§E11.12確率変数の収束概念

$\varepsilon>0$を固定する。各$\omega$で$|(aX_n+b)-(aX+b)|=|a|\,|X_n-X|$である。$a=0$ならば、この差は恒等的に$0$であり、すべての$n$で$P(|(aX_n+b)-(aX+b)|>\varepsilon)=P(\emptyset)=0$である。$a\neq0$ならば

であり、定義 1.2を正の数$\varepsilon/|a|$に適用すると、右辺の確率は$0$に収束する。$\varepsilon>0$は任意であるから、同じ定義により$aX_n+b\xrightarrow{P}aX+b$である。

$n\geq1$に対して、$2^m\leq n<2^{m+1}$を満たす整数$m\geq0$を$m(n)$と書く。$X_n$は値$0$と$1$だけをとり、$P(X_n=1)=\lambda(I_{m(n),k})=2^{-m(n)}$であるから、分布関数は

である。極限の定数$0$の分布関数は、$x<0$で$F(x)=0$、$x\geq0$で$F(x)=1$であり、その連続点は$x\neq0$である。$n\to\infty$のとき$m(n)\to\infty$であるから、$x<0$では$F_n(x)=0=F(x)$、$0<x<1$では$F_n(x)=1-2^{-m(n)}\to1=F(x)$、$x\geq1$では$F_n(x)=1=F(x)$である。したがって、定義 1.3により$X_n\Rightarrow0$である。

$\omega\in[0,1)$と正の整数$N$をとる。$2^m\geq N$を満たす$m$を一つ選ぶと、$(I_{m,k})_{0\leq k<2^m}$は$[0,1)$の分割であるから、$\omega\in I_{m,k}$を満たす$k$が存在し、$n=2^m+k\geq N$について$X_n(\omega)=1$である。したがって$\omega\in\bigcup_{n\geq N}\{X_n=1\}$がすべての$N$について成り立ち、事象列の上極限$\limsup_nA_n=\bigcap_{N\geq1}\bigcup_{n\geq N}A_n$の定義により$\omega\in\limsup_n\{X_n=1\}$である。$\omega$は任意であるから$\limsup_n\{X_n=1\}=\Omega$である。

定数$c$の分布関数$F$は、$x<c$で$F(x)=0$、$x\geq c$で$F(x)=1$であり、$c$以外のすべての点で連続である。$\varepsilon>0$をとると、$c-\varepsilon$と$c+\varepsilon$は$F$の連続点であるから、仮定により$F_n(c-\varepsilon)\to F(c-\varepsilon)=0$かつ$F_n(c+\varepsilon)\to F(c+\varepsilon)=1$である。事象$\{|X_n-c|>\varepsilon\}$は互いに交わらない$\{X_n<c-\varepsilon\}$と$\{X_n>c+\varepsilon\}$の和であり、$\{X_n<c-\varepsilon\}\subseteq\{X_n\leq c-\varepsilon\}$であるから、

である。右辺は$0+1-1=0$に収束するので、$P(|X_n-c|>\varepsilon)\to0$であり、$X_n\xrightarrow{P}c$が成り立つ。