Stirling の公式と剰余評価 | 複素解析

1 切断平面における Euler–Maclaurin 表示

補題 1.1. $z=re^{i\theta}\in D_0$ （ $r>0$ 、 $-\pi<\theta<\pi$ ）と $t\ge0$ について

|z+t|\ge(r+t)\cos\frac{\theta}{2}>0

が成り立つ。したがって $p>1$ について

\int_0^\infty\frac{dt}{|z+t|^p} \le\frac{\sec^p(\theta/2)}{(p-1)r^{p-1}}

である。

証明. 直接計算すると

|z+t|^2=r^2+t^2+2rt\cos\theta =(r+t)^2-4rt\sin^2\frac{\theta}{2}

である。 $4rt\le(r+t)^2$ であるから

|z+t|^2\ge(r+t)^2\left(1-\sin^2\frac{\theta}{2}\right) =(r+t)^2\cos^2\frac{\theta}{2}.

$|\theta|<\pi$ より $\cos(\theta/2)>0$ であり、第一の不等式を得る。両辺の $-p$ 乗を $t=0$ から $\infty$ まで積分すると第二の不等式を得る。▨

定理 1.2. $z\in D_0$ について

L(z) =\left(z-\frac12\right)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln(2\pi) +\frac{B_2}{2z} -\frac12\int_0^\infty\frac{\widetilde B_2(t)}{(z+t)^2}\,dt

\text{(1.2.1)}

とおく。このとき $L$ は $D_0$ の上で正則であり、

e^{L(z)}=\Gamma(z)

が成り立つ。したがって $\Gamma$ は $D_0$ の上で零点をもたず、 $L$ は正の実軸上の $\ln\Gamma$ と一致する対数の枝である。以下、この枝を $\log\Gamma$ と書く。

証明.§E5.22 補題 2.2の $|\widetilde B_2|\le C_2$ と補題 1.1により、式 (1.2.1)の積分は各 $z\in D_0$ について絶対収束する。

$z_0\in D_0$ を固定し、 $d$ を $z_0$ と切断 $(-\infty,0]$ の距離とする。 $0<\eta<d/2$ とし、 $|h|\le\eta$ 、 $0\le s\le1$ とする。 $z_0+t$ と切断の距離は $t\ge0$ について $d$ 以上であるから $|z_0+sh+t|\ge d/2$ である。また $T=2(|z_0|+\eta)$ とおくと、 $t\ge T$ では $|z_0+sh+t|\ge t/2$ である。 $q_t(z)=(z+t)^{-2}$ とおけば $q_t''(z)=6(z+t)^{-4}$ であり、§E5.4 定理 4.2を線分上で二回用いると

\left|\frac{q_t(z_0+h)-q_t(z_0)}h-q_t'(z_0)\right| \le |h|H(t),

ただし

H(t)= \begin{cases} 3(2/d)^4,&0\le t<T,\\ 3(2/t)^4,&t\ge T \end{cases}

とすることができる。 $H$ は $(0,\infty)$ の上で可積分である。したがって差商の積分と $\int_0^\infty\widetilde B_2(t)q_t'(z_0)\,dt$ の差は $C_2|h|\int_0^\infty H(t)dt$ 以下であり、 $h\to0$ で $0$ へ収束する。ゆえに式 (1.2.1)の積分は $z_0$ で複素微分可能である。 $z_0$ は任意であるから $L$ は $D_0$ の上で正則である。

右半平面 $H=\{\Re z>0\}$ で等式を示す。正の整数 $M$ を取り、 $f_z(t)=\operatorname{Log}(z+t)$ とおく。 $f_z$ は $[0,M]$ の上で何回でも連続微分可能であり、

f_z'(t)=\frac1{z+t},\qquad f_z''(t)=-\frac1{(z+t)^2}.

§E5.22 定理 3.1を $m=1$ として適用すると

\begin{aligned} \sum_{j=0}^M\operatorname{Log}(z+j) ={}&\int_0^M\operatorname{Log}(z+t)\,dt +\frac{\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}(z+M)}2\\ &+\frac{B_2}{2}\left(\frac1{z+M}-\frac1z\right) +\frac12\int_0^M\frac{\widetilde B_2(t)}{(z+t)^2}\,dt. \end{aligned}

\text{(1.2.2)}

§E5.21 定理 3.9と§E5.21 定理 3.5から $G(z)=\log\Gamma(z)$ は $H$ の上で $G(z+1)-G(z)=\operatorname{Log}z$ を満たす。したがって

G(z+M+1)-G(z)=\sum_{j=0}^M\operatorname{Log}(z+j).

\text{(1.2.3)}

また、§E5.4 定理 4.2により

\int_0^M\operatorname{Log}(z+t)\,dt =(z+M)\operatorname{Log}(z+M)-(z+M)-z\operatorname{Log}z+z.

\text{(1.2.4)}

式 (1.2.2)、式 (1.2.3)、式 (1.2.4)を用いて $M\to\infty$ とする。 $x=z+M$ とおくと、 $x$ に依存する主項のうち残る量は

\left(x+\frac12\right)\bigl(\operatorname{Log}(x+1)-\operatorname{Log}x\bigr)-1 =\int_0^1\frac{\frac12-s}{x+s}\,ds,

であり、右辺は $M\to\infty$ で $0$ へ収束する。§E5.21 補題 3.3の評価 $|J(w)|\le2|w|\Lambda/(\Re w)^2$ を $w=z+M+1$ へ適用すると $J(z+M+1)\to0$ である。さらに $1/(z+M)\to0$ であり、周期 Bernoulli 関数を含む積分は絶対収束する。ゆえに極限を取ると

G(z)=\left(z-\frac12\right)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln(2\pi) +\frac{B_2}{2z} -\frac12\int_0^\infty\frac{\widetilde B_2(t)}{(z+t)^2}\,dt=L(z)

を得る。

§E5.21 定理 2.1の Gamma 関数は $D_0$ の上で正則である。二つの正則関数 $e^L$ と $\Gamma$ は右半平面で一致し、 $D_0$ は領域である（§E5.3 命題 2.8）。一致の定理を用いると $D_0$ の全体で $e^L=\Gamma$ である。指数関数は零点をもたない（§E5.3 命題 1.7）ので、Gamma 関数も $D_0$ の上で零点をもたない。▨

2 閉扇形における漸近展開と剰余評価

定理 2.1 (Stirling の漸近展開). $N$ を非負整数とし、 $z=re^{i\theta}\in D_0$ （ $r>0$ 、 $-\pi<\theta<\pi$ ）とする。このとき

\log\Gamma(z) =\left(z-\frac12\right)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln(2\pi) +\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}+R_N(z)

\text{(2.1.1)}

と書くことができる。 $p=2N+2$ および

C_p=\sum_{j=0}^p\binom pj|B_j|

とおくと

R_N(z)=\frac{B_p}{p(p-1)z^{p-1}} -\frac1p\int_0^\infty\frac{\widetilde B_p(t)}{(z+t)^p}\,dt

\text{(2.1.2)}

であり、

|R_N(z)| \le\frac{C_p}{p(p-1)r^{p-1}} \left(1+\sec^p\frac{\theta}{2}\right)

\text{(2.1.3)}

を満たす。

とくに $0<\delta<\pi$ を固定すると、閉扇形

S_\delta=\{z\ne0:|\operatorname{Arg}z|\le\pi-\delta\}

の上で

|R_N(z)| \le\frac{C_{2N+2}}{(2N+2)(2N+1)} \left(1+\csc^{2N+2}\frac{\delta}{2}\right)|z|^{-(2N+1)}

\text{(2.1.4)}

が成り立つ。したがって $N$ を固定したとき、式 (2.1.1)は $S_\delta$ の上で一様な有限項の漸近展開である。

証明.式 (1.2.1)を出発点とする。正の偶数 $q$ について

T_q(z)=-\frac1q\int_0^\infty \frac{\widetilde B_q(t)}{(z+t)^q}\,dt

とおく。この積分は§E5.22 補題 2.2と補題 1.1により絶対収束する。正の整数 $M$ までの積分で部分積分する。 $B_{q+1}=0$ （§E5.22 補題 1.2）と $\widetilde B_{q+1}'=(q+1)\widetilde B_q$ により端点項は $0$ であり、続いて $\widetilde B_{q+2}'=(q+2)\widetilde B_{q+1}$ を用いると

\int_0^\infty\frac{\widetilde B_q(t)}{(z+t)^q}\,dt =\frac q{q+1}\int_0^\infty \frac{\widetilde B_{q+1}(t)}{(z+t)^{q+1}}\,dt,

\int_0^\infty\frac{\widetilde B_{q+1}(t)}{(z+t)^{q+1}}\,dt =-\frac{B_{q+2}}{(q+2)z^{q+1}} +\frac{q+1}{q+2}\int_0^\infty \frac{\widetilde B_{q+2}(t)}{(z+t)^{q+2}}\,dt

である。したがって

T_q(z)=\frac{B_{q+2}}{(q+1)(q+2)z^{q+1}}+T_{q+2}(z).

\text{(2.1.5)}

無限遠の端点項が $0$ へ収束することは、周期 Bernoulli 関数が有界であることと $|z+M|\to\infty$ から従う。

式 (1.2.1)は

\log\Gamma(z) =\left(z-\frac12\right)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln(2\pi) +\frac{B_2}{2z}+T_2(z)

と書くことができる。式 (2.1.5)を $q=2,4,\ldots,2N$ について繰り返すと、式 (2.1.1)と式 (2.1.2)を得る。 $N=0$ の場合は和が空であり、式 (1.2.1)そのものに等しい。

$|B_p|\le C_p$ と補題 1.1により

|T_p(z)| \le\frac{C_p}{p}\int_0^\infty\frac{dt}{|z+t|^p} \le\frac{C_p}{p(p-1)r^{p-1}}\sec^p\frac{\theta}{2}.

この評価を式 (2.1.2)へ適用すると式 (2.1.3)を得る。 $|\theta|\le\pi-\delta$ ならば

\cos\frac{\theta}{2}\ge\cos\frac{\pi-\delta}{2}=\sin\frac{\delta}{2}

であるから式 (2.1.4)が従う。▨

式 (2.1.4)では、剰余の上界が打切り次数 $N$ と扇形の開き $\delta$ にどのように依存するかをすべて明示している。扇形が切断へ近づいて $\delta\to0^+$ となると、上界の定数が増大する。一方、 $N$ と $\delta$ を固定すれば $R_N(z)=O(|z|^{-(2N+1)})$ である。§E5.22 補題 1.2の等式により $B_{2k}$ が階乗を含む係数であることが示されるため、この有限項の評価から $N\to\infty$ における級数の収束は従わない。

3 Binet の第二表示との比較

右半平面に限れば、Binet の第二表示から別の剰余評価を得ることができる。次の補題では、Binet の第二表示から右半平面での剰余評価を得る際に用いる、逆正接の有限展開を述べる。この補題は定理 2.1の証明には用いない。

補題 3.1. $\Re z>0$ 、 $\theta=\operatorname{Arg}z$ 、 $t\ge0$ とし、 $N$ を非負整数とする。このとき

\arctan\frac tz =\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}\frac{t^{2k+1}}{z^{2k+1}}+\rho_N(z,t),

\rho_N(z,t)=(-1)^N\int_0^t \frac{\tau^{2N}}{z^{2N-1}(z^2+\tau^2)}\,d\tau

が成り立ち、

|\rho_N(z,t)| \le\frac{t^{2N+1}}{(2N+1)|z|^{2N+1}\cos\theta}

である。 $N=0$ のとき和は空である。

証明. $z=re^{i\theta}$ とすると

|z^2+\tau^2|^2 =(r^2+\tau^2)^2-4r^2\tau^2\sin^2\theta \ge(r^2+\tau^2)^2\cos^2\theta.

$\Re z>0$ より $\cos\theta>0$ であるから $|z^2+\tau^2|\ge r^2\cos\theta$ である。等比数列の有限和を $v=\tau^2/z^2$ へ適用すると

\frac{z}{z^2+\tau^2} =\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^k\tau^{2k}}{z^{2k+1}} +\frac{(-1)^N\tau^{2N}}{z^{2N-1}(z^2+\tau^2)}.

§E5.21 補題 3.3の積分表示に代入し、 $0$ から $t$ まで積分すると最初の二式を得る。分母の下からの評価を剰余積分へ適用すると最後の不等式を得る。▨

注意 3.2 (Binet 表示と Euler–Maclaurin 表示の領域).§E5.21 定理 3.9の逆正接は、 $t>0$ を固定すると $z=\pm it$ に分岐点をもつ。 $t$ を $0$ から $\infty$ まで動かしたときの分岐点の集合は虚軸に一致するため、その積分表示は右半平面を越える表示にならない。一方、定理 1.2の被積分関数の特異点は $z=-t$ にあり、 $t\ge0$ に対応する特異点の集合は非正実軸に一致する。したがって後者は $D_0$ の全体で正則な表示を与える。

この定義域の相違は、 $\log\Gamma$ 自体の定義域が虚軸までに限られることを意味しない。右半平面だけで定義されるのは Binet の第二表示であり、定理 1.2は同じ関数を切断平面へ延長する。二つの表示の定義域の違いは、対数の枝を形式的に付け替えることではなく、被積分関数の特異点が動く集合の違いから生じる。

4 階乗への適用

系 4.1. 正の整数 $n$ について

n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n e^{\theta_n}, \qquad 0<\theta_n\le\frac1{12n}

が成り立つ。とくに

\left|\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n}-1\right| \le\frac{e^{1/12}}{12n}

である。

証明.§E5.21 定理 3.9を正の実数 $n$ へ適用すると

\ln\Gamma(n) =\left(n-\frac12\right)\ln n-n+\frac12\ln(2\pi)+J(n)

である。§E5.21 補題 3.3により $0<\arctan(t/n)\le t/n$ （ $t>0$ ）であるから、§E5.22 補題 3.3を $k=0$ として用いると

0<J(n) \le\frac2n\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pi t}-1}\,dt =\frac2n\cdot\frac{|B_2|}{4} =\frac1{12n}.

最後の等式では $B_2=\tfrac16$ を用いた。この値は§E5.22 定義 1.1の母関数で二次の係数を比較すると得られる。

§E5.21 命題 1.6により $n!=n\Gamma(n)$ である。上の等式の指数を取り、 $n$ を掛けると、 $\theta_n=J(n)$ として第一の表示を得る。さらに§E5.20 補題 1.1により

|e^{\theta_n}-1| \le\theta_n e^{\theta_n} \le\frac{e^{1/12}}{12n}

であり、第二の不等式が従う。▨

注意 4.2 (初等的な証明との比較). 一変数の基礎解析を扱う単元では、 $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ を積分と比較し、定数を Wallis の公式で決めることによって $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ を証明した（§D1.27 定理 3.2）。系 4.1では比の $1$ からのずれを具体的に評価し、定理 2.1では複素変数について高次の項まで与える。本記事の定数 $\sqrt{2\pi}$ は、§E5.21 補題 3.8では Binet の剰余の漸近正規化、Gamma 関数の関数方程式、および $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ から決定した値である。

5 演習

問題 5.1. $D_{0}=\C\setminus(-\infty,0]$ とし、 $\log\Gamma$ を定理 1.2の対数の枝とする。

実数 $x$ を固定する。 $y\to+\infty$ のとき $|\Gamma(x+iy)|\,e^{\pi y/2}\,y^{1/2-x}\longrightarrow\sqrt{2\pi}$ となることを示せ。
$z\in D_{0}$ について $\log\Gamma(z+1)=\log\Gamma(z)+\operatorname{Log}z$ が成り立つことを示せ。
$z\in D_{0}$ を固定する。式 (2.1.1)の級数 $\sum_{k\ge1}B_{2k}/\bigl(2k(2k-1)z^{2k-1}\bigr)$ は収束せず、 $N\to\infty$ のとき $R_{N}(z)$ は $0$ に収束しないことを示せ。
$a\in\C$ と $0<\delta<\pi$ を固定し、 $z\in D_{0}$ について $z^{a}=e^{a\operatorname{Log}z}$ とおく。 $z$ が定理 2.1の閉扇形 $S_{\delta}$ の中で $|z|\to\infty$ となるとき、 $\Gamma(z+a)/(\Gamma(z)z^{a})\to1$ であることを示せ。
正の整数 $n$ について $e^{-1/(6n)}<\binom{2n}{n}\frac{\sqrt{\pi n}}{4^{n}}<e^{1/(24n)}$ を示せ。

解答.

$y>\max(|x|,1)$ とし、 $z=x+iy$ 、 $r=|z|$ 、 $\theta=\operatorname{Arg}z$ とおく。 $\phi=\arctan(x/y)\in[-\pi/4,\pi/4]$ とすると、 $\cos(\pi/2-\phi)=\sin\phi=x/r$ 、 $\sin(\pi/2-\phi)=\cos\phi=y/r$ であるから $\theta=\pi/2-\phi\in[\pi/4,3\pi/4]$ である。定理 2.1を $N=0$ で用いると、 $p=2$ 、 $C_{2}=1+2\cdot\frac12+\frac16=\frac{13}{6}$ であり、
$\log\Gamma(z)=\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln(2\pi)+R_{0}(z),\qquad |R_{0}(z)|\le\frac{13}{12r}\Bigl(1+\sec^{2}\frac{3\pi}{8}\Bigr)$
である。 $r\ge y$ であるから $R_{0}(z)\to0$ （ $y\to\infty$ ）である。 $\operatorname{Log}z=\ln r+i\theta$ を用いて実部をとると、
$\Re\log\Gamma(z)=\Bigl(x-\frac12\Bigr)\ln r-y\theta-x+\frac12\ln(2\pi)+\Re R_{0}(z)$
である。 $\ln r=\ln y+\frac12\ln(1+x^{2}/y^{2})$ 、 $y\theta=\pi y/2-y\arctan(x/y)$ であるから
$\Re\log\Gamma(z)-\Bigl[\Bigl(x-\frac12\Bigr)\ln y-\frac{\pi y}{2}+\frac12\ln(2\pi)\Bigr] =\frac{2x-1}{4}\ln\Bigl(1+\frac{x^{2}}{y^{2}}\Bigr)+\Bigl(y\arctan\frac xy-x\Bigr)+\Re R_{0}(z)$
である。右辺の第一項は $0$ に収束する。 $x=0$ ならば第二項は $0$ であり、 $x\ne0$ ならば $u=x/y\to0$ について $\arctan u/u\to(\arctan)'(0)=1$ であるから、 $y\arctan(x/y)=x\cdot\arctan u/u\to x$ である。したがって左辺は $0$ に収束する。 $|\Gamma(z)|=|e^{\log\Gamma(z)}|=e^{\Re\log\Gamma(z)}$ （§E5.3 命題 1.7 (1)）であるから、 $|\Gamma(x+iy)|\,y^{1/2-x}e^{\pi y/2}=\exp\bigl(\Re\log\Gamma(z)-(x-\frac12)\ln y+\frac{\pi y}2\bigr)\to e^{\frac12\ln(2\pi)}=\sqrt{2\pi}$ である。
$z\in D_{0}$ ならば $z+1\in D_{0}$ である。実際、 $z+1\in(-\infty,0]$ ならば $z\in(-\infty,-1]$ となる。 $F(z)=\log\Gamma(z+1)-\log\Gamma(z)-\operatorname{Log}z$ とおくと、 $F$ は $D_{0}$ の上で正則である。§E5.21 定理 2.1の関数方程式により $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ であり、定理 1.2により $\Gamma(z)\ne0$ であるから、§E5.3 命題 1.6により $e^{F(z)}=\Gamma(z+1)/(z\Gamma(z))=1$ である。§E5.3 命題 1.7 (2)により $F(z)/(2\pi i)$ は整数である。

$D_{0}$ は§E5.3 命題 2.8により $1$ に関して星形である。 $z\in D_{0}$ について、線分 $\gamma(s)=1+s(z-1)$ （ $0\le s\le1$ ）は $D_{0}$ に含まれ、 $s\mapsto F(\gamma(s))/(2\pi i)$ は整数値の連続関数であるから、その実部に中間値の定理を用いると定数である。したがって $F(z)=F(1)$ である。定理 1.2により $\log\Gamma$ は正の実軸の上で $\ln\Gamma$ に一致し、§E5.21 命題 1.6により $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$ であるから、 $F(1)=\ln1-\ln1-\operatorname{Log}1=0$ である。ゆえに $D_{0}$ の上で $F=0$ である。
第 $k$ 項を $a_{k}=B_{2k}/\bigl(2k(2k-1)z^{2k-1}\bigr)$ とおく。§E5.22 補題 1.2により
$|B_{2k}|=\frac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}\sum_{n\ge1}\frac1{n^{2k}}\ge\frac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$
であるから、 $|a_{k}|\ge c_{k}$ 、 $c_{k}=2(2k-2)!/\bigl((2\pi)^{2k}|z|^{2k-1}\bigr)$ である。 $c_{k+1}/c_{k}=2k(2k-1)/\bigl((2\pi)^{2}|z|^{2}\bigr)$ であるから、 $2k(2k-1)\ge8\pi^{2}|z|^{2}$ を満たす $k_{0}$ をとると、 $k\ge k_{0}$ について $c_{k}\ge2^{k-k_{0}}c_{k_{0}}$ であり、 $c_{k}\to\infty$ である。したがって $a_{k}\to0$ は成り立たず、§D1.21 命題 2.1により級数は収束しない。

正の整数 $N$ について、式 (2.1.1)を $N-1$ と $N$ で書いて差をとると $R_{N-1}(z)-R_{N}(z)=a_{N}$ である。 $R_{N}(z)\to0$ と仮定すると $a_{N}=R_{N-1}(z)-R_{N}(z)\to0$ となり、前段に反する。ゆえに $R_{N}(z)$ は $0$ に収束しない。 $N$ を固定して $|z|\to\infty$ とする評価式 (2.1.4)と、 $z$ を固定して $N\to\infty$ とする極限は、別の主張である。
$z\in S_{\delta}$ が $|z|\ge\max\bigl(2|a|,|a|/\sin(\delta/2)\bigr)$ を満たすとし、 $w=a/z$ とおく。 $|w|\le\min(1/2,\sin(\delta/2))$ である。

$\zeta=1+w$ とおき、 $\varphi=|\operatorname{Arg}\zeta|$ とする。 $\Re\zeta\ge1-|w|>0$ であるから $\varphi<\pi/2$ であり、 $|\zeta-1|^{2}=(|\zeta|-\cos\varphi)^{2}+\sin^{2}\varphi\ge\sin^{2}\varphi$ であるから、 $\sin\varphi\le|w|\le\sin(\delta/2)$ 、すなわち $\varphi\le\delta/2$ である。 $L=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}\zeta$ とおくと、 $e^{L}=z\zeta=z+a\ne0$ であり、 $\Im L=\operatorname{Arg}z+\operatorname{Arg}\zeta$ の絶対値は $\pi-\delta+\delta/2<\pi$ 以下である。§E5.3 命題 1.7 (3)により $L-\operatorname{Log}(z+a)\in2\pi i\Z$ であり、両者の虚部は $(-\pi,\pi]$ に属するので、 $\operatorname{Log}(z+a)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}\zeta$ である。とくに $|\operatorname{Arg}(z+a)|\le\pi-\delta/2$ であるから $z+a\in S_{\delta/2}\subseteq D_{0}$ であり、 $|z+a|\ge|z|(1-|w|)\ge|z|/2$ である。

線分 $s\mapsto1+sw$ （ $0\le s\le1$ ）は右半平面に含まれるから、§E5.3 命題 2.10と§E5.4 定理 4.2により $\operatorname{Log}\zeta=\int_{0}^{1}w/(1+sw)\,ds$ であり、
$\operatorname{Log}\zeta-w=-\int_{0}^{1}\frac{sw^{2}}{1+sw}\,ds,\qquad|\operatorname{Log}\zeta-w|\le|w|^{2}\int_{0}^{1}2s\,ds=|w|^{2}$
である。ここで $|1+sw|\ge1-|w|\ge1/2$ を用いた。

定理 2.1を $N=0$ で $z$ と $z+a$ に用い、 $\operatorname{Log}(z+a)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}\zeta$ を代入すると、
$\log\Gamma(z+a)-\log\Gamma(z)-a\operatorname{Log}z=\Bigl(z+a-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}\zeta-a+R_{0}(z+a)-R_{0}(z)$
である。 $E=\operatorname{Log}\zeta-w$ とおくと、 $(z+a-\frac12)w-a=(a-\frac12)a/z$ であるから、右辺の最初の二項の和は $(a-\frac12)a/z+(z+a-\frac12)E$ であり、その絶対値は $|a-\frac12||a|/|z|+(|z|+|a|+\frac12)|a|^{2}/|z|^{2}$ 以下である。式 (2.1.4)を $N=0$ で $S_{\delta}$ と $S_{\delta/2}$ に用いると、 $C_{2}=13/6$ について
$|R_{0}(z)|\le\frac{13}{12}\Bigl(1+\csc^{2}\frac\delta2\Bigr)\frac1{|z|},\qquad |R_{0}(z+a)|\le\frac{13}{12}\Bigl(1+\csc^{2}\frac\delta4\Bigr)\frac2{|z|}$
である。したがって左辺は $z\in S_{\delta}$ 、 $|z|\to\infty$ のとき $0$ に収束する。 $e^{\log\Gamma}=\Gamma$ であるから $\Gamma(z+a)/(\Gamma(z)z^{a})=\exp\bigl(\log\Gamma(z+a)-\log\Gamma(z)-a\operatorname{Log}z\bigr)$ であり、指数関数の連続性によりこの値は $1$ に収束する。
系 4.1を $n$ と $2n$ に用いると、 $0<\theta_{n}\le1/(12n)$ 、 $0<\theta_{2n}\le1/(24n)$ について
$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} =\frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/e)^{2n}e^{\theta_{2n}}}{2\pi n\,(n/e)^{2n}e^{2\theta_{n}}} =\frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}\,e^{\theta_{2n}-2\theta_{n}}$
である。 $\theta_{2n}-2\theta_{n}>-2\theta_{n}\ge-1/(6n)$ であり、 $\theta_{2n}-2\theta_{n}<\theta_{2n}\le1/(24n)$ であるから、指数関数の単調性により主張の不等式を得る。

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§E5.23Stirling の公式と剰余評価

1 切断平面における Euler–Maclaurin 表示

2 閉扇形における漸近展開と剰余評価

3 Binet の第二表示との比較

4 階乗への適用

5 演習

参考文献

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