1/r$を得る。$\mathcal F$は空でないから、集合$\{\,|f'(z_{0})| : f\in\mathcal F\,\}$は空でない実数の集合であり、$1/r$を上界にもつ。ゆえに上限$M$が実数として存在し、$M\le 1/r<\infty$である。

次に$M>0$を示す。$f\in\mathcal F$を一つとる。$f$は$\Omega$の上で単射な正則関数であるから、命題 2.3 (1)により$f'(z_{0})\ne0$である。ゆえに$M\ge|f'(z_{0})|>0$である。

$M$は上限であるから、$\mathcal F$の元の列$(f_n)_{n\ge1}$を、各正の整数$n$について

を満たすように取ることができる。右の不等号は$M$が上限であることによる。

$\mathcal F$が§E5.17 定義 4.3の意味で局所一様有界であることを示す。$\Omega$の点$a$をとると、$\Omega$は開集合であるから$D(a,\rho)\subseteq\Omega$を満たす$\rho>0$が存在する。定義 3.1 条件 (c)により、$\mathcal F$のすべての元$f$と$D(a,\rho)$のすべての点$z$について$|f(z)|\le1$である。よって$\mathcal F$は局所一様有界である。ゆえに§E5.17 定理 5.1により$\mathcal F$は§E5.17 定義 4.1の意味で正規族である。列$(f_{n})_{n\ge 1}$へ正規性の定義を適用すると、狭義単調増加な写像$\kappa:\Z_{\ge 1}\to\Z_{\ge 1}$と関数$g:\Omega\to\C$が存在して、$(f_{\kappa(k)})_{k\ge 1}$は$\Omega$の上で$g$へ§E5.17 定義 1.1の意味で収束する。

以下で各点における収束を繰り返し用いる。$z\in\Omega$をとると、$\Omega$は開集合であるから$\overline{D}(z,s)\subseteq\Omega$を満たす$s>0$が存在し、§E5.17 補題 1.3により$\overline{D}(z,s)$は$\Omega$に含まれるコンパクト集合である。この集合へ§E5.17 定義 1.1の条件を適用すると、複素数の列$(f_{\kappa(k)}(z))_{k\ge 1}$は$g(z)$へ収束する。

§E5.17 定理 2.1を開集合$\Omega$、正則関数の列$(f_{\kappa(k)})$、極限$g$へ適用すると、$g$は$\Omega$の上で正則であり、導関数の列$(f_{\kappa(k)}')$は$\Omega$の上で$g'$へ§E5.17 定義 1.1の意味で収束する。点$z_0$における収束を導関数の列へ適用すると、$f_{\kappa(k)}'(z_{0})\to g'(z_{0})$であり、したがって$|f_{\kappa(k)}'(z_{0})|\to|g'(z_{0})|$である。

$\kappa$は正の整数に値をとる狭義単調増加な写像であるから、$k$についての帰納法により$\kappa(k)\ge k$である。ゆえに上の不等式により、すべての$k$について

である。左辺と右辺はともに$k\to\infty$で$M$へ収束するから、$|g'(z_{0})|=M$である。$M>0$で$M>0$であるから、$g'(z_{0})\ne0$であり、とくに$g$は$\Omega$の上で定数でない。

$g$が$\Omega$の上で正則であることは§E5.17 定理 2.1から従う。

$g$が単射であることを示す。$\Omega$は領域であり、各$f_{\kappa(k)}$は$\Omega$の上の単射な正則関数であり、$(f_{\kappa(k)})$は$\Omega$の上で$g$へ§E5.17 定義 1.1の意味で収束する。ゆえに§E5.17 系 3.4により、$g$は$\Omega$の上で単射であるか、または$\Omega$の上で定数である。$g'(z_0)\ne0$であるから$g$は定数でなく、したがって単射である。ここで$\Omega$が連結であることを用いた。

$\Omega$のすべての点$z$について$|g(z)|<1$であることを示す。局所一様収束から$f_{\kappa(k)}(z)\to g(z)$である。三角不等式により$\bigl||f_{\kappa(k)}(z)|-|g(z)|\bigr|\le|f_{\kappa(k)}(z)-g(z)|$であるから$|f_{\kappa(k)}(z)|\to|g(z)|$であり、すべての$k$について$|f_{\kappa(k)}(z)|<1$であることと極限が広義の不等式を保つことから$|g(z)|\le1$である。ここで$|g(z_{1})|=1$を満たす$z_{1}\in\Omega$が存在したとする。$\Omega$は開集合であるから$D(z_{1},\rho)\subseteq\Omega$を満たす$\rho>0$が存在し、$D(z_{1},\rho)$の全体で$|g(z)|\le1=|g(z_{1})|$である。$\Omega$は領域で$g$は$\Omega$の上で正則であるから、§E5.9 定理 3.1により$g$は$\Omega$の上で定数である。これは$g'(z_0)\ne0$に反する。ゆえに$\Omega$のすべての点$z$について$|g(z)|<1$である。

最後に、すべての$k$について$f_{\kappa(k)}(z_{0})=0$であるから、点$z_0$における収束により$g(z_{0})=0$である。

以上により$g$は定義 3.1の四条件を満たし、$g\in\mathcal F$かつ$|g'(z_{0})|=M$である。▨

証明.命題 3.2により$\mathcal F=\mathcal F(\Omega,z_{0})$は空でない。ゆえに命題 4.1を適用することができ、$M=\sup\bigl\{\,|\tilde f'(z_{0})| : \tilde f\in\mathcal F\,\bigr\}$は$0<M<\infty$を満たし、$|f'(z_{0})|=M$を満たす$f\in\mathcal F$が存在する。この$f$を固定する。$f$は$\Omega$の上で正則かつ単射であり、$f(\Omega)\subseteq\mathbb D$かつ$f(z_{0})=0$である。

$f(\Omega)=\mathbb D$であることを、背理法で示す。$f(\Omega)\ne\mathbb D$と仮定し、$\alpha\in\mathbb D\setminus f(\Omega)$をとる。

$u=\varphi_{\alpha}\circ f$とおく。§E5.16 補題 3.2により$\varphi_{\alpha}$は$\mathbb D$の正則自己同型であるから、$u$は$\Omega$の上で正則であり（§E5.2 命題 1.2 (4)）、$\Omega$のすべての点$z$について$|u(z)|<1$である。$u$は単射である。実際、$u(z_{1})=u(z_{2})$とすると、$\varphi_{\alpha}$が単射であるから$f(z_{1})=f(z_{2})$であり、$f$が単射であるから$z_{1}=z_{2}$である。さらに$u$は$\Omega$の上で零点をもたない。実際、$u(z)=0$とすると$\varphi_{\alpha}(f(z))=0$であり、$\varphi_{\alpha}(w)=0$となるのは$w=\alpha$のときだけであるから$f(z)=\alpha$となって、$\alpha\notin f(\Omega)$に反する。

$\Omega$は単連結な領域であり$u$は$\Omega$の上で零点をもたない正則関数であるから、系 1.3 (1)により、$\Omega$の上の正則関数$F$で$F(z)^{2}=u(z)$を満たすものが存在する。$\Omega$のすべての点$z$について$|F(z)|^{2}=|u(z)|<1$であるから$|F(z)|<1$であり、$F$は$\Omega$から$\mathbb D$への写像である。$F$は単射である。実際、$F(z_{1})=F(z_{2})$とすると$u(z_{1})=F(z_{1})^{2}=F(z_{2})^{2}=u(z_{2})$であり、$u$の単射性により$z_{1}=z_{2}$である。

$\beta=F(z_{0})$とおくと$\beta\in\mathbb D$である。$G=\varphi_{\beta}\circ F$とおく。$F$の性質および§E5.16 補題 3.2により、$G$は$\Omega$の上で正則であり、単射であり、$\Omega$のすべての点$z$について$|G(z)|<1$であり、$G(z_{0})=\varphi_{\beta}(\beta)=0$である。ゆえに$G\in\mathcal F$である。

$\mathbb D$の上の写像$\Psi$を

で定める。$-\beta\in\mathbb D$かつ$-\alpha\in\mathbb D$であるから、§E5.16 補題 3.2により$\varphi_{-\beta}$と$\varphi_{-\alpha}$はどちらも$\mathbb D$の正則自己同型である。$w\in\mathbb D$について$\varphi_{-\beta}(w)\in\mathbb D$であり、$|\varphi_{-\beta}(w)^{2}|=|\varphi_{-\beta}(w)|^{2}<1$であるから$\varphi_{-\beta}(w)^{2}\in\mathbb D$であり、$\Psi(w)\in\mathbb D$である。よって$\Psi$は$\mathbb D$から$\mathbb D$への写像であり、§E5.2 命題 1.2 (2)と§E5.2 命題 1.2 (4)により$\mathbb D$の上で正則である。

$\Psi(0)=0$を示す。§E5.16 補題 3.2により$\varphi_{-\beta}(0)=(0+\beta)/(1+\overline{\beta}\cdot0)=\beta$である。また

である。ゆえに

である。ここで$|\alpha|<1$より$1-|\alpha|^{2}\ne0$であることを用いた。

$\Psi\circ G=f$を示す。§E5.16 補題 3.2では$\varphi_{\beta}^{-1}=\varphi_{-\beta}$と$\varphi_{\alpha}^{-1}=\varphi_{-\alpha}$が述べられているから、$\Omega$のすべての点$z$について